第二个重要极限
第二个重要极限
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三
解决问题
公共基础课
假设数额A0以利率r投资了n年.如果利息按 每一年计一次复利，则上述投资的终值为：
A0 1 r
n
以年为期的复利公式
nt
r 如果每年计t次复利，则终值为：A0 1 t
当t趋于无穷大时,r就称为连续复利. 连续复利公式 此时的终值为:
1 1 n e ; 4.lim(1 ) ____ n n
1 0 3.lim x sin ____ ; x 0 x
作业 课后第2题
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2015.11 制作人：李元仙
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内容小结
第二个重要极限
▲
1 1 lim 1 e 或 lim 1 x x e x x0 x
x
公共基础课
1 lim 1 x x
x
e 或 lim 1 x x 0
3
x2 2 3 3
x5 lim x x 2
x2 3 1 1 lim 1 1 x 2 x x 2 3 3
6
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二
例题
例1
解
公共基础课
2 x ). 求 lim(1 x x
lim x
x 2
2 x lim(1 ) x x
2
1
1
x 2
lim 1 1 e2 x x 2
两个极限存在准则和两个重要的极限
两个极限存在准则和两个重要的极限第一个极限存在准则是柯西-斯维亚切斯极限存在准则（Cauchy-Schwarz Limit Existence Criteria）。
其表述为：对于一个函数 f(x)，如果对于任意的ε>0，存在一个δ>0，使得当 0<，x-a，<δ 时，总有，f(x)-f(a)，<ε，则函数 f(x) 在点 a 处存在极限。
第二个极限存在准则是海涅定理（Heine's Theorem），也被称为局部有界性定理（Local Boundedness Theorem）。
其表述为：如果对于一个函数 f(x)，在点 a 的一些邻域内 f(x) 有界，即存在一个常数 M>0，使得对于所有的x∈(a-δ,a+δ) 有，f(x)，≤M，则函数 f(x) 在点 a 处存在极限。
这两个极限存在准则都用于判断函数在其中一点处的极限是否存在。
柯西-斯维亚切斯极限存在准则要求函数在该点的极限存在时，对于任意给定的ε>0，都能找到对应的δ>0，使得函数值与极限值的差小于ε。
而海涅定理则要求函数在该点附近有界，即函数在该点附近的函数值都不超过一些常数M。
这两个定理的应用范围和方法略有不同。
除了极限存在准则外，还有两个重要的极限：无穷小与无穷大。
无穷小是指极限趋近于零的数列或函数。
对于一个数列 {a_n}，如果对于任意的正数ε>0，存在正整数 N，使得当 n>N 时，有，a_n，<ε，则该数列是无穷小。
对于一个函数 f(x)，如果在其中一点 a 处，有lim(x→a) f(x)=0，则该函数在点 a 处是无穷小。
无穷大则是指极限趋于无穷的数列或函数。
对于一个数列 {a_n}，如果对于任意的正数 M>0，存在正整数 N，使得当 n>N 时，有，a_n，>M，则该数列是无穷大。
对于一个函数 f(x)，如果在其中一点 a 处，有lim(x→a) f(x)=∞（或表示为lim(x→a) ，f(x)，=∞），则该函数在点 a 处是无穷大。
1-18第二个重要极限
故
1 1 1 1 1 1
n1 x n
1
1
n
1
1
x
1
1
x
1
1
x
1
1
n1
n1 n1 x n n
lim1 n
1 n
n1
lim1 n
1 n
n
x 3
3
解
lim
x
1
3 x
x
lim
x
1
1 x 3
x 3
lim 1 x
1 x 3
3
e3
例2 求 lim(1 3tan2 x)cot2 x x0
求
lim x 1x x x 1
( 1 )
解
lim
x
1x
lim
1
2
x
x x 1 x x 1
lim 1
2
( x1) x
x1
x x 1
lim
x
exp
x
x ln1 1
n
1
) 1
1 (1 1 )(1 2 )(1 n 1)
n! n 1 n 2
n1
1 (1 1 )(1 2 )(1 n ).
(n 1)! n 1 n 2
n1
显然 xn1 xn , xn是单调递增的;
xn
2-3节两个重要极限
222 xxx222
xx 22
22
11
1122
111llliiimm 222xxx00
1 。
ssiinn222 xx 22
xx 22
22
22xx00
xx 22
22
2
重要极限(I)：lim sin x 1 ， lim sin (x) 1 ((x) 0 )。
x0 x
( x)
例53． 求lim x0
1 cos x x2
。
解解：：解解：l：imlliimm1 x0xx00
11coccsooxss x 2xx22
xx
11lliimmssiinn
222ssisniinn222xxx
limlliimm
xxx000
lim sin x lim 1 1 。 x0 x x0 cos x
重要极限(I)：lim sin x 1 ， lim sin (x) 1 ((x) 0 )。
x0 x
( x)
例例22． 求lim sin kx (k0)。 x0 x
解解解：：：lilmimssininkkxxkklliimm ssiinn kx
x
3
2
x2 3
3
lim1 x
x
3
2
2
e3.
解法2
1 1 x lim1 1 x
原式
lim
x
1
x 2 x
x lim1
x 2
x
x
x x
其中
lim1
高数同济§1.6 极限存在准则两个重要极限
从而有
= lim ( t +
t +
-1 t (t +1) t +1
)
1) t +1 = lim (1 + t t +
= lim [(1 + 1)t (1 + 1)] = e t t
故
1) x lim (1 + x x
n1 = 1 + 1! n
xn+1 = 1 + 1 +
1 (1 - 1 ) + 1 (1 - 1 )(1 - 2 ) + 2! n+1 3! n+1 n+1
大 大
1 + ( n+1)! (1 - n1 1)(1 - n2 1)(1 - nn 1) + + +
正
比较可知
首页
xn xn+1 ( n = 1, 2 , )
那么数列{xn }的极限存在 且 lim xn = a
由条件(2) e 0 N 0 当nN 时 有 |yn-a|e 及|zn-a|e 即有 a-eyna+e a-ezna+e 由条件(1) 有 a-eynxnzna+e 即 |xn-a|e 这就证明了 lim xn =a 简要证明
6.lim(1 + x ) =
x 0 1 x
1 x 5.lim(1 - ) = x x
1 x x 0
e
-1
;
e;
7.lim(1 - x ) = e -1 .
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第二重要极限
第二重要极限
第二个重要极限是：n趋近于无穷大时，（1+1/n）的n次方的极限为e。
数学中的“极限”指：某一个函数中的某一个变量，此变量在变大（或者变小）的永远变化的过程中。
逐渐向某一个确定的数值A不断地逼近而永远不能够重合到A （永远不能够等于A，但是取等于A已经足够取得高精度计算结果）的过程中，此变量的变化，被人为规定为永远靠近而不停止，其有一个不断地极为靠近A点的趋势。
第二个重要极限公式是：lim（1+（1/x））^x=e（x→∞）。
第二个重要极限在极限计算中占有很重要的地位，它对初等函数极限的推导至关重要，是解决未定型极限的一个重要工具。
但它形式变化多样，在学习和使用中不易把握是学生学习的难点。
第二个重要极限，它的结构独特、复杂，形式多样，计算灵活，许多实际问题都依赖于这种极限的应用，因此掌握第二个重要极限，也有利于解决生产和生活中的实际问题，在经济学中尤为重要。
第二个重要极限公式lim（1-1x）x=e的一个新的推广及应用
蓸 蔀 lim(u(x)+v(x))渍(x)=limu(x)渍(x)
1+
v(x) u(x)
渍(x)
蓸 蔀 =limu(x)渍(x窑) lim
1+
v(x) u(x)
uv((xx))窑v(xu)(渍x)(x)
=e 窑e =e 窑e =e k1
lim
v(x)渍(x) u(x)
k1
k2
k1 +ek2
例1
求lim x→∞
下面没有标明自变 量的变化过程 袁是指对 x→x0 和 x→∞ 都 适用.冤 若 limu(x)渍(x)=k1,limv(xu)(渍x)(x) =k2.
则 lim(u(x)+v(x))渍(x)=ek1+k2
证明
因为
lim
v(x)渍(x) u(x)
=k1袁limu(x)渍(x)=k2.由基本 初等函
数的连续 性袁可知
(1-
1 x
)x=e 的推广及应用[J].甘肃高
师学报,2006(5):58-59.
-１ -
第 29 卷 第 2 期渊 下冤 2013 年 2 月
赤 峰 学 院 学 报渊 自 然 科 学 版 冤 Journal of Chifeng University渊 Natural Science Edition冤
Vol. 29 No.2 Feb. 2013
第二个重要极限公式 lim x→∞
(1-
1 x
征不易把握 袁首先袁底数必须是 1 加上一个无穷小量 曰其次袁
指数一定要与底数中的无穷小量互为倒数 .因此袁初学者往
往会顾此失彼 .此外袁在利用第二个重要极限公式解题时常
常要用到配系数法 或变量替换法袁不仅比较繁琐 袁而且也更
高等数学：第八讲 第二个重要极限
1
1 x
x
x
1
1
1 x
x
2
2
3
4
5
10
100
1000 10000
…
2.25 2.37 2.441 2.488 2.594 2.705 2.717 2.718
…
x
-10 -50 -100 -1000
-10000
-100000
-1000000
…
1
1 x
x
2.87
2.75
2.73
2.720
2.7184
2.71830
2.718283
…
第二个重要极限
从上表可以看出，当
x无限增大时，函数
1
1 x
x
变化的大致趋势，可以证明当
时， x
1
1 x
x
的极限确实存在，并且是一个无理数，其值为
e 2.718282828
第二个重要极限 第二个重要极限的特点：
(1)它是底的极限为1、指数趋近于无穷大的变量的极限，
例2
求
lim
x
3 2
பைடு நூலகம்
x x
x
解:
lim
x
3 2
x x
x
lim
x
x x
3 2
x
lim
x
1
1
x
x 2
lim
x
1
1
x2
x 2
1
1 2
x 2
lim
x
1
1
x2
x 2
lim
x
1
1
2
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练习和作业
公共基础课
填空题 ( 1～4 )
1.lim1 tan x cot x __e__ ; x0
3.lim x sin 1 __0__ ;
x0
x
作业 课后第2题
2.lim x sin 1 __1__ ;
x
x
4.lim(1 1)n _e___1 ;
第二个重要极限
▲
lim
x
1
1 x
x
e
或
1
lim1 xx e
x0
1 x
lim
x
1
x
e
1
或
lim
x0
1
x x e
★ 公式的特征 （1）"1 " （2） 1， " "
（3） 倒数
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第二个重要极限
公共基础课
知识目标
掌握并运 用第二个 重要极限
能力目标
数学思维 能力、理 解并应用 第二个重 要极限
素质目标
主动探索勇 于发现的科 学精神、严 谨科学的学 习习惯、体 会数学的美
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一 公式
公共基础课
lim
x
1
1
x
2
3
3
1
1
x
2
3
3
lxim
1
1 x2
3
x2
3
lim 1 x
1 x2
3
2 3
6
e16 e6.
数学就在你我身边
公共基础课
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数学就在你我身边
公共基础课
有三家银行按不同方式(年、半年、连续)计算本利和， 假设在每个银行存入1000元,年利率为8％,试问5年后本利和 各为多少?哪种计息方式本利和最大?
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课题
公共基础课
第二个重要极限
x x
5 2
2
x
.
x2 2 6
解
lim
x
x
5
2
x
x 2
x2
lim
x
1
2
6
x
3
2
2x
lim
x
1
1 x2
3
3
3
lim
x
1
t
rn
A0
ltim
1
1 t r
r
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三 解决问题
公共基础课
解 设Ai(i=1,2,3)为第i家银行5年后的本利和,则
第一家银行(按年计息)
A1 A0 1 rn 1000(1 8%)5 =1469.33 (元).
公共基础课
例2
1
lim(1 3x)2x .
x0
1
解 lim(1 3x)2x
x0
1
3 2
lim 1 3x 3x
x0
lim x0
1
3x
1
3 2
3x
e
3 2
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二 例题
公共基础课
例3
求 lim x
1 x
x
e
或
1
lim1 xx e
x0
公式的特征为：
（1）"1 " 型极限；
（2）1
1 x
x或 1
1
xx
中括号内的常数必须是1，
中间的连接符号必须是" "号．
（3）1
1 x
x或
1
x
1 x
中
1, x
x 是倒数关系．
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第二家银行(按半年计息)
A2
A0
1
r t
nt 1000(1
0.08)52 2
=1480.24 (元).
第三家银行(按连续计息)
A3 A0er n 1000e0.085 =1491.82 (元).
结论:连续计息本利和最大.
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内容小结
公共基础课
n
n
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三 解决问题
公共基础课
假设数额A0以利率r投资了n年.如果利息按
每一年计一次复利，则上述投资的终值为：
A0 1 rn
以年为期的复利公式
如果每年计t次复利，则终值为：A0
1
r t
nt
当t趋于无穷大时,r就称为连续复利.
此时的终值为:
连续复利公式
二 例题
公共基础课
例1 求 lim(1 2)x.
x
x
解 lim(1 2)x
x
x
lim x
x
2
1
1
x
2
2
x 2
lim
x
1
1 x 2
2
e2
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二 例题
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二 例题
公共基础课
lim
x
1
1
x
x
e
1
lim
x0
1
x
x
e
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三 解决问题
公共基础课
有三家银行按不同方式(年、半年、连续)计算本利和， 假设在每个银行存入1000元,年利率为8％,试问5年后本利和 各为多少?哪种计息方式本利和最大?