平面向量的加减法 PPT
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平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示课件(共25张PPT)
∴ = (1,5)， = (4, −1)， = (−5, −4)，
∴ + = (1,5) + (4, −1) = (5,4)，
− = (−5, −4) − (1,5) = (−6, −9)．
（3）设向量,的坐标分别是(−1,2),(3, −5),则 + , − 的坐标分
（1）相等向量的坐标相同，且与向量的起点、终点无关．( √ )
（2）当向量的起点在坐标原点时，纵坐标为0，与轴平行的向量的横坐标为0.
(√ )
知识点二 平面向量加、减运算的坐标表示
设向量 = (1 , 1 )， = (2 , 2 )，则有下表：
A.(−2,4)
√
)
B.(4,6)
C.(−6, −2)
D.(−1,9)
[解析] 在平行四边形中，因为(1,2)，(3,5)，所以
= (2,3)，又 = (−1,2)，所以 = + = (1,5)，
= − = (−3, −1)，所以 + = (−2,4).故选A.
6.3 平面向量基本定理及坐标表示
6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示
【学习目标】
1.借助平面直角坐标系,理解平面向量坐标的概念,掌握平面向量
的正交分解及坐标表示.
2.掌握平面向量的坐标运算,会用坐标表示平面向量的加、减运算.
知识点一 平面向量的正交分解及坐标表示
互相垂直
1.正交分解：把一个向量分解为两个__________的向量,叫作把向量
作正交分解.
2.平面向量的坐标表示如图，在平面直角坐标系中,
设与轴、轴方向相同的两个单位向量分别为,,
∴ + = (1,5) + (4, −1) = (5,4)，
− = (−5, −4) − (1,5) = (−6, −9)．
（3）设向量,的坐标分别是(−1,2),(3, −5),则 + , − 的坐标分
（1）相等向量的坐标相同，且与向量的起点、终点无关．( √ )
（2）当向量的起点在坐标原点时，纵坐标为0，与轴平行的向量的横坐标为0.
(√ )
知识点二 平面向量加、减运算的坐标表示
设向量 = (1 , 1 )， = (2 , 2 )，则有下表：
A.(−2,4)
√
)
B.(4,6)
C.(−6, −2)
D.(−1,9)
[解析] 在平行四边形中，因为(1,2)，(3,5)，所以
= (2,3)，又 = (−1,2)，所以 = + = (1,5)，
= − = (−3, −1)，所以 + = (−2,4).故选A.
6.3 平面向量基本定理及坐标表示
6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示
【学习目标】
1.借助平面直角坐标系,理解平面向量坐标的概念,掌握平面向量
的正交分解及坐标表示.
2.掌握平面向量的坐标运算,会用坐标表示平面向量的加、减运算.
知识点一 平面向量的正交分解及坐标表示
互相垂直
1.正交分解：把一个向量分解为两个__________的向量,叫作把向量
作正交分解.
2.平面向量的坐标表示如图，在平面直角坐标系中,
设与轴、轴方向相同的两个单位向量分别为,,
第六章6.2.1向量的加法运算6.2.2向量的减法运算PPT课件(人教版)
图形
平 前提
已知不共线的两个向量 a，b
行
在平面内任取一点 O，以同一点 O 为起点的两个
四
作法 已知向量 a，b 为邻边作
OACB
法
边
则 形 结论 对角线―O→C 就是 a 与 b 的和
法 图形
则
规定 零向量与任一向量 a 的和都有 a＋0＝ 0＋a ＝ a .
2．向量加法的运算律
结合律 运算律
2 千米/
时.
【名师点拨】 物理学中的力、速度、加速度、位移等都是向量，它们的合成与分解 就是向量的加法与减法. ◆用向量知识研究物理问题的基本思路和方法 （1）通过抽象、概括，把物理现象转化为与之相关的向量问题； （2）利用向量知识获得向量问题的解； （3）利用这个结果对物理现象作出合理的解释. ◆用向量解决物理问题的一般步骤
2.解决向量加法运算时应关注两点 （1）可以利用向量的几何表示，画出图形进行化简或计算. （2）要灵活运用向量加法的运算律，注意各向量的起、终点及向量 起、终点字母的排列顺序，特别注意勿将0写成0.
训练题
1.［2019·济南历城区高一联考］已知平面四边形ABCD，则 AB +BC +CD
＝（ A ） A. AD B. BD C. AC D.0
◆向量减法运算的常用方法 （1）可以通过相反向量，把向量减法的运算转化为加法运算. （2）运用向量减法的三角形法则，此时要注意两个向量要有共同的 起点. （3）引入点O，逆用向量减法的三角形法则，将各向量起点统一为 O. 【提示】 对相反向量的理解 （1）两个非零向量a与b互为相反向量应具备两个条件： ①长度相等；②方向相反. 二者缺一不可. （2） AB 与 BA 互为相反向量，且 AB + BA ＝0.
平面向量的减法和数乘PPT课件
第2页/共19页
2.2.2 向量的减法运算及其几何意义
一、相反向量：
设向量 a ，我们把与 a 长度相同，方向相反
a 的向量叫做 a 的相反向量。 记作：
规定： 0的相反向量仍是 0。
（1） (a) a （2） a (a) 0 (a) a 0
（3）设 a , b 互为相反向量，那么
a b,b a, a b 0
(1)(3) 4a
12a
(2)3(a
b)
2(a
b)
a
5b
(3)(2a 3b c) (3a 2b c)
a 5b 2c
(4)(t1 t2 )(c b) (t1 t2 )(c b)
2t1b 2t2 c
第14页/共19页
定理 向量 b 与非零向量 a 共线
有且仅有一个实数 ，使得 b a．
ab ba (a b) c a (b c)
第1页/共19页
向量的减法运算及其几何意义
回顾： （1）你还能回想起实数的相反数是怎样定义的吗？
a a 实数 的相反数记作 。 ： 思考 （2）两个实数的减法运算可以看成加法运算吗？
如设 x, y R , x y x ( y)
如何定义向量的减法运算呢？
3
三点共线。
提示：设AB = a BC = b
则MN=
1
…=
6
a
+
1 3
b
MC= … = 1 a+ b
A
2
D
C
N
M
B
第16页/共19页
课堂小结：
向量的减法
一、定义（利用向量的加法定义）。 二、几何意义（起点相同，由减向量的终点
指向被减向量的终点）。
2.2.2 向量的减法运算及其几何意义
一、相反向量：
设向量 a ，我们把与 a 长度相同，方向相反
a 的向量叫做 a 的相反向量。 记作：
规定： 0的相反向量仍是 0。
（1） (a) a （2） a (a) 0 (a) a 0
（3）设 a , b 互为相反向量，那么
a b,b a, a b 0
(1)(3) 4a
12a
(2)3(a
b)
2(a
b)
a
5b
(3)(2a 3b c) (3a 2b c)
a 5b 2c
(4)(t1 t2 )(c b) (t1 t2 )(c b)
2t1b 2t2 c
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定理 向量 b 与非零向量 a 共线
有且仅有一个实数 ，使得 b a．
ab ba (a b) c a (b c)
第1页/共19页
向量的减法运算及其几何意义
回顾： （1）你还能回想起实数的相反数是怎样定义的吗？
a a 实数 的相反数记作 。 ： 思考 （2）两个实数的减法运算可以看成加法运算吗？
如设 x, y R , x y x ( y)
如何定义向量的减法运算呢？
3
三点共线。
提示：设AB = a BC = b
则MN=
1
…=
6
a
+
1 3
b
MC= … = 1 a+ b
A
2
D
C
N
M
B
第16页/共19页
课堂小结：
向量的减法
一、定义（利用向量的加法定义）。 二、几何意义（起点相同，由减向量的终点
指向被减向量的终点）。
6.3.3平面向量的加减运算的坐标表示课件共12张PPT
A O
C D
x
而 OD = OB + BD = (-1, 3) + (3, -1) = (2, 2)
所以顶点D的坐标为（2，2）
达标检测
1．点 A(1，－3)，A→B的坐标为(3，7)，则点 B 的坐标为( A )
A．(4，4)
B．(－2，4)
C．(2，10)
D．(－2，－10)
【解析】 设点 B 的坐标为(x，y)，由A→B＝(3，7)＝(x，y)－(1，
【解】 如图，正三角形 ABC 的边长为 2，
3．已知边长为 2 的正三角形 ABC，顶点 A 在坐标原点，AB 边在 x
轴上，C 在第一象限，D 为 AC 的中点，分别求向量A→B，A→C，B→C，B→D
的坐标.
则顶点 A(0，0)，B(2，0)，C(2cos 60°，2sin 60°)，
∴C(1，
(1, 2) = (3 - x, 4 - y)
y B
A O
C D
x
1= 3-x 2= 4-y
解得 x=2,y=2 所以顶点D的坐标为（2，2）
y B
解法2：由平行四边形法则可得
BD = BA + BC = (-2 - (-1),1 - 3) + (3 - (-1), 4 - 3) = (3, -1)
O
x
结论：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段 的终点的坐标减去起点的坐标.
例2：如图，已知平行四边形ABCD 的三个顶点A、B、C的坐标分别 是（-2，1）、（-1，3）、（3，4），试求顶点D的坐标.
解法１：设点D的坐标为（x,y）
AB = (-1, 3) - (-2,1) = (1, 2) DC = (3, 4) - (x, y) = (3 - x, 4 - y) 且AB = DC
6.2平面向量的运算课件共40张PPT
故选 B.
→
→
→
→
即时训练 3-2:在四边形 ABCD 中,=,若||=||,则四边形 ABCD 的
形状为
.
→
→
解析:由=,可得四边形 ABCD 为平行四边形,
→
→
由||=||,可得邻边相等,此平行四边形是菱形,
所以四边形 ABCD 为菱形.
答案:菱形
→
→
→
→
[备用例 3] 若 O 是△ABC 所在平面内一点,且满足|-|=|-+
探究点二
向量加法运算律的应用
[例 2] 化简:
→
→
(1)+;
→
→
→
→
→
解:(1)+=+=.
[例 2] 化简:
→
→
→
(2)++;
→
→
→
→
→
→
解:(2)++=++
→
→
→
=(+)+
→→Biblioteka =+=0.
[例 2] 化简:
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
解:(2)原式=--+=(-)+(-)=+=0.
→
→
→
[备用例 2] 化简:--.
→
→
→
→
→
→
解:法一 --=-=.
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
即时训练 3-2:在四边形 ABCD 中,=,若||=||,则四边形 ABCD 的
形状为
.
→
→
解析:由=,可得四边形 ABCD 为平行四边形,
→
→
由||=||,可得邻边相等,此平行四边形是菱形,
所以四边形 ABCD 为菱形.
答案:菱形
→
→
→
→
[备用例 3] 若 O 是△ABC 所在平面内一点,且满足|-|=|-+
探究点二
向量加法运算律的应用
[例 2] 化简:
→
→
(1)+;
→
→
→
→
→
解:(1)+=+=.
[例 2] 化简:
→
→
→
(2)++;
→
→
→
→
→
→
解:(2)++=++
→
→
→
=(+)+
→→Biblioteka =+=0.
[例 2] 化简:
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
解:(2)原式=--+=(-)+(-)=+=0.
→
→
→
[备用例 2] 化简:--.
→
→
→
→
→
→
解:法一 --=-=.
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
平面向量的加法减法运算PPT课件
ABCD
首
则
AC a b
首 相
C
连
第8页/共29页
练一练
a, b 如图,已知 用向量加法的平行四边形法则作出 ab
（1）
b
ab
首
ba
首 相
（2）
b
a
ab
连
a
第9页/共29页
回顾例1：平行四边形ABCD中，
AB AD AC
AD 问: 能否不移动向量 , 而移动向
量 ？结果是否和原来一样呢？
AB
。 a
说明：
① 规定 0 0
② 性质
a
a
a
a
a
a
0
第16页/共29页
2、向量的减法：
向量
a
与向量
b
的负向量的和定义为向量
a
b 与向量
的差，即
ab a b
求两个向量差的运算叫作向量的减法
第17页/共29页
a b 1、向量减法法则：已知向量 ， 不共线，求作
向量 ，使 c
a a a a
a
a bbbbb
B
A
C
a b AB AC CB
第21页/共29页
a b 例1 已知如图所示向量 、 ，请画出向量
a
b
O a
A
b a b
a b
B
第22页/共29页
例2 化简：
⑴ OD OA
⑵ AB AC BD DC
解： ⑴ OD OA AD
⑵ AB AC BD DC
的向量．
这种求不共线的两个向量和的方法叫做
首
向量加法的平行四边形法则
首 相
平面向量的加减法 ppt课件
数与向量的乘法运算叫做向量的数乘运算，容易验证，对于
任意向量a, b及任意实数、，向量数乘运算满足如下的法则：
向量加法及数乘运算
1 1 a在形a， 式上1与 a实数a的 有；关运算规 2 律的相去 a类括似号，、因移a此项 ，、实合数并a运同；算类中项
平行四边形法则不适用于共线向量，可以验证，向量的加法 具有以下的性质：
(1) a＋0 = 0＋a=a； a＋（− a）= 0； (2) a＋b = b＋a； (3) （a＋b）＋ c = a ＋（b＋c）．
ppt课件
11
探究一：当向量共线时，如何相加？
(1)同向
(2)反向
a
b
a
b
A
B
C
AC = a + b
B
CA
AC = a + b
规定：a 0 0 a a
ppt课件
12
探究二：向量的加法是否具备交换律和结合律？
• 数的加法满足交换律与结合律，即对任意a，b∈R， 有a+b=b+a， (a+b)+c=a+(b+c)
• 向量的加法具备吗？你能否画图解释？
向量加法满足交换律和结合律：
a b b a (a+b)+c a (b c)
• 橡皮条在力F1与F2的作用下，从E点伸长到了O点； 同时橡皮条在力F的作用下也从E点伸长到了O点.
• 问:合力F与力F1、F2有怎样的关系？
F1+F2=F
E
O
E
O
F
F
F是以F1与F2为邻边所形成的
平行四边形的对ppt课角件线
5
向量加法运算及其几何意义
任意向量a, b及任意实数、，向量数乘运算满足如下的法则：
向量加法及数乘运算
1 1 a在形a， 式上1与 a实数a的 有；关运算规 2 律的相去 a类括似号，、因移a此项 ，、实合数并a运同；算类中项
平行四边形法则不适用于共线向量，可以验证，向量的加法 具有以下的性质：
(1) a＋0 = 0＋a=a； a＋（− a）= 0； (2) a＋b = b＋a； (3) （a＋b）＋ c = a ＋（b＋c）．
ppt课件
11
探究一：当向量共线时，如何相加？
(1)同向
(2)反向
a
b
a
b
A
B
C
AC = a + b
B
CA
AC = a + b
规定：a 0 0 a a
ppt课件
12
探究二：向量的加法是否具备交换律和结合律？
• 数的加法满足交换律与结合律，即对任意a，b∈R， 有a+b=b+a， (a+b)+c=a+(b+c)
• 向量的加法具备吗？你能否画图解释？
向量加法满足交换律和结合律：
a b b a (a+b)+c a (b c)
• 橡皮条在力F1与F2的作用下，从E点伸长到了O点； 同时橡皮条在力F的作用下也从E点伸长到了O点.
• 问:合力F与力F1、F2有怎样的关系？
F1+F2=F
E
O
E
O
F
F
F是以F1与F2为邻边所形成的
平行四边形的对ppt课角件线
5
向量加法运算及其几何意义
平面向量加减法课件
在物理学中的应用
01
平面向量加减法在物理学中的性质和定理
02
向量的加法满足平行四边形定则
向量的减法满足三角形定则
03
在物理学中的应用
向量的数乘满足标量积定理
1
2
平面向量加减法在物理学中的实际应用
确定力的合成与分解
3
在物理学中的应用
计算物体的运动轨迹和速度
解决物理问题，如力学、电磁学等
05
平面向量加减法的练习 与巩固
平行法则适用于任何两个相同的向量 。通过将一个向量分解成两个相同的 子向量，可以找到原始向量的和。这 个法则也可以用于任何数量的相同向 量。
04
平面向量加减法的应用
解向量方程
求解向量方程的解 根据给定的向量方程，确定未知量
通过加减法运算，解出未知量的值
解向量方程
检验解的正确性，确 保解符合原始向量方 程
向量减法的几何意义
两个向量相减，得到的新的向量的方向和大小与原来的两个向量有关系。
02
平面向量加减法的运算 性质
向量的加法交换律
总结词
向量加法满足交换律
详细描述
设$\mathbf{a}$和$\mathbf{b}$是平面向量，则有$\mathbf{a} + \mathbf{b} = \mathbf{b} + \mathbf{a}$，即向量加法满足交换律。ຫໍສະໝຸດ 练习题一：判断题总结词
掌握平面向量加减法的基本概念
判断下列说法是否正确
向量a+向量b的和向量等于向量a与 向量b之和。（×）
判断下列说法是否正确
向量a与向量b的和向量等于向量a+ 向量b。（×）
判断下列说法是否正确
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[精解详析] 作 AB ＝υ 水，AD ＝υ 船，以 AB ，AD 为 邻边作▱ABCD，
则 AC＝υ 实际，如图 由题意可知∠CAB＝90°，在 Rt△ABC 中，
| AB |＝|υ 水|＝10 m/min，
| BC |＝| AD |＝|υ 船|＝20 m/min，
∴cos
∠ABC＝| |
AB BC
解：用 AB 表示向正东行驶 10 km 的位移， BC 表示沿北偏东 30°方向行驶了 15 km
的位移，则 AC 表示小船两次的合位移(如 图)．
例题讲解
[例 2] 化简或计算： (1) CD ＋ BC ＋ AB ； (2) AB ＋ DF ＋ CD ＋ BC ＋ FA .
[精解详析] (1) CD ＋ BC ＋ AB ＝( AB ＋ BC )＋ CD ＝ AC ＋ CD ＝ AD . (2) AB ＋ DF ＋ CD ＋ BC ＋ FA ＝( AB ＋ BC )＋( CD ＋ DF )＋ FA ＝ AC ＋ CF ＋ FA ＝ AF ＋ FA ＝0.
深化理解
1．对两种求向量和的方法的理解． (1)两个法则的使用条件不同． 三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法 则只适用于两个不共线的向量求和． (2)当两个向量不共线时，两个法则是一致的． 如图所示： AC = AB ＋ AD （平行四边形法则，
AC ＝ AB ＋ BC (三角形法则)．
||＝1200＝12，
∴∠ABC＝60°，从而船与水流方向成 120°的角．
故船行进的方向与水流的方向成 120°的角．
跟踪练习
1．一艘船以 8 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，由于水 流的原因，船的实际航行速度的大小为 4 5 km/h，则水流 速度的大小为________．
解析：由题意可知，水流速度的大小为 4 52－82＝ 4 (km/h)．
例题讲解
[例1] 如图所示， 已知向量a，b，c试作出向量a＋b＋c. [精解详析] 法一：如图 1 所示， 首先在平面内任取一点 O，作向量 OA ＝ a，再作向量 AB ＝b，则得向量 OB ＝a＋b； 然后作向量 BC ＝c，则向量 OC ＝(a＋b)＋c ＝a＋b＋c 即为所求．
法二：如图 2 所示，首先在平面内任取一点 O，作向量 OA ＝a， OB ＝b，OC ＝c，以 OA、OB 为邻边作▱OADB，连接 OD，则 OD ＝ OA ＋ OB ＝a＋b.
答案：4 km/h
2．如图，一架飞机从 A 地按北偏西 30°的方向飞行 300 km 后 到达 B 地， 然后向 C 地飞行．已知 C 地在 A 地北偏 东 60°的方向处，且 A，C 两地相距 300 km，求飞机从 B 地向 C 地飞行的方 向及 B、C 两地的距离．
(3)在使用三角形法则时，应注意“首尾连接”；在使用平 行四边形法则时应注意两向量起点相同．
(4)三角形法则可以推广为多边形法则，即对于几个向量， 有 A0 A1 A1A2 A2 A3 An1An A0 An ，这可以称为向量加法 的多边形法则．
2．在向量加法的三角形法则中，可得a|＋|b|≥|a＋b|.其 中，“＝”在有一者为零向量或两个向量共线且方向相同时取 得．
平面向量的加减法
2.2.1 平面向量的加法
新课讲解 问题1：向量能进行运算吗？请举例说明． 提示：能，如力的合成． 问题2：如果两个力F1，F2作用于同一个物体上， 当物体静止时，说明了什么？ 提示：F1＋F2＝0.
问题3：做斜上抛运动的物体在水平方向上有速度 吗？在竖直方向上有速度吗？
提示：有． 问题4：在问题3中，物体为什么没沿水平或垂直方 向运动？
提示：力的合力不在这两个方向上．
一、向量加法的定义和法则 1．向量加法的定义 求 两个向量和的运算，叫做向量的加法． 2．求向量和的方法
(1)三角形法则： 已知非零向量a、b，在平面上任取一点A，
作 AB ＝a， BC ＝b，则向量 AC 叫做a与 b的和或和向量，记作a＋b，即a＋b＝ AB ＋ BC ＝ AC .上述求两个向量和的方法，称为向量加法的三角 形法则．
再以 OD、OC 为邻边作▱ODEC，连接 OE，则 OE ＝ OD ＋ OC ＝a＋b＋c 即为所 求．
跟踪练习
1．如图，已知平行向量 a、b，求作 a＋b.
解：作 OA ＝a，AB ＝b，则 OB ＝a＋b 就是求作的向量．
2．小船向正东方向行驶了 10 km，又沿北偏东 30°方向行驶 了 15 km，作出小船两次的合位移．
解：1 PB ＋ OP ＋ OB ＝( OP ＋ PB )＋ OB ＝ OB ＋ BO ＝0. 2 AB ＋ MB ＋ BO ＋ OM ＝ AB ＋ BO ＋ OM ＋ MB ＝ AO ＋ OB ＝ AB .
例题讲解
[例 3] 船在静水中的速度为 20 m/min，水流的速度为 10 m/min，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船 行进的方向．
问题1：数的加法满足交换律和结合律，向量的加法 是否也满足交换律和结合律？
提示：满足． 问题2：你能验证向量也满足结合律吗？
提示：如图，a＋b＋c＝(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
大家应该也有点累了，稍作休息
大家有疑问的，可以询问和交流
(1)向量加法的交换律：a＋b＝ b＋a ； (2)向量加法的结合律：(a＋b)＋c＝ a＋(b＋c.)
跟踪练习
1．正方形 ABCD 的边长为 1，则| AB ＋ AD |为
A．1
B. 2
C．3
D．2 2
解析：正方形 ABCD 中， AB ＋ AD ＝ AC
∴| AB ＋ AD |＝| AC |＝ 2.
答案：B
()
2．化简下列各式： (1) PB + OP ＋ OB 2 AB ＋ MB ＋ BO ＋ OM
(2)平行四边形法则： 已知两个不共线向量a，b，作 OA ＝a OB ＝b，以a，b为邻边作▱OACB，则以O为 起点 的对角线 OC 就是a与b的和，如图．这种作两个向量 和的方法叫做向量加法的平行四边形法则． 对于零向量与任一向量a，规定：a＋0＝ 0 ＋ a ＝a .
二、向量加法的运算律