高等数学(同济大学第七版)第一章函数与极限课后答案
高等数学第7版教材答案
高等数学第7版教材答案第一章：极限与连续1. 极限的概念与性质首先，我们来讨论极限的概念与性质。
在数学中，极限是描述函数在某个点附近的特性的概念。
假设有一个函数f(x)，如果当自变量x趋近于某一特定值a时，函数的取值也趋近于一个常数L，那么我们说函数f(x)在x趋近于a时的极限为L，记作lim┬(x→a)〖f(x)=L〗。
为了便于我们计算和研究数学问题，极限具有一些重要的性质。
这些性质包括极限的唯一性、四则运算法则和复合函数的极限等。
通过利用这些性质，我们可以更方便地求解极限的问题。
2. 函数的连续性接下来，我们将探讨函数的连续性。
在数学中，函数的连续性是指函数在其定义域上没有间断点的性质。
具体而言，如果一个函数f(x)在某一点a的极限存在且等于该点的函数值f(a)，那么我们说函数f(x)在点a处连续。
函数的连续性有许多重要的定理，如介值定理、零点定理和洛必达法则等。
这些定理在实际问题的分析和求解中起着重要的作用。
第二章：导数与微分1. 导数的概念和性质在这一章中，我们将学习导数的概念和性质。
导数是描述函数变化速率的概念，表示函数在某一点的斜率或变化率。
假设有一个函数f(x)，其导数可以表示为f'(x)或df/dx。
导数的定义是极限的一种形式，即f'(x)=lim┬(△x→0)〖(f(x+△x)-f(x))/△x〗。
导数具有一些重要的性质，如导数与函数的连续性、导数的四则运算法则和复合函数的导数等。
这些性质为我们研究函数的变化提供了便捷的工具。
2. 微分与微分中值定理微分是导数的应用之一，它用于描述函数在某一点附近的局部线性近似。
微分可以表示为dy=f'(x)dx，其中dy表示函数值的微小变化，dx表示自变量的微小变化。
微分在实际问题中的应用非常广泛，如线性近似、最优化和曲线的切线问题等。
微分中值定理是导数理论中的一个重要定理，它表明在某个区间内，存在一个点使得函数在这一点的导数等于函数在该区间两个端点的斜率之差的平均值。
高等数学同济第七版上册课后习题答案
高等数学同济第七版上册课后习题答案高等数学作为大学理工科专业的重要基础课程，对于学生的数学素养和后续专业课程的学习都具有至关重要的作用。
而同济大学出版的《高等数学》第七版上册更是被广泛采用的教材之一。
课后习题是巩固知识、检验学习效果的重要手段，因此，准确的课后习题答案对于学生的学习帮助极大。
在这本教材的上册中，涵盖了函数与极限、导数与微分、微分中值定理与导数的应用、不定积分、定积分及其应用等重要章节。
每一章的课后习题都经过精心设计，旨在帮助学生深入理解和掌握所学的知识点。
对于函数与极限这一章节，课后习题主要围绕函数的概念、性质、极限的定义、计算方法等展开。
例如，求某些复杂函数的极限可能需要运用到极限的四则运算法则、等价无穷小替换、洛必达法则等方法。
在解答这些习题时，需要学生对这些方法有清晰的理解和熟练的运用。
答案中应该详细说明每一步的计算过程和依据，让学生能够明白解题的思路。
导数与微分这部分的习题则侧重于导数的定义、求导法则以及微分的计算。
像复合函数求导、隐函数求导等都是常见的题型。
在给出答案时，要着重解释求导的步骤和关键要点，帮助学生掌握求导的技巧。
微分中值定理与导数的应用这一章节的习题相对较难，需要学生能够灵活运用中值定理解决问题，并且能够运用导数判断函数的单调性、极值和凹凸性等。
答案中应该清晰地展示如何运用定理进行推理和计算，以及如何根据导数的性质得出函数的相关性质。
不定积分的习题主要考查积分公式的运用和积分方法的选择，如换元积分法、分部积分法等。
答案中要详细说明积分的思路和方法，帮助学生理解不同积分方法的适用情况。
定积分及其应用部分的习题涉及定积分的计算、定积分的几何应用和物理应用等。
在答案中，不仅要给出定积分的计算过程，还要清晰地展示如何将定积分应用于求解面积、体积、做功等实际问题。
在提供课后习题答案时，要注重答案的规范性和准确性。
每一道题的答案都应该有清晰的步骤和逻辑，避免跳跃性的思维和不严谨的表述。
同济版高数第七版上册课后答案合集
同济版高数第七版上册课后答案合集高等数学是大学阶段的一门重要课程，对于理工科的学生来说尤为重要。
而同济版高数第七版上册是高等数学课程中的经典教材之一，其课后习题是检验学生对知识掌握程度的重要方式。
为了帮助学生更好地掌握课程内容，我们整理了《同济版高数第七版上册课后答案合集》，希望能对广大学生有所帮助。
第一章函数与极限。
1.1 函数的概念与性质。
1.2 三角函数。
1.3 常用初等函数的性质。
1.4 极限的概念。
1.5 极限的性质。
1.6 无穷小与无穷大。
1.7 极限运算法则。
第二章导数与微分。
2.1 导数的概念。
2.2 导数的运算法则。
2.3 高阶导数。
2.4 隐函数与参数方程的导数。
2.5 微分的概念。
2.6 微分中值定理。
2.7 几何应用。
第三章微分中值定理与导数的应用。
3.1 函数的单调性与曲线的凹凸性。
3.2 渐近线与曲线的渐近性。
3.3 函数的极值与最值。
3.4 弧微分。
3.5 函数的单调性与曲线的凹凸性。
3.6 渐近线与曲线的渐近性。
3.7 函数的极值与最值。
3.8 弧微分。
第四章不定积分。
4.1 不定积分的概念与性质。
4.2 不定积分的基本公式。
4.3 牲积分的运算法则。
4.4 有理函数的积分。
4.5 三角函数的积分。
4.6 有理函数的积分。
4.7 三角函数的积分。
第五章定积分。
5.1 定积分的概念与性质。
5.2 定积分的基本公式。
5.3 定积分的换元积分法。
5.4 定积分的分部积分法。
5.5 定积分的换限积分法。
5.6 定积分的应用。
第六章定积分的应用。
6.1 曲线长度。
6.2 曲边梯形的面积。
6.3 旋转体的体积。
6.4 平面图形的面积。
6.5 牲积分的应用。
第七章微分方程。
7.1 微分方程的基本概念。
7.2 可分离变量的微分方程。
7.3 齐次微分方程。
7.4 一阶线性微分方程。
7.5 可降阶的高阶微分方程。
7.6 可降阶的高阶微分方程。
以上是《同济版高数第七版上册》的主要内容，每一章节都包含了丰富的知识点和大量的习题。
高等数学同济第七版上册课后习题答案
习题1-11.求下列函数的自然定义域：(1)1(3)(5)sin (7)arcsin(3);(9)ln(1);y y x y y x y x ====-=+211(2);1(4);(6)tan(1);1(8)arctan ;(10).xe y xy y x y xy e =-==+=+=解：2(1)3203x x +≥⇒≥-，即定义域为2,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭2(2)101,x x -≠⇒≠±即定义域为(,1)(1,1)(1,)-∞-⋃-⋃+∞(3)0x ≠且2100x x -≥⇒≠且1x ≤即定义域为[)(]1,00,1-⋃2(4)402x x ->⇒<即定义域为(2,2)-(5)0,x ≥即定义域为[)0,+∞(6)1(),2x k k Z ππ+≠+∈即定义域为1(1,2x x R x k k Z π⎧⎫∈≠+-∈⎨⎬⎩⎭且(7)3124,x x -≤⇒≤≤即定义域为[]2,4(8)30x -≥且0x ≠，即定义域为(](,0)0,3-∞⋃(9)101x x +>⇒>-即定义域为(1,)-+∞(10)0,x ≠即定义域为(,0)(0,)-∞⋃+∞2.下列各题中，函数()f x 和()g x是否相同？为什么？222(1)()lg ,()2lg (2)(),()(3)()()(4)()1,()sec tan f x x g x x f x x g x f x g x f x g x x x========-解：（1）不同，因为定义域不同（2）不同，因为对应法则不同，,0(),0x x g x x x ≥⎧==⎨-<⎩（3）相同，因为定义域，对应法则均相同（4）不同，因为定义域不同3.设sin ,3()0,3x x x x πϕπ⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩求(),((),(2),644πππϕϕϕϕ--并指出函数()y x ϕ=的图形解：1()sin ,()sin 66244()sin(),(2)0,44ππππϕϕππϕϕ====-=-=-=()y x ϕ=的图形如图11-所示4.试证下列函数在指定区间内的单调性：(1);1(2)ln ,(0,)xy xy x x =-=++∞证明：1(1)()1,(,1)11x y f x x x===-+-∞--设121x x <<，因为212112()()0(1)(1)x x f x f x x x --=>--所以21()(),f x f x >即()f x 在(,1)-∞内单调增加(2)()ln ,(0,)y f x x x ==++∞设120x x <<，因为221211()()ln 0x f x f x x x x -=-+>所以21()()f x f x >即()f x 在(0,)+∞内单调增加5.设()f x 为定义在(,)l l -内的奇函数，若()f x 在(0,)l 内单调增加，证明()f x 在(,0)l -内也单调增加证明：设120l x x -<<<，则210x x l<-<-<由()f x 是奇函数，得2121()()()()f x f x f x f x -=-+-因为()f x 在(0,)l 内单调增加，所以12()()0f x f x --->即()f x 在(,0)l -内也单调增加6.设下面所考虑的函数都是定义在区间(,)l l -上的。
高数第七版习题答案
高数第七版习题答案高等数学第七版的习题答案涵盖了微积分、线性代数、常微分方程等多个数学领域，下面是一些常见习题的解答示例，以供参考：# 第一章：极限与连续性习题1：求函数 \( f(x) = x^2 - 1 \) 在 \( x = 1 \) 处的左极限和右极限。
解答：左极限 \( \lim_{x \to 1^-} (x^2 - 1) = 0 \)右极限 \( \lim_{x \to 1^+} (x^2 - 1) = 0 \)由于左极限和右极限相等，函数 \( f(x) \) 在 \( x = 1 \) 处的极限存在，且等于0。
# 第二章：导数与微分习题3：求函数 \( g(x) = \sin(x) + x^3 \) 的导数。
解答：\( g'(x) = \frac{d}{dx}(\sin(x) + x^3) = \cos(x) + 3x^2 \)# 第三章：积分学习题5：计算定积分 \( \int_{0}^{1} 2x \, dx \)。
解答：\( \int_{0}^{1} 2x \, dx = \left[ x^2 \right]_{0}^{1} = 1^2 -0^2 = 1 \)# 第四章：级数习题7：判断级数 \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \) 是否收敛。
解答：该级数是交错级数，可以使用比较判别法。
由于 \( \frac{1}{n^2} \) 随着 \( n \) 的增大而减小，且 \( \frac{1}{n^2} \leq\frac{1}{n(n-1)} = \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n} \)，而\( \sum_{n=2}^{\infty} \left( \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n}\right) \) 是收敛的，因此原级数也收敛。
# 第五章：多元函数微分学习题9：求函数 \( h(x, y) = xy^2 + \ln(x) \) 的偏导数。
同济大学数学系《高等数学》(第7版)(上册)教材包含 笔记 课后习题 考研真题 函数与极限(圣才出品
（2）有界性
如果数列{xn}收敛，则数列{xn}一定有界。
①有界数列：存在正数 M，使得对于一切 xn 都满足不等式|xn|≤M。
②无界数列：不存在正数 M，使得对于一切 xn 都满足不等式|xn|≤M。
（3）保号性
如果
lim
n
xn
a
，且
a＞0（或
a＜0），则存在正整数
N＞0，当
n＞N
时，都有
xn＞0
（4）初等函数
5 类基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。
二、数列的极限
1．数列极限的定义
数列{xn}收敛于
a⇔
lim
n
xn
a
⇔∀ε＞0，∃正整数
N，当
n＞N
时，有|xn－a|＜ε。
数列{xn}是发散⇔
lim
n
xn
不存在。
2．收敛数列的性质
（1）唯一性
如果数列{xn}收敛，则它的极限唯一。
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第 1 章 函数与极限
1.1 复习笔记
一、映射与函数 1．函数 （1）函数的性质（见表 1-1）
表 1-1 函数的性质
（2）反函数与复合函数 ①反函数的特点 a．函数 f 和反函数 f－1 的单调性一致。 b．f 的图像和 f－1 的图像关于直线 y＝x 对称。 ②复合函数 g 与 f 能构成复合函数 f°g 的条件是：f 的定义域与 g 的值域的交集不能为空集。 （3）函数的运算 设函数 f（x），g（x）的定义域为 Df，Dg，且定义域有交集为 D，则可定义这两个函
②如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，则数列{xn}是发散的。
同济大学《高等数学》第七版上、下册答案(详解)
练习7-6
总习题七
练习8-1
练习8-2
>
练习8-3
练习8-4
练习8-5
练习8-6
练习8-7
练习8-8
总习题八
练习9-1
练习9-2
>>
<<>>
<<
练习9-3
练习9-4
总习题九
练习10-1
练习10-2
练习10-3
练习10-4
练习10-5
练习10-6
练习10-7
总习题十
练习111
练习112
-
0
+
无
-
-
yf(x)
1
极小值
↗
无
↗
0
拐点
↗
无
↗
-1
极大值
练习3-7
总习题三
x
(, 0)
0
f(x)
+
不存在
-
0
+
f(x)
↗
2
极大值
↘
极小值
↗
练习4-2
练习4-3
练习4-4
>>>
总习题四
练习5-1
练习5-2
练习5-3
练习5-4
总习题五
练习6-2
练习6-3
总习题六
练习7-1
练习7-2
练习7-3
练习7-4
↘
17/5
极小值
↗
6/5
拐点
↗
2
拐点
↗
x
0
(01)
1
y
+
+
1.1映射与函数 同济大学高数(第七版)上册
f ( x )
y
y f ( x)
y f ( x)
f ( x)
f ( x )
-x o x
f ( x)
x
o
x
x
2 （两边对折重合）,如 y x
偶函数图形关于y轴对称
奇函数的图形关于原点对称
3 y x （一边旋转180度得到另一边），如
函数的奇偶性质：
（1）奇函数和偶函数的定义域必定是关于原点对称的； （2）两个偶函数的和、差、积、商仍是偶函数； （3）两个奇函数的和、差仍是奇函数，两个奇函数的积、商是偶函数； （4）奇函数与偶函数的积、商是奇函数； （5）奇函数与偶函数的代数和是非奇非偶函数， （6）任一定义在区间(-a,a)(a＞0)上的函数可表示成一个奇函数与一个偶函数之和.
二、函数的概念及其几种特性
1.函数的概念
X 和Y , 若 x X , 按照某种对应法则 f , 对应 定义 设给定两个非空实数集 唯一确定的一个实数 y Y , 则称 f 是定义在X上的函数, 简记为y f ( x), 其中x为自变量, y为因变量.
X 称为函数f 的定义域, 记为D f , 数x对应的数f ( x)称为x的函数值, 函数值的集合称为函数 f 的值域, 记为R f .
x (, 1) (1, )
x [1,4) (4, )
例2 判断下列函数是否相同
(1) f ( x) x,
x (,)； (2) f ( x) lg x 2 , g ( x) 2 lg x, g ( x) x 2 , x (,)
(1)表示不同的函数，因为它们的对应法则不同 . (2)表示不同的函数，因为它们的定义域不同 .
函数的单调性