《平面向量及其线性运算》平面向量初步PPT(向量的减法)【精选推荐下载】
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2025年高考数学一轮复习-6.1-平面向量的概念及其线性运算【课件】
的(
)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选B.由|a+b|=|a|-|b|及向量的减法法则,可得向量a与b平行且反向,
由a=λb可得向量a,b平行,因此“a=λb”是“|a+b|=|a|-|b|”的必要不充分条件.
5
5
8
4.(必修第二册P15练习T2·
度属中、低档.
必备知识·逐点夯实
知识梳理·归纳
1.平面向量的有关概念
名称
向量
零向量
单位向量
定义
备注
既有大小又有方向的量;
向量由方向和长度确定,
向量的大小称为向量的长度(模)
不受位置影响
长度为___的向量
0
任意
记作0,其方向是______的
1个
长度等于_____单位长度的向量
与非零向量a共线的单位向量
1或3
3.向量∥,其中是单位向量且 =2 ,则 =________.
【解析】因为∥,其中是单位向量且 =2 ,则=-,
①若=2,则 = − = −2 = =1;
②若=-2,则 = + 2 = 3 =3 =3,因此, =1或3.
含义.
4.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义.
【核心素养】
直观想象、数学运算、逻辑推理.
【命题说明】
考向
考法
预测
高考命题常以共线向量基本定理与平面向量基本定理为载体考查向
量的加、减、数乘运算以及它们的几何意义,常以选择或填空题的
形式考查.
预计2025年高考仍会考查线性运算,题型以选择题、填空题为主,难
)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选B.由|a+b|=|a|-|b|及向量的减法法则,可得向量a与b平行且反向,
由a=λb可得向量a,b平行,因此“a=λb”是“|a+b|=|a|-|b|”的必要不充分条件.
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4.(必修第二册P15练习T2·
度属中、低档.
必备知识·逐点夯实
知识梳理·归纳
1.平面向量的有关概念
名称
向量
零向量
单位向量
定义
备注
既有大小又有方向的量;
向量由方向和长度确定,
向量的大小称为向量的长度(模)
不受位置影响
长度为___的向量
0
任意
记作0,其方向是______的
1个
长度等于_____单位长度的向量
与非零向量a共线的单位向量
1或3
3.向量∥,其中是单位向量且 =2 ,则 =________.
【解析】因为∥,其中是单位向量且 =2 ,则=-,
①若=2,则 = − = −2 = =1;
②若=-2,则 = + 2 = 3 =3 =3,因此, =1或3.
含义.
4.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义.
【核心素养】
直观想象、数学运算、逻辑推理.
【命题说明】
考向
考法
预测
高考命题常以共线向量基本定理与平面向量基本定理为载体考查向
量的加、减、数乘运算以及它们的几何意义,常以选择或填空题的
形式考查.
预计2025年高考仍会考查线性运算,题型以选择题、填空题为主,难
《平面向量》第1讲 平面向量的概念和线性运算
小结
1. 基本概念.
2. 向量的线性运算(加法、减法、数乘).
运算结果仍然是一个向量.
3. 两个向量共线的充要条件.
三点共线的应用.
一.向量的基本概念
[例题1]. 下列说法正确的是 .
(1).0 的方向是任意的；
(2).0// a;
(3). 0 0;
(4).0 a a 0 a;
(5). 0 0; (6).0 a 0.
二.向量的线性运算
[例题2]. 设O是正六边形ABCDEF的中点. (1) 与 OA 相等的向量有 (2) 设 AC a, BD b, 请用这两个向量表示 CD . .
课题：
向量的基本概念与线性运算
知识点1.向量的基本概念
(1) 既有大小，又有方向的量叫向量. (2) 长度为0的向量叫零向量． (3) 长度等于1的向量单位向量．
[ [
Y Y
] ]
[ (4) 方向相同的非零向量叫平行向量. [ (5) 平行向量又叫共线向量． [ [ (6) 长度相等的向量叫相等向量．
BC CD
(2) 证明：A、B、D三点共线.
(3) 试确定实数k，使k a＋b和a＋k b共线．
二.向量的线性运算
变式1. 设 a , b 是两个非零的不共线向量 . 且向量 a , b 的起点相同，当t= 时，
1 ab 三个向量 a , tb, 3
的终点共线 .
二.向量的线性运算
(7) 方向相反的向量叫相反向量．
[
Y ] N ] Y ] N ] N ]
知识点2、向量的线性运算.
类型 加 法 代数运算
几何运算
a
坐标运算
《平面向量的运算》平面向量及其应用PPT(完美版)课件(第2课时向量的减法运算)
《 平 面 向 量 的运算 》平面 向量及 其应用 PPT课件 (第2课 时向量 的减法 运算) -教育学 生，从 爱出发 ，爱是 一种特 持久而 深刻的 感情。
类型一 向量的减法
【典例】1.(2019·汕头高一检测)在△ABC中，D，E，
F分别为AB，BC，CA的中点，则
等于 ( )
AF－DB
A.FD B.FC C.FE D.BE
AB
BA
《 平 面 向 量 的运算 》平面 向量及 其应用 PPT课件 (第2课 时向量 的减法 运算) -教育学 生，从 爱出发 ，爱是 一种特 持久而 深刻的 感情。
《 平 面 向 量 的运算 》平面 向量及 其应用 PPT课件 (第2课 时向量 的减法 运算) -教育学 生，从 爱出发 ，爱是 一种特 持久而 深刻的 感情。
(3)几何意义：a-b可以表示为从向量b的终点指向向量 a的终点的向量.
《 平 面 向 量 的运算 》平面 向量及 其应用 PPT课件 (第2课 时向量 的减法 运算) -教育学 生，从 爱出发 ，爱是 一种特 持久而 深刻的 感情。
《 平 面 向 量 的运算 》平面 向量及 其应用 PPT课件 (第2课 时向量 的减法 运算) -教育学 生，从 爱出发 ，爱是 一种特 持久而 深刻的 感情。
《 平 面 向 量 的运算 》平面 向量及 其应用 PPT课件 (第2课 时向量 的减法 运算) -教育学 生，从 爱出发 ，爱是 一种特 持久而 深刻的 感情。
(2)相反向量不一定是平行向量，平行向量一定是相反 向量.( ) (3)向量 与向量 是相反向量. ( )
AB
BA
ห้องสมุดไป่ตู้
《 平 面 向 量 的运算 》平面 向量及 其应用 PPT课件 (第2课 时向量 的减法 运算) -教育学 生，从 爱出发 ，爱是 一种特 持久而 深刻的 感情。
高考数学专题复习《平面向量的概念及线性运算》PPT课件
向量
模等于 1
的向量
a
向量为±|a|
名称
相等的
向量
定 义
备 注
大小 相等 、方向 相同
的向量
两个向 如果两个 非零 向量的方向 相同或相反 ,则
量平行 称这两个向量平行.两个向量平行也称为两个向
两向量只有相等或不相
等,不能比较大小
规定零向量与任一向量
平行(共线)
(共线)
量共线
相反
给定一个向量,把与这个向量方向 相反 、大 零向量的相反向量仍是
.
,而且λa的方向如下:
,
(ⅱ)当λ=0或a=0时,λa= 0
.
实数λ与向量a相乘的运算简称为数乘向量.
(2)数乘向量的定义说明
如果存在实数λ,使得b=λa,则b∥a.
(3)数乘向量的几何意义
数乘向量的几何意义是,把向量沿着它的方向或反方向放大或缩小.特别地,
一个向量的相反向量可以看成-1与这个向量的乘积,即-a=(-1)a.
D.
3.(多选)(2020山东郓城第一中学高三模拟)若点G是△ABC的重心,BC边的
中点为D,则下列结论正确的是(
A.G 是△ABC 的三条中线的交点
B. + + =0
C. =2
D. =
)
答案 ABC
解析 对于 A,△ABC 三条中线的交点就是重心,故 A 正确;对于 B,根据平行四
(4)数乘向量的运算律
设λ,μ为实数,则λ(μa)=(λμ)a;
特别地,我们有(-λ)a=-(λa)=λ(-a).
5.向量的运算律
一般地,对于实数λ与μ,以及向量a,有
(1)λ(μa)= (λμ)a ;(2)λa+μa= (λ+μ)a
平面向量的线性运算减法PPT课件
第10页/共18页
思考：在例2中，
D
C
(1) 当 a,b 满足什么 条件时，a b与 a b互
A
b
a
B
相垂直？ABCD为菱形时, 即| a || b |时.
(2) 当a,b满足什么条件时，| a b || a b | ?
ABCD为矩形时, 即 a b 时.
(3) a b与 a b有可能相等吗？为什么？
温故知新
1、向量加法的三角形法则
A
B
a a a a a a a a aa
注意：
b
b b b bO b
b
bb
a+b
各向量“首尾相连”，和向量由第一个向 量的起点指向最后一个向量的终点.
第1页/共18页
2、向量加法的平行四边形法则 Db C
a a a a a a a a a a a+b
bb
b
A
b
b
作法:(1)在平面内任取一点A；
即a (a) (a) a 0 意 3)如果 a与 b 互为相反向量，那么:
a b,b a,a b 0
第4页/共18页
2.定义 a b a (b)
即减去一个向量等于加上这个向量的相反向量
3. 向量的减法: 求两个向量的差的运算叫做向量的减法.
第5页/共18页
4.已知a,b,根据减法的定义,如何作出a b呢？
2 2.在ABC中,若 点G为ABC的 重 心,则GA GB GC 0
第3页/共18页
一.向量的减法
1. 相反向量：
与a长度相等, 方向相反的向量叫做a的
相反向量.记作 : a
规定：零向量的相反向量仍是零向量.
1)a与 a互为相反向量.即 (a) a 注 2)任意向量与它的相反向量的和是零向量。
《平面向量及其线性运算》平面向量初步(向量的减法)
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05
向量减法的总结与回顾
本章重点回顾
向量的减法定义
向量减法定义为两个向量之差，用两个向量对应位置的差 值作为新向量的坐标。
向量减法的几何意义
向量减法在几何上表现为将第二个向量的起点平移到第一 个向量的终点，然后连接这两个点得到新的向量。
向量减法的性质
向量减法满足三角形法则，即两个向量的差等于第三个向 量，这个向量是前两个向量的端点与第二个向量的起点之 间的连线。
03
向量的减法应用
通过向量减法解决几何问题
描述几何图形的变化关系，如三角形、平行四边形等。
计算两点之间的距离，可以通过向量减法计算出两点的向量，再求模得到距离。
求两线段之间的夹角，可以通过向量减法计算出两个线段的向量，再求两个向量的 夹角。
通过向量减法解决物理问题
描述物体运动的方向和距离， 如物体的速度和加速度等。
《平面向量及其线性运算》平面向 量初步(向量的减法)
汇报人： 日期:
contents
目录
• 平面向量的基本概念 • 向量的减法 • 向量的减法应用 • 向量减法的例题与练习 • 向量减法的总结与回顾
01
平面向量的基本概念
向量的定义与表示
向量的定义
向量是一个既有大小又有方向的量，通常用一条有向线段表示，箭头所指的方 向表示向量的方向。
计算力的大小和方向，可以通 过向量减法计算出两个力的向 量，再求出合力的大小和方向 。
描述电磁场的方向和强度，可 以通过向量减法计算出两个场 的向量，再求出合成场的方向 和强度。
利用向量减法进行其他应用
在计算机图形学中，可以通过向量减 法计算出两条线段之间的向量，再利 用这个向量进行图形渲染。
第六章第1讲+平面向量的概念及线性运算课件-2025届高三数学一轮复习
相同
相反
2.向量的线性运算
向量运算
定义
法则（或几何意义）
运算律
加法
求两个向量和的运算
_
交换律： ______;结合律： ___________
向量运算
定义
法则（或几何意义）
运算律
减法
求两个向量差的运算
_
续表
向量运算
定义
法则（或几何意义）
运算律
数乘
求实数 与向量 的积的运算
【对点训练】
1.(2023·四川成都七中诊断)如图， 是圆 的一条直径， ， 为半圆弧的两个三等分点，则 ( )
A. B. C. D.
解析：选D.连接 （图略），因为 ， 是半圆弧的三等分点，所以 ，且 ，因此 .
√
2.在四边形 中，若 ，且 ，则四边形 为( )
×
（3）若向量 与向量 是共线向量,则 , , , 四点在一条直线上.( )
×
（4）当两个非零向量 , 共线时,一定有 ,反之成立.( )
√
2.(2022·新高考卷Ⅰ)在 中，点 在边 上， .记 , ，则 ( )
A. B. C. D.
√
A.平行四边形 B.菱形 C.矩形 D.梯形
解析：选C.因为 ，所以四边形 是平行四边形.又 ，所以平行四边形 的对角线相等，因此该四边形是矩形.故选C.
√
3.(2023·河南八市联考改编)在等腰梯形 中， ，点 是线段 的中点，若 ，则 _ _， __.
解析：取 的中点 ，连接 （图略），则由题意可得 ，且 .因为 ，所以 ， .
√
√
解析：选 选项，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等，但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点，所以A错误；B选项，因为 与 共线，且有公共点 ，所以 ， ， 三点在同一条直线上，所以B正确；C选项，当 且方向相反时，即使 ，也不能得到 ，所以 且 不是 的充要条件，而是必要不充分条件，所以C错误；D选项， ， ， ， 是不共线的点， ，即模相等且方向相同，即四边形ABCD对边平行且相等，反之也成立，所以D正确.
相反
2.向量的线性运算
向量运算
定义
法则（或几何意义）
运算律
加法
求两个向量和的运算
_
交换律： ______;结合律： ___________
向量运算
定义
法则（或几何意义）
运算律
减法
求两个向量差的运算
_
续表
向量运算
定义
法则（或几何意义）
运算律
数乘
求实数 与向量 的积的运算
【对点训练】
1.(2023·四川成都七中诊断)如图， 是圆 的一条直径， ， 为半圆弧的两个三等分点，则 ( )
A. B. C. D.
解析：选D.连接 （图略），因为 ， 是半圆弧的三等分点，所以 ，且 ，因此 .
√
2.在四边形 中，若 ，且 ，则四边形 为( )
×
（3）若向量 与向量 是共线向量,则 , , , 四点在一条直线上.( )
×
（4）当两个非零向量 , 共线时,一定有 ,反之成立.( )
√
2.(2022·新高考卷Ⅰ)在 中，点 在边 上， .记 , ，则 ( )
A. B. C. D.
√
A.平行四边形 B.菱形 C.矩形 D.梯形
解析：选C.因为 ，所以四边形 是平行四边形.又 ，所以平行四边形 的对角线相等，因此该四边形是矩形.故选C.
√
3.(2023·河南八市联考改编)在等腰梯形 中， ，点 是线段 的中点，若 ，则 _ _， __.
解析：取 的中点 ，连接 （图略），则由题意可得 ，且 .因为 ，所以 ， .
√
√
解析：选 选项，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等，但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点，所以A错误；B选项，因为 与 共线，且有公共点 ，所以 ， ， 三点在同一条直线上，所以B正确；C选项，当 且方向相反时，即使 ，也不能得到 ，所以 且 不是 的充要条件，而是必要不充分条件，所以C错误；D选项， ， ， ， 是不共线的点， ，即模相等且方向相同，即四边形ABCD对边平行且相等，反之也成立，所以D正确.
向量减法运算及其几何意义 课件
探究点一 向量的减法
思考1 a的相反向量是什么？－a的相反向量是什么？零向量的相 反向量是什么？ 答 与向量a长度相等且方向相反的向量称作是向量a的相反向量， 记作－a，并且有a＋(－a)＝0， －a的相反向量是a即－(－a)＝a. 规定：零向量的相反向量仍是零向量.
思考2 我们知道，在数的运算中，减去一个数等于加上这个数 的相反数，向量的减法是否也有类似的法则？如何理解向量的减 法呢？ 答 向量的减法也有类似法则，定义a－b＝a＋(－b)，即减去一 个向量相当于加上这个向量的相反向量. 思考3 向量a加上向量b的相反向量，叫做a与b的差向量，求两 个向量的差的运算叫做向量的减法，对于向量a，b, c，若a＋c＝b， 则c等于什么？ 答 a＋c＝b⇔c＝b－a.
则B→A＝a－b，D→C＝c－d.
反思与感悟 根据向量减法的三角形法则，需要选点平 移作出两个同起点的向量.
例2 化简下列式子：
(1)N→Q－P→Q－N→M－M→P；
→ → →→→→→ 解 (1)原式＝NP＋MN－MP＝NP＋PN＝NP－NP＝0.
(2)(A→B－C→D)－(A→C－B→D).
解 原式＝A→B－C→D－A→C＋B→D
O→A＝a，O→B＝b，则B→A＝a－b；
②当a与b同向且|a|≤|b|时，在给定的直线l上作出差向量a－b： O→A＝a，O→B＝b，则B→A＝a－b；
③若a与b反向，在给定的直线l上作出差向量a－b：
→
→
→
OA＝a，OB＝b，则BA＝a－b.
思考2 通过作图，探究|a－b|与|a|、|b|之间的大小关系？ 答 当a与b不共线时，有：||a|－|b||<|a－b|<|a|＋|b|； 当a与b同向且|a|≥|b|时，有：|a－b|＝|a|－|b|； 当a与b同向且|a|≤|b|时，有：|a－b|＝|b|－|a|.