高数第一次课随堂练习函数与极限

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高数第一章要求与练习(含答案)

第一章函数与极限一、要求：函数定义域，奇偶性判定，反函数，复合函数分解，渐近线，求极限，间断点类型判定，分段函数分段点连续性判定及求未知参数，零点定理应用. 二、练习： 1.函数 2112++-=x xy 的定义域；答：2x ≥-且1x ≠±；2.函数y =是由：复合而成的；答：2ln ,,sin y u v v w w x ====；3. 设 ,1122xx x x f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+则()f x = ；答：22x -；4.已知)10f x x x ⎛⎫=+≠⎪⎝⎭，则()f x = ；答： ()11f x x xx==+()0x ≠；5.11lim 1n x x x →--= ，答：n ； n →∞= ；答： 0；6. 当a = 时,函数(),0,x e x f x a x x ⎧<=⎨+≥⎩在(,)-∞+∞上连续；答：1a =；7.设(3)(3)f x x x +=+，则(3)f x -=( B )；A.(3)x x -，B.()6(3)x x --，C.()6(3)x x +-，D.(3)(3)x x -+； 8. 1lim sinn n n→∞=（ B ）； A.0 ，B.1， C.+∞，D.-∞；9.1x =是函数221()32x f x x x -=-+的（A ）；A.可去间断点，B.跳跃间断点，C.第二类间断点，D.连续点； 10. |sin |()cos x f x x xe-=是（ A ）；A.奇函数，B.周期函数，C.有界函数，D.单调函数；11.下列正确的是( A )A.1limsin 0x x x →∞=，B.1lim sin 0x x x →∞=， C.01lim sin 1x x x →=， D.11lim sin 1x x x→∞=； 12. 1x =是函数()1,13,1x x f x x x -≤⎧=⎨->⎩的（ D ）A 、连续点B 、可去间断点C 、第二类间断点D 、跳跃间断点13. 函数221xx y =+的反函数为（ A ）A.()()2log 0,11x y x x =∈-，B. 2log 1yx y =-,C. 2log 1x y x =-,D. ln 1x y x =- 14. 计算()221lim 1xx x x →∞⎛⎫⎪-⎝⎭；()2lim 1xx x x →∞⎛⎫ ⎪-⎝⎭；（3）30tan sin lim sin 2x x x x →-；（4）21/30(1)1lim cos 1x x x →+--；（5）()231lim 3cos x x x x x →∞+++；（6）x → (7) ()()20ln ln 2ln limx a x a x a x →++--；(8)1x x ；(9) 01limx x →(10) 1x x . 解：()22121111lim lim lim 11111111xx x x x x x x x e e x x x -→∞→∞→∞⎛⎫==== ⎪-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； ()12lim lim 11xx x x x e x x -→∞→∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=⎢⎥ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦；（3）()23330001tan 1cos tan sin 12lim lim limsin 28816x x x x x x x x x x x x →→→⋅--====；（4）221/30021(1)123lim lim 1cos 132x x x x x x →→+-==---；（5）()223311lim 0,23cos 4,lim 3cos 0x x x x x x x x x x→∞→∞++=≤+≤∴+=++ ；（6）()44242x x x x →→→-===(7) ()()2222222222000ln 1ln ln 2ln 11lim lim limln 1a x x x x x a x a x a a x x x a a a -→→→⎛⎫- ⎪++--⎛⎫⎝⎭==--=- ⎪⎝⎭；或原式2220ln 1lim x x a x →⎛⎫- ⎪⎝⎭=222201limx x a x a →-==-(8) 111sin lim sin 200x x x x x x x x x→∞===⋅=；或原式＝11x x x x→∞=＝0(9) ()()()()110001111lim lim ln 1ln 1lim ln 1ln 1122x x x x x x x x x x x -→→→⎡⎤+--=++-=⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦；或0000011111112112112lim lim ln lim ln 1lim lim 111122221111x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→→⎛⎫+ ⎪==+=== ⎪- ⎪---⎝⎭(10)110x x x x x ===.15.已知21lim31x x ax bx →++=-，求,a b 的值；解：设()()21x ax b x x c ++=-+，则()()11lim13,21x x x c c c x →-+=+==-，所以11,2a c b c =-==-=-.16. 已知232lim43x x x kx →-+=-，求k 的值. 解：()2332lim4,lim 303x x x x kx x →→-+=-=- ，()23lim 230,3x x x k k k →∴-+=+==-. 17.证明方程3320x x ++=在区间()1,1-内至少有一个根.证明设()332f x x x =++，则()f x 在闭区间[]1,1-上连续，又()()113220,113260,f f -=--+=-<=++=>由零点定理，至少存在一点()1,1,ξ∈-使()0fξ=；即()3320f ξξξ=++=，即方程3320x x ++=在区间()1,1-内至少有一个根.。

高等数学第1章函数与极限练习册解答(10月19修改)

时,就有
2. 极限 l i m f (x ) A的定义是 : 对于 0 , 存在 X 0 , 当 x
f x A .
时,就有
3. 对于任意的正数 , 存在正数 =
，当
时 5x 2 12 , 因此
lim (5x 2) 12.
x2
解答：
1、当 0 x x0 时； 2、 x X 时；
1.设
xn
n n
1 ,则当 1
n
大于正整数
N
时, | xn 1| 104 , 对于任意正数 ,
当 n 大于正整数 N
时,
|
xn
1|
,所以
lim
n
xn
1.
2. 对于任意正数 , 存在正整数 N
cos n
, 当 n N 时,
2 0 , 所以
n
cos n lim 2 0 . n n
3. 设 xn 为任一数列, 又设对于任意正数 , 存在正整数 N1, N2 , 当 n N1 时,
第 1 章函数与极限
V.同步练习
第 1 章函数、极限与连续
1.1 函数及其性质
一、填空题
1.已知 f x ax2 bx 5 且 f x 1 f x 8x 3 , 则 a
；b
；
2. y cos 2x 1 的周期为
；
3.
函数
f
(x)
sin
1 x
,
x
0;
的定义域为
；值域为
.
解. 设圆锥的半径与高分别为r, h , 则 2 r R 2 , 即 r R 2 , 从而
2
h
R2 r2

高等数学第一章练习题

第一章函数、极限、连续一、单项选择题1.区间[a,+∞)，表示不等式（）2.若3.函数是（）。

（A）偶函数（B）奇函数（C）非奇非偶函数（D）既是奇函数又是偶函数4.函数y=f(x)与其反函数 y=f-1（x）的图形对称于直线（）。

5.函数6.函数7.若数列{x n}有极限a,则在a的ε邻域之外，数列中的点（）（A）必不存在（B）至多只有有限多个（C）必定有无穷多个（D）可以有有限个，也可以有无限多个8.若数列{ x n }在（a-ε, a+ε）邻域内有无穷多个数列的点，则（），（其中为某一取定的正数）（A）数列{ x n }必有极限，但不一定等于a（B）数列{ x n }极限存在且一定等于a（C）数列{ x n }的极限不一定存在（D）数列{ x n }一定不存在极限9.数列（A）以0为极限（B）以1为极限（C）以（n-2）/n为极限（D）不存在极限10.极限定义中ε与δ的关系是（）（A）先给定ε后唯一确定δ（B）先确定ε后确定δ，但δ的值不唯一（C）先确定δ后给定ε（D）ε与δ无关11.任意给定12.若函数f（x）在某点x0极限存在，则（）（A） f（x）在 x0的函数值必存在且等于极限值（B） f（x）在x0的函数值必存在，但不一定等于极限值（C） f（x）在x0的函数值可以不存在（D）如果f（x0）存在则必等于极限值13.如果14.无穷小量是（）（A）比0稍大一点的一个数（B）一个很小很小的数（C）以0为极限的一个变量（D）0数15.无穷大量与有界量的关系是（）（A）无穷大量可能是有界量（B）无穷大量一定不是有界量（C）有界量可能是无穷大量（D）不是有界量就一定是无穷大量16.指出下列函数中当X→0+ 时，（）为无穷大量。

17.若18.设19.求20.求21.求22.求23.求24.无穷多个无穷小量之和（）（A）必是无穷小量（B）必是无穷大量（C）必是有界量（D）是无穷小，或是无穷大，或有可能是有界量25.两个无穷小量α与β之积αβ仍是无穷小量，且与α或β相比（）。

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《高等数学》第一章-——函数与极限练习题（A）一、判断正误题（判断下列各题是否正确，正确的划√，错误的划×）（1）{}{}{}(,)0U a x x a x a x a x a x a δδδδ=<−<=−<<∪<<+（）（2）关系式221x y −=表示y 是x 的函数（）（3）关系式{}{}max ,1min ,1y x x =+−表示y 是x 的函数（）（4）关系式2arccos ,2y u u x ==+表示y 是x 的函数（）（5）若()sgn f x x =，则21,0,()0,0.x f x x ≠⎧=⎨=⎩（）（6）若2()ln ,()2ln ,f x x g x x ==则()()f x g x =.（）（7）2sin y x =是周期为π的函数.（）（8）()00000lim ()()lim ()()0x x f x x f x f x x f x Δ→Δ→+Δ=⇔+Δ−=.（）（9）0y =是曲线21y x =的水平渐近线.（）（10）()y f x =在0x 连续的充要条件是000()()()f x f x f x −+==.（）（11）收敛数列的极限不唯一.（）（12）lim ()().f x A f x A α=⇔=+（其中lim 0α=）.（）（13）212limn nn →+∞++⋅⋅⋅+=（）（14）设()f x ，()g x 在(,)−∞+∞内有定义.若()f x 连续且()0f x ≠，()g x 有间断点，则()()g x f x 必有间断点（）二、填空题（将正确答案填写在横线上）1.若(),(())1,xf x e f x x ϕ==−则()x ϕ=2.2arctan limn nn →+∞=3.212lim 10n n n →+∞⎛⎞+=⎜⎟⎝⎠4.0lim x x →=5.()()220lim 11sin x x x x x →⎡⎤++−+=⎣⎦6.221lim sin n n n →+∞⎛⎞=⎜⎟⎝⎠7.2lim 31nn n →+∞⎛⎞−=⎜⎟⎝⎠8.()3sin 2limtan x x x→=9.若lim ,n n x a →∞=则lim n n x →∞=10.若lim ,n n x a →∞=则2lim n n x →∞=11.()22limh x h x h→+−=12.231lim 1x x x →∞−=+13.331lim 1x x x →∞+=−三、选择题（将正确答案的序号填写在括号内）（1）设函数()f x 的定义域为D ，数集X D ⊂，则下列命题错误的是（）A ：若()f x 在X 上有界，则()f x 在X 上既有上界也有下界B ：若()f x 在X 上有界，则()f x 在X 上也有界C ：若()f x 在X 上有界，则1()f x 在X 上必无界D ：若()f x 在X 上无界，则()f x 在X 上也无界（2）下列结论错误的是（）A ：sin y x =在定义域上有界B ：tan y x =在定义域上有界C ：arctan y x =在定义域上有界D ：arccos y x =在定义域上有界（3）下列结论正确的是（）A ：arcsin y x =的定义域是(,)−∞+∞B ：arctan y x =的值域是(,)−∞+∞C ：cos y x =的定义域是(,)−∞+∞D ：cot y arc x =的值域是(,22ππ−（4）若lim n n x a →+∞=，则下列结论错误的是（）A ：{}n x 必有界B ：必有11limn nx a →∞=C ：必有221lim lim n n n n x x a−→∞→∞==D ：必有1000lim n n x a+→∞=（5）下列结论正确的是（）A ：若函数()f x 在点0x 处的左右极限存在，则0lim ()x x f x →一定存在B ：若函数()f x 在点0x 处无定义，则0lim ()x x f x →一定不存在C ：若0lim ()x x f x →不存在，则必有0lim ()x x f x →=∞D ：0lim ()x x f x →存在的充要条件是函数()f x 在点0x 处的左右极限存在且相等E ：若函数()f x 在点0x 处的左右极限存在但不相等，则01lim()x x f x →一定存在（6）若lim ()0,lim ()x x f x g x →∞→∞==∞，则下列结论错误的是（）A ：()lim ()()x f x g x →∞±不存在B ：()lim ()()x f x g x →∞不一定存在C ：lim[2()]x f x →∞一定存在D ：()lim()x f x g x →∞不存在（7）下列结论正确的是（）A：绝对值很小的数一定是无穷小B：至少有两个常数是无穷小C：常数不可能是无穷小D：在自变量的某一变化过程中，趋向0的函数是无穷小（8）下列结论正确的是（）A ：有界函数与无穷大的积不一定为无穷大B ：无限个无穷小的和仍为无穷小C ：两个无穷大的和（积及商）仍为无穷大D ：无界函数一定是无穷大（9）下列等式不成立的是（）A ：1lim2n n n →+∞=B ：1limln(1)n n →+∞=+C ：lim 2n n →+∞=+∞D：lim1n →+∞−=（10）下列结论错误的是（）A ：单调有界数列必收敛B ：单增有上界的数列必收敛C ：单调数列必收敛D ：单减有下界的数列必收敛（11）下列结论正确的是（）A ：当0x →时，1xe −是比2x 高阶的无穷小B ：当1x →时，1x −与21x −是同阶的无穷小C ：当n →+∞时，21n 是比1n低阶的无穷小D ：当0x →时，若sin tan ax x ∼，则2a =（12）下列结论不正确的是（）A ：0x =是()xf x x=的跳跃间断点B ：2x π=是()tan xf x x =的可去间断点C ：()cot f x x =只有一个间断点D ：0x =是1()sin f x x=的第二类间断点（13）下列结论不正确的是（）A ：若lim ,n n x a →+∞=则10lim n n x a+→+∞=B ：01lim 1tan x x e x →−=C ：若10n x n<≤，则lim 0n n x →+∞=D ：123lim 121x x x x +→∞+⎛⎞=⎜⎟+⎝⎠（14）下列数列收敛的是（）A ：11,1,1,,(1),n +−− B ：2,4,8,,2,nC ：123,,,,,2341n n + D ：233333,,,,,2222n⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠（15）下列数列发散的是（）A ：1sin2n n x n π=B ：1(1)nn x n=−C ：215n x n=+D ：(1)nn x n =−（16）下列变量在给定变化过程中，不是无穷大量的是（）A ：lg ,(0)x x +→B ：lg ,()x x →+∞C ：21,(0)x x +→D ：1,(0)xe x −−→（17）下列结论错误的是（）A ：0(,)x ∀∈−∞+∞，00lim sin sin x x x x →=B ：2lim ln sin 0x x π→=C ：0(1,1)x ∀∈−，0lim arccos arccos x x x x →=D ：0lim sgn sgn x x x x →=四、计算题1.)lim arcsinx x →+∞−.2.2121lim()11x x x→−−−.3.3tan sin lim1x x x x e →−−. 4.()22lim 13tan cot xx x →+.5.1lim 1x x →−.五、证明题1.证明函数,()1sin ,x f x x x ⎧⎪=⎨⎪⎩>≤x x 在点0=x 处连续．2.证明2sin ,0(),0xx xf x a x x ⎧>⎪=⎨⎪+≤⎩在定义域内连续的充要条件是1a =.3.设()f x 在[0,1]上连续，且(0)0f =，(1)1f =，证明存在(0,1)ξ∈，使得()1f ξξ=−.4.证明222111lim 012n n n n n →∞⎛⎞++⋅⋅⋅+=⎜⎟+++⎝⎠.5.设()f x 在[0,2]上连续，且(0)(1)(2)3f f f ++=，求证：存在[0,2]ξ∈，使()1f ξ=.6.证明方程531x x −=在1与2之间至少存在一个实根.《高等数学》第一章---函数与极限练习题（B）一、判断正误题（判断下列各题是否正确，正确的划√，错误的划×）（1）2322(1,0)(3,4)x x x −−<⇔∈−∪（）（2）以1为中心，2为半径的去心邻域为{}{}(1,2)1113U x x x x =−<<∪<<（）（3）关系式2arcsin(3)y x =+表示y 是x 的函数（）（4）关系式{}max ,1min{,5}y x x =+表示y 是x 的函数（）（5）若函数()f x 的定义域为[1,4]，则函数2()f x 的定义域为[1,2]（）（6）若2(1)(1)f x x x −=−，则2()(1)f x x x =−（）（7）函数1,0()0,01,0x x f x x x x −<⎧⎪==⎨⎪+>⎩是偶函数（）（8）函数()cos 4f x x =的反函数1()arccos 4f x x−=（）（9）若()()sgn ,f x g x x ==则()()f x g x =.（）（10）sin 2tan 2xy x =+是周期为π的函数.（）（11）函数lg y u x ==能构成复合函数y =的充分必要条件是[1,10]x ∈（）（12）曲线211x y e−−=的水平渐近线是1y =（）（13）若0lim ()x x f x →不存在，则必有00()()f x f x −+≠（）（14））,0()0,0,0x a x f x x x a x +>⎧⎪==⎨⎪−<⎩在0x =连续的充要条件是0a =（）（15）设()f x ，()g x 在(,)−∞+∞内有定义，()f x 为连续，且()0f x ≠，若()g x 有间断点，则222()()g x f x 必有间断点（）（16）1x =是函数()2sgn(1)1y x =−+的可去间断点（）（17）4x π=是2tan 21y x =−的无穷间断点（）（18）lim ()1()1.f x f x α=⇔=+（其中lim 0α=）（）（19）2080100(1)(100)lim 1(1)n n n n →∞−+=+（）（20）222212lim 0n n n →+∞++⋅⋅⋅+=（）二、填空题（将正确答案填写在横线上）1.若(),(())1,xf x e f x x ϕ==−则()x ϕ=2.24arctan(1)(sin 1)lim100n n n n →+∞−+=−3.417lim 100n n n →+∞⎛⎞+=⎜⎟⎝⎠4.()1lim 1sgn(1)x x x →−−=5.22301lim (3cos )2x x x x →⎡⎤++=⎢⎥+⎣⎦6.242lim sin n n n →+∞⎛⎞=⎜⎟⎝⎠7.24lim 101nn n →+∞⎛⎞−=⎜⎟⎝⎠8.()10050sin 4lim(tan 2)x x x →=9.若lim ,n n x a →+∞=则221lim n n n x x −→+∞⎡+⎤=⎣⎦10.225lim 2x x x →−=−11.()33limh x h x h→+−=12.20010001lim1x x x →∞−=+13.2lim ln sin x x π→=14.0x →=三、选择题（将正确答案的序号填写在括号内）（1）下列结论错误的是（）A ：由于函数()sin f x x =在[,]22ππ−上单调递增，因此()f x 的反函数1()f x −必存在且1()fx −的定义域为[1,1]−，值域为[,]22ππ−B ：在同一平面坐标系中，函数()y f x =与其反函数1()y f x −=的图形关于直线y x =对称C ：由于函数()tan f x x =在,22ππ⎛⎞−⎜⎟⎝⎠上单调递增且连续，因此()f x 的反函数1()f x −在(),−∞+∞上也是单调递增且连续.D ：函数()cot f x arc x =的定义域为(,)−∞+∞，值域为,22ππ⎛⎞−⎜⎟⎝⎠（2）下列数列收敛的是（）A ：:1,1,1,1,1,1,n x −−−B ：:0,1,2,3,4,5,n xC ：:0,ln 2,ln 3,ln 4,ln 5,n xD ：111:0,,0,,0,,248n x（3）下列数列发散的是（）A ：(1)1n n ⎧⎫−+⎨⎬⎩⎭B ：3110n⎧⎫+⎨⎬⎩⎭C ：{}(2)n−D ：1ln(1)n n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭（4）下列结论错误的是（）A ：单调有界数列必收敛B ：发散的数列必无界C ：数列收敛的充要条件是任意子列都收敛于同一个数D ：收敛的数列必有界（5）若lim ()f x 与lim ()g x 都不存在，则（）A ：[]lim ()()f x g x +与[]lim ()()f x g x 都不存在B ：[]lim ()()f x g x +与[]lim ()()f x g x 一定都存在C ：[]lim ()()f x g x −与()lim ()f x g x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦都不存在.D ：[]lim ()()f x g x ±、[]lim ()()f x g x 与()lim ()f x g x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦可能存在，也可能不存在（6）下列结论正确的是（）A ：若0lim ()lim ()x x x x f x g x →→>，则必有()()f x g x >B ：若()()f x g x >，则必有0lim ()lim ()x x x x f x g x →→>C ：若0lim (),x x f x A →=则()f x 必有界D ：0lim ()x x f x A →=的充要条件是对任意数列00,,n n x x y x →→有lim ()lim ()n n n n x x y x f x f y A→→==（7）下列结论正确的是（）A ：若数列n x 无界，则数列n x 一定发散B ：若lim 0,lim 1,n n n n a b →∞→∞==则lim n n nba →∞一定存在C ：若lim n n x a →+∞=，则必有lim n n x a→+∞=D ：若221lim lim n n n n x x a −→+∞→+∞==，则lim n n x →+∞一定不存在（8）当x →∞时，下列变量中不是无穷小量的是（）A ：3211x x x −++BC ：221(1)sin1x x x−−D ：2211sin1xx x −−（9）下列变量在给定的变化过程中为无穷大量的是（）A ：41sin(0)x x x→B ：21sin (0)x x x →C ：cos ()x x x →∞D ：1cos (0)x x x→（10）当0x →时，下列变量中与2tan x 为等价无穷小量的是（）AB ：xC ：2xD ：3x（11）设当x →0时，tan sin x x −是比sin narc x 高阶的无穷小，则正整数n 等于（）A ：1或2B ：4C ：5D ：3.（12）设()1,()ln(1),,mx n x ex x m n N αβ+=−=+∈，则当x →0时，下列结论正确的是（）A ：当m n >时，()x α必是()x β等价的无穷小B ：当m n =时，()x α必是()x β高阶的无穷小C ：当m n <时，()x α是()x β的低阶无穷小D ：当m n <时，()x α是()x β的同阶无穷小（13）设若,,ααββ′′∼∼则下列结论可能不正确的是（）A ：αβαβ′′∼B ：αβαβ′′±±∼C ：αβαβ′′∼D ：(0)C C C αα′≠∼（14）()xf x x=在0x =有（）A ：跳跃间断点B ：可去间断点C ：震荡间断点.D ：无穷间断点（15）函数1(3)ln y x x=−的间断点有（）A ：1个；B ：2个C ：3个D ：4个（16）当x →∞时，若2111ax bx c x ∼++−，则,,a b c 的值一定为（）A ：0,1,1a b c ===−B ：0,1,a b c ==为任意常数C ：0,,a b c =为任意常数D ：,,a b c 为任意常数（17）下列极限中结果等于e 的是（）A ：sin 0sin 2lim 1xxx x x →⎛⎞+⎜⎟⎝⎠B ：sin sin lim 1xxx x x →∞⎛⎞−⎜⎟⎝⎠C ：sin sin lim 1x xx x x −→∞⎛⎞−⎜⎟⎝⎠D ：()2cot 0lim 1tan xx x →+（18）函数111()01x e x f x x −−⎧⎪≠=⎨⎪=⎩在点1x =处（）A ：连续B ：不连续，但右连续或有右极限C ：不连续，但左连续或有左极限D ：左、右都不连续（19）下列结论正确的是（）A ：若函数()f x 在(,)a b 内连续，则()f x 在(,)a b 内一定有界B ：若函数()f x 在[,]a b 内有间断点，则()f x 在[,]a b 上一定没有最值C ：若函数()u x ϕ=在点0x x =处连续，且00()x u ϕ=，而函数()y f u =在点0u u =处连续，则复合函数[()]y f x ϕ=在点0x x =处也是连续的D ：一切初等函数在其定义域内都是连续的四、计算题1.设()0.10x e x f x x ⎧≤=⎨>⎩求)(x f 在0x =的极限2.求lim x →+∞3.求3211lim()11x x x x →−−−4.求)21sin limtan x arc xx →− 5.求lim ln(1)ln(1)n n nn n →∞⎛⎞−⎜⎟−+⎝⎠五、讨论题1.讨论2sin ,0;()1,0.xx x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪+=⎩在定义域内的连续性2.讨论a 取何值可使1sin arccos ,0;()0,0;ln(1),0.x x x f x x x a x ⎧>⎪⎪==⎨⎪−+<⎪⎩在定义域内连续.六、证明题1.设()f x 在[0,1]上连续，且(1)0f >，证明存在(0,1)ξ∈，使()1f ξξξ=−2.证明lim 1n →∞⎛⎞+⋅⋅⋅+=3.设()f x 在[0,2]上连续，且(0)(1)(2)3f f f ++=，求证：存在[0,2]ξ∈，使()1f ξ=4.证明曲线423710y x x x =−+−在1x =与2x =之间至少存在与x 轴有一个交点5.证明0p >时，函数1sin ,0()0,px x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩0>≤x x 在点0=x 处连续．6.证明：0lim ()()x x f x A f x A α→=⇔=+，其中0lim 0x x α→=.《高等数学》第一章-——函数与极限自测题（A）题号一二三四五六总分得分一.判断题（判断下列各题是否正确，正确的划√，错误的划×。

高等数学B上随堂练习答案

高等数学B上随堂练习答案IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】华南理工-高等数学B(上)-随堂练习答案（2017年）第一章函数与极限1.函数的定义域是()A．B．C．D．答题：（已提交）参考答案：A问题解析：2.函数的定义域是()A．B．C．D．答题：（已提交）参考答案：C问题解析：3.函数的定义域是()A．B．C．D．答题：（已提交）参考答案：A问题解析：4.函数的定义域为()A．B．C．D．答题：（已提交）参考答案：B问题解析：5.函数的定义域是（）A．B．C．D．答题：（已提交）参考答案：C问题解析：6.函数的定义域是() A．B．C．D．答题：（已提交）参考答案：C问题解析：7.函数的定义域是（）A．B．C．D．答题：（已提交）参考答案：A问题解析：8.若，则()A．B．C．D．答题：（已提交）参考答案：A问题解析：9.若，，则() A．B．C．D．答题：（已提交）参考答案：D问题解析：10.设，则() A．B．C．D．答题：（已提交）参考答案：A问题解析：11.()A．B．C．D．答题：（已提交）参考答案：B问题解析：12.()A．B．不存在C．D．答题：（已提交）参考答案：D问题解析：13.()A．不存在B．C．D．答题：（已提交）参考答案：C问题解析：14.()A．B．不存在C．D．答题：（已提交）参考答案：D问题解析：15.()A．B．C．D．答题：（已提交）参考答案：A问题解析：16.()A．B．C．不存在D．答题：（已提交）参考答案：B问题解析：17.当时，下列变量是无穷小的是() A．B．C．D．答题：（已提交）参考答案：C问题解析：18.当时，与等价的无穷小是() A．B．C．D．答题：（已提交）参考答案：A问题解析：19.()A．0B．C．D．1?答题：（已提交）参考答案：B问题解析：20.()A．8B．2C．D．0?答题：（已提交）参考答案：D问题解析：21.()A．0B．1C．D．2?答题：（已提交）参考答案：D问题解析：22.下列等式成立的是()A．B．C．D．答题：（已提交）参考答案：C问题解析：23.()A．B．1C．不存在D．答题：（已提交）参考答案：A问题解析：24.()A．1B．C．不存在D．答题：（已提交）参考答案：D问题解析：25.()A．0B．1C．D．答题：（已提交）参考答案：C问题解析：26.设函数在点处极限存在，则() A．2B．4C．1D．0?答题：（已提交）参考答案：A问题解析：27.设，则()A．0B．-1C．1D．2?答题：（已提交）参考答案：C问题解析：28.设，则()A．1B．2C．0D．不存在?答题：（已提交）参考答案：A问题解析：29.设在处连续，则=()A．1B．2C．0D．不存在?答题：（已提交）参考答案：A问题解析：第一章·第二节数列与极限1.曲线在点处的切线的斜率为()A．－2B．2C．－1D．1?答题：（已提交）参考答案：B问题解析：2.曲线在点处的切线方程为()A．B．C．D．答题：（已提交）参考答案：B问题解析：3.曲线在点处的切线方程为()A．B．C．D．答题：（已提交）参考答案：C问题解析：4.曲线在点(1,1)处的切线方程为()A．B．C．D．答题：（已提交）参考答案：B问题解析：5.设直线是曲线的一条切线，则常数() A．-5B．1C．-1D．5?答题：（已提交）参考答案：D问题解析：6.设函数，则()A．B．C．D．答题：（已提交）参考答案：C问题解析：7.设函数，则()A．B．C．D．答题：（已提交）参考答案：A问题解析：8.设函数，则()A．B．C．D．答题：（已提交）参考答案：A问题解析：9.设函数，则()A．B．C．D．答题：（已提交）参考答案：D问题解析：10.设函数，则()A．B．C．D．答题：（已提交）参考答案：B问题解析：11.设函数，在() A．B．C．D．答题：（已提交）参考答案：C问题解析：12.设函数，则() A．B．C．D．答题：（已提交）参考答案：A问题解析：13.设函数，则() A．B．C．D．答题：（已提交）参考答案：C问题解析：14.设函数，则() A．B．C．D．答题：（已提交）参考答案：D问题解析：15.设函数，则() A．B．C．D．答题：（已提交）参考答案：C问题解析：16.设函数，则()A．B．C．D．答题：（已提交）参考答案：A问题解析：17.设函数，则()A．B．C．D．答题：（已提交）参考答案：B问题解析：18.设确定隐函数，则() A．B．C．D．答题：（已提交）参考答案：B问题解析：19.设函数，则()A．4B．-4C．1D．-1?答题：（已提交）参考答案：C问题解析：20.设方程所确定的隐函数为，则() A．B．C．D．答题：（已提交）参考答案：B问题解析：21.设函数由方程所确定，则() A．0B．C．D．答题：（已提交）参考答案：B问题解析：22.设方程所确定的隐函数为，则() A．B．C．D．答题：（已提交）参考答案：A问题解析：23.设方程所确定的隐函数为，则() A．B．0C．D．答题：（已提交）参考答案：D问题解析：24.设，则()A．B．C．D．答题：（已提交）参考答案：A问题解析：25.设函数，则()A．B．C．D．答题：（已提交）参考答案：B问题解析：26.设函数，则()A．B．C．D．答题：（已提交）参考答案：B问题解析：27.设，则()A．B．C．D．答题：（已提交）参考答案：A问题解析：第一章·第三节函数的极限1.()A．B．0C．D．1?答题：（已提交）参考答案：C问题解析：2.()A．B．0C．D．1?答题：（已提交）参考答案：A问题解析：3.()A．B．C．D．不存在?答题：（已提交）参考答案：B问题解析：4.()A．B．C．1D．不存在?答题：（已提交）参考答案：A问题解析：5.()A．B．C．1D．不存在?答题：（已提交）参考答案：A问题解析：6.()A．B．C．1D．0?答题：（已提交）参考答案：A问题解析：7.函数的单调减少区间是() A．B．C．D．答题：（已提交）参考答案：A问题解析：8.函数的单调区间是() A．B．C．D．答题：（已提交）参考答案：A问题解析：9.函数的单调增加区间是() A．B．C．D．答题：（已提交）参考答案：A问题解析：10.函数的单调增加区间为()．A．B．C．D．答题：（已提交）参考答案：C问题解析：11.函数的单调减区间为() A．B．C．D．答题：（已提交）参考答案：B问题解析：12.函数的单调增加区间为() A．B．C．D．答题：（已提交）参考答案：D问题解析：13.函数的极值等于()A．1B．0C．D．答题：（已提交）参考答案：C问题解析：14.函数的极值为() A．B．C．0D．1?答题：（已提交）参考答案：A问题解析：15.函数的极值为()A．1B．0C．D．答题：（已提交）参考答案：A问题解析：16.函数的极大值为() A．-16B．0C．16D．-7?答题：（已提交）参考答案：B问题解析：17.函数的极大值为() A．3B．1C．-1D．0?答题：（已提交）参考答案：A问题解析：18.有一张长方形不锈钢薄板，长为，宽为长的．现在它的四个角上各裁去一个大小相同的小正方形块，再把四边折起来焊成一个无盖的长方盒．问裁去小正方形的边长为()时，才能使盒子的容积最大．A．B．C．D．答题：（已提交）参考答案：B问题解析：19.设有一根长为的铁丝，分别构成圆形和正方形．为使圆形和正方形面积之和最小，则其中一段铁丝的长为()A．B．C．D．答题：（已提交）参考答案：A问题解析：20.欲围一个面积为150m2的矩形场地，围墙高3米．四面围墙所用材料的选价不同，正面6元/m2，其余三面3元/m2．试问矩形场地的长为()时，才能使材料费最省．A．15B．10C．5D．8答题：（已提交）参考答案：A问题解析：21.设两个正数之和为8，则其中一个数为()时，这两个正数的立方和最小．A．4B．2C．3D．5答题：（已提交）参考答案：A问题解析：22.要造一个体积为的圆柱形油罐，问底半径为()时才能使表面积最小．A．B．C．D．答题：（已提交）参考答案：C问题解析：23.某车间靠墙壁要盖一间方长形小屋，现有存砖只够砌20m长的墙壁．问围成的长方形的长为()时，才能使这间小屋的面积最大．A．8B．4C．5D．10答题：（已提交）参考答案：D问题解析：24.曲线的下凹区间为()A．B．C．D．答题：（已提交）参考答案：A问题解析：25.曲线的拐点坐标为()A．B．C．D．不存在?答题：（已提交）参考答案：B第一章·第六节极限存在准则：两个重要极限1.()是的一个原函数．A．B．C．D．答题：（已提交）参考答案：C问题解析：2.下列函数中，（）是的原函数A．B．C．D．答题：（已提交）参考答案：C问题解析：3.下列函数中，()是的原函数A．B．C．D．答题：（已提交）参考答案：D问题解析：4.()是函数的原函数．A．B．C．D．答题：（已提交）参考答案：D问题解析：5.下列等式中，()是正确的A．B．C．D．答题：（已提交）参考答案：D问题解析：6.若，则() A．B．C．D．答题：（已提交）参考答案：B问题解析：7.若满足，则（）．A．B．C．D．答题：（已提交）参考答案：B问题解析：8.()．C．D．答题：（已提交）参考答案：D问题解析：9.()A．B．C．D．答题：（已提交）参考答案：B问题解析：10.()A．B．C．D．答题：（已提交）参考答案：A问题解析：11.()A．B．C．D．答题：（已提交）参考答案：B问题解析：12.()A．B．C．D．答题：（已提交）参考答案：B问题解析：13.()A．B．C．D．答题：（已提交）参考答案：A问题解析：14.()A．B．C．D．答题：（已提交）参考答案：C问题解析：15.()A．B．C．D．答题：（已提交）参考答案：A问题解析：16.()A．B．C．D．答题：（已提交）参考答案：A问题解析：17.()A．B．C．D．答题：（已提交）参考答案：A问题解析：18.()A．B．C．D．答题：（已提交）参考答案：D问题解析：19.()A．B．C．D．答题：（已提交）参考答案：A问题解析：20.()A．B．C．D．答题：（已提交）参考答案：B问题解析：21.()A．B．C．D．答题：（已提交）参考答案：C问题解析：22.()A．B．C．D．答题：（已提交）参考答案：A第二章·第一节导数概念1.()A．B．C．D．答题：（已提交）参考答案：B问题解析：2.曲线，直线，及轴所围成的图形的面积是() A．B．C．D．答题：（已提交）参考答案：A问题解析：3.定积分等于()A．2B．1C．0D．-1?答题：（已提交）参考答案：C问题解析：4.()A．2B．1C．0D．-1?答题：（已提交）参考答案：C问题解析：5.()A．2B．0C．1D．-1?答题：（已提交）参考答案：B问题解析：6.设函数在上连续，，则() A．B．C．D．答题：（已提交）参考答案：C问题解析：7.设，则等于()A．B．C．D．答题：（已提交）参考答案：D问题解析：8.()A．B．C．D．答题：（已提交）参考答案：C问题解析：9.A．0B．C．1D．答题：（已提交）参考答案：B问题解析：10.A．1B．0C．D．-1答题：（已提交）参考答案：D11.A．B．C．D．1答题：（已提交）参考答案：C问题解析：12.()A．4B．9C．6D．5?答题：（已提交）参考答案：A问题解析：13.()A．1B．2C．D．答题：（已提交）参考答案：B问题解析：14.()A．2B．C．D．答题：（已提交）参考答案：D问题解析：15.() A．B．C．1D．答题：（已提交）参考答案：A问题解析：16.() A．B．C．1D．答题：（已提交）参考答案：B问题解析：17.()A．B．1C．D．答题：（已提交）参考答案：D问题解析：18.()A．B．0C．1D．答题：（已提交）参考答案：A问题解析：19.()A．0B．C．1D．答题：（已提交）参考答案：B问题解析：20.()A．1B．C．D．答题：（已提交）参考答案：B问题解析：21.() A．B．C．D．1?答题：（已提交）参考答案：A问题解析：22.()A．B．1C．D．2?答题：（已提交）参考答案：C问题解析：23.() A．B．C．D．1?答题：（已提交）参考答案：A问题解析：24.()答题：（已提交）参考答案：A问题解析：25.()A．B．C．D．答题：（已提交）参考答案：C问题解析：26.()A．B．1C．D．答题：（已提交）参考答案：A问题解析：27.()A．B．1C．D．答题：（已提交）参考答案：B问题解析：28.()A．1B．C．0D．答题：（已提交）参考答案：A问题解析：29.()A．B．C．D．答题：（已提交）参考答案：B问题解析：30.()A．B．C．1D．答题：（已提交）参考答案：A问题解析：31.() A．B．C．D．1?答题：（已提交）参考答案：C问题解析：32.广义积分() A．B．不存在C．0D．1?答题：（已提交）参考答案：A问题解析：33.广义积分()A．1B．不存在C．0D．答题：（已提交）参考答案：A问题解析：34.广义积分()A．1B．不存在C．0D．答题：（已提交）参考答案：B35.由抛物线，直线，及所围成的平面图形的面积等于() A．2B．1C．D．答题：（已提交）参考答案：A问题解析：36.由直线，，及曲线所围成的平面图形的面积等于() A．B．1C．D．答题：（已提交）参考答案：A问题解析：37.由抛物线与直线及所围成的封闭图形的面积等于() A．B．C．2D．1答题：（已提交）参考答案：A问题解析：38.由曲线与直线及所围成的平面图形的面积等于()A．B．2C．1D．答题：（已提交）参考答案：A问题解析：39.由曲线与所围图形的面积等于()A．1B．C．3D．答题：（已提交）参考答案：B问题解析：40.由，，所围成的封闭图形的面积等于()A．B．1C．3D．2?答题：（已提交）参考答案：A41.由及在点（1，0）处的切线和y轴所围成的图形的面积等于()A．1B．C．2D．3?答题：（已提交）参考答案：B问题解析：42.由曲线与所围图形的面积等于()A．B．1C．D．答题：（已提交）参考答案：A问题解析：43.设由抛物线；，及所围成的平面图形为D，则D绕轴旋转一周所得旋转体的体积等于()A．B．C．D．答题：（已提交）参考答案：D问题解析：44.设由直线，，及曲线所围成的平面图形为D，则D绕轴旋转一周所得旋转体的体积等于()A．B．C．D．答题：（已提交）参考答案：A问题解析：45.设由曲线与直线及所围成的平面图形为D，则D绕轴旋转一周所得旋转体的体积等于()A．B．C．D．答题：（已提交）参考答案：B问题解析：46.设由抛物线与直线及所围成的封闭图形为D，则D绕轴旋转一周所得旋转体的体积等于()?答题：（已提交）参考答案：D问题解析：47.设由曲线与直线，及所围成的封闭图形为D，则D绕轴旋转一周所得旋转体的体积等于()A．B．C．D．答题：（已提交）参考答案：C问题解析：48.设由曲线与直线及所围成的封闭图形为D，则D绕轴旋转一周所得旋转体的体积等于()A．B．C．D．答题：（已提交）参考答案：A。

高数上习题及答案极限

x +1
⎞ ⎟ ⎟ ⎟
⎝ 2x ⎠
3
=
lim
x→∞
⎛⎜1 ⎝ ⎛⎜⎝1
+ +
3 2x 1 2x
x +1
⎞ ⎟ ⎠
x +1
⎞ ⎟⎠
3
⎡
⎤ 2x 2
=
lim
⎢⎢⎢⎣⎛⎜⎝ 1 +
3 2x
⎞ ⎟ ⎠
3
⎥
⎥ ⎥⎦
⎛⎜ 1 + ⎝
3 2x
⎞ ⎟ ⎠
x→∞
1
⎡⎢⎢⎣⎛⎜⎝1
+
1 2x
2
⎞ ⎟ ⎠
x
⎤ ⎥ ⎥⎦
ln lim y = ln e0 , lim y = 1
x→π
x→π
2
2
5
解： lim sin xln x
lim xsin x = lim esin xln x = ex→0+
x→0+
x→0+
ln x
lim sin xln x = lim
x→0+
1 x→0+
sin x
1
= lim
x→0+
x⋅
−cos x sin2 x
⎛⎜1
+
⎠⎝
3 n
⎞ ⎟ ⎠
=1
（18） lim sin 5x = （）
x→π sin 3x
（a） − 4 （b）-1 （c）1
3 分析：lim sin 5x = lim 5cos5x = 5
x→π sin 3x x→π 3cos 3x 3
（d） 5
3
（22） lim x2 +1 − 3x = （）

高等数学第一章习题集(函数与极限)

6
高等数学习题集
(5) lim 1 x 1 x ；
x0
x
(6)
lim
x1

x
1 1

3 x3 1

．
3.
设
lim
x

x2 1 x 1

ax

b

0,
求 a 和 b 的值．
7
高等数学习题集
§1.6 极限存在准则两个重要极限
1. 选择题.
(1)
lim
x x0
f
(x )存在是
f (x) 在 x0 的某一去心领域内有界的______ 条件.
(2)
设函数
ax2 f (x)
2x 1
x 1, 且 lim f (x) 存在，则 a _____. x 1 x1
3* 根据函数极限的定义证明：
(1)
lim
x
1 x3 2x3
x x0
x x0
A) lim f x lim f x
x x0
x x0
C) lim f x 不一定存在 x x0
(2) lim x2 9 (
).
x3 x 3
).
B) lim f x lim f x
x x0
x x0
1 x sin x 1
(题集
§1.8 函数的连续性与间断点
1. 选择题.
(1) 设 f x 在 x x0 处连续 , 且存在 0 , 使当 0 x x0 时有 f x 0, 则
(
)．
A) f x0 0

专转本高等数学函数与极限随堂练习题含答案

ln(1 x) x
x0
限。
lim 48、 x1
x2 ax b sin( x 1)
3
求 a, b . 的值。
求其在分段点处的极
9
lim 49、 x2
x2 ax x2
b
5
求 a, b .
x2 2
50、
lim(
x
x 1
ax b) 0
求 a, b .
51、设 fx
1 x 1 sin x 3x 2 a
lim
44、 x0
3x
sin 1
2x
5
则求 lim f x
x0 x 2
45、设函数
f x
e x 1
x a cos x x2
x 0 在 ,上连续，求a .
x0
46、设函数
2sin x
f x
x x sin1 2
x
x0 x0
求其在分段点处的极限。
47、设函数 fx 1 x2x 1 x 1 x 0
D、 (0, ).
3、在区间 (1,0) 内下列函数中单调增加的是（）
A、 y 5X 3 ;
B、 y x 2;
C、 y 4x 1 ;
D 、 y x2 1.
4、函数
y
1 x3
在区间 (0,1) 内（
）
A、有界且单调增加； C、有界且单调减少；
B、无界且单调增加； D、无界且单调减少。
1 的连续区间的是 1 x
A 、 (,2)
B 、 (2,)
C 、 (,1)
D、(1,)
1
26 、设
f (x)
sin x x sin 1
x
x0 在 x 1 处间断是因为

大学高等数学，经典课后习题答案与过程详解系列一函数极限

大学高等数学，经典课后习题答案与过程详解系列一函数极限
大学的数学学习不同于高中，高考的题目不仅灵活度很大而且新题不断。

然而大学的高数却有很大的不同，只要吃透母题，深入理解了课本定义，稍加练习，便能取得不错的成绩。

因此，我针对用户的需求从最多人使用的两种高数课本中挑选出最具代表性，也是最有必要通透的题目，希望大家能够掌握。

以下的内容由四道基础题组成，题不必多，力求精炼，举一反三。

做题前先回顾一下定义
对于刚接触高数的人可能刚开始不易理解，我就先举了一个简单的例子
下文为各种类型的解答过程。

要注意根据不同的证明对象选用不同的定义证明。

今天就先举这四道上交版中经典的极限证明，明天会举同济版中最具代表性的几道极限证明题。

文章会每日更新，直至挑选出两个版本四册书的全部经典课后习题。

感兴趣的可以多多关注一下我哟！(^_^)。

大一上高数作业及课堂练习

高数作业及课堂练习注意：（1）没有布置的习题，请利用课余时间自行完成；（2）总习题一定要自行练习。

第一章：函数与极限第一节映射与函数1、试求下列各题中的()f x 表达式：（1）2211()sin() 2 , 1f x x x xx +=++> （2）22(sin )cos(2)tan , 0<1f x x x x =+< 答案：（1）2()sin(2) 2 , 2f x x x =-+>（2）21()2, 0<sin 11f x x x x=-+<- 2、设满足方程：1()()sin , a af x bf x b x +-=≠ ，求()f x 。

答案：2211()(sin sin )f x a x b a b x=+- 3、设22(,)+cos() yf x y x y xy x+=- ，求(,)f x y 。

答案：222(1)(,)cos ) , (y 1)1(1)x y x yf x y y y -=+≠++ 4、设() f x 是以T 为周期的函数，证明：() ( a>0 ) f ax 是以Ta为周期的函数。

5、设函数() , (,) f x x ∈-∞+∞的图形关于 , x a x b ==对称（ a b ≠），证明： () y f x =是周期函数，并求其周期。

提示：() () , () ()f a x f a x f b x f b x +=-+=-，于是() [()] [()] (2) =[(2)] f x f a x a f a x a f a x f b a x b =+-=--=-+--=[(2)] =[2()] f b a x b f x b a ---+-所以，() yf x =是周期函数，其周期=2() T b a -6、设2+2 , <0e , <1() = , () = , 1-1 , 0x x x x f x x x x x x ϕ⎧⎧⎨⎨≥≥⎩⎩ ，求(())f x ϕ。

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随堂练习一
第一章函数与极限
一、填空题
1、43
2lim
23=-+-→x k
x x x ，则k= 。

2、函数x
x
y sin =
有间断点，其中为其可去间断点。

3、若当0≠x 时，x
x
x f 2sin )(= ，且0)(=x x f 在处连续，则=)0(f 。

4、=++++∞→3
52352)
23)(1(lim
x x x x x x 。

5、3)
2
1(lim -∞
→=+e n
kn
n ，则k= 。

6、函数2
31
22+--=x x x y 的间断点是。

7、当+∞→x 时，
x
1
是比
3-+x 8、当0→x 时，无穷小x --11与x 相比较是无穷小。

9、函数x
e y 1=在x=0处是第类间断点。

10、设1
1
3
--=
x x y ，则x=1为y 的间断点。

11、已知33=⎪⎭
⎫
⎝⎛πf ，则当a 为时，函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3π=x 处连续。

12、设⎪⎩
⎪⎨⎧>+<=0)1(02sin )(1x ax x x
x
x f x 若)(lim 0
x f x →存在，则a= 。

13、设⎩
⎨⎧>≤+=0,cos 0
,)(x x x a x x f 在0=x 连续，则常数a= 。

二、计算题
1、计算下列极限（1）)2141211(lim n n ++++
∞
→ ；（2）2)1(321lim n
n n -++++∞→ ；
（3）35lim 22-+→x x x ；（4）1
1
2lim 221-+-→x x x x
（5）)12)(11(lim 2x
x x -+
∞
→ ；（6）x x x 1
sin lim 20→ ；
（7）x
x x x +---→131lim
21
；（8）)1(lim 2
x x x x -++∞
→ ；
2、计算下列极限（1）x wx x sin lim
0→ ；（2）x
x
x 5sin 2sin lim 0→ ；（3）x x x cot lim 0→ ；
（4）x x x x )1(
lim +∞→ ；（5）1
)11(lim -∞→-+x x x x ；（6）x x x 1
)1(lim -→ ； 3、比较无穷小的阶
（1）32220x x x x x --→与，时；（2）)1(2
1
112
x x x --→与，时； (3)当0→x 时， 232-+x
x
与x 。

4、利用等价无穷小性质求极限
（1）30sin sin tan lim x
x x x -→ ；（2）),()(sin )
sin(lim 0是正整数m n x x m n x → ；
5、讨论函数的连续性。

在⎩
⎨⎧=>-≤-=11,31
,1)(x x x x x x f 6、利用函数的连续性求极限（1）)(lim 22
x x x x x --
++∞
→；（2）x
x
x sin ln
lim 0
→ （3）x x x 2)11(lim +
∞→；（4）)1
1
(lim ,)1(lim )(1
--=+
→∞→t f n
x
x f t n
n 求设（5）)1(lim 2
x x x x -++∞
→ ；（6）1)1232(
lim +∞→++x x x x ；（7）3
0sin tan lim x x
x x -→ ；
7、设函数⎩⎨⎧≥+<=0
,0
,)(x x a x e x f x 应当怎样选择a ，使得)
()(∞+-∞，成为在x f 内的连续函数。

8、证明方程135
=-x x 至少有一个根介于1和2之间。

9、设⎪⎩⎪⎨⎧
≤+>=0
,0,1sin
)(2
x x a x x
x x f 要使),()(∞+-∞在x f 内连续，应当怎样选择数a ？
10、设⎪⎩⎪⎨⎧≤<-+>=-0
1,)1ln(0,)(11x x x e x f x 求)(x f 的间断点，并说明间断点类型。

参考答案
函数与极限
一、填空题
（1）-3 （2）0;,=∈=x z
k k x π （3）2 （4）
21 （5）2
3
- （6）x=1 , x=2 （7）高阶（8）同阶（9）二（10）可去（11）2 （12）-ln2
（13）1 二、计算题
1、（1）[ 2 ] （2）]2
1
[ （3）-9 （4）0 （5）2 （6）∞ （7）0 （8）22- 2、（1）w （2）
5
2 （3）1 （4）1-e （5）2e （6）1-e 3、（1）的低阶无穷小是3
2
2
2x x x x -- （2）是同阶无穷小
(3) 提示：x
x x x x x x 1312232-+-=-+ 令t x
=-12（同阶）
4、（1）21 （2）⎪⎩
⎪
⎨⎧>∞=<n
m n m n m ,,1,0
5、不连续
6、（1）1 （2）0 （3）2
e （4）0
（5）提示：乘以x x ++12
；
21
（6）提示：除以x 2 ；e （7）提示：用等阶无穷小代换；2
1
7、a=1
9、提示：)0()(lim )(lim 00f x f x f x x ==+
-
→→ （0=a ）
10、1=x 是第二类间断点，0=x 是第一类间断点。