向量的加减法运算PPT
合集下载
2.2.1～2.2.2 向量加法运算及其几何意义 向量减法运算及其几何意义 课件(人教A必修4)
1．向量加法的定义 求两个向量 和的运算 ，叫做向量的加法． 2．向量加法的运算法则
已知非零向量 a、 在平面上任取一点 A， AB b， 作
向量 求和 的法 则
＝a， BC ＝b，则向量 AC 叫做 a 与 b 的和，记 三角 作 a＋b ，即 a＋b＝ AB ＋ BC ＝ AC . 形法 这种求两个向量和的方法，称为 则 向量加法的 三角形 法则． 对于零向量与任一向量 a 的和有 a＋0＝ 0＋a ＝ a
(2)作
BF ＝ AC ，则四边形 ABFC 为平行四边形，
∴CF 綊 AB，又 DC∥AB，
∴D，C，F 三点共线，且| DF |＝2| AB |＝2， ∴a－b＋c＝ AB － AD ＋ BF ＝ DB ＋ BF ＝ DF ， 且|a－b＋c|＝| DF |＝2.
| | 10 1 CD ∴cos α＝ ＝ ＝ ，
| AD | 20 2
∴α＝60° ，从而船与水流方向成 120° 的角． 故船行进的方向是与水流的方向成 120° 的角的方向．
[悟一法] 求解应用题时应先根据已知条件建立数学模型，转 化为数学问题求解．本题实际是向量在物理上的一个简单 应用．先根据三个已知速度(即已知向量)之间的关系，判 断ABCD为平行四边形．因为要求方向，所以要转化为平
向 量 求 和 的 法 则
平 行 四 边 形 法 则
以同一点 O 为起点的两个已知向量 a、b 为邻边作▱OACB，则 以O为起
点的对角线 OC 就是 a 与 b 的和．这种作两个向量 和的方法叫做两个向量加法的 平行四边形法则
已知非零向量 a、 在平面上任取一点 A， AB b， 作
向量 求和 的法 则
＝a， BC ＝b，则向量 AC 叫做 a 与 b 的和，记 三角 作 a＋b ，即 a＋b＝ AB ＋ BC ＝ AC . 形法 这种求两个向量和的方法，称为 则 向量加法的 三角形 法则． 对于零向量与任一向量 a 的和有 a＋0＝ 0＋a ＝ a
(2)作
BF ＝ AC ，则四边形 ABFC 为平行四边形，
∴CF 綊 AB，又 DC∥AB，
∴D，C，F 三点共线，且| DF |＝2| AB |＝2， ∴a－b＋c＝ AB － AD ＋ BF ＝ DB ＋ BF ＝ DF ， 且|a－b＋c|＝| DF |＝2.
| | 10 1 CD ∴cos α＝ ＝ ＝ ，
| AD | 20 2
∴α＝60° ，从而船与水流方向成 120° 的角． 故船行进的方向是与水流的方向成 120° 的角的方向．
[悟一法] 求解应用题时应先根据已知条件建立数学模型，转 化为数学问题求解．本题实际是向量在物理上的一个简单 应用．先根据三个已知速度(即已知向量)之间的关系，判 断ABCD为平行四边形．因为要求方向，所以要转化为平
向 量 求 和 的 法 则
平 行 四 边 形 法 则
以同一点 O 为起点的两个已知向量 a、b 为邻边作▱OACB，则 以O为起
点的对角线 OC 就是 a 与 b 的和．这种作两个向量 和的方法叫做两个向量加法的 平行四边形法则
《空间向量的加减法与数乘运算》
②结合律：（a+b）+c=a+（b+c）.
2.空间向量的数乘运算
（1）数乘运算法则与平面向量类似，实数 与空间向量a的乘积仍然是一个向量，记作
a.求实数与空间向量的乘积的运算称为空间向量的数乘运算，向量a的长度和方向满足：
① | a || || a |
②当 >0时，向量 a与向量a方向相同；当 <0时，向量a与向量a方向相反；当
（1）. AB AD AA'
（2）.DD AB BC （3）. AB AD 1 (DD' BC)
2
解 （1）. AB AD AA AC AA AC CC AC
（2）. DD AB BC BB BA
（3）设点M为CB'的中点，则AB
AC 1 CB AM
ADBC1(DBAD
设计意图
师生互动，通过教师讲解、学生板演等方式研究例题，突破重难点，提升学生的直观想 象、数学运算及逻辑推理核心素养.
学而优 · 教有方
归纳小结
教学内容
1.基本知识 （1）空间向量的加减法运算法则； （2）加法运算律； （3）空间向量的数乘运算及其运算律； （4）共线向量基本定理. 2.数学核心素养 （1）直观想象； （2）数学运算； （3）逻辑推理.
学而优 · 教有方
高中数学 GAOZHONGSHUXUE
归纳小结
师生互动
教师引导学生分组回答，小组评价.
设计意图
培养学生的概括总结能力.
高中数学 GAOZHONGSHUXUE
学而优 · 教有方
布置作业
教学内容
教材第100页练习第1，2题.
师生互动
学生独立完成，教师批改.
向量的概念及其加减法运算
问题：位移和那些因素有关？如何确定位移？
A
B
位移的概念
课前预习
一、向量的概念
既有大小又有方向的量叫向量 注意： 向量的两要素：大小和方向 请说出下列一些量那些是数量那些是向量? 距离、位移、身高、力、质量、时间、速度、加速度、面积、电场强度、温度.
自由向量 有些向量不仅有大小方向，还有作用点， 例如力； 有些向量只有大小和方向，而无特定的位置， 例如位移、速度等。 通常后一类向量叫做自由向量。 以后我们学习的向量，无特别指明，指的都是 自由向量。 向量能否比较大小？
向量减法的定义：
01
向量a加上b相反向量，叫做a与b的差.
02
即：a b = a + (b)
03
求两个向量差的运算叫做向量的减法
D
C
如图，已知a、b，求作a-b。
例5
(1)
a
b
(2)
a
b
a
b
(3)
a
b
(4)
2、已知a、b是任意两个向量,下列条件: ①a=b; ②|a|=|b|; ③a与b的方向相反; ④a=0或b=0; ⑤ a与b都是单位向量. 能判定向量a与b共线的是_____.
O
01
单击此处添加大标题内容
B
A ③④ 练习
由于大陆和台湾没有直航，因此2003年春节探亲，乘飞机要先从台北到香港，再从香港到上海，这两次位 移之和是什么？
引例二：
台北
香港
上海
向量的加法定义：
求两个向量和的运算，叫做向量的加法
1、三角形法则
A
B
D
C
单击此处添加正文，文字是您思想的提炼，请尽量言简意赅地阐述观点。
向量的加减法课件
题目2
已知向量$overset{longrightarrow}{a} = (2,3)$，$overset{longrightarrow}{b} = ( - 1,2)$，求$overset{longrightarrow}{a} overset{longrightarrow}{b}$。
进阶练习题
题目3
三角形法则的几何解释
向量减法的三角形法则可以理解为两个向量在起点和终点之间形成的闭合三角形，减数向量是三角形的一条边。
向量减法的向量场意义
向量场
向量场是由一组有序的向量所组成的集合，每个向量都有一个起点和一个终点。
向量场中向量的加减法
在向量场中，向量的加减法可以通过将减数的起点移动到被减数的起点来实现，然后按照向量的加法 法则进行计算。
感谢您的观看
THANKS
02 向量加法的几何意义
向量加法的平行四边形法则
总结词
向量加法的平行四边形法则是向量的基本运算法则之一，它 基于平行四边形的性质，将两个向量相加得到一个新的向量 。
详细描述
向量加法的平行四边形法则是通过构造一个平行四边形，其 中两个相邻的边分别表示要相加的向量，然后连接对角线来 表示这两个向量的和。
详细描述
在向量场中，向量加法运算可以看作 是将一个向量从一个点平移到另一个 点，这种平移过程可以用来描述物体 在空间中的运动和力的作用。
03 向量减法的几何意义
向量减法的三角形法则
三角形法则
向量减法可以通过作平行四边形并取对角线来实现，也可以通过连接两个向量的起点，并作与减数平行的向量来 实现。
答案3
$2overset{longrightarrow}{a} + overset{longrightarrow}{b} = (5,5)$
北师大版 向量加减法优秀课件
a
(2)
a a-b
b
02.04.2019
.
b
平移同起点,方向指向被减数a
9
例3,如图,已知 向量a,b,c,d,求作向量a-b,c-d
b a
(1)
d c
a-b
a
b
d
c
c-d
. o
02.04.2019
10
例题4：如图，平行四边形ABCD，AB=a， AD=b，用a、b表示向量AC、DB。 D b A a B 注意向量的方向， 向量 AC= a+b 向量 DB= a-b
(2)同步做练习册
谢谢指导！
02.04.2019
18
19、一个人的理想越崇高，生活越纯洁。 20、非淡泊无以明志，非宁静无以致远。 21、理想是反映美的心灵的眼睛。 22、人生最高之理想，在求达于真理。 便有了文明。 24、生当做人杰，死亦为鬼雄。 25、有理想的、充满社会利益的、具有明确目的生活是世界上最美好的和最有意义的生活。 26、人需要理想，但是需要人的符合自然的理想，而不是超自然的理想。 27、生活中没有理想的人，是可怜的。 28、在理想的最美好的世界中，一切都是为美好的目的而设的。 29、理想的人物不仅要在物质需要的满足上，还要在精神旨趣的满足上得到表现。 30、生活不能没有理想。应当有健康的理想，发自内心的理想，来自本国人民的理想。 31、理想是美好的，但没有意志，理想不过是瞬间即逝的彩虹。 32、骐骥一跃，不能十步；驽马十驾，功在不舍；锲而舍之，朽木不折；锲而不舍，金石可镂。——荀况 33、伟大的理想只有经过忘我的斗争和牺牲才能胜利实现。 34、为了将来的美好而牺牲了的人都是尊石质的雕像。 35、理想对我来说，具有一种非凡的魅力。 36、扼杀了理想的人才是最恶的凶手。 37、理想的书籍是智
新人教版高中数学必修2课件：6.2.2 向量的减法运算
(3)用 a,b,e 表示 ;
(4)用 d,c 表示 .
解 由题图知, =a, =b, =c,=d,=e.
(1) = + + =d+e+a.
(2) = − =- − =-b-c.
(3) = + + =e+a+b.
B.矩形
C.正方形
D.不确定
(2)已知| |=6,| |=9,求| − |的取值范围.
分析(1)先由 = 判断四边形 ABCD 是平行四边形,再由向量减法的几何
意义将| − |=| − |变形,进一步判断此四边形的形状.(2)由
|| |-| ||≤| − |≤| |+| |求范围.
(5) − = − -( − )= − =f-d.
知识点二、向量减法运算及其几何意义
定义 a-b=a+(-b),即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量
作法
已知向量a,b,在平面内任取一点O,
作=a,=b,则=a-b.如图所示
用几何法求两个向量的差时,这一步至关重要
几何
意义 如果把两个向量a,b的起点放在一起,则a-b可以表示为从向量b
的终点指向向量a的终点的向量
边三角形.故选 A.
4.化简: + − − =
.
答案 0
解析 + − − = + -( + )= − =0.
5.如图,已知=a,=b, =c,=d, =f,试用 a,b,c,d,f 表示以下向量:
(1) ;(2) ;
③注意在封闭图形中利用多边形法则.
变式训练如图,在五边形 ABCDE 中,若四边形 ACDE 是平行四边形,且
(4)用 d,c 表示 .
解 由题图知, =a, =b, =c,=d,=e.
(1) = + + =d+e+a.
(2) = − =- − =-b-c.
(3) = + + =e+a+b.
B.矩形
C.正方形
D.不确定
(2)已知| |=6,| |=9,求| − |的取值范围.
分析(1)先由 = 判断四边形 ABCD 是平行四边形,再由向量减法的几何
意义将| − |=| − |变形,进一步判断此四边形的形状.(2)由
|| |-| ||≤| − |≤| |+| |求范围.
(5) − = − -( − )= − =f-d.
知识点二、向量减法运算及其几何意义
定义 a-b=a+(-b),即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量
作法
已知向量a,b,在平面内任取一点O,
作=a,=b,则=a-b.如图所示
用几何法求两个向量的差时,这一步至关重要
几何
意义 如果把两个向量a,b的起点放在一起,则a-b可以表示为从向量b
的终点指向向量a的终点的向量
边三角形.故选 A.
4.化简: + − − =
.
答案 0
解析 + − − = + -( + )= − =0.
5.如图,已知=a,=b, =c,=d, =f,试用 a,b,c,d,f 表示以下向量:
(1) ;(2) ;
③注意在封闭图形中利用多边形法则.
变式训练如图,在五边形 ABCDE 中,若四边形 ACDE 是平行四边形,且
向量减法运算及其几何意义 课件
【审题路线图】1.向量的加减运算⇒向量加减法的三 角形法则⇒化简. 2.看到作图⇒向量加减法的三角形法则⇒作图的一般步 骤⇒作图.
【解析】1.选B.根据题意,得 AB BC AD AC AD DC. 2.方法一:如图①,在平面内任取一点O,作 OA＝a，AB＝b， 则 OB＝a＋再b作， 则OC＝c， CB＝a＋b－c.
【方法技巧】 1.向量减法运算的常用方法
2.向量加减法化简的两种形式 (1)首尾相连且为和. (2)起点相同且为差. 解题时要注意观察是否有这两种形式,同时注意逆向应 用.
3.与图形相关的向量运算化简 首先要利用向量加减的运算法则、运算律,其次要分析 图形的性质,通过图形中向量的相等、平行等关系辅助 化简运算.
方法二:如图②,在平面内任取一点O,作 OA＝a，AB＝b，
则OB＝a＋再b作， 连CB接＝cO，C,则
OC＝a＋b－c.
【方法技巧】求作两个向量的差向量的两种思路 (1)可以转化为向量的加法来进行,如a-b,可以先作-b, 然后作a+(-b)即可. (2)可以直接用向量减法的三角形法则,即把两向量的 起点重合,则差向量为连接两个向量的终点,指向被减 向量的终点的向量.
3.设a表示向西走10km,b表示向北走10 3 km,则a-b表 示( ) A.向南偏西30°走20 km B.向北偏西30°走20 km C.向南偏东30°走20 km D.向北偏东30°走20 km 【解析】选A.由减法的三角形法则易求得.
4. PA PB =________. 【解析】 PA PB BA. 答案:
3.如图,已知O为平行四边形ABCD内一点, OA a,OB b, OC c, 则 OD =________.
【审题路线图】1.图形中的向量化简运算⇒图形的性
向量加减法
C
b
60°
AB BC AC
尾首顺次相接 首指向尾为和
ab
45° A
B
a
练习1：向量 a 为北偏东45°,大小为3cm,向量b 为 例题 北偏西60°,大小为4cm，用加法三角形法则作出 平行四边形法则 ab
AB B C AC AB B C AC C
C
D
AB AC AD
复习回顾：
有向线段
向量的表示: 向 量 向量的方向
向量的大小 (长度、模) 单位向量 与零向量 相等向量与 相反向量
平行向量 (共线向量)
既有大小又有方向的量叫向量；
向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小.
引入：由于大陆和台湾没有直航，因此2010 年春节探亲，乘飞机要先从台北到香港，再从 香港到上海，这两次位移之和是什么？
对于零向量与任一向量a, 我们规定 a00a a
向量加 法
特例：共线向量
a b a b B C C A B
A
AC a b
AC a b
方向相同
方向相反
问题：除了零向量，有没有不能用平行四 边形法则求和向量的情况？
请选用合适符号连接：
a b ____ a b (<,>, ,, )
向 向 量 量 加 加 法 法
课堂小结：
向量加法的物理背景
三角形法则
向量的加法运算
平行四边形法则
向量加法的运算律 向量加法实际应用
向量加法
小结:
1.两个向量的和仍然是向量。
2.向量加法法则:
向量加法的三角形法则 以第一个向量的终点作 为第二个向量的起点， 则从第一个向量的起点 到第二个向量的终点的 向量就表示和向量. 尾首顺次相接 首指向尾为和
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
3.向量r 加法r 满足r 交r换律及结合律
a+ b= b+ a
rr r r rr
(a + b) + c = a + (b + c)
作业
课本84页 课本91页
习题（做书上） 2、3作业本
14
谢谢大家
15
变式训练1：已知向量a、b，求作向量a+b和 b+a。（用三角形法则与平行四边形法则）
2、（1）
b
b
ab a
（2）
b
a
ab
a
8
变式训练2：已知向量a、b、c，求 作向量(a+b)+c和a+(b+c)
c
ab
9
数的加法满足交换律与结合律,即对任
意a,b∈R,有a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c)
a
B
(1)a b c
(2)c d f (3)a b d f (4)c d e g
12
课堂小结：
向量加法的定义
三角形法则
平行四边形法则
向量加法的运算律
向量加法的运算
13
小结 1.向量加法的三角形法则
(要点：两向量首尾连接)
2.向量加法的平行四边形法则
(要点：同一起点，对角线 为和向量)
加
法
的 定
a
b
义
三 角 形 法 则:
平行四边形法则:
C
C
b
B
b
B
A
b
A
a
尾首相连
起点指向终点为和
O
a
同一起点，
对角线为和
1.两种方法做出的结果一样吗?
5
向量加 法
四：向量加法的ur三u角ur 形法则 r r 例1 已知向量 a , b,求作向量a + b
r rb 首 尾a
பைடு நூலகம்相连
接o
作法（1）在平面内任取一点O uuur uur uuur r
DF +FA
uuur uv
∴AB+DF +CD+BC+FA = 0
11
巩固练习
１.化简 (1)AB CD BC __A_D_____
(2) MA BN AC CB _M__N_____
(3)AB BD CA DC ___0_____
２.根据图示填空
Ee D
gf
d
c
A
bC
2.2.1向量加法运算 及其几何意义
1
一：复习回顾
1.向量、平行向量、相等向量的含义分别是什么？
向量：既有方向又有大小的量。 平行向量：方向相同或相反的向量。 相等向量：方向相同并且长度相等的向量。 零向量：长度为零的向量叫零向量。 单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫单位向量
2
二: 2006年大陆和台湾没有直航，因此春节 探亲，乘飞机要先从台北到香港，再从香港 到上海，则飞机的位移是多少?
之和.
解
uuur
:u∵uuruAuBuuru+urDuuuFuru+ur
uuur
CDuuu+r
uuur BC
+
uuur FA
= AB uuur
+ BC uuur
+ CD uuur
+ DF uuur
+uFuAur
uuur
uuur
=
ACuu+u=rCAuDuFuru+u+DurFuFuAur+uF=uAur0u=vAuuDur+
(2)作 OA = a , AB = b uuur r r
(3)作OB = a + b
A
位移的合成可以看
这作种向作量法加 叫法 三做角向形量
B 加法法则的的三物角理形模法型则
还有没有其他的做法？
6
向量加法的平行四边形法则
b a
起点o
相同 连对 B 角
作法（1）在平面内任取一点O uuur uur uuur r
(2)作 OA = a ,OB = b uuur r r
(3)作 OC = a + b
A
C
这力 量种的 加作合 法法成 的叫可 平以行做看四向作边量向形加 法的法平则行的四物理边模形型法则
文字表述为：以同一起点的两个向量为邻边作平行四边形，
则以公共起点为起点的对角线所对应向量就是和向量。
7
向量加 法
上海
r c
r b
上海 台北
香港
r 台北 a
C
香港
1、位移 AB BC AC B
A
3
向量加法
向 量
任意给出两个向量a与b. 如何求a+ b.
加
法
的 定
a
b
义
C
C
B
B
A
A
AB BC AC
O
OB OA OC
1.两种方法做出的结果一样吗?
4
向量加法
向量加法
向 量
任意给出两个向量a与b. 如何求a+ b.
任意向量a,b的加法是否也满足交换律
与结合律?
D
D
a
C a+b+c
c
b a+b
b
A
b+ac+b
C
A
a
B
a
b
rr rr
B
a+ b= b+ a
rr r r rr
(a + b) + c = a + (b + c)
10
uuur uuur uuur uuur uuur 例2: 求向量AB+DF +CD+BC+FA