两个重要极限开课教案讲课教案
高等数学教学教案 极限存在准则 两个重要极限(优秀版)word资料
高等数学教学教案极限存在准则两个重要极限（优秀版）word资料§1.6极限存在准则两个重要极限授课次序061 ,, n11 {},{},22 n nb=+⋅⋅⋅+数列单调减少且有下界，零或小于零的任何常数都是其下界。
下界里有个最大的吗？有！数列单调增加且有上界，1或大于1的任何常数都是其上界．上界里有个最小的吗？也有！现在请用一下你的想象力：对于单调增加有上界的数列}nx，它的图像是数轴上的一个点列，点列中的点在数轴上会不停的向前走，但是不可能越过它的最小上界a．由于数列有无穷多项，从某一项之后的所{}lim n n a n N →∞∴∀>单调增加，这意味着所以，§1. 6极限存在准则 两个重要极限准则I如果数列{x n }、{y n }及{z n }满足下列条件:(1)y n ≤x n ≤z n (n =1, 2, 3, ⋅ ⋅ ⋅), (2)a y n n =∞→lim , a z n n =∞→lim ,那么数列{x n }的极限存在, 且a x n n =∞→lim .证明: 因为a y n n =∞→lim , a z n n =∞→lim , 根据数列极限的定义, ∀ε >0, ∃N 1>0, 当n >N 1时, 有|yn -a |<ε ; 又∃N 2>0,当n >N 2时, 有|z n -a |<ε . 现取N =max{N 1, N 2}, 则当 n >N 时, 有 |y n -a |<ε , |zn -a |<ε 同时成立, 即 a -ε<y n <a +ε , a -ε<z n <a +ε , 同时成立.又因y n ≤x n ≤z n , 所以当 n >N 时, 有a -ε<y n ≤x n ≤z n <a +ε , 即 |x n -a |<ε . 这就证明了a x n n =∞→lim .简要证明: 由条件(2), ∀ε >0, ∃N >0, 当n >N 时, 有|y n -a |<ε 及|z n -a |<ε , 即有 a -ε<y n <a +ε , a -ε<z n <a +ε , 由条件(1), 有 a -ε<y n ≤x n ≤z n <a +ε , 即 |x n -a |<ε . 这就证明了a x n n =∞→lim .准则I ' 如果函数f (x )、g (x )及h (x )满足下列条件:(1) g (x )≤f (x )≤h (x ); (2) lim g (x )=A , lim h (x )=A ; 那么lim f (x )存在, 且lim f (x )=A .注 如果上述极限过程是x →x 0, 要求函数在x 0的某一去心邻域内有定义, 上述极限过程是x →∞, 要求函数当|x |>M 时有定义, 准则I 及准则I ' 称为夹逼准则.下面根据准则I '证明第一个重要极限: 1sin lim 0=→xx x .证明 首先注意到, 函数x x sin 对于一切x ≠0都有定义. 参看附图: 图中的圆为单位圆,因为 S ∆AOB <S 扇形AOB <S ∆AOD , 所以21sin x <21x <21tan x , 即sin x <x <tan x . 不等号各边都除以sin x , 就有x x x cos 1sin 1<<, 或1sin cos <<xx x .注意此不等式当-2 π<x <0时也成立. 而1cos lim 0=→x x , 根据准则I ', 1sin lim 0=→x x x .简要证明: 参看附图, 设圆心角∠AOB =x (20π<<x ). 显然 BC < AB <AD , 因此 sin x < x <备注栏高等数学课程教学设计方案中央电大教务处教学管理科（20XX年04月15日）浏览人次627（修订稿）一、课程概况1. 课程的性质、任务“高等数学”课程是中央广播电视大学水利水电专业的一门必修的重要基础理论课，是为培养学生的基本素质、学习后续课程服务的。
高等数学电子教案第二章第8讲-两个重要极限二课时教案首页
这是因为令u(x)则u0于是
((x)0)
二、第二重要极限： =e4根据数列收敛准则可以证明极限 存在
设 现证明数列{xn}是单调有界的
按牛顿二项公式有
比较xnxn1的展开式可以看出除前两项外xn的每一项都小于xn1的对应项并且xn1还多了最后一项其值大于0因此
《高等数学》课程课时教案
课题名称
第八讲两个重要极限（二）
课次
8
授课日期
10.20（1、2）
10.21（1、2）
10.21（3、4）
10.24（3、4）
授课班级
14热电1
14化工
14化设
14煤化
授课地点
14热电1
14化工
14化设
14煤化
教学目标
与
教学要求
1.会用第二重要极限求极限。
2.理解第二重要极限的推广形式。
例1求 10min
解：
例2求 8min
解：令 则 当 时， 所以有
例3求 6min
解：
例4求 10min
解：令
解得 当 时，
例5求 6min
解令tx则x时t于是
或
总结：1、 5min
2、 ((x)0)
课后作业
P36:45 46 47.
教学反思
重点难点
及
解决办法
重点:第二重要极限的应用。
解决办法:通过典型例题讲解，学生有针对性的做典型习题。
难点：第二重要极限形式的推广。
解决办法:用对比法推广第二重要极限。
教学设计
引课：上节我们学了第一重要极限，今天我们再学用第二重要极限求极限
的方法。5min
两个重要极限教案(修改
两个重要极限教案教学目标：1. 理解极限的定义和性质。
2. 掌握两个重要极限的表达式和应用。
3. 能够运用两个重要极限解决实际问题。
教学内容：第一章：极限的定义和性质1.1 极限的定义1.2 极限的性质1.3 极限的存在条件第二章：两个重要极限2.1 极限lim(x->0) (sin x / x) = 12.2 极限lim(x->∞) (sin x / x) = 02.3 两个重要极限的证明和应用第三章：极限的计算方法3.1 直接计算法3.2 因式分解法3.3 代数运算法第四章：无穷小和无穷大4.1 无穷小的定义和性质4.2 无穷大的定义和性质4.3 无穷小和无穷大的比较第五章：极限的运算法则5.1 极限的基本运算法则5.2 极限的复合运算法则5.3 极限的逆运算教学过程：第一章：1.1 引入极限的概念，引导学生理解极限的定义。
1.2 引导学生通过举例和观察，总结极限的性质。
1.3 引导学生探讨极限的存在条件，并举例说明。
第二章：2.1 引导学生理解两个重要极限的表达式，并通过图形和实例进行解释。
2.2 引导学生掌握两个重要极限的证明方法，并能够运用到实际问题中。
2.3 引导学生通过练习题，巩固两个重要极限的应用。
第三章：3.1 引导学生学习直接计算法，并通过例子进行演示。
3.2 引导学生学习因式分解法，并通过例子进行演示。
3.3 引导学生学习代数运算法，并通过例子进行演示。
第四章：4.1 引导学生理解无穷小的概念，并通过例子进行解释。
4.2 引导学生理解无穷大的概念，并通过例子进行解释。
4.3 引导学生掌握无穷小和无穷大的比较方法，并能够运用到实际问题中。
第五章：5.1 引导学生学习极限的基本运算法则，并通过例子进行演示。
5.2 引导学生学习极限的复合运算法则，并通过例子进行演示。
5.3 引导学生学习极限的逆运算，并通过例子进行演示。
教学评价：1. 课堂讲解的清晰度和连贯性。
2. 学生的参与度和积极性。
极限存在准则 两个重要极限教案
§1.7 极限存在准则 两个重要极限求函数的极限问题，有些可用上节运算法则获得解决，但更多的远不能解决，例已知∞→x 时， ()0sin →=xxx f , 但0→x 时，()?sin →=x x x f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡00是否有？如果有，怎样求？再如()∞→+=n nn f n )11(无限多个积，n 换成x ？一．极限存在准则I1．准则I 如果数列() ,2,1,,=n z y x n n n 满足：(1)() ,2,1=≤≤n z x y n n n (2)a y n n =∞→lim , a z n n =∞→lim那么数列n x 的极限存在，且a x n n =∞→lim .证：∵a y n n =∞→lim , a z n n =∞→lim ，∴10N ∃>∀ε，当1N n >时，有ε<-a y n .同理20N ∃>∀ε，当2N n >时，有ε<-a z n . 取{}21,max N N N =，则当N n >时， 有ε<-a y n , ε<-a z n 同时成立即εε+<<-a y a n ,εε+<<-a z a n ,而() ,2,1=≤≤n z x y n n n n ，∴εε+<≤≤<-a z x y a n n n ,即ε<-a x n . 故a x n n =∞→lim 。
*数列极限存在准则I 可推广到函数的极限。
准则I ˊ如果(1) ),ˆ(0r x U x ∈ (或M x >)时，有()()()x h x f x g ≤≤成立；(2)()A x g =lim , ()A x h =lim (0x x →或∞→x ),那么()A x h =lim (0x x →或∞→x ). 准则I,I ′称为夹逼准则。
2．利用准则I ′证明第一个重要极限：1sin lim0=→xxx证：函数xxsin 在0≠x 时有定义 单位圆中，AOB ∆的面积＜扇形AOB 的面积＜AOD ∆的面积即x sin 21 <<x 21 x tan 21, 1sin cos <<x xx (1)(∵用x -代x 时，x cos 与xx sin 都不变号， ∴对⎪⎭⎫⎝⎛-∈0,2πx 也成立)。
2.4两个重要极限
表JX—1 南京技师学院教案（首页）授课日期授课班级课题§2.4 两个重要极限计划学时2 课时教学目标熟练掌握用两个重要极限求极限教学重点解决措施教学重点：熟练掌握用两个重要极限求极限解决措施：讲授教学难点解决措施教学难点：熟练掌握用两个重要极限求极限解决措施：推导、练习教学设计教学手段教学方法板书演示板书设计授课提纲一、复习提问：极限的运算法则二、新课引入三、新授讲授1、夹逼定理2、重要极限：sinlim1xxx→=3、数列收敛准则4、重要极限：1lim1xxex→+∞⎛⎫+=⎪⎝⎭四、课堂小结1、夹逼定理、两个重要极限.2、练习： P36/习题32、33、34、35、45、46五、作业布置：P36/习题36、37、38、40、41、47、48六、教学反思第 页教 学 过 程 设 计时间 分配 教师 活动 学生 活动【复习提问】 极限的运算法则 【新课引入】为了更好的解决极限问题，介绍两个重要极限 【新课讲授】§2.4 两个重要极限1、定理1：夹逼定理设A x G A x F ==)(lim ,)(lim ，且)()()(x F x f x G ≤≤则A x f =)(lim 。
证明：以+∞→x 为例，因A x G A x F x x ==+∞→+∞→)(lim ,)(lim ，即对任意小的正数ε，当x 无限变大时，恒有εε<-<- )( , )( A x F A x G ，从而有εεεε+<<-+<<-A x F A A x G A )(,)(，又因为)()()(x F x f x G ≤≤，所以有εε+<≤≤<-A x F x f x G A )()()(，即ε<- )( A x f 。
证得A x f =)(lim 。
注：夹逼准则对自变量的其他变化过程也成立。
3分钟2分钟55分钟老师 提问概念讲解学生回答第 页2、重要极限：0sin lim 1x xx →=证： 先证1sin lim 0=+→xxx . 由于+→0x ，不妨设02x π<<.作单位圆并设圆心角x AOB =∠则 AOB AOD AOB S S S ∆∆<<扇形∵ x BC OA S AOB sin 2121=⋅=∆，x x OA OA AB OA S AOD 212121=⋅⋅=⋂⋅=扇形，11tan 22AOD S OA AD x ∆=⋅=， ∴ tgx x x 2121sin 21 ，即 sin tan x x x <<， 从而有11sin cos x x x <<或sin cos 1x x x <<. ∵ 22201cos 2sin 20(0)222x x x x x +⎛⎫<-=⋅=→→ ⎪⎝⎭，， ∴ 1cos lim 0=+→x x ∴ 1sin lim 0=+→x x x 又 1sin lim sin lim 00=---=+-→→t t t x x x t x ∴ 1sin lim 0=→x x x .强调特殊记忆老师讲解第 页注：一般公式： 1)()(sin lim 0)(=→x x x ϕϕϕ （表面特性[]sin[]，本质特性“0”） 例1 0tan lim x x x →=1)cos 1sin (lim 0=⋅→x x x x .例2 0tan sin lim x x x →=1)sin sin sin (lim 0=⋅→x x x x tg x . 例3 =-→20cos 1lim x x x =→2202sin 2lim x x x 2122sin lim 2120=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→x x x . （或者原式＝21)cos 11sin (lim 220=+⋅→x xx x ）.3、数列收敛准则 定理2：单调有界数列必有极限。
高职大一应用数学两个重要极限教学设计
学科
应用数学
教 学 内 容 1.7 两个重要极限（第一重要极限） （课名）
该内容总课时 共讲 2 讲 一、学习内容分析
翻转课时 第 1 讲
两个重要极限在整个学期的授课共 2 时节，在第一模块函数的极限与连续中学完极限的运算
法则后的内容。
这堂翻转课教学内容特色：两个重要极限在内容上是两特殊的极限，重点是让学生掌握应用，
40%，组间互评 占 30%，组内互 评占 30%。这部
打分
间互评。
分成绩记入过
程考核中的作
业成绩。
学生总结所学
3 总结
内容并谈学习 答疑补充 学生总结
10
感受
下次课要
4 求·
巡回答疑
辅导答疑 提出问题
5
六、教学设计反思 在课前学习中学生必须要认真进行学习，课堂上的翻转才能真正实施，所以课前任务设计是 关键，要想办法调动学生学习积极性。对于课上翻转部分，学生的分组也是很关键的，一个 小组中成员应该是基础好的和基础差的搭配，如果某个组成员基础都很差就有可能课前任务 完成不了。
有点类似于掌握两个公式的应用。
重点：第一重要极限的形式及变形
难点：第一重要极限的形式及变形的应用
二、学习目标分析 学习目标：第一重要极限的形式及变形的应用 通过学生做巩固练习题的正确率来判断学生是否达到了目标
三、学习者特征分析 学生基础薄弱，运算能力不强；对极限的运算性质掌握不牢固；
四、课前任务设计 学生通过课前导学指导观看视频 1.7.1，完成在线测试 1.7.1，并以小组为单位形成一篇学习笔 记（要体现出课前学习过程中不理解的地方） 课前导学内容：第一步观看视频 1.7.1，掌握第一重要极限的形式、第一重要极限的变形及应 用。第二步完成在线测试 1.7.1。第三步以小组为单位形成一篇学习笔记。 在线测试占课前学习成绩的 60%，学习笔记在线测试占课前学习成绩的 40%. 课前导学、视频、在线测试学习笔记通过学校教学平台发给学生
两个重要极限教案
两个重要极限教案两个重要极限教案作为一名无私奉献的老师，有必要进行细致的教案准备工作，借助教案可以更好地组织教学活动。
那么大家知道正规的教案是怎么写的吗？下面是小编收集整理的两个重要极限教案，仅供参考，大家一起来看看吧。
一、教材分析两个重要极限是在学生系统学习了数列极限、函数极限以及函数极限运算法则的基础上进行研究的，它在求函数极限中起着重要作用，也是今后研究各种基本初等函数求导公式的工具，所以两个重要极限应重点研究。
二、学情分析一方面，学生已经学习了有界函数和无穷小乘积的极限，他们可以通过类比的方法研究这第一个重要极限，具备了接受新知识的基础；另一方面，学生基础比较薄弱，对以前所学的三角函数关系、二倍角公式等运用还不够熟练，所以现在在角的转化上面还存在一定困难。
三、教学目标根据以上两点分析并结合本节教材的特点，现把本节课的目标、重点、难点定为：教学目标：（1）知识与技能：使学生掌握重要极限公式的特点及其变形式，并能运用其求某些函数极限；（2）过程与方法：提高学生的自学意识，培养学生类比、观察、归纳、举一反三等方面的'能力；（3）情感态度与价值观：通过对重要极限公式的研究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯，同时激发学生的学习兴趣。
教学重点与难点：重点：重要极限公式及其变形式难点：的灵活应用四、教法与学法的选择本节课我是以学案为载体，采用启发式、讨论式以及讲练结合的教学方法，通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与数学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师的指导下发现、分析和解决问题。
学法上以课前自学为主要方式，在引导分析时，留出学生的思考空间，让学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，围绕中心各抒己见，让学生自己出题，把思路方法和需要解决的问题弄清。
五、教学环节的设计（1）课前尝试利用学案导学，让学生明确课前要做的作业，课堂采用的方法，需要达到的要求，在尝试练习中，让学生通过练习，类比，引入新课。
两个重要极限教案(修改稿)
两个重要极限教案(修改稿)教学目标：1. 理解并掌握两个重要极限的概念和应用。
2. 能够运用两个重要极限解决相关数学问题。
3. 提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
教学内容：1. 引入两个重要极限的概念。
2. 解释两个重要极限的推导过程。
3. 展示两个重要极限的应用实例。
4. 练习题和解答。
教学准备：1. 教案、PPT或黑板。
2. 练习题。
教学过程：一、引入（5分钟）1. 引导学生回顾极限的概念，即当自变量趋向于某个值时，函数值趋向于某个确定的值。
2. 提出问题：在数学中，有哪些重要的极限值得我们学习和掌握呢？二、第一个重要极限：极限的定义与性质（15分钟）1. 给出第一个重要极限的定义：当x趋向于0时，sinx/x趋向于1。
2. 通过图形、实际例子或证明来说明这个极限的性质和意义。
3. 解释这个极限在数学和物理中的应用。
三、第二个重要极限：极限的推导过程（15分钟）1. 给出第二个重要极限的定义：当x趋向于无穷大时，e^x趋向于无穷大，lnx 趋向于无穷大。
2. 通过图形、实际例子或证明来说明这个极限的推导过程。
3. 解释这个极限在数学和自然科学中的应用。
四、应用实例（15分钟）1. 举例说明如何运用这两个重要极限解决实际问题，如计算极限值、解决优化问题等。
2. 引导学生思考如何将这两个极限应用到自己的学习和工作中。
五、练习题和解答（10分钟）1. 提供一些有关两个重要极限的练习题，让学生独立完成。
2. 解答学生的问题，给予指导和帮助。
教学评价：1. 课后收集学生的练习题答案，评估学生对两个重要极限的理解和应用能力。
2. 在下一节课开始时，简要回顾本节课的内容，检查学生的掌握情况。
1. 教师应根据学生的实际情况，适当调整教学内容和教学时间。
2. 鼓励学生在课堂上积极提问和参与讨论，提高学生的学习兴趣和主动性。
六、极限的计算方法（15分钟）1. 介绍几种计算极限的方法，如直接计算、代数方法、有理化方法、泰勒展开等。
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两个重要极限开课教
案
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢2 预备知识 1. 有关三角函数的知识
x
x x cos sin tan =，00sin =，10cos =，1sin ≤x ，1cos ≤x 2.无穷小量
定义：在某个变化过程中，以0为极限的变量称为在这个
变化过程中的无穷小量
性质: 无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小.
一、1sin lim 0=→x
x x
问题1：观察当x →0时x
x sin 的变化趋势： x (弧度)
±1.0 ±0.9 ±0.8 ±0.7 ±0.6 ±0.5 ±0.4 ±0.3 ±0.2 ±0.1 ±0.01 x x
sin
0.8417 0.8703 0.8967 0.9203 0.9410 0.9588 0.9735 0.9850 0.9933 0.9983 0.9999
二、证明1sin lim 0=→x
x x 用两边夹定理证明. 。
x AOB =∠圆心角),20(π<<x
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如图单位圆， 作单位圆的切线，得 扇形AOB 的圆心角为x , 的高为BC , 于是有 BC 弧AB AD
因为ΔAOB 的面积 < 圆扇形AOB 的面积 <ΔAOD 的面积, 即 于是
例1 求x
x x tan lim 0→。
解 x
x x tan lim 0→ =111cos 1lim sin lim cos 1sin lim cos sin lim 0000=⋅=⋅=⋅=→→→→x
x x x x x x x x
x x x x
例2 求x
x x 5sin lim 0→．
解 x x x 5sin lim 0→=5sin lim 5)5(55sin 5lim 00==→→t t t x x x t x 令
.
02也成立上式对于<<-x π
11lim ,1cos lim 00
==++→→x x x 因为1sin lim 0=+→x
x x 从而有，所以类似可以证明1sin lim -0=→x x x 1sin lim 0=→x
x x .AOD ∆AOB
∆. tan , , sin ===x x x ,tan 2121sin 21x x x <<所以,tan sin x x x <<,1sin cos <<x
x x
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练习：
（1）x x x 3sin lim 0→ （2）x
x x 35sin lim 0→ 使用1sin lim 0=→x
x x 时要注意： （1）类型:“0
0”型 （2）推广形式：
例3 求x
x x tan lim 0→。
解 x
x x tan lim 0→ =111cos 1lim sin lim cos 1sin lim cos sin lim 0000=⋅=⋅=⋅=→→→→x
x x x x x x x x
x x x x 例4 求x
x x 5sin lim 0→．
解 x x x 5sin lim 0→=5sin lim 5)5(55sin 5lim 00==→→t t t x x x t x 令
例5 求x x x 2sin 3tan lim 0→ 解：⎪⎭⎫ ⎝
⎛⋅⋅=→→x x x x x x x x 2sin 233tan 23lim 2sin 3tan lim 00 232sin 2lim 33tan lim 2300=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=
→→x x x x x x 练习：x x x 3sin lim 0→ x x x 5tan 2sin lim 0→
sin lim 1αα
=某过程 lim 0 α=某过程（）0 lim
1si (3) n x x x →=等价形式：
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢5 例6 求x
x x 3sin lim ∞→ 解 313sin lim 333sin 3lim 3sin lim 03=⋅==⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛⋅=→=∞→∞→t t x x x x t x t x x 例7 求20cos 1lim x
x x -→。
解 20cos 1lim x
x x -→ =212
2sin 22sin 21lim )2(22sin lim 2sin 2lim 02
20220=⋅⋅==→→→x x x x x x x x x x x 注：1tan lim 1sin lim 00==→→x x x x x x 练习：A/1(3)(5)(6)。