第三节函数的极限讲解教学教案
高等数学教案(极限部分)3 函数极限的性质与计算
2
12
于是对 0, 只要取 min{ 1 , 2 } 0, 则当 0 | x x0 | , 恒有
| B g( x ) | | B g( x ) | 1 1 g( x ) B | g( x ) | | B | (| B | / 2) | B |
22
例
1 2 n 求 lim( 2 2 2 ). n n n n
解 当 n 时，这是无穷个无穷小的和，
不能直接用 “和的运算法则 ”，
1 2 n 1 2 n lim( 2 2 2 ) lim n n n n n n2 1 n( n 1) 1 1 1 2 lim (1 ) . lim 2 n 2 n 2 n n
3
x2
17
例
4x 1 求 lim 2 . x 1 x 2 x 3
解 lim( x 2 2 x 3) 0, 除法法则不能用, x 1
又 lim(4 x 1) 3 0,
x 1
x 2x 3 0 lim 0. x 1 3 4x 1
(lim x ) 2 3 lim x lim 5
x2 x2 x2
2 2 3 2 5 3 0,
23 1 7 x 1 x2 lim 2 x2 2 . x2 x 3 x 5 3 lim( x 3 x 5) 3
3
lim x lim1
23
例 解
sin x 求 lim . x x
y
sin x x
当 x 时，
1 0, x
而 sin x是有界函数.
sin x lim 0. x x
《函数的极限》教学设计
《函数的极限》教学设计函数的极限教学设计
简介
这份教学设计旨在帮助学生掌握函数的极限概念，理解其应用以及解决其中的问题。
教学目标
- 学生能够定义函数的极限概念
- 学生能够计算数列的极限
- 学生能够用数列的极限证明函数的极限
- 学生能够运用函数的极限概念解决实际问题
教学内容和方法
1. 概念讲解：首先通过PPT和讲解介绍函数的极限概念及其特点，帮助学生了解极限的概念与性质。
2. 例题演练：通过多个例子演示，帮助学生加深对极限概念的理解，掌握极限的基本计算方法。
3. 理论总结：通过对前面所学知识的梳理和总结，帮助学生更清晰地认识到极限的应用范围并说明其中的问题。
4. 应用拓展：通过实际问题引入，让学生学会运用函数极限来解决实际问题。
教学评估
针对学生的掌握情况与适应程度，我会使用以下方法来进行评估和反馈：
- 课堂练：通过课堂练来检验学生对应用的掌握程度。
- 知识点检测：通过随堂测验来检验学生对知识点的掌握和理解，以方便我的后续教学。
- 个性化指导：对学生的研究情况进行个性化指导和调整，帮助学生更好地掌握知识。
结论
通过本教学设计，我相信学生将会获益甚多，对极限概念和应用有更深入的了解，并有能力运用它解决实际问题。
同时，我也将在教学过程中反思和完善自身的教学方法，为学生提供更优质的教学体验。
《数学分析》第三章 函数极限教案
f (x) A (x x0 ) 。
下面我们举例说明如何应用 定义来验证这种类型的函数极限。请读者特
别注意以下各例中 的值是怎样确定的。
例 3 设 f (x) x 2 4 ，证明 lim f (x) 4 。
Байду номын сангаас
x2
x2
证 由于当
时， f (x) 4 x 2 4 4 x 2 4 x 2 , x2
证 任给 0 ，由于
arctan x ( ) 2
（2）
等价于 arctan x ，而此不等式的左半部分对任何 x 都成立，
2
2
所以只要考察其右半部分 x 的变化范围。为此，首先限制 ，则有 2
. 4.
x
tan(
)
tan(
)
2
2
故对任给的正数
，只须取 M
tan(
lim f (x) A lim f (x) A, lim f (x) A
x
x
x
例 1 证明 lim 1 0 。 x x
（1）
证
任给
0 ，取 M
1
，则当
x
M
时,有:
1 0 1 1
x
xM
所以 lim 1 0 。 x x
例 2 证明：1） lim arctan x ；
x
2
2） lim arctan x x
) ，则当 x
M
时,便有
2
2
（2）式成立。这就证明了 1）。类似地可证 2）。
注 由结论（1）可知，当 x 时 arctan x 不存在极限。(为什么？)
二． x 趋于 x0 时函数的极限
设 f (x) 为定义在 x0 某个空心邻域U 0 (x0 ) 内的函数。现在讨论当 x 趋于 x0 (x x0 ) 时，对应的函数值能否趋于某个定数 A 。
函数极限 教案
函数极限教案教案标题：函数极限教案目标：1. 理解函数极限的概念和意义；2. 掌握计算函数极限的方法；3. 能够应用函数极限解决实际问题。
教案步骤：一、导入（5分钟）1. 引入函数极限的概念，例如：当自变量趋向于某个特定值时，函数的取值会趋向于一个确定的值。
2. 提问学生是否了解函数极限，并鼓励他们分享自己的理解和经验。
二、概念讲解（15分钟）1. 解释函数极限的数学定义：对于函数f(x)，当x趋近于某个特定值a时，如果存在一个实数L，使得对于任意给定的正数ε，都存在一个正数δ，使得当0 < |x - a| < δ时，有|f(x) - L| < ε，那么我们称L是函数f(x)在x=a处的极限。
2. 引导学生理解ε-δ语言的含义，并通过图示和实例说明。
三、计算方法（20分钟）1. 介绍计算函数极限的方法，包括代入法、夹逼准则、无穷小量法等。
2. 通过例题演示不同方法的应用，让学生理解和掌握计算函数极限的步骤和技巧。
四、实例分析（15分钟）1. 提供一些实际问题，例如物理、经济等领域的应用问题。
2. 引导学生分析问题，建立函数模型，并利用函数极限解决问题。
五、练习与总结（15分钟）1. 给学生分发练习题，包括计算函数极限和应用题。
2. 鼓励学生独立解题，并及时给予指导和反馈。
3. 总结本节课的要点和难点，并鼓励学生提出问题和分享自己的思考。
教案评估：1. 课堂参与度：观察学生在导入环节的回答和讨论，评估他们对函数极限概念的理解程度。
2. 计算能力：通过练习题的完成情况评估学生对计算函数极限的掌握程度。
3. 应用能力：观察学生在实例分析环节的表现，评估他们能否将函数极限应用于实际问题的解决。
教案扩展：1. 深入讨论函数极限的性质和定理，如函数极限的唯一性、函数极限与连续性的关系等。
2. 探究无穷大和无穷小的概念，引入无穷小量的定义和性质，拓展函数极限的应用范围。
函数的极限 教学设计
当 时， 当 时，
二、 时函数的极限
当 时， 当 时，
三、单侧极限（ 、 ）
四、函数极限的性质定理
六、教学反思与改进
三、教学思想
根据教材编排的教学内容和学生的认知特点，在教学中要特别注意从学生已有的知识和经验出发，利用各种学习内容为学生提供充分的、现实的数学探究活动以及交流的机会，让学生在获得丰富的数学经验的同时，逐步形成探索数学问题的兴趣和创新的意识，逐步发展数学思维能力。
四、教学方法和策略
讲授、启发式、讲练结合
课题名称
函数的极限
科目
高等数学
教学对象
大一学生
一、教学分析
教学内
容分析
函数的极限安排在数列极限之后，数列的极限自变量只能取正整数，而由于函数自变量变化范围的灵活性，分为 、 、 、 、 、 这几种情况。
教 学
重难点
重点：从函数自变量的变化趋势来理解函数的极限的概念，体会极限的思想。
难点：体会自变量不同变化情况下，函数极限的严格定义。
五、教学安排
教学过程
教师活动
学生活动
设计意图
时间分配
创设情境，导入新课
1、结合例题回顾数列的极限
2、把数列改编成函数，考虑函数 的极限
类比计算
复习旧知，引入新课
3-5分钟
合作探究，得出定义
3.总结得出 时函数极限的严格定义，进而得到 、 的函数极限的定义
理解 的定义
师生共同探索抓住重点
6-8分钟
例题讲解、及时巩固
二、教学目标
知识与技能
目 标
使学生在直观理解函数极限的基础上掌握函数的 定义和 定义，并会用 和 的定义去证明极限。
高数教案_函数极限3
课 题: 函数极限 目的要求：了解x →∞,0x x →时函数()f x 有极限的概念掌握函数极限的充要条件掌握函数极限的性质 进一步掌握极限的ε定义 教学重点：函数极限定义与应用 教学难点：函数极限定义与应用 教学课时：2教学方法： 讲练结合 教学内容与步骤：前面讨论了数列x n =f (n )的极限, 它是函数极限中的特殊情形, 特殊性在于: n 只取自然数, 且n 趋于无穷大.现在讨论y =f (x )的极限, 自变量x 大致有两种变化形式. (1) x →∞, (2) x →x 0 (有限数). 并且, x 不是离散变化的, 而是连续变化的. 一，x →∞时函数()f x 的极限x →+∞时或x →-∞时函数()f x 的极限：设f (x )在(M , +∞) （或(-,∞-M ))内有定义, 若∀ε >0, ∃X >0, 当x >X (或x <-X )时, 相应的函数值f (x )满足| f (x )-a |<ε.则称常数a 为f (x )当x →+∞（或x →-∞）时的极限, 记作：lim ()x f x a →+∞=也可记为 f (x )→a , (x →+∞) lim ()x f x a →-∞=也可记为 f (x )→a , (x →-∞)此时也称当x →+∞(x →–∞)时, f (x )的极限存在. 否则, 称它的极限不存在函数极限 ：()lim ()x x f x a →+∞→-∞=：若∀ε >0, ∃X >0, 当x >X (或x <-X ) 时, 有|f (x )-a |<ε.数列极限：lim .n n x a →∞=：若∀ε >0, ∃正整数N , 使得当n >N 时, 都有|x n -a |<ε,注：将这个定义和数列极限定义相比较, 就是将x n =f (n )换成了f (x ). 将“ ∃正整数N ”换成“ ∃实数X >0”.但是, 数列极限中n 是离散变化的, 而这里x 是连续变化的. 例： 由图可知： 1lim0x x →-∞=；1lim 0x x→+∞=． 类似于：1/N->0(N -∞)由图可知 lim e0xx -→+∞=．例， 证明：limx =证： 由于 |0|||-=≤，故 0ε∀> ，要使|0|ε-< ，只要ε< ，即21x ε>，因此，0ε∀>, 可取21X ε= ，则当x>X 时，|0|ε-< ，故由定义得： limx =练习：证明：lim 100xx -→+∞=注：x<lg ε，可取X= |lg ε|+1，当x<-X 时，满足极限定义。
函数极限教案
函数极限教案一、教学目标:1. 了解函数极限的概念和基本性质；2. 学会计算函数极限的方法；3. 掌握函数极限的一些基本定理；4. 能够应用函数极限解决实际问题。
二、教学重点:1. 函数极限的概念和性质；2. 函数极限的计算方法。
三、教学难点:1. 函数极限的应用；2. 函数极限的证明。
四、教学准备:1. 教材：高中数学课本；2. 教具：黑板、粉笔、教案。
五、教学过程:Step 1: 引入教师向学生介绍函数极限的概念和重要性，从实际生活中的例子引入函数极限的概念，如用车辆行驶速度来解释函数极限的概念。
Step 2: 基本概念和性质1. 定义函数极限的概念，即当自变量逼近某一特定值时，函数值的变化趋势；2. 解释函数极限的性质，如唯一性、局部性、保号性等。
Step 3: 函数极限的计算方法1. 讲解函数极限的计算方法，包括代入法、夹逼法、特殊函数极限的计算方法等；2. 给出一些常见函数极限的计算例题，带领学生进行计算和解答。
Step 4: 函数极限的一些基本定理1. 引入函数极限的一些基本定理，如函数极限的四则运算法则、复合函数的极限、函数的左极限和右极限等；2. 结合例题进行讲解和解答，巩固学生对基本定理的理解和掌握。
Step 5: 函数极限的应用引导学生将函数极限的概念、计算方法和基本定理应用到实际问题中，如物理学中的运动问题、经济学中的生产函数问题等。
Step 6: 函数极限的证明介绍函数极限的证明方法，如用ε-δ语言证明函数极限等；以一些典型的函数极限为例，进行证明过程的演示。
六、教学延伸:1. 教师可以引导学生做一些拓展探究和实际运用的练习，进一步理解和巩固函数极限的概念和计算方法；2. 鼓励学生多阅读相关文献和材料，扩大对函数极限的了解和认识。
七、教学反思:通过本节课的教学，学生对函数极限的概念和性质有了初步的了解，掌握了一些函数极限的计算方法和基本定理。
但是，部分学生对函数极限的证明仍然存在障碍，需要在后续的学习中强化。
《数学分析》教案第三章 函数极限
《数学分析》教案-第三章函数极限第三章 函数极限在《数学分析》中，所讨论的极限基本上分两部分，第一部分是“数列的极限”，第二部分是“函数的极限”.二者的关系到是“特殊”与“一般”的关系；数列极限是函数极限的特例.通过数列极限的学习.应有一种基本的观念：“极限是研究变量的变化趋势的”或说：“极限是研究变量的变化过程，并通过变化的过程来把握变化的结果”.例如，数列{}n a 这种变量即是研究当n →+∞时，{}n a 的变化趋势.我们知道，从函数角度看，数列{}n a 可视为一种特殊的函数f ，其定义域为N +，值域是{}n a ，即:()n f N R n a +→→; 或 (),n f n a n N +=∈或()n f n a =.研究数列{}n a 的极限，即是研究当自变量n →+∞时，函数()f n 变化趋势. 此处函数()f n 的自变量n 只能取正整数！因此自变量的可能变化趋势只有一种，即n →+∞.但是，如果代之正整数变量n 而考虑一般的变量为x R ∈，那么情况又如何呢？具体地说，此时自变量x 可能的变化趋势是否了仅限于x →+∞一种呢？为此，考虑下列函数:1,0;()0,0.x f x x ≠⎧=⎨=⎩类似于数列，可考虑自变量x →+∞时，()f x 的变化趋势；除此而外，也可考虑自变量x →-∞时，()f x 的变化趋势；还可考虑自变量x →∞时，()f x 的变化趋势；还可考虑自变量x a →时，()f x 的变化趋势,.由此可见，函数的极限较之数列的极限要复杂得多，其根源在于自变量性质的变化.但同时我们将看到，这种复杂仅仅表现在极限定义的叙述有所不同.而在各类极限的性质、运算、证明方法上都类似于数列的极限.下面，我们就依次讨论这些极限.§1 函数极限的概念教学目标：掌握各种函数极限的分析定义，能够用分析定义证明和计算函数的极限．教学要求：掌握当0x x →；∞→x ；∞+→x ；∞-→x ；+→0x x ；-→0x x 时函数极限的分析定义，并且会用函数极限的分析定义证明和计算较简单的函数极限．教学建议：本节的重点是各种函数极限的分析定义．对多数学生要求主要掌握当0x x →时函数极限的分析定义，并用函数极限的分析定义求函数的极限.一、x →+∞时函数的极限 (一) 引言设函数定义在[,)a +∞上，类似于数列情形，我们研究当自变量x →+∞时，对应的函数值能否无限地接近于某个定数Ａ.这种情形能否出现呢？回答是可能出现，但不是对所有的函数都具此性质.例如 1(),f x x x =无限增大时，()f x 无限地接近于0；(),g x arctgx x =无限增大时，()f x 无限地接近于2π；(),h x x x =无限增大时，()f x 与任何数都不能无限地接近.正因为如此，所以才有必要考虑x →+∞时，()f x 的变化趋势.我们把象()f x ，()g x 这样当x →+∞时，对应函数值无限地接近于某个定数Ａ的函数称为“当x →+∞时有极限Ａ”.问题 如何给出它的精确定义呢? 类似于数列,当x →+∞时函数极限的精确定义如下. (二) x →+∞时函数极限的定义定义1 设f 为定义在[,)a +∞上的函数，Ａ为实数.若对任给的0ε>，存在正数Ｍ()a ≥，使得当x M >时有 |()|f x A ε-<, 则称函数f 当x →+∞时以Ａ为极限.记作lim ()x f x A →+∞=或()()f x A x →→+∞.(三) 几点注记 1、义1中作用ε与数列极限中ε作用相同，衡量()f x 与Ａ的接近程度，正数Ｍ的作用与数列极限定义中Ｎ相类似，表明x 充分大的程度；但这里所考虑的是比Ｍ大的所有实数x ，而不仅仅是正整数n.2、lim ()x f x A →+∞=的邻域描述：,(),U ε∀∃+∞当()x U ∈+∞时，()(;).f x U A ε∈3、lim ()x f x A →+∞=的几何意义：对ε∀，就有y A ε=+和y A ε=-两条直线，形成以Ａ为中心线，以2ε为宽的带形区域.“当x M >时有|()|f x A ε-<”表示：在直线x M =的右方，曲线()y f x =全部落在这个带形区域内.如果ε给得小一点，即带形区域更窄一点，那么直线x M =一般往右移；但无论带形区域如何窄，总存在正数Ｍ，使得曲线()y f x =在x M =的右边的全部落在这个更窄的带形区域内.4、现记f 为定义在()U -∞或()U ∞上的函数，当x →-∞或x →∞时，若函数值()f x 能无限地接近于常数Ａ，则称f 当x →-∞或x →∞时时以Ａ为极限，分别记作，lim ()x f x A →-∞=或()()f x A x →→-∞，lim ()x f x A →∞=或()()f x A x →→∞.这两种函数极限的精确定义与定义1相仿，简写如下：lim ()x f x A →-∞=0,0,M ε⇔∀>∃>当x M <-时，|()|f x A ε-<，lim ()x f x A →∞=0,0,M ε⇔∀>∃>当||x M >时，|()|f x A ε-<.5、推论 设()f x 为定义在()U ∞上的函数，则lim ()x f x A →∞=⇔lim ()lim ()x x f x f x A →+∞→-∞==.(四) 利用lim ()x f x →+∞＝Ａ的定义验证极限等式举例例1 证明 1lim0x x→∞=. 例2 证明 1）lim 2x arctgx π→-∞=-；2）lim 2x arctgx π→+∞=.二、0x x →时函数的极限 (一) 引言上节讨论的函数f 当x →+∞时的极限，是假定f 为定义在[,)a +∞上的函数，这事实上是()U +∞，即f 为定义在()U +∞上，考虑x →+∞时()f x 是否趋于某个定数Ａ.本节假定f 为定义在点0x 的某个空心邻域()00U x 内的函数，.现在讨论当00()x x x x →≠时，对应的函数值能否趋于某个定数Ａ数列.先看下面几个例子：例1 ()1(0)f x x =≠.（()f x 是定义在0(0)U 上的函数，当0x →时，()1f x →）.例2 24()2x f x x -=-.（()f x 是定义在0(2)U 上的函数，当2x →时，()4f x →）.例3 1()f x x=.（()f x 是定义在0(0)U 上的函数，当0x →时，()?f x →）. 由上述例子可见，对有些函数，当00()x x x x →≠时，对应的函数值()f x 能趋于某个定数Ａ；但对有些函数却无此性质.所以有必要来研究当00()x x x x →≠时，()f x 的变化趋势.我们称上述的第一类函数()f x 为当0x x →时以Ａ为极限，记作0lim ()x x f x A →=.和数列极限的描述性说法一样，这是一种描述性的说法.不是严格的数学定义.那么如何给出这类函数极限的精确定义呢？作如下分析：“当自变量x 越来越接近于0x 时，函数值()f x 越来越接近于一个定数Ａ”→只要x 充分接近0x ，函数值()f x 和Ａ的相差就会相当小→欲使|()|f x A -相当小，只要x 充分接近0x 就可以了.即对0,0εδ∀>∃>，当00||x x δ<-<时，都有|()|f x A ε-<.此即lim ()x x f x A →=.(二) 00()x x x x →≠时函数极限的εδ-定义定义2 设函数()f x 在点0x 的某个空心邻域()00;U x δ'内有定义，Ａ为定数，若对任给的0,()0εδδ'∀>∃<>，使得当00||x x δ<-<时有|()|f x A ε-<，则称函数f 当 x 趋于0x 时以Ａ为极限（或称Ａ为0x x →时()f x 的极限），记作0lim ()x x f x A →=或（0()()f x A x x →→.(三) 函数极限的εδ-定义的几点说明1、|()|f x A ε-<是结论，00||x x δ<-<是条件，即由00||x x δ<-<推出.2、ε是表示函数()f x 与Ａ的接近程度的.为了说明函数()f x 在0x x →的过程中，能够任意地接近于Ａ，ε必须是任意的.这即ε的第一个特性——任意性，即ε是变量；但ε一经给定之后，暂时就把ε看作是不变的了.以便通过ε寻找δ，使得当00||x x δ<-<时|()|f x A ε-<成立.这即ε的第二特性——暂时固定性.即在寻找δ的过程中ε是常量；另外，若ε是任意正数，则2,2εε均为任意正数，均可扮演ε的角色.也即ε的第三个特性——多值性；（|()|f x A ε-<|()|f x A ε⇔-≤）3、δ是表示x 与0x 的接近程度，它相当于数列极限的N ε-定义中的Ｎ.它的第一个特性是相应性.即对给定的0ε>，都有一个δ与之对应，所以δ是依赖于ε而适当选取的，为此记之为0(;)x δε；一般说来，ε越小，δ越小.但是，定义中是要求由00||x x δ<-<推出|()|f x A ε-<即可，故若δ满足此要求，则,23δδ等等比δ还小的正数均可满足要求，因此δ不是唯一的.这即δ的第二个特性——多值性.4、在定义中，只要求函数f 在0x 的某空心邻域内有定义，而一般不要求f 在0x 处的函数值是否存在，或者取什么样的值.这是因为，对于函数极限我们所研究的是当x 趋于0x 的过程中函数的变化趋势，与函数在该处的函数值无关.所以可以不考虑f 在点a 的函数值是否存在，或取何值，因而限定“00||x x <-”.5、定义中的不等式00||x x δ<-<00(,)x U x δ⇔∈；|()|()(;)f x A f x U A εε-<⇔∈.从而定义2⇔0,0εδ∀>∃>，当00(,)x U x δ∈时，都有()(;)f x U A ε∈⇔0,0εδ∀>∃>，使得()00(,)(;)f U x U A δε⊂.6、εδ-定义的几何意义.例1 设24()2x f x x -=-，证明：2lim ()4x f x →=.例2 设()1(0)f x x =≠，讨论0x →时()f x 的极限. 例3 证明 1）00lim sin sin x x x x →=；2）00lim cos cos x x x x →=.例4 证明 22112lim 213x x x x →-=--.例5 证明lim x x →=0(||1)x <.例6 证明 00lim ,lim x x x x C C x x →→==.例7 证明)0(11lim≠=→a ax ax .证明 注意到a x a x a x ⋅-=-11，要想它任意小，a x -可任意小，x 却不能任意小，当ax →时，它必须远离零点.当2a a x <-时，2aa x a x >--≥就远离零点了.0>∀ε, 取)2,2min(2εδaa =，则当δ<-<a x 0时, 有ε<-≤-2||211a a x a x .例8 证明 ax ax =→lim.证明 先设0=a ，要证0lim0=+→x x ，0>∀ε，要使ε<=x x , 取2εδ=，则当δ<<x 0时，有εδ<<=x x ，即 0lim 0=+→x x . 再设0>a ，0>∀ε, 要使ε<-a x ，注意到ax aax a x a x -≤+-=-1，只要ε<-a x a 1, 且0>x ，取)2,min(aa εδ=，则当δ<-<a x 0时，有ε<-a x ，即ax ax =→lim.例9 验证.222lim 22=-+∞→x xx x证明 . 422 2 4 24 222 2423222x xx x x x x x x x x x =-+-+=--+>>例10 验证 .512372933lim 2233=+--+-→x x x x x x证明 由,3≠x 512)3( )12()3( )3( 5123729332223----+=-+--+-x x x x x x x x x =.12395125395 5121232---≤---=--+x x x x x x x x 为使 ,11635615595≤+-≤+-=-x x x 需有 ;13<-x 为使 ,1325562 12>--≥+-=-x x x 需有 .23<-x于是, 倘限制 130<-<x , 就有512372933 223-+--+-x x x x x 12395---≤x x x .3111311-=-≤x x . 三、单侧极限 (一) 引言有些函数在其定义域上某些点左侧与右侧的解析式不同，如21,0(),0x x f x x x ⎧≥=⎨<⎩ 或函数在某些点仅在其一侧有定义，如2()0f x x =≥.这时，如何讨论这类函数在上述各点处的极限呢？此时，不能再用前面的定义（讨论方法），而要从这些点的某一侧来讨论.如讨论1()f x 在0x →时的极限.要在0x =的左右两侧分别讨论.即当0x >而趋于0时，应按21()f x x =来考察函数值的变化趋势；当0x <而趋于0时，应按1()f x x =来考察函数值的变化趋势；而对2()f x ，只能在点0x =的右侧，即0x >而趋于0时来考察.为此，引进“单侧极限”的概念.(二) 单侧极限的定义定义 3 设函数f 在00(;)U x δ+'内有定义，Ａ为定数.若对任给的0,()0εδδ'∀>∃<>，使得当00x x x δ<<+时有|()|f x A ε-<, 则称数Ａ为函数f 当x 趋于0x 时的右极限，记作lim ()x x f x A +→=或0()()f x A x x +→→或0(0)f x A +=.类似可给出左极限定义（00(;)U x δ-，00x x x δ-<<，0lim ()x x f x A -→=或0()()f x A x x -→→或0(0)f x A -=）.注 右极限与左极限统称为单侧极限.(三) 例子例1 讨论函数1()f x 在0x =的左、右极限. 例2 讨论sgn x 在0x =的左、右极限.例3 讨论函数1±处的单侧极限.(四) 函数极限0lim ()x x f x →与0lim (),lim ()x x x x f x f x +-→→的关系定理3.1 0lim ()lim ()lim ()x x x x x x f x A f x f x A +-→→→=⇔==.证明 必要性:0>∀ε, 由Ax f x x =→)(lim 0, 0>∃δ, 使得当δ<-<00x x 时，有ε<-A x f )(，特别地当δ<-<00x x 时，有ε<-A x f )(，故A x f x x =+→)(lim 00.同理当δ<-<x x 00时，也有ε<-A x f )(, 故A x f x x =-→)(lim 00.充分性: 0>∀ε, 由A x f x x =+→)(lim 00，01>∃δ, 使得当100δ<-<x x 时，有ε<-A x f )(, 又由Ax f x x =-→)(lim 00, 02>∃δ, 使得当200δ<-<x x 时，有ε<-A x f )(. 令),m in(21δδδ=,当δ<-<00x x 时，有ε<-A x f )(，故Ax f x x =→)(lim 0.注：1）利用此可验证函数极限的存在，如由定理3.1知：10lim ()0x f x →=.还可说明某些函数极限不存在，如由例2知0limsgn x x →不存在.2）0(0)f x +，0(0)f x -，0()f x 可能毫无关系，如例2.§2 函数极限的性质教学目标：使学生掌握函数极限的基本性质.教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等. 教学重点：函数极限的性质及其计算. 教学难点：函数极限性质证明及其应用. 教学方法：讲练结合.在§1中我们引进了下述六种类型的函数极限：1、lim ()x f x →+∞；2、lim ()x f x →-∞；3、lim ()x f x →∞；4、0lim ()x x f x →;5、0lim ()x x f x +→；6、0lim ()x x f x -→.它们具有与数列极限相类似的一些性质，下面以0lim ()x x f x →为代表来叙述并证明这些性质.至于其它类型极限的性质及其证明，只要作相应的修改即可.一、函数极限的性质性质1（唯一性） 如果)(lim x f ax →存在，则必定唯一.证法一 设)(lim x f ax →A =，Bx f a x =→)(lim ,则,0,01>∃>∀δε当1||0δ<-<a x 时，ε<-|)(|A x f , (1),02>∃δ当2||0δ<-<a x 时，ε<-|)(|B x f . (2)取{}2,1min δδδ=，则当δ<-<a x 0时（1）和（2）同时成立.因而有ε2)()())(())((<-+-≤---=-B x f A x f B x f A x f B A , (3)由ε的任意性，（3）式只有当=-B A 时，即B A =时才成立.证法二 反证,如)(lim x f a x →A =，Bx f a x =→)(lim 且B A >，取20BA -=ε，则0>∃δ，使当δ<-<a x 0时，0)(,)(εε<-<-B x f A x f ,即2)(200BA B x f A B A +=+<<-=+εε 矛盾.性质2（局部有界性） 若0lim ()x x f x →存在，则f 在0x 的某空心邻域内有界.证明 取10=ε, 由 A x f x x =→)(lim 0, 0>∃δ, 当δ<-<00x x 时, 有1)(<-A x f ,即 1)()(+≤-+≤A A x f A x f ， 说明)(x f 在);(00δx U 上有界，1+A 就是一个界.性质3（保序性） 设bx f ax =→)(lim ，cx g ax =→)(lim .1）若c b >，则0>∃δ，当0δ<-<a x 时有)()(x g x f >；2）若00>∃δ，当0δ<-<a x 时有)()(x g x f ≥，则c b ≥.（保不等式性）证明 1） 取20cb -=ε即得.2）反证，由1）即得.注 若在2）的条件中, 改“)()(x g x f ≤”为“)()(x g x f <”, 未必就有.B A < 以 0 ,1)( ,1)(02=≡+=x x g x x f 举例说明.推论（局部保号性） 如果b x f a x =→)(lim 且0≠b ，则00>∃δ使当00δ<-<a x 时)(x f 与b 同号.性质4（迫敛性） 设0lim ()lim ()x x x x f x h x A →→==，且在某00(;)U x δ'内有()()()f x g x h x ≤≤，则0lim ()x x h x A →=.证明 0>∀ε, 由A x f x x =→)(lim 0，01>∃δ，使得当100δ<-<x x 时，有ε<-A x f )(，即 εε+<<-A x f A )(.又由A x h x x =→)(lim 0，02>∃δ，使得当200δ<-<x x 时 ，有ε<-A x h )(， 即εε+<<-A x h A )(.令),m in(21δδδ=，则当δ<-<00x x 时，有εε+<≤≤<-A x h x g x f A )()()(即 ε<-A x g )(，故 A x g x x =→)(lim 0.性质6（四则运算法则） 若0lim ()x x f x →和0lim ()x x g x →都存在，则函数,f g fg ±当0x x →时极限也存在，且 1）[]0lim ()()lim ()lim ()x x x x x x f x g x f x g x →→→±=±；2）()0lim ()()lim ()lim ()x x x x x x f x g x f x g x →→→⋅=⋅. 又若0lim ()0x x g x →≠，则fg当0x x →时极限也存在，且有 3）000lim ()()lim ()lim ()x xx x x x f x f x g x g x →→→=. 3）的证明 只要证B x g x x 1)(1lim 0=→，令020>=B ε，由B x g x x =→)(lim 0，01>∃δ使得当100δ<-<x x 时，有2)(B B x g <-， 即22)()(BB B B x g B x g =-≥--≥. 0>∀ε, 仍然由B x g x x =→)(lim 0，02>∃δ, 使得当200δ<-<x x 时，有ε2)(2BB x g <-. 取),m in(21δδδ=，则当δ<-<00x x 时，有εε=⋅<-≤-=-22)(2)()(1)(1222BB B x g B B x g B x g B x g 即 B x g xx 1)(1lim 0=→.二、利用函数极限的性质计算某些函数的极限利用“迫敛性”和“四则运算”，可以从一些“简单函数极限”出发，计算较复杂函数的极限.已证明过以下几个极限：;cos cos lim ,sin sin lim ,lim ,lim 0000x x x x x x C C x x x x x x x x ====→→→→.2lim ,01limπ±==±∞→∞→arctgx x x x （ 注意前四个极限中极限就是函数值 ） 这些极限可作为公式用.在计算一些简单极限时, 利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质, 把所求极限化为基本极限, 代入基本极限的值, 即计算得所求极限.例1 求01lim x x x →⎡⎤⎢⎥⎣⎦.例2 求4lim(1)x xtgx π→-.例3 求3113lim()11x x x →--++. 例4 .523735lim 233+++-∞→x x x x x 例5 .11lim 1071--→x x x [利用公式121(1)(1)n n n a a a a a ---=-++++].例6 .2122lim221-+-+-→x x x x x例7 .53132lim22++++∞→x x x x例8 .23)102sin(lim254xx x x x --+∞→例9 .1111lim3-+-+→x x x§3 函数极限存在条件教学目标：理解并运用海涅定理与柯西准则判定某些函数极限的存在性. 教学要求：掌握海涅定理与柯西准则，领会其实质以及证明的基本思路. 教学重点：海涅定理及柯西准则. 教学难点：海涅定理及柯西准则 运用.教学方法：讲授为主，辅以练习加深理解，掌握运用.在讨论数列极限存在条件时，我们曾向大家介绍过“单调有界定理”和“柯西收敛准则”.我们说数列是特殊的函数，那么对于函数是否也有类似的结果呢？或者说能否从函数值的变化趋势来判断其极限的存在性呢？这是本节的主要任务.本节的结论只对0x x →这种类型的函数极限进行论述，但其结论对其它类型的函数极限也是成立的.首先介绍一个很主要的结果——海涅(Heine)定理（归结原则）.一、归结原则定理1（Heine 定理） 设f 在00(;)U x δ'内有定义，0lim ()x x f x →存在⇔对任何含于00(;)U x δ'且以0x 为极限的数列{}n x ，极限lim ()n n f x →∞都存在且相等.证明 必要性:在()0U x 中任取序列}{n x ，且0lim x x n n =∞→，要证Ax f n n =∞→)(lim .0>∀ε，由Ax f x x =→)(lim 0，0>∃δ，使得当δ<-<00x x 时，有ε<-A x f )(.对于0>δ，由0x x n →，N ∃，使得当N n >时，有δ<-<00x x n ，于是当N n >时，有ε<-A x f n )(，即A x f n n =∞→)(lim .充分性:如果不然，即0x x →时，)(x f 不以A 为极限，则00>∃ε，0>∀δ，δδδ<-<∈∃0000)(x x x U x ，使得0)(εδ≥-A x f .令),2,1(1 ==n n δ，则n x x x U x n n 10,)(000<-<∈∃，使得0)(ε≥-A x f n .对于序列}{n x ，0x x n →，()0n x U x ∈，但0)(ε≥-A x f n ，显然与条件Ax f n n =∞→)(lim 矛盾.判断)(lim 0x f x x →不存在之方法：()0U x 中找到两个序列}{nx '和}{n x ''向于0x ，两个极限)(lim nn x f '∞→和)(lim n n x f ''∞→在，但不相等，这实际上是充要条件，证明到它的充分性.注 1 {}()n f x 是数列，lim ()n n f x →∞是数列的极限.所以这个定理把函数()f x 的极限归结为数列{}()n f x 的极限问题来讨论，所以称之为“归结原则”.由此，可由数列极限的性质来推断函数极限性质.注2 从Heine 定理可以得到一个说明0lim ()x x f x →不存在的方法，即“若可找到一个数列{}n x ，0lim n n x x →∞=，使得lim ()n n f x →∞不存在；”或“找到两个都以0x 为极限的数列{}{},nnx x '''，使lim (),lim ()nnn n f x f x →∞→∞'''都存在但不相等，则0lim ()x x f x →不存在.例1 证明01limsin x x→不存在.证明 令021→='n x n π， 0)2(121→+=''πn x n ，01sin ='n x , 当然趋于0，11sin=''nx , 当然趋于1，故x 1sin 当0→x 时没极限.注3 对于00,,,x x x x x x +-→→→+∞→-∞这四种类型的单侧极限，相应的归结原则可表示为更强的形式.如当0x x +→时有：定理2 设函数f 在0x 的某空心邻域00()U x +内有定义，0lim ()x x f x A +→= ⇔对任何以0x 为极限的递减数列{}00()n x U x +⊂，有lim ()n n f x A →∞=.二、单调有界定理相应于数列极限的单调有界定理，关于上述四类单侧极限也有相应的定理.现以0x x +→这种类型为例叙述如下:定理3 设f 为定义有00()U x +上的单调有界函数，则右极限0lim ()x x f x +→存在. 注 定理3可更具体地叙述如下：f 为定义在00()U x +上的函数，若（1）f 在00()U x +上递增有下界，则0lim ()x x f x +→存在，且00()lim ()inf ()x x x U x f x f x ++→∈=；（2）f 在00()U x +上递减有上界，则0lim ()x x f x +→存在，且000()lim ()sup ()x x x U x f x f x ++→∈=.更一般的有：定理 设)(x f 在)(00x U -上定义，且)(x f 单调上升，则)(lim 00x f x x -→存在且等于)(sup )(00x f x U x -∈.证明 令=A )(sup )(00x f x U x -∈, 当集合)}(|)({00x U x x f -∈有上界时, +∞<A ，当它无上界时，+∞=A .1) +∞<A0>∀ε, 由上确界定义，∈'∃x )(00x U -, 使得ε->'A x f )(, 取00>'-=x x δ，则当δ<-<x x 00时，由函数单调上升得ε->'≥A x f x f )()(, 再由上确界定义εε->>+A x f A )(或 ε<-A x f )(, 即)(sup )(lim )(0000x f A x f x U x x x -∈-→==.2) +∞=A因集合无上界，对0>∀M ,∈'∃x )(00x U -, 使得M x f >')(.取 00>'-=x x δ，则当δ<-<x x 00时, 有M x f x f >'≥)()(, 即)(sup )(lim )(0000x f x f x U x x x -∈-→=+∞=.类似地我们有:)(x f 在)(00x U -定义，且)(x f 单调下降,则)(inf )(lim )(0000x f x f x U x x x -∈-→=, 以及关于右极限的相应结果，同学们自行给出定理的表述和证明. 三、 函数极限的Cauchy 收敛准则定理４（Cauchy 准则） 设函数f 在00(;)U x δ'内有定义，0lim ()x x f x →存在⇔任给0ε>，存在正数()δδ'<，使得对任何00,(;)x x U x δ'''∈有|()()|f x f x ε'''-<.证明 )⇒ ( 利用极限的定义 )设bx f a x =→)(lim ，则 0>∀ε，0>∃δ（δδ'<）当δ<-<||0a x 时有2/|)(|ε<-b x f ,从而当δ<-'<||0a x ，δ<-''<||0a x 时有εεε=+<-''+-'≤''-'2/2/|)(||)(||)()(|b x f b x f x f x f)⇐( 利用Heine 归并原则 )设}{n a ),('δa U⊂且aa n n =∞→lim ，由假设，0>∀ε，0>∃δ（δδ'<），只要x '，x ''),(δa U∈ε<''-'⇒|)()(|x f x f ,对此δ，0n ∃，当0,n n m >时有 δ<-<||0a a m ，δ<-<||0a a n .从而ε<-|)()(|m n a f a f 由数列的Cauchy 收敛准则，)(lim n n a f ∞→存在设为ba f n n =∞→)(lim 设}{n b ),('δa U⊂为另一数列，且ab n n =∞→lim 则同上可得)(lim n n b f ∞→存在,设为cb f n n =∞→)(lim ,考虑数列},,,,,,{}{2211 n n n b a b a b a C =易见}{n C ),('δa U⊂且aC n n =∞→lim如上所证，)(lim n n C f ∞→存在，作为)}({n C f 的两个子列)}({n a f 、)}({n b f 必收敛于同一极限，即c b =.因此由归结原则得 bx f ax =→)(lim .注 按照Cauchy 准则，可以写出0lim ()x x f x →不存在的充要条件：存在0ε>，对任意(0)δ>，存在00,(;)x x U x δ'''∈使得|()()|f x f x ε'''-≥.例 用Cauchy 准则说明01limsin x x→不存在.证明 取 .21,1πππ+=''='n x n x例5 设在 [) , ∞+a 上函数)(x f ↘. 则极限 )(lim x f x +∞→存在, )( x f ⇔在[) , ∞+a 上有界. ( 简证, 留为作业 ).综上所述：Heine 定理和Cauchy 准则是说明极限不存在的很方便的工具.§3.4 两个重要的极限教学目标：掌握两个重要极限，并能熟练应用.教学要求：掌握两个重要极限，牢记结论；掌握证明的基本思路和方法，并能灵活运用. 教学重点：两个重要极限的证明及运用. 教学难点：两个重要极限的证明及运用.教学方法：讲授定理的证明，举例说明应用，练习. 一、 0sin lim1x xx→=的证明在单位圆盘}1|),{(22≤+=y x y x D 上，x 是圆心角AOB ∠，以弧度计，即它恰好等于AB , 而 BC x =sin 是弦长B B '之半，它的几何意义是sin 2sin 1(0)2x x BB x x x BB '==→→'，即圆心角趋于0时，对应的弦长与弧长之比趋于1.证明 设20π<<x , AOB ∆面积<扇形AOB 面积<AOD ∆面积，即tgx x x 2121sin 21<<， 1sin cos <<x x x ,用偶函数性质，这不等式在2<<-x π时也成立.令 0→x , 1cos lim 0=→x x , 两边夹得出 1sin lim0=→x xx .推论 R ∈∀x ，x x ≤sin ，等号成立当且仅当0=x .证明20π<<x 时, 1|||sin |sin <=x x x x , 当2π≥x 显然成立，而0=x 时等号成立，且只有0=x 时等号成立.二、 0sin lim1x xx→=的应用例1 求20cos 1limx xx -→.解2222222sin 1cos 1sin 2()2xx xxx x -==，令t =0→x 时0→t ；故有)sin (21lim cos 1lim 2020=-→→t t x x t x 例2 求x xx -→ππsin lim.解 令x t -=π，则 t t x sin )sin(sin =-=π；且当π→x 时0t →，故 1sin lim sin lim0==-→→t tx x t x ππ.例3 求nx mxx sin sin lim0→（0,0≠≠x n ）.证明 当0≠m 时n m nx nx n mx mxm nx mx →⋅⋅=sin sin sin sin ；当0=m 时原式0=.注 利用归结原则，可求数列极限.如求1sin1lim lim sin 1n n n n nn→∞→∞=，直接利用0sin lim 1x x x →=是不严格的；但已知0sin lim1x x x →=，故取,(1,2,)n x n nπ==，则0()n x n →→∞，从而由归结原则1sinlim ()lim01n n n n f x n→∞→∞==.三、证明1lim 1xx e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭或()10lim 1e ααα→+=.证明 先证+∞→x 情况，当1>x 时，有][11111][11x x x +≤+≤++.xx x x x x )][11()11()1][11(+≤+≤++，eex x x x x x ↓↓+≤+≤+++1][][)][11()11()1][11(所以 ex x x =+∞→)11(lim .再证-∞→x 情况, 令+∞→-=y y x ,，e y y y x y y y y x x =-+⋅-+=-=+-+∞→-+∞→-∞→)111()111(lim )11(lim )11(lim 1由极限与单侧极限关系定理，得 ex x x =+∞→)11(lim .推论 et tt =+→10)1(lim .证明 令x t 1=, 即得.四、应用例1 求xx x 10)21(lim +→.解 令x u 2=，则u x 21=；且当0→x 时0→u （0≠x 时0≠u ）， 因此，2202010])11[(lim )1(lim )21(lim e u u x u u uu xx =+=+=+→→→.例2 求x x x 10)1(lim -→.解 令u x -=，则当0→x 时0→u ，因此，e u u x u u uu xx 1])11[(lim )1(lim )1(lim 101010=+=+=--→-→→例3 求xx x x )3212(lim ++∞→.解xx xx x x x )2111(1)1221(1)3212(++=++=++x x x )2111(lim ++∞→e e x x x x =⋅=++⋅++=-+∞→1)2111()2111(lim 211，故原式e 1=.也可利用以下结论：0)(lim >=→A x f ax ，Bx f ax =→)(lim ，则Bx g ax A x f =→)()(lim ，1322232])3221[()3221()3212(-+-+--→+-+=+-+=++e x x x x x x x x x .§3.5 无穷小量与无穷大量教学目标：掌握无穷小量与无穷大量以及它们的阶数的概念．教学内容：无穷小量与无穷大量，高阶无穷小，同阶无穷小，等阶无穷小，无穷大． 教学要求：掌握无穷小量与无穷大量以及它们的阶数的概念；能够写出无穷小量与无穷大量的分析定义，并用分析定义证明无穷小量与无穷大量．在计算及证明中，熟练使用“o ”与“O ”．教学重点：无穷小量与无穷大量以及它们的阶数的概念． 教学难点：熟练使用“o ”与“O ”进行运算．在学习数列极限时，有一类数列非常引人瞩目，它们具有如下特征：lim 0n n a →∞=. 我们称之为无穷小数列.通过前面几节对函数极限的学习.我们可以发现，在一般函数极限中也有类似的情形.例如：limsin 0,x x →= 20lim 0,x x →=，我们给这类函数一个名称——“无穷小量”.既然有“无穷小量”，与之对应的也应有“无穷大量”，那么什么时“无穷大量”？进一步，这些“量”有哪些性质呢？以上就是我们今天要给大家介绍的内容——无穷小量与无穷大量.一、无穷小量 (一) 定义定义1 设f 在某00()U x 内有定义.若0lim ()0x x f x →=，则称f 为当0x x →时的无穷小量.记作：0()(1)()f x x x =→.类似地可以定义当00,,,,x x x x x x x +-→→→+∞→-∞→∞时的无穷小量.例 (1,2,),sin ,1cos k x k x x =-都是当0x →1x -→时的无穷小量；21sin ,xx x是x →∞时的无穷小量. (二) 无穷小量的性质1、先引进以下概念定义2（有界量） 若函数g 在某00()U x 内有界，则称g 为当0x x →时的有界量，记作：0()(1)()g x O x x =→.例如：sin x 是当x →∞时的有界量，即sin (1)()x O x =→∞； 1sin x是当0x →时的有界量，即1sin(1)(0)O x x=→. 注 任何无穷小量都是有界量（局部有界性），即若0()(1)()f x x x =→，则0()(1)()f x O x x =→.区别 “有界量”与“有界函数”.一般在谈到函数f 是有界函数或函数f 是有界的，意味着存在Ｍ>0，f 在定义域内每一点x ，都有|()|f x M ≤.这里“有界”与点无关：而有界是与“点有关”，是在某点的周围（且除去此点）有界，是一种“局部”的有界.2、性质性质1 两个（相同类型的）无穷小量之和、差、积仍为无穷小量. 性质2 无穷小量与有界是的乘积为无穷小量.性质3 0lim ()()x x f x A f x A →=⇔-是当0x x →时的无穷小量⇔0lim(())0x x f x A →-=.例如：201lim sin0x x x→=，2300lim()0,lim sin 0x x x x x x →→±==.问题 两个（相同类型的）无穷小量之商是否仍为无穷小量？考虑：22222200000sin 2lim 0,lim ?,lim 1,lim 1,lim 2x x x x x x x x x x x x x xx →→→→→=====. 引申 同为无穷小量，20lim 0x x x →=，而20lim x xx→不存在？这说明“无穷小量”是有“级别”的.这个“级别”表现在收敛于0（或趋近于0）的速度有快不慢.就上述例子而言，这个“级别”的标志是x 的“指数”，当0x →时，x 的指数越大，它接近于0的速度越快.这样看来，当0x →时，2x 的收敛速度快于x 的收敛速度.所以其变化结果以2x 为主.此时称2x 是（当0x →时）x 的高阶无穷小量，或称0x →时， x 是2x 的低阶无穷小量.一般地，有下面定义：3、穷小量阶的比较（主要对0x x →叙述，对其它类似）设当0x x →时，,f g 均为无穷小量.（1）若0()lim0()x x f x g x →=，则称0x x →时f 为g 的高阶无穷小量，或称g 为f 的低阶无穷小量，记作0()(())()f x o g x x x =→. 即0()(())()f x o g x x x =→⇔0()lim0()x x f x g x →=. 例1 求0arctan limsin 4x xx→.解 ()arctan 0xx x →，()sin 440x x x →，故00arctan 1lim lim sin 444x x x x xx→→==.例2 22444000(tan sin )tan (1cos )12lim lim limsin sin 2x x x x x x x x x x x x x x →→→⋅--===.例3323112arcsin )11ln(lim --+→x x x .解 1→x 时，31-x 0→，01232→-x ，)11ln(3-+x ∽31-x （1→x ），arcsin 3212-x ∽3212-x （1→x ），故原式3313231221121lim121lim=+=--=→→x x x x x例4 x e x x e x x x x 2)ln()ln(sin lim2220-+-+→.解 原式x x x x x e e x e e x 22220ln )ln(ln )ln(sin lim -+-+=→)1ln()sin 1ln(lim 2220x xx e x e x ++=→1sin lim 2220==→x x x e x e x.千万注意：不是因子不能用等价无穷小量替换.如2111lim 11n n n n →∞-+=，显然不能用11+n 替n 1最后给出一个很有用的表达式：()()()f x g x x a →即()lim1()x af xg x →=，即()()lim 0()x a f x g x g x →-=即))(()()(x g o x g x f =-或))(()()(x g o x g x f +=)(a x →，如)(sin x o x x +=，)(21cos 122x o x x +=-)0(→x .此时称)(x g 为α的主部.)1(111222x o x x x +=+注 在利用等价无穷小量代换求极限时，应注意：只有对所求极限式中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来替代, 而对极限式中相加或相减的部分则不能随意替代. (三) 小结以上讨论了无穷小量，无穷小量性质.无穷小量比较.两个无穷小量可比较的特征——其商是有界量.但应指出，并不是任何两个无穷小量都可以进行这种阶的比较.例如021lim sinlim 0x x x x x x x →→==. 二、无穷大量(一) 问题 “无穷小量是以0为极限的函数”.能否仿此说“无穷大量是以∞为极限的函数”.答：按已学过的极限的定义，这种说法是不严格的，讲Ａ为函数()f x 当0x x →时的极限，意味着Ａ是一个确定的数，而“∞”不具有这种属性，它仅仅是一个记号.所以不能简单地讲“无穷大量是以∞为极限的函数”.但是，确实存在着这样的函数，当0x x →时，()f x 与()or ∞+∞-∞无限接近.例如：1）1()f x x =，当0x →时，1x与∞越来越接近，而且只要x 与0充分接近，1x 就会无限增大；2）1()1f x x =-，当1x →时，也具有上述特性. 在分析中把这类函数()f x 称为当0x x →时有非正常极限∞.其精确定义如下：(二) 非正常极限定义2（非正常极限） 设函数()f x 在某00()U x 内有定义，若对任给的Ｍ>0，存在0δ>，当0000(;)(())x U x U x δ∈⊂时有|()|f x M >，则称函数()f x 当0x x →时有非正常极限∞，记作0lim ()x x f x →=∞.注 1）若“|()|f x M >”换成“()f x M >”，则称()f x 当0x x →时有非正常极限+∞；若换成(),f x M <- 则称()f x 当0x x →时有非正常极限-∞，分别记作lim (),lim ()x x x x f x f x →→=+∞=-∞.2) 关于函数f 在自变量x 的其它不同趋向的非正常极限的定义，以及数列{}n a 当n →∞时的非正常极限的定义，都可类似地给出.例如：lim ()0x f x M →+∞=-∞⇔∀>，当x M >时，()f x M <-;lim 0n n a M →∞=+∞⇔∀>，0N ∃>，当n N >时，n a M >.(三) 无穷大量的定义定义 3 对于自变量x 的某种趋向（或n →∞），所有以,or ∞+∞-∞为非正常极限的函数（包括数列），都称为无穷大量.例如：21x当0x →时是无穷大量；(1)x a a >当x →+∞时是无穷大量. 注 1）无穷大量不是很大的数，而是具有非正常极限的函数;2）若f 为0x x →时的无穷大量，则易见f 为00()U x 上的无界函数，但无界函数却不一定是无穷大量.例如；()sin f x x x =在()U +∞上无界，但lim ()x f x →+∞≠∞;3）如同对无穷小量进行阶的比较的讨论一样，对两个无穷大量，也可以定义高阶无穷大量、同阶无穷大量等概念.(四) 利用非正常极限定义验证极限等式例 3 证明 (1)∞=→201limx x ，+∞=+→x x 1lim 0，-∞=-→x x 1lim 0; (2)∞=-+→12lim21x x x .证明 (1) 0>∀G ，要使G x >21，只要G x 1||<.因而取G 1=δ，则当0||x δ<<时都有G x x f >=21|)(|即∞=→201lim x x . 其余可类似证明.(2) 设21|1|<-x 即2321<<x ，0>∀M ，欲使M x x x x x x x >-=-⋅+≥-⋅++=-+|1|154|1|112/32|1|1|12||12|2成立，只须M x 54|1|<-, 故取}54,21min{M =δ，当δ<-<|1|0x 时，有M x x >-+|12|2 即∞=-+→12lim 21x x x .例4 证明当1a >时，lim x x a →+∞=+∞.三、无穷小量与无穷大量的关系定理 （1）设f 在00()U x 内有定义且不等于0，若f 为当0x x →时的无穷小量，则1f为x x→时的无穷大量；（2）若g为x x→时的无穷大量，则1g为x x→时的无穷小量.。
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定理 lim f(x)A x
lim f(x)A .
x
lim f(x)A且
x
x 趋于无穷大时的极限
limf(x)A 的 几 何 解 释
x
A的邻域, X > 0, 对满足 |x| > X 的一切点 x, 其相应的曲线上的点
落在绿色区域内.
y
f (x)
A+
A
A–
–X
0
X
x
x 趋于无穷大时的极限
limf(x)A 的 几 何 解 释
x
A的邻域, X > 0, 对满足 |x| > X 的一切点 x, 其相应的曲线上的点
落在绿色区域内.
y
f (x)
A
A
A
–X
0
X
x
.
x 趋于无穷大时的极限
limf(x)A 的 几 何 解 释
x
A的邻域, X > 0, 对满足 |x| > X 的一切点 x, 其相应的曲线上的点
定义
lim f(x)A
xx0
0, 0,
使当 0 |xx0|时,恒有 |f(x ) A |.
函数的极限 limf(x)A 的 几 何 解 释
xx
0, 0, 当
y
f (x)
0| xx0|δ时A,+
恒f有 (x)A.
A的邻域,
A
x0的空心 邻域,
该邻域内所有点 x A–
的纵坐标 f(x)落在
落在绿色区域内.
y
f (x)
A
A AA
A
A AA
A
–X
0
X
x
.
x 趋于无穷大时的极限
limf(x)A 的 几 何 解 释
x
A的邻域, X > 0, 对满足 |x| > X 的一切点 x, 其相应的曲线上的点
落在绿色区域内.
y
f (x)
A
A
A
–X
0
X
x
.
x 趋于无穷大时的极限
limf(x)A 的 几 何 解 释
即相应的点(x,f(x)) 落在绿色区域内.
0
x0
x0
x0
x
.
函数的极限
limf(x)A 的 几 何 解 释
xx
0, 0, 当
y
f (x)
0|xx0|δ时 ,
恒f有 (x)A.
A的邻域,
A
A
x0的空心 邻域A ,
该邻域内所有点 x 的纵坐标 f(x)落在
A的 邻域 内，
即相应的点(x,f(x)) 落在绿色区域内.
x
A的邻域, X > 0, 对满足 |x| > X 的一切点 x, 其相应的曲线上的点
落在绿色区域内.
y
f (x)
A
A
A
––XX–––XXX– X
0
XX XX XX
x
.
例 1 证明 lx im sixnx0.
注： 如 果 lim f(x)c,则 直 线 yc是 函 数 yf(x) x 的 图 形 的 水 平 渐 近 线 .
二 自变量趋向无穷大时函数的极限
问题: 如何用数学语言刻画下述过程:
当 x 时, 函数 f ( x) “无限接近”确定值A.
定义: 设函数 f (x) 当| x | 大于某一正数时有定义.
如果对任意给定的正数 (不论它多么小), 总存在
着正数 X , 使得对于满足不等式 |x|X的一切 x,
例 2 用极限定义证明 xl im 12x 0.
注 ：同理可证：当 0q1时，limqx 0. x 而当 q1 时， limqx 0. x
例 3 证明 lx i m 1xx11.
三、自变量趋向有限值时函数的极限
考虑函数
x2 4 y
(x2)
x2
4
2 0
X
问题: 如何用数学语言描述下述过程:
在 xx0的过程中, 函数 f (x)无限趋近于确定值 A.
第一章 函数与极限
第三节 函数的极限
法国多产的数学家柯西.
他在1821~1823年间出版的《分 析教程》和《无穷小计算讲义》是 数学史上划时代的著作. 在书中他 给出了相对精确的极限定义，然后 用极限定义了连续性、导数、微分 、定积分及无穷级数的收敛性.
德国数学家维尔斯特拉斯对此 作了进一步的严格化，使得极限 理论成为了微积分的坚定基础.
f (x)
x
.
函数的极限
limf(x)A 的 几 何 解 释
xx
0, 0, 当
y
0|xx0|δ时 ,
一、函数极限的引入 数列可看作自变量为正整数 n的函数: xnf(n),
数列 xn 的极限为 a, 即: 当自变量 n取正整数
且无限增大 (n)时, 对应的函数值 f (n) 无限 接近数 a.
由此引出函数极限的一般概念: 在自变量 x的某个变化过程中,如果对
应的函数值 f (x) 无限接近于某个确定的数A , 则 A就认作 x在该变化过程中函数 f (x) 的极限.
恒有 |f(x ) A | ,
那么常数 A就叫函数 f (x)当x 时的极限, 记作lim f(x)A或 f(x)A(当 x).
x
单侧极限:
(1)x情形: lim f(x)A ,即 x
0, X0,使当 xX时,恒有 |f(x ) A |.
(2)x 情形: lim f(x)A ,即 x
A的 邻域 内，
即相应的点(x,f(x)) 落在绿色区域内.
0
x0
x0
x0
x
函数的极限
limf(x)A 的 几 何 解 释
xx
0, 0, 当
y
f (x)
恒 0|xf有 (xx)0| A δ时 . A,
A的邻域,
A
x0的空心 邻域,
该邻域内所有点 x A
的纵坐标 f(x)落在
A的 邻域 内，
定义 设函数 f (x)在点 x 0 的某一去心领域内有
定义. 若对任意给定的正数(不论它多么小), 总存
在正数 , 使当 0 |xx0|时,函数 f (x)都满足
不等式
|f(x ) A | ,
则常数 A就称为函数 f (x)当 xx0时的极限.
记作
lim f(x)A 或
xx0
f(x)A(当 xx0)
0
x0
x0
x0
x
.
函数的极限
limf(x)A 的 几 何 解 释
xx
0, 0, 当
y
0|xx0|δ时 ,
恒f有 (x)A.
A的邻域,
A
A
x0的空心 邻域A ,
该邻域内所有点 x 的纵坐标 f(x)落在
A的 邻域 内，
即相应的点(x,f(x)) 落在绿色区域内.
0
x0 x0 xx00 x 0 x0 x0 x0 x0
即相应的点(x,f(x)) 落在绿色区域内.
0
x0
x0
x0
x
.
函数的极限
limf(x)A 的 几 何 解 释
xx
0, 0, 当
y
f (x)
恒 0|xf有 (xx)0| A δ时 . AAA ,
A的邻域,
A
A
该 x邻0的域内空所心有点邻x域AAA A ,
的纵坐标 f(x)落在
A的 邻域 内，