高等数学中的两个重要极限
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高数第一章极限存在准则 两个重要极限
当
时,
当
时,
lim
n
xn
a
令N max N1 , N2,
则n当 N
时, 有
由条件 (1) a yn xn zn a
即xn a ,
l故im
n
xn
a
.
2
例1. 证明
证: 利用夹逼准则 由.
n
n2
1
n2
1
2
n2
1
n
n2
n2
且
lim
n
n
n2 2
lim
n
1
1
n2
1
lim n
n
n2
1
n2
1
2
n2
1
n
1
3
准则1’ 函数极限存在的夹逼准则
当 x (x0 , ) 时, g(x) f (x) h(x) , 且
a
lim
n
xn
b
(m)
b ( 证明略 ) 5
例2. 设
证明数列
极限存在 . (P49)
证: 利用二项式公式(P270 ), 有
xn (1 1n)n
1
n 1!
1 n
n(n1) 2!
1 n2
n(n1)(n2) 3!
1 n3
n(n1)(nn1) n!
1 nn
11
x x0
2
高等数学中两个重要极限的一些认识
…
莩
《一
：
比较第二种极限 ， ， （ ） ＝ ２ ｓ ｉ ｎ ２ ，可以验证 厂 （ ｒ ） ＝ ｏ，因此
在指数部分要构造出 ， （ ｆ ） 的倒数 ，再利用前面引理 ，则有
ｒ １ ］ “ 。 ｉ ｔ
１
义 。令 Ｙ ｘ ， ＿ ÷ 一 时， Ｙ ０， 那么 ｌ ～ ｉ ａ ｒ （ １ ＋ ） ～ 。故可以将 原极限变形为 ｌ ｉ ｍ ［ １ ＋ ｇ （ ） ， － ｅ ，该式成立的条件是 ： 在 自变量
重 要 。鉴 于 此 ，本 文讨 论 了这 两 个极 限 ，并 给 出 了它们 更 广泛 的 形式 。
关 键词 重要 极 限 函数 极 限 未定 式
在微积分的众 多常用极限中之所以要把 ｌ ｉ ｍ ！ 坚： １ ， ｌ ｉ ｍ （ １ ＋ ）
… …
＝ ｅ 这两个极限称为重要极限是因为在由导数概念到建立初等函
在下面的讨论中 ，记号 “ ｌ ｉ ｍ”下面没有标明 自变量的变化
过 程 ，实际 上 ，下 面 的结 果对
１ ． １ 关 于极 限 ：ｌ
此在指数部分要构造出厂 （ ） 的倒数 ，再利用前面引理 ，则有
‰ 及
ｏ ｏ 都 是 成立 的 。
（ １ ＋ ２ ） ＝ 『 （ １ ＋ ２ ） ］ 了＝ ２ 。
教 Ｎ－ 园 地
肉肛科 技 ２ ０ １ ３ 年第４ 期
高等 数学 中两 个重要 极 限的一些认识
马 红 霞
开 封 市 金 明 中学 ４ ７ ５ ０ ０ ｌ 河 南开 封
摘 要 在 高 等数 学 中， 两个 重要 极 限在 求 函数 极 限 时扮 演 着 重要 角色 ，因 此对 它 们 的理 解和 掌握 对 于本科 生 来说 至 关
莩
《一
：
比较第二种极限 ， ， （ ） ＝ ２ ｓ ｉ ｎ ２ ，可以验证 厂 （ ｒ ） ＝ ｏ，因此
在指数部分要构造出 ， （ ｆ ） 的倒数 ，再利用前面引理 ，则有
ｒ １ ］ “ 。 ｉ ｔ
１
义 。令 Ｙ ｘ ， ＿ ÷ 一 时， Ｙ ０， 那么 ｌ ～ ｉ ａ ｒ （ １ ＋ ） ～ 。故可以将 原极限变形为 ｌ ｉ ｍ ［ １ ＋ ｇ （ ） ， － ｅ ，该式成立的条件是 ： 在 自变量
重 要 。鉴 于 此 ，本 文讨 论 了这 两 个极 限 ，并 给 出 了它们 更 广泛 的 形式 。
关 键词 重要 极 限 函数 极 限 未定 式
在微积分的众 多常用极限中之所以要把 ｌ ｉ ｍ ！ 坚： １ ， ｌ ｉ ｍ （ １ ＋ ）
… …
＝ ｅ 这两个极限称为重要极限是因为在由导数概念到建立初等函
在下面的讨论中 ，记号 “ ｌ ｉ ｍ”下面没有标明 自变量的变化
过 程 ，实际 上 ，下 面 的结 果对
１ ． １ 关 于极 限 ：ｌ
此在指数部分要构造出厂 （ ） 的倒数 ，再利用前面引理 ，则有
‰ 及
ｏ ｏ 都 是 成立 的 。
（ １ ＋ ２ ） ＝ 『 （ １ ＋ ２ ） ］ 了＝ ２ 。
教 Ｎ－ 园 地
肉肛科 技 ２ ０ １ ３ 年第４ 期
高等 数学 中两 个重要 极 限的一些认识
马 红 霞
开 封 市 金 明 中学 ４ ７ ５ ０ ０ ｌ 河 南开 封
摘 要 在 高 等数 学 中， 两个 重要 极 限在 求 函数 极 限 时扮 演 着 重要 角色 ，因 此对 它 们 的理 解和 掌握 对 于本科 生 来说 至 关
高等数学中两个重要极限
x
X -10 -100
(1 1 ) x 2.868 2.732 x
-1000 -10000
2.720 2.7183
-100000 …
2.71828
li( m 11)xe x x
li(m 11)xe (1 )
x x
令t 1,
lim (1
1
)
x
lim(1
1
t)t
e
x x
x
t 0
1
lim(1 t)t e (1 )
1 x 1 ,
sinx coxs
CD
即coxs sinx1. x
sin x lim 1.
x x0＋
Ox BA
例 1 求 lim tan x x 0 x
解
limtanxlim (sinx1)
x 0 x x 0 cosx x
sinx 1 lim( )
x0 x cosx
limsinxlim 1 x0 x x0 cosx
0.001 …. 0.9999998
X －1 －0.5
sin x
0.84147 0.95885
x
－0.1 0.99833
－0.01 0.99998
－0.001 …. 0.9999998
lim six n1 x 0 x
证明 limsinx1. x x0＋
证
即sinxxtanx
各 式 同 除 以 s i n x ( 因 为 s i n x 0 ) ,得
t0
1
推 广 为 某 过 程 中 的 无 穷 小 量 ,lim (1) e 某过程
使 用lim (11)xe 须 注 意 : x x
(1)类 型 :
X -10 -100
(1 1 ) x 2.868 2.732 x
-1000 -10000
2.720 2.7183
-100000 …
2.71828
li( m 11)xe x x
li(m 11)xe (1 )
x x
令t 1,
lim (1
1
)
x
lim(1
1
t)t
e
x x
x
t 0
1
lim(1 t)t e (1 )
1 x 1 ,
sinx coxs
CD
即coxs sinx1. x
sin x lim 1.
x x0＋
Ox BA
例 1 求 lim tan x x 0 x
解
limtanxlim (sinx1)
x 0 x x 0 cosx x
sinx 1 lim( )
x0 x cosx
limsinxlim 1 x0 x x0 cosx
0.001 …. 0.9999998
X －1 －0.5
sin x
0.84147 0.95885
x
－0.1 0.99833
－0.01 0.99998
－0.001 …. 0.9999998
lim six n1 x 0 x
证明 limsinx1. x x0＋
证
即sinxxtanx
各 式 同 除 以 s i n x ( 因 为 s i n x 0 ) ,得
t0
1
推 广 为 某 过 程 中 的 无 穷 小 量 ,lim (1) e 某过程
使 用lim (11)xe 须 注 意 : x x
(1)类 型 :
高等数学课程教案(两个重要极限1)
准则I如果存在 的某空心邻域 ,使得对一切 (或 )时，都有
（1）
（2)
那末 存在，且等于 。
二、第一个重要极限
．
证如图，设圆心角 ,
因为△AOB的面积<圆扇形AOB的面积〈△AOD的面积，
所以
即
由偶函数性质, 时也成立。
又
由准则I,即得
注：在极限 中,只要 是无穷小，就有
这是因为令 ,则 ，于是
例1求
解
例2求
解
练习：(提问学生)
（1） （2） （3)
例3求
解
回顾已学知识
互动
引导学生从图中观察特点
总结相同点
通过例子加深理解
作业：习题二（A ） 。17，18，19,
作业设计
高等数学课程教案
授课题目
§2.5两个重要极限
课时安排
15分钟
主讲人
教学目的：掌握重要极限公式的特点及其变形式,并能运用其求某些函数的极限；
教学重点、难点
重点:重要应用
授课类型:理论课
教学方式：讲授
教学资源：多媒体及板书
教学过程
备注
一、回顾
前面我们学习了用极限运算法则去求解一些函数的极限，当不能直接用法则的时候可对函数进行适当的变形来求出极限值；另外,我们还给出了一个极限存在的判定准则——夹逼准则，现在我们回顾一下函数极限的夹逼准则的内容：
（1）
（2)
那末 存在，且等于 。
二、第一个重要极限
．
证如图，设圆心角 ,
因为△AOB的面积<圆扇形AOB的面积〈△AOD的面积，
所以
即
由偶函数性质, 时也成立。
又
由准则I,即得
注：在极限 中,只要 是无穷小，就有
这是因为令 ,则 ，于是
例1求
解
例2求
解
练习：(提问学生)
（1） （2） （3)
例3求
解
回顾已学知识
互动
引导学生从图中观察特点
总结相同点
通过例子加深理解
作业：习题二（A ） 。17，18，19,
作业设计
高等数学课程教案
授课题目
§2.5两个重要极限
课时安排
15分钟
主讲人
教学目的：掌握重要极限公式的特点及其变形式,并能运用其求某些函数的极限；
教学重点、难点
重点:重要应用
授课类型:理论课
教学方式：讲授
教学资源：多媒体及板书
教学过程
备注
一、回顾
前面我们学习了用极限运算法则去求解一些函数的极限，当不能直接用法则的时候可对函数进行适当的变形来求出极限值；另外,我们还给出了一个极限存在的判定准则——夹逼准则，现在我们回顾一下函数极限的夹逼准则的内容：
高等数学 第1章 第七节 极限存在准则 两个重要极限
则
lim
n
x n1
lim n
6 xn ,
A
6 A,
解得 A 3或A 2,（舍去）
lim n
xn
3.
14
3.两个重要极限的应用
例6： 求 lim tan x 1
x0 x
可作为公式
lim
x
s
in u x ux
1
lim ux 0
x
解： lim tan x lim sin x 1 lim sin x lim 1 11 1 x0 x x0 x cos x x0 x x0 cos x
1 n2 1
n2
1
22
n2
1
n2
n n2 1
,
1
lim 1 0, n 2n
lim n n n2 1
lim n
n
1
1
由夹逼定理知：
n2
0 0, 10
lim n
n
1 2
1
n2
1 22
n2
1 n2
存在, 且
lim n
n
1 2
1
n2
1
22
n2
1
n2
0.
8
例2 用夹逼准则证明：
lim sin x 1.
1yn xn zn n 1,2,3,,
2
lim
n
yn
a,
lim
n
z
n
a,
则数列x
n
的
极
限
存
在,
且
lim
n
xn
a.
准则1 若
1当x
U
x
大一高等数学 第一章第六节 极限存在准则 两个重要极限
lim f (x) A
(
x x
x0 )
( 利用定理1及数列的夹逼准则可证 )
二、 两个重要极限证:Leabharlann 当x(0,
π 2
)
时，
△AOB 的面积＜
圆扇形AOB的面积
BD
1
x O
C
A
＜△AOD的面积
即 亦故即有 显然有
1 2
sin
x
1 2
tan
x
sin x x tan x
(0
x
π 2
)
cos x sin x 1 x
有
lim
n
f
(xn
)
A.
法1 找一个数列
xn x0 ,
使
lim
n
f
(xn
)
不存在
.
法2 找两个趋于
的不同数列 xn 及 xn , 使
lim
n
f
(xn )
lim
n
f
(xn )
例1. 证明
不存在 .
证: 取两个趋于 0 的数列
xn
1 2n π
及
xn
1 2n π
π 2
(n 1, 2,)
有 lim sin 1 lim sin 2n π 0 n xn n
3. lim xsin 1 __0__ ;
x0
x
2. lim xsin 1 _1___ ;
x
x
4. lim (1 1)n _e__1_; n n
作业
P56 1 (4)，(5)，(6) ;
(4) ;
2
(2)，(3)，
4
(4) , (5)
极限的两个重要极限公式
极限的两个重要极限公式极限是高等数学中的重要概念，具有广泛的应用。
在研究函数的性质、求导、积分等方面，极限都起着重要的作用。
本文将介绍两个重要的极限公式，它们分别是复合函数的极限公式和级数的比较判别法。
一、复合函数的极限公式复合函数是由两个或多个函数组合而成的函数，例如f(g(x))。
当我们需要计算复合函数的极限时，可以使用复合函数的极限公式，它的表述如下：设函数f(x)在x0处连续，g(x)在x0处极限存在且等于a，则有：lim f(g(x)) = f(a)x→x0这个公式的意义是，当自变量x趋近于x0时，函数g(x)的值趋近于a，因此f(g(x))的值也趋近于f(a)。
这个公式的证明可以使用ε-δ定义，但在这里我们不再赘述。
这个公式的应用非常广泛，特别是在微积分中，它可以用于求导和积分。
例如，当我们需要求f(g(x))的导数时，可以先求出g(x)的导数，然后将它代入f(x)中，再乘以g'(x)，即可得到f(g(x))的导数。
同样地，当我们需要对f(g(x))求积分时，可以将它转化为f(u)du的形式，其中u=g(x)，du=g'(x)dx，然后再对f(u)进行积分。
二、级数的比较判别法级数是由无穷多个数相加得到的数列，例如1+1/2+1/3+1/4+...。
在研究级数的性质时，我们经常需要判断它是否收敛。
如果一个级数收敛，那么它的和就是一个有限的数；如果一个级数发散，那么它的和就是无穷大或无穷小。
级数的比较判别法是判断级数收敛性的一种方法，它的表述如下：设有两个级数an和bn，如果存在一个正整数N，使得当n>N 时，有an≤bn，则有：若级数bn收敛，则级数an也收敛。
若级数an发散，则级数bn也发散。
这个公式的意义是，如果级数an的每一项都小于等于级数bn 的对应项，那么an的收敛性和bn的收敛性是相同的。
如果bn收敛，那么an也收敛；如果an发散，那么bn也发散。
这个公式的证明也比较简单，可以使用比较原理和收敛级数的性质进行推导。
高等数学1.6极限存在准则、两个重要极限
二、两个重要极限
例4
1 cos x 求 lim . 2 x0 x
2 x x 2 sin 2sin 2 1 lim 2 解 原式 lim 2 x 0 2 x x 0 x 2 2 2
0 0
sin x lim 1 x 0 x
lim cos x 1,
x 0
x x0 x x0
lim f ( u ) A， 则 lim f [ g ( x )] A lim f ( u )
u a
证明
lim(1 x ) e
x 0
1 x
x x0 1 x
u a
1 1 令 x , lim(1 )t ＝ lim(1 x ) t t t x0
x x0 ( x ) x x0 ( x )
f ( x) lim h( x ) A, 那末 xlim x
( x)
0
存在, 且等于 A 上述两准则称为两边夹准则.
例1 求 lim( n 解：
1 n 1
2
1 n 2
2
1 n n
2
).
n n n
2
n
x 1 sin x 1, cos x 1 sin x cos x x
A
下面证 lim cos x 1,
x0
2 x x x 2 2 1 cos x 2 sin 2( ) , 2 2 2
0 cos x 1 x2 lim 0, lim(1 cos x ) 0, x0 x0 2 sin x lim cos x 1, lim1 1, lim x 0 x0 x0 x
(2)
1 x lim (1 ) e x x
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x0
x
x B. lim 1
x x0
D. lim sin x 1 x x
A 练习6. 已知
f (x) x 1 tan x
当（
）时，
f (x) 为无穷小量.
A. x 0
C. x
B. x 1
D. x
练习7. 已知 f (x) 1 sin x ，当 x 0 时， x f (x) 为无穷小量．
记为 y = ln x.
数 e 是一个无理数，它的前八位数是： e = 2.718 281 8
3.有关指数运算的知识
(ab)n anbn anm anam
anm an m
4.无穷小量 定义 在某个变化过程中，以0为极限的变量称 为在这个变化过程中的无穷小量，常用字母
, , 等表示。 性质 无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量.
sin x lim 1.
x x0＋
CD Ox BA
例 1 求 lim tan x x0 x
解
lim tan x lim( sin x 1 )
x0 x
x0 cos x x
lim(sin x 1 ) x0 x cos x
sin x
1
lim
lim
x0 x x0 cos x
11 1
这个结果可以作为公式使用 lim tan x 1 x0 x
练习8. lim x sin x ___1___
x x
练习9. lim x sin x __0____
x0
x
❖第二个重要极限 lim (1 1 )x ?
x
x
X 10 100 1000 10000 100000 …
(1
1
x
)
2.594
2.705
2.717 2.718
2.71827
x
X -10 -100
x
－0.1 0.99833
－0.01 0.99998
－0.001 …. 0.9999998
lim sin x 1 x0 x
证明
证
sin x
lim
1.
x x0＋
即 sin x x tan x
各式同除以sin x (因为sin x 0),得 1 x 1 , sin x cos x
即 cos x sin x 1. x
x0 3x x0 5x 3
33
使用 lim sin x 1 时须注意 : x0 x
(1)类型：
0型 0
sin
(2)推广形式:
lim
某过程
1
（ lim 0 ） 某过程
(3)等价形式： lim x 1 x0 sin x
例3
求
lim
x1
sin(x 1) x2 1
解
lim
x1
sin(x 1) x2 1
推广 为某过程中的无穷小量 , lim (1 ) e 某过程
x x
x x
当 x 时 1 0 且 | sin x | 1 x
故 lim sin x 0 x x
lim sin x 1 x0 x
B 练习3：下列等式正确的是（ ）
sin x A. lim 1;
x x
1
C. lim x sin 1;
x0
x
1
B. lim x sin 1;
x
x
1
sin
D. lim x 1 ．
(5) lim[ f ( x)]k [lim f ( x)]k
❖第一个重要极限 lim sin x ?
x0 x
X
1
0.5
sin x
0.84147 0.95885
x
0.1 0.99833
0.01 0.99998
0.001 …. 0.9999998
X －1 －0.5
sin x
0.84147 0.95885
5.极限的运算法则
(1) lim( f ( x) g(x)) lim f ( x) lim g(x)
(2) lim[ f (x) g(x)] limf (x) limg(x)
(3)
若
limg(x) 0，lim
f (x) g(x)
limf (x) . limg(x)
(4) lim[cf ( x)] c lim f ( x)
例 2 求 lim sin 5x x0 x
解： lim sin 5x lim 5sin 5x 5lim sin 5x
x0 x
x0 5x
x0 5x
令 5x t, 当 x 0 时,有 t 0
所以 ,原式 5lim sin t t0 t
51 5
注：在运算熟练后可不必代换，直接计算：
推广：
lim sin 5x 5lim sin 5x 51 5
x x
练习4：下列等式不正确的是（ D ）
A lim sin x 1; B lim x 1;
x0 x
x0 sinx
C lim xsin 1 1;
x
x
D
lim x sin 1 1
x0
x
B 练习5. 下列极限计算正确的是（ ）
x A. lim 1
x0 x
x1
sin(x 1) (x 1)(x 1)
sin(x 1) lim[ x1 x 1
1] x 1
lim sin(x 1) lim x1 x 1 x1
1 x 1
1 1 1 11 2
例 4 求 lim x sin 1
x
x
解
lim x sin 1
x
x
sin 1
lim x
x 1
1
x
思考题
lim sin x lim 1 sin x
x0 x
x0 5x
设 为某过程中的无穷小量 ,
lim sin 1 某过程
练习1. 求下列极限:
（1） lim sin 3x x0 x
解：lim sin 3x lim 3sin 3x 3lim sin 3x 31 3
x0 x
x0 3x
x0 3x
（2） lim sin 5x x0 3x
解：lim sin 5x lim(sin 5x)(5) 1 5 5
(1
1
x
)
2.868
2.732
x
-1000 -10000
2.720 2.7183
-100000 …
2.71828
lim(1 1 ) x e
x
x
lim(1 1 )x e (1 )
x
x
令t 1,
lim(1
1 )x
lim(1
1
t)t
e
x x
x
t0
1
lim(1 t)t e (1 )
t 0
1
极限 lim sin x x0 x
极限 lim (1
x
1 x
)x
❖预备知识
1.有关三角函数的知识
tan x sin x cos x
sin0 0 cos0=1 | sin x |1 | cos x | 1
2.有关对数函数的知识
ln x loge x
以e为底的指数函数y=ex的反函数 y = logex， 叫做自然对数，在工程技术中经常被运用，常简