平面向量的减法课件
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平面向量的减法法则课件
学生常见问题及解答
问题1
如何理解向量减法的三角形法则？
解答
如何应用数乘分配律进行向量减法？
问题2
三角形法则可以理解为将第二个向量平移到 第一个向量的起点，然后连接第一个向量的 起点和终点，得到的结果就是两个向量的差。 这个法则可以帮助我们直观地理解向量减法 的几何意义，并且可以方便地计算两个向量 的差。
解析例题二
总结词
掌握向量减法的实际应用详细来自述例题二通过解决实际问题，展示了向量减法的实际应用。通过计算两个向量的差，可以确定一个物体 相对于另一个物体的位置和方向。这种计算在物理学、工程学和实际生活中都有广泛的应用。
解析例题三
总结词
掌握向量减法与其他数学知识的结合
详细描述
例题三将向量减法与三角函数、几何 等知识进行了结合，通过具体的例题， 展示了向量减法在实际解题中的应用。 这种结合有助于解决更复杂的问题， 提高数学素养。
向量场的应用
向量场是一种用向量表示物理现象的方法，它可以用于计算机图形学中的很多应 用，例如流体动力学模拟、电磁场模拟等。
04
平面向量减法的例题解析
解析例题一
总结词
熟练掌握平面向量的减法法则
详细描述
例题一通过具体向量减法的运算，展示了平面向量减法的基本步骤和注意事项。首先，需要将两个向量用坐标形 式表示出来，然后，对应坐标相减即可得到结果。注意，向量减法的结果是一个新的向量，其方向与被减向量相 反，而长度等于两个向量的长度之差。
05
平面向量减法法则的总结与回顾
重点回 顾
向量的减法定义
向量减去另一个向量等于向量加上这 个向量的相反向量。
向量减法的运算律
减法满足反交换律、结合律、分配律。
平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示课件(共25张PPT)
∴ = (1,5)， = (4, −1)， = (−5, −4)，
∴ + = (1,5) + (4, −1) = (5,4)，
− = (−5, −4) − (1,5) = (−6, −9)．
（3）设向量,的坐标分别是(−1,2),(3, −5),则 + , − 的坐标分
（1）相等向量的坐标相同，且与向量的起点、终点无关．( √ )
（2）当向量的起点在坐标原点时，纵坐标为0，与轴平行的向量的横坐标为0.
(√ )
知识点二 平面向量加、减运算的坐标表示
设向量 = (1 , 1 )， = (2 , 2 )，则有下表：
A.(−2,4)
√
)
B.(4,6)
C.(−6, −2)
D.(−1,9)
[解析] 在平行四边形中，因为(1,2)，(3,5)，所以
= (2,3)，又 = (−1,2)，所以 = + = (1,5)，
= − = (−3, −1)，所以 + = (−2,4).故选A.
6.3 平面向量基本定理及坐标表示
6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示
【学习目标】
1.借助平面直角坐标系,理解平面向量坐标的概念,掌握平面向量
的正交分解及坐标表示.
2.掌握平面向量的坐标运算,会用坐标表示平面向量的加、减运算.
知识点一 平面向量的正交分解及坐标表示
互相垂直
1.正交分解：把一个向量分解为两个__________的向量,叫作把向量
作正交分解.
2.平面向量的坐标表示如图，在平面直角坐标系中,
设与轴、轴方向相同的两个单位向量分别为,,
∴ + = (1,5) + (4, −1) = (5,4)，
− = (−5, −4) − (1,5) = (−6, −9)．
（3）设向量,的坐标分别是(−1,2),(3, −5),则 + , − 的坐标分
（1）相等向量的坐标相同，且与向量的起点、终点无关．( √ )
（2）当向量的起点在坐标原点时，纵坐标为0，与轴平行的向量的横坐标为0.
(√ )
知识点二 平面向量加、减运算的坐标表示
设向量 = (1 , 1 )， = (2 , 2 )，则有下表：
A.(−2,4)
√
)
B.(4,6)
C.(−6, −2)
D.(−1,9)
[解析] 在平行四边形中，因为(1,2)，(3,5)，所以
= (2,3)，又 = (−1,2)，所以 = + = (1,5)，
= − = (−3, −1)，所以 + = (−2,4).故选A.
6.3 平面向量基本定理及坐标表示
6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示
【学习目标】
1.借助平面直角坐标系,理解平面向量坐标的概念,掌握平面向量
的正交分解及坐标表示.
2.掌握平面向量的坐标运算,会用坐标表示平面向量的加、减运算.
知识点一 平面向量的正交分解及坐标表示
互相垂直
1.正交分解：把一个向量分解为两个__________的向量,叫作把向量
作正交分解.
2.平面向量的坐标表示如图，在平面直角坐标系中,
设与轴、轴方向相同的两个单位向量分别为,,
平面向量的加减法
，b＝ ，仍是零向量
a
(－a)＋a
－b
－a
0
向量减法的定义和法则
问题1：两个相反数的和为零，那么两个相反向量的和也为零吗？ 提示：是零向量． 问题2：根据向量加法，如何求作a－b? 提示：①先作出－b；②再按三角形或平行四边形法则进行．
向量的减法
(1)定义：a－b＝a＋ (－b) ，即减去一个向
量相当于加上这个向量的 相反向量
．
(2)几何意义：以O为起点，作向量 OA ＝
a， OB ＝b，则 BA ＝a－b，如图所示，即a－b可表示从
向量b的终点
指向 向量a的终点
的向量．
深化理解
1．向量的减法运算与向量的加法运算是互逆运算， 可以相互转化，减去一个向量等于加上这个向量的相反 向量．
2．两个向量的差也可用平行四边形法则及三角形法 则求得：用平行四边形法则时，两个向量也是共起点，
跟踪练习
1．在平行四边形ABCD中， AB ＋ CB － DC ＝
A． BC
B． AC
C． DA
D． BD
解析：如图∵ CB ＝ DA ， ∴ AB ＋ CB － DC ＝ AB ＋ DA － DC ＝ AB ＋ CA ＝ CA ＋ AB ＝ CB ＝ DA .
答案：C
()
2．如图，在四边形 ABCD 中，根据图示填空： a＋b＝____，b＋c＝____，c－d＝____， a＋b＋c－d＝____.
答案：4 km/h
2．如图，一架飞机从 A 地按北偏西 30°的方向飞行 300 km 后 到达 B 地， 然后向 C 地飞行．已知 C 地在 A 地北偏 东 60°的方向处，且 A，C 两地相距 300 km，求飞机从 B 地向 C 地飞行的方 向及 B、C 两地的距离．
2.2 平面向量的减法
B C
A
C
B
A
习题 2.2 A组
第 4、6、7、8、11 题. B组
第 5 题.
4. 化简: 习题: (习题2.2) A 组
(1)AB BC CA;
(2) (AB MB) BOOM;
(3) OAOC BOCO; (4) AB- AC BD-CD;
(5) OA-OD AD;
① a 与-a互为相反向量.
② 零向量的相反向量仍是零向量.
③ 任上一a图向(中量-a的与)=它a0.相b反=0向. 量的和是零向量, 即:
问题1. 向量AB与向量BA有什么关系? 能化简
AB BC - DC - ED EF 吗?
答: 向量 AB 与向量 BA是互为相反向量, 即 AB = -BA.
2.2.2 向量减法运算 及其几何意义
返回目录
1. 什么是相反向量? 2. 向量加法与向量减法有什么关系? 3. 怎样作向量的减法? 两个非零向量的差向 量是怎样的一个向量?
(一) 相反向量
定义: 与向量 a 长度相等, 方向相反的向量, 叫做 a 的相反向量, 记作 -a.
如图:
a
b
-a
b = -a, a = -b, |a| = |b|.
= CΒ BC =0.
4. 化简: 习题: (习题2.2) A 组
(1)AB BC CA;
(2) (AB MB) BOOM;
(3) OAOC BOCO; (4) AB- AC BD-CD;
(5) OA-OD AD;
(6) AB- AD- DC;
(7) NQ QP MN - MP.
-
b
-a
-b-=a--ab
【课件】向量的加法运算 向量的减法运算课件高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
第六章 平面向量及其应用
6.2.1 向量的加法运算 6.2.2 向量的减法运算
教学目标
借助实例和平面向量的几何意义，掌握平面向量
1
的加法、减法运算及其运算规律.
2 理解平面向量的加法、减法运算的几何意义.
（1）向量的加法：求两个向量和的运算， 叫做向量的加法.
对于零向量与任意向量a ，规定a+0 0 a a .
本节课学习了平面向量的加法、减 法运算.
解析：由题意和图形可知 BAC 90 ，因为| AB | 300 ，| BC | 300 2 ，
所以| AC | 300 ，因为 ABC 45 ，A 地在 B 地南偏东 30°的方向处. 所以 C 地在 B 地南偏东 75°的方向处. 故飞机从 B 地向 C 地飞行的方向为南偏东 75°.
9.化简下列各式： （1） ( AB MB) (OB MO) . （2） AB AD DC .
B a-b
b Oa A
例 1 长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运 输.如图，一艘船从长江南岸 A 地出发，垂直于对岸航行， 航行速度的大小为 15 km/h，同时江水的速度为向东 6 km/h. （1）用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度； （2）求船实际航行的速度的大小（结果保留小数点后一位）与方向（用与江水速度 间的夹角表示，精确到 1°）.
（2）向量加法的三角形法则：已知非零向量a，b ，在平面内
任取一点 A ，作 AB a ， BC b ，则向量 AC 叫做a 与b 的和，
记作 a b ，即 a b AB BC AC .如图.
C
b a+b
Aa
B
（3）向量加法的平行四边形法则：已知两个不共线向量a，b ， 作 AB a ， AD b ，以 AB ， AD 为邻边作 ABCD ，则对角线 上的向量 AC a b .如图.
6.2.1 向量的加法运算 6.2.2 向量的减法运算
教学目标
借助实例和平面向量的几何意义，掌握平面向量
1
的加法、减法运算及其运算规律.
2 理解平面向量的加法、减法运算的几何意义.
（1）向量的加法：求两个向量和的运算， 叫做向量的加法.
对于零向量与任意向量a ，规定a+0 0 a a .
本节课学习了平面向量的加法、减 法运算.
解析：由题意和图形可知 BAC 90 ，因为| AB | 300 ，| BC | 300 2 ，
所以| AC | 300 ，因为 ABC 45 ，A 地在 B 地南偏东 30°的方向处. 所以 C 地在 B 地南偏东 75°的方向处. 故飞机从 B 地向 C 地飞行的方向为南偏东 75°.
9.化简下列各式： （1） ( AB MB) (OB MO) . （2） AB AD DC .
B a-b
b Oa A
例 1 长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运 输.如图，一艘船从长江南岸 A 地出发，垂直于对岸航行， 航行速度的大小为 15 km/h，同时江水的速度为向东 6 km/h. （1）用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度； （2）求船实际航行的速度的大小（结果保留小数点后一位）与方向（用与江水速度 间的夹角表示，精确到 1°）.
（2）向量加法的三角形法则：已知非零向量a，b ，在平面内
任取一点 A ，作 AB a ， BC b ，则向量 AC 叫做a 与b 的和，
记作 a b ，即 a b AB BC AC .如图.
C
b a+b
Aa
B
（3）向量加法的平行四边形法则：已知两个不共线向量a，b ， 作 AB a ， AD b ，以 AB ， AD 为邻边作 ABCD ，则对角线 上的向量 AC a b .如图.
第六章 平面向量初步6.1.3向量的减法 (课件)
【解析】如图，令 OA =a，OB =b，则| BA|=|a-b|。以OA与
OB为邻边作平行四边形OACB，则| OC |=|a+b|。由于
（
7+1）2+（
7 -1）2=42。 故
2
2
2
OA OB ＝ BA
，所以
△OAB是∠AOB为90°的直角三角形，从而OA⊥OB，所
以平行四边形OACB是矩形。根据矩形的对角线相等有
【素养小测】 1.思维辨析（对的打“√”，错的打“×”） （1）两向量首尾相连，和向量由第一个向量的始点指 向第二个向量的终点。（ ） （2）向量a-b当它们起点重合时可以看作从向量b的终 点指向向量a的终点的向量。（ ）
（3）相反向量不一定是平行向量，平行向量一定是相反 向量。（ ） （4）向量 AB 与向量 BA 是相反向量。（ ）
【解析】由 BC＝BA AC 及三角不等式，得 BA － AC BA AC BA AC ，又因为 BA ＝ AB =8，所以3≤| BC|= | BC |≤13，即| BA AC |∈[3，13]。 答案：[3，13]
【习练·破】 化简下列各式：
1 AB MB OB MO .?
其中结果为零向量的个数是（ ）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
2.（2019·临沂高一检测）设点M是线段BC的中点，点A在
直线BC外， BC 2＝16，AB AC ＝| AB－AC |则，| AM |=（ ）
A.8
B.4
C.2
D.1
【思维·引】利用三角形法则或平行四边形法则求解。
【解析】1.选D。① AB BC CA AC CA =0；② AB AC BD CD CB BD CD CD CD=0；③ OA OD AD DA AD=0；④ NO OP MN MP NP PN=0。 2.选C。由 AB AC AB AC 可知， AB与AC 垂直，故 △ABC为直角三角形，| AM |即斜边BC的中线，所以 | AM|=2。
平面向量的加减法
[精解详析] 因为 a＋b＝ BA ，c－d＝ DC ， 所以 a＝ OA ，b＝ BO ，c＝ OC ，d＝ OD ；如图所示，作 平行四边形 OBEC，平行四边形 ODFA，根据平行四边形法则 可得：b－c＝ EO ，a＋d＝ OF .
跟踪练习
1．如图，已知正方形 ABCD 的边长等于 1，
An1 An A0 An ，这可以称为向量加法
例题讲解
[例1] 如图所示，
已知向量a，b，c试作出向量a＋b＋c.
[精解详析] 法一：如图 1 所示， 首先在平面内任取一点 O，作向量 OA ＝ a，再作向量 AB ＝b，则得向量 OB ＝a＋b； 然后作向量 BC ＝ c，则向量 OC ＝ (a＋ b)＋ c ＝a＋b＋c 即为所求．
AB ＝a， BC ＝b， AC ＝c，试作以下
向量并分别求模． (1)a＋b＋c； (2)a－b＋c.
解：(1)如图，由已知得：a＋b＝ AB ＋ BC ＝ AC ，又 AC ＝c， 延长AC到E， 使| CE |＝| AC |. 则a＋b＋c＝ AE ，且| AE |＝2 2. (2)作 BF ＝ AC ，连接CF， 则D、C、F共线， 则 DB ＋ BF ＝ DF ， 而 DB ＝ AB － AD ＝a－ BC ＝a－b， ∴a－b＋c＝ DB ＋ BF ＝ DF 且| DF |＝2.
例题讲解
[例 2] 化简或计算：
(1) CD ＋ BC ＋ AB ； (2) AB ＋ DF ＋ CD ＋ BC ＋ FA .
[精解详析] (1) CD ＋ BC ＋ AB ＝( AB ＋ BC )＋ CD ＝ AC ＋ CD ＝ AD . (2) AB ＋ DF ＋ CD ＋ BC ＋ FA ＝( AB ＋ BC )＋( CD ＋ DF )＋ FA ＝ AC ＋ CF ＋ FA ＝ AF ＋ FA ＝0.
平面向量从位移的合成到向量的加法向量的减法课件
2023-11-01•位移的合成•向量的加法•向量的减法•平面向量的基本定理•平面向量的坐标表示目录01位移的合成位移的概念与性质位移是指从初始位置到末位置的向量，它描述了一个物体在空间中移动的位置变化。
位移的定义位移的矢量性位移的方向位移的大小位移是一个矢量，具有大小和方向两个属性。
位移的方向与移动的方向一致。
位移的大小等于物体移动的直线距离。
同向位移可以直接相加，即向量加法。
位移的合成规则同向位移合成反向位移可以相互抵消，即向量减法。
反向位移合成通过三角形法则或平行四边形法则进行合成。
任意角度位移合成位移合成在物理中的应用力的合成在动力学中，多个力的合成可以用位移的合成来进行类比和理解。
电场和磁场中粒子的运动在电场和磁场中，粒子的运动可以用位移的合成来进行分析和计算。
质点运动的合成在物理学中，位移的合成可以帮助我们分析质点的运动情况。
02向量的加法总结词平面向量，加法，减法，几何意义详细描述平面向量是具有方向和大小的量，可以用几何图形表示，向量的加法与减法是通过位移合成与三角形法则实现的，具有其独特的几何意义。
向量的定义与性质平行四边形法则，三角形法则总结词平面向量的加法运算规则有两种，分别是平行四边形法则和三角形法则。
平行四边形法则是将两个向量首尾相连，以这两个向量为邻边作一个平行四边形，其共同起点与终点的对角线的向量就是这两个向量的和；三角形法则则是将两个向量首尾相连，以这两个向量为边作一个三角形，从第一个向量的起点到第二个向量的终点的向量就是这两个向量的和。
详细描述向量的加法运算规则总结词位移合成，向量加法的直观意义详细描述在几何中，平面向量的加法可以用于表示物体的位移合成。
比如在一个封闭的图形中，所有向量的和可以表示为这个图形的位移合成。
此外，平面向量的加法还可以用于直观地理解向量的性质，比如平行四边形法则和三角形法则。
向量加法在几何中的应用03向量的减法向量减法运算可以通过将两个向量的起点重合，然后从第二个向量的终点指向第一个向量的终点的向量来定义。
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2、向量的减法：
向量a与向量b的负向量的和定义为向量 a
与向量 b的差，即
a
b
a
b
求两个向量差的运算叫作向量的减法
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1、向量减法法则：已知向量 a，b不共线，求作
向量作OOAA法c，：O使a在B，平cOB面Oa内Ab任b，取则O一B点O，作bbbObabbaaaBa
b（如下图），请分别画出
a
b
和
b
a
b
a
b
a
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3、动脑思考
若 a、b共线时，怎样作 a
b
？
① 共线同向
a
b b
a
aara
br
b
b
AC
B
a
b
AB
Hale Waihona Puke ACCB② 共线反向
a a a a
a
r a
bbbbrb
CD DC CC 0
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1、已知
a、b
，求作
a
b
b
b
a
b
a
a
b
a
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2、快速抢答：
AB AD __D_B___
OB OC DB _C__D__
BA BC ___C_A__
OA OC BO CO __B_A__
OAOB __B_A__
AB AC BD DC __0___
NQ QP MN MP __0___ AB BC DC DA __0___
AB BC AD DB _B_C___ MD MN MP DP _M__N__
AM AN MGGE _N__E__ ABCD AC BD __0____
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备选题：
如图所示，在平行四边形ABCD中，设
AB
a，AD
b，试用
a，b表示向量
AC
、
BD、DB。
D
C
b
A
a B
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1、向量减法的定义及其几何意义 2、正确熟练地掌握向量减法法则：
共起点、连终点、指向被减
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习题7.1A组3 课课达标P63解答题1
a
A
b
OA BO BO OA BA
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向量减法法则
OA OB BA
O
a
A
b
a
b
B
归纳概括： ⑴ 将两向量移到共同起点
⑵ 连接两向量的终点,
⑶ 方向指向被减向量
同起点，连终点，指向被减
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2、小试牛刀
已知向量
a 和
B
a
b
AB
A
AC
C
CB
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例1
已知如图所示向量
a
、b，请画出向量
a
b
a
b
a O
A
b
a
b
B
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例2 化简： ⑴ OD OA
⑵ AB AC BD DC
解：⑴ OD OA AD ⑵ AB AC BD DC CB BD DC
慈溪市周巷职业高级中学 王亚萍
热身运动：拔河
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1、负向量： 与非零向量 a长度相等，且方向相
反的向量叫做向量 a的负向量，记作 a。
说明： ① 规定 0 0
② 性质 a a
a
a
a
a
0
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2、向量的减法：
向量a与向量b的负向量的和定义为向量 a
与向量 b的差，即
a
b
a
b
求两个向量差的运算叫作向量的减法
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1、向量减法法则：已知向量 a，b不共线，求作
向量作OOAA法c，：O使a在B，平cOB面Oa内Ab任b，取则O一B点O，作bbbObabbaaaBa
b（如下图），请分别画出
a
b
和
b
a
b
a
b
a
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3、动脑思考
若 a、b共线时，怎样作 a
b
？
① 共线同向
a
b b
a
aara
br
b
b
AC
B
a
b
AB
Hale Waihona Puke ACCB② 共线反向
a a a a
a
r a
bbbbrb
CD DC CC 0
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1、已知
a、b
，求作
a
b
b
b
a
b
a
a
b
a
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2、快速抢答：
AB AD __D_B___
OB OC DB _C__D__
BA BC ___C_A__
OA OC BO CO __B_A__
OAOB __B_A__
AB AC BD DC __0___
NQ QP MN MP __0___ AB BC DC DA __0___
AB BC AD DB _B_C___ MD MN MP DP _M__N__
AM AN MGGE _N__E__ ABCD AC BD __0____
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备选题：
如图所示，在平行四边形ABCD中，设
AB
a，AD
b，试用
a，b表示向量
AC
、
BD、DB。
D
C
b
A
a B
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1、向量减法的定义及其几何意义 2、正确熟练地掌握向量减法法则：
共起点、连终点、指向被减
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习题7.1A组3 课课达标P63解答题1
a
A
b
OA BO BO OA BA
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向量减法法则
OA OB BA
O
a
A
b
a
b
B
归纳概括： ⑴ 将两向量移到共同起点
⑵ 连接两向量的终点,
⑶ 方向指向被减向量
同起点，连终点，指向被减
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2、小试牛刀
已知向量
a 和
B
a
b
AB
A
AC
C
CB
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例1
已知如图所示向量
a
、b，请画出向量
a
b
a
b
a O
A
b
a
b
B
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例2 化简： ⑴ OD OA
⑵ AB AC BD DC
解：⑴ OD OA AD ⑵ AB AC BD DC CB BD DC
慈溪市周巷职业高级中学 王亚萍
热身运动：拔河
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1、负向量： 与非零向量 a长度相等，且方向相
反的向量叫做向量 a的负向量，记作 a。
说明： ① 规定 0 0
② 性质 a a
a
a
a
a
0
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