河南省扶沟县高级中学高三数学上学期开学考试试题 文

河南省扶沟县高级中学2016届高三数学上学期开学考试试题 文第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一个选项符合题目要求．1．已知集合{}a x x A <=，{}21<≤=x x B ，且()R B C A R =⋃，则实数a 的取值范围是 A ．1≤a B ．1<a C ．2≥a D ．2>a 2．若复数z 满足i z i 34)43(+=-，则z 的虚部为（ ）A ．i 54 B ．54C ．i 4D ．43.两个变量y 与x 的回归模型中，分别选择了4个不同模型，计算出它们的相关指数2R 如下，其中拟合效果最好的模型是 （ ）A.模型1（相关指数2R 为0.97） B.模型2（相关指数2R 为0.89） C.模型3（相关指数2R 为0.56 ） D.模型4（相关指数2R 为0.45） 4.ABC ∆的三个内角为A,B,C,若65tan sin 3cos cos 3sin π=-+AA A A ,则sinBsin C 的最大值为( ) A43 B 1 C 21D 2 5. 设z x y =+，其中实数,x y 满足2000x y x y y k +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩，若z 的最大为6，则z 的最小值为( )A.3-B.2-C.1-D.0 6．设()00,M x y 为抛物线2:8C y x =上一点，F 为抛物线C 的焦点，若以F 为圆心，FM 为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则0x 的取值范围是 ( )A.(2,)+∞B.(4,)+∞C.(0,2)D.(0,4) 7. 执行如图的程序框图，则输出S 的值为 ( ) A. 2016 B. 2 C.12D.8.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，5283()S a a =+, 则53a a 的值为（ ） A.16 B. 13 C. 35 D. 569. 将奇函数()()sin 0,0,22f x A x A x ππωφω⎛⎫=+≠>-<< ⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位得到的图象关于原点对称，则ω的值可以为( ) A.6 B.3 C.4 D.210.设f （x ）是定义在R 上的奇函数，且f （2）=0，当x ＞0时，有xf ′（x ）﹣f （x ）＞0恒成立，则不等式x 2•f （x ）＞0的解集为（ ） A ．（﹣2，2）B ． （﹣2，0）∪（2，+∞）C ．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D ．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）11．已知F 1、F 2分别是双曲线22221x y a b -=的左、右焦点,P 为双曲线右支上的任意一点且212||8||PF a PF =，则双曲线离心率的取值范围是（ ）A. (1,2]B. D. [3，+∞)12．已知函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是（ ）A. ∞（-，0）B. 12（0，）C. （0，1）D.+∞（0，）第Ⅱ卷二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上)13．右图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为 ____________14.已知向量a r 与b r 的夹角为6π，且3a b ⋅=r r ，则||a b -r r 的最小值为_________15.在ABC ∆中，AB=AC=2,BC=32,D 在BC 边上，,75︒=∠ADC 求AD 的长为____________16.在数列{}n a 中，已知111,(1)cos(1)nn n a a a n π+=+-=+，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2015S = .三：解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 17.（本小题满分12分）在ΔABC 中，内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,. 若B A sin sin 4－2cos 42BA -22-=. （1）求角C 的大小； （2）已知4sin sin =ABa ，ΔABC 的面积为8. 求边长c 的值.18. （本小题满分12分） 某批次的某种灯泡共200个，对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布表如下． 根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级，其中寿命大于或等于500天的灯泡是优等品，寿命小于300天的灯泡是次品，其余的灯泡是正品．寿命（天）频数 频率[100,200) 10 0.05[200,300) 30 a[300,400) 700.35 [400,500) b0.15[500,600)60 c 合计2001（Ⅰ）根据频率分布表中的数据，写出a ，b ，c 的值；（Ⅱ）某人从这200个灯泡中随机地购买了1个，求此灯泡恰好不．是次品的概率；（Ⅲ）某人从这批灯泡中随机地购买了()*∈n n N 个，如果这n 个灯泡的等级情况恰好与按三个等级分层抽样．．．．．．．．．所得的结果相同，求n 的最小值．19.（本小题满分14分）如图，四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是菱形，PA = PD ，60BAD ∠=︒，E 是AD 的中点，点Q 在侧棱PC 上．（Ⅰ）求证：AD ⊥平面PBE ；（Ⅱ）若Q 是PC 的中点，求证：PA ∥平面BDQ ;（Ⅲ）若2P BCDE Q ABCD V V --=，试求CPCQ的值． 20．（本小题满分12分）已知A （-2，0），B （2，0）为椭圆C 的左、右顶点，F 为其右焦点，P 是椭圆C 上异于A ，B 的动点，△APB 面积的最大值为23. （1）求椭圆C 的标准方程； （2）若直线AP 的倾斜角为34π，且与椭圆在点B 处的切线交于点D ，试判断以BD 为直径的 圆与直线PF 的位置关系，并加以证明． 21．（本小题满分12分）已知函数f （x ）=ax+xlnx （a 为常数，e 为自然对数的底数），曲线y=f （x ）在点（e ，f （e ））处的切线方程为y=3x ﹣e ． （1）求f （x ）的单调区间； （2）若k ∈Z ，且k ＜对任意x ＞1都成立，求k 的最大值．请考生在（22）.（23）.（24）三题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分．作 答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑． 22.（本小题满分10分）选修4─1：几何证明选讲． 如图，已知圆O 和圆M 相交于,A B 两点，AD 为圆M 的直径，直线BD 交圆O 于点C ，点G 为弧BD 中点，连结AG 分别交圆O 、BD 于点,E F 连结CE ． （1）求证： GD CE EF AG •=•（2）求证：22GF EFAG CE =.23.（本小题满分10分）选修4—4: 坐标系与参数方程．已知直线:λt t y t x (.23,211⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=为参数), 曲线:1C cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩ （θ为参数）. (I)设λ与1C 相交于B A ,两点,求||AB ；· · A BCDGE F O M(II)若把曲线1C 上各点的横坐标压缩为原来的21倍,纵坐标压缩为原来的23倍,得到曲线2C ,设点P 是曲线2C 上的一个动点,求它到直线λ的距离的最小值.24．（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲．设不等式1|12|<-x 的解集是M ，M b a ∈,． （I ）试比较1+ab 与b a +的大小；（II ）设max 表示数集A 的最大数．⎭⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+=b ab ba ah 2,,2max 22,求证：2≥h ．2015年高三数学试卷参考答案一、选择题CBACA, ABDAB, CB 二、填空题13，316π141- 15，26- 16，-1006 三、解答题17. 解析：（１）由条件得B A sin sin 4=2（212cos 2--BA ）2+ 即B A sin sin 4=)cos(2B A -2+=)sin sin cos (cos 2B A B A +2+ ……2分化简得 =+)cos(B A 22-, …4分 ∵π<+<B A 0 ∴ 43π=+B A 又π=++C B A ∴ C ＝4π…6分 （２）由已知及正弦定理得4=b ………8分 又 S ΔABC =8，C=4π∴ 128sin =C ab ， 得24=a ………10分由余弦定理C ab b a c cos 2222-+=得 4=c . …12分18．（Ⅰ）解：0.15a =，30b =，0.3=c ． ………… 4分（Ⅱ）解：设“此人购买的灯泡恰好不是次品”为事件A ． 由表可知：这批灯泡中优等品有60个，正品有100个，次品有40个， 所以此人购买的灯泡恰好不是次品的概率为100604()2005+==P A ． …………… 8分 （Ⅲ）解：由（Ⅱ）得这批灯泡中优等品、正品和次品的比例为60:100:403:5:2=． 所以按分层抽样法，购买灯泡数 35210()*=++=∈n k k k k k N ，所以n 的最小值为10． ……………… 12分 19. （Ⅰ） 证明：由E 是AD 的中点， PA =PD ，所以AD ⊥PE ； ………2分又底面ABCD 是菱形，∠BAD =60o所以AB =BD ，又因为E 是AD 的中点 ， 所以AD ⊥BE ，又PE ∩BE =E 所以AD ⊥平面PBE . ……………… 4分 （Ⅱ）证明：连接AC 交BD 于点O ，连OQ ；因为O 是AC 的中点，Q 是PC 的中点，所以OQ //PA ，又PA ⊄平面BDQ ，OQ ⊂平面BDQ ，所以PA //平面BDQ . ……………… 8分 （Ⅲ）解：设四棱锥P -BCDE ，Q -A BCD 的高分别为21,h h .所以113P BCDE BCDE V S h -=⋅， 213Q ABCD ABCD V S h -=⋅, 又因为ABCD Q BCDE P V V --=2，且底面积ABCD BCDE S S 43=，所以3821==h h CQ CP . ……… 12分 20. 解：（Ⅰ）由题意可设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，(,0)F c ．由题意知1223,22a b a ⎧⋅⋅=⎪⎨⎪=⎩解得3b =. ………2分 故椭圆C 的方程为22143x y +=. ………4分（Ⅱ）以BD 为直径的圆与直线PF 相切．证明如下：由题意可知，1c =，F (1, 0)，直线AP 的方程为2y x =--.则点D 坐标为(2, -4)，BD 中点E 的坐标为(2, -2)，圆的半径2r = ………6分由222143y x x y =--⎧⎪⎨+=⎪⎩得271640x x ++=．设点P 的坐标为00(,)x y ，则0027127x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩………8分因为点F 坐标为(1, 0)，直线PF 的斜率为43，直线PF 的方程为：4340x y --= 点E 到直线PF 的距离86425d +-==． ………10分所以d r =． 故以BD 为直径的圆与直线PF 相切． ………12分 21．解：（1）求导数可得f ′（x ）=a+lnx+1，∵函数f （x ）=ax+xlnx 的图象在点x=e （e 为自然对数的底数）处的切线斜率为3， ∴f ′（e ）=3，∴a+lne+1=3，∴a=1， ∴f （x ）=x+xlnx ，f ′（x ）=lnx+2， 由f ′（x ）＞0得x ＞，由f ′（x ）＜0得0＜x ＜．∴f （x ）的单调递减区间为（0，），单调递增区间为（，+∞）．（2）当x ＞1时，令g （x ）==，则g ′（x ）=，设h （x ）=x ﹣2﹣lnx ，则h ′（x ）=1﹣=＞0，h （x ）在（1，+∞）上为增函数， ∵h （3）=1﹣ln3＜0，h （4）=2﹣ln4＞0， ∴∃x 0∈（3，4），且h （x 0）=0，当x ∈（1，x 0）时，h （x ）＜0，g ′（x ）＜0，g （x ）在（1，x 0）上单调递减； 当x ∈（x 0，+∞）时，h （x ）＞0，g ′（x ）＞0，g （x ）在（x 0，+∞）上单调递增． ∴g （x ）min =g （x 0）=，∵h （x 0）=x 0﹣2﹣lnx 0=0， ∴x 0﹣1=1+lnx 0，g （x 0）=x 0，∴k ＜x 0∈（3，4），∴k 的最大值为3．22证明：（1）连结AB ，AC ，22.证明：（1）连结AB ，AC ，∵AD 为圆M 的直径，∴090ABD ∠=， ∴AC 为圆O 的直径, ∴CEF AGD ∠=∠,∵DFG CFE ∠=∠，∴ECF GDF ∠=∠,∵G 为弧BD 中点，∴DAG GDF ∠=∠，∵ECB BAG ∠=∠,∴DAG ECF ∠=∠, ∴CEF ∆∽AGD ∆，∴CE AGEF GD=，GD CE EF AG ⋅=⋅∴ （2）由（1）知DAG GDF ∠=∠，G G ∠=∠,∴D G F ∆∽AGD ∆,∴2DG AG GF =g , 由（1）知2222EF GD CE AG=，∴ 22GF EF AG CE =． 23.解.（I ）λ的普通方程为1),1(3C x y -=的普通方程为.122=+y x联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,1),1(322y x x y 解得λ与1C 的交点为)0,1(A ,)23,21(-B , 则1||=AB . ………………5分（II ）2C 的参数方程为θθθ(.sin 23,cos 21⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y x 为参数).故点P 的坐标是)sin 23,cos 21(θθ,从而点P 到直线λ的距离是]2)4sin(2[432|3sin 23cos 23|+-=--=πθθθd ,由此当1)4sin(-=-πθ时,d 取得最小值,且最小值为)12(46-.…………10分24.解：由|21|11211,0 1.x x x -<-<-<<<得解得所以{|01}.M x x =<<（I ）由M b a ∈,，得10,10<<<<b a ，所以(1)()(1)(1)0.ab a b a b +-+=-->故1.ab a b +>+………………5分（II ）由}2,,2max 22⎩⎨⎧+=b ab b a ah ，得,2a h ≥ab b a h 22+≥，b h 2≥， 所以8)(42222223≥+=⋅+⋅≥ab b a bab b a ah 故2≥h .………………10分。