高职大一应用数学两个重要极限教学设计

【精品】高中数学新课极限教案 (9)

课题：2.4极限的四则运算(二) 教学目的:掌握数列极限的运算法则，并会求简单的数列极限的极限教学重点：运用数列极限的运算法则求极限。教学难点:数列极限法则的运用. 授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入： 1。数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近于．．．．．某个常数a ，那么就说数列}{n a 以a 为极限。记作lim n n a a →∞ =． 2。几个重要极限: (1）01lim =∞→n n （2)C C n =∞ →lim (C 是常数) （3)无穷等比数列}{n q （1

记作：+∞→x lim f （x ）=a ,或者当x →+∞时，f (x ）→a . (2)当自变量x 取负值并且绝对值无限增大时，如果函数f （x ）无限趋近于一个常数a ，就说当x 趋向于负无穷大时，函数f （x ）的极限是a . 记作-∞→x lim f （x )=a 或者当x →－∞时,f （x ）→a 。（3)如果+∞→x lim f (x )=a 且-∞ →x lim f （x ）=a ，那么就说当x 趋向于无穷大时,函数f (x )的极限是a ，记作：∞→x lim f (x )=a 或者当x →∞时，f (x ）→a . 4.常数函数f (x )=c 。（x ∈R ），有∞ →x lim f (x ）=c 。 ∞→x lim f (x )存在，表示+∞→x lim f （x )和-∞→x lim f （x )都存在，且两者相等.所以∞→x lim f (x )中的∞既有+∞，又有－∞的意义，而数列极限∞ →x lim a n 中的∞仅有+∞的意义

数学与应用数学专业课程教案

数学与应用数学专业目录数学分析I、II、III (1) 高等代数I、II (9) 空间解析几何 (13) 专业概览讲座 (16) 实变函数 (18) 常微分方程 (20) 概率论 (22) 复变函数 (24) 数理统计 (26) 数学模型 (28) 数学物理方程 (31) 计算方法 (33) 数学规划 (36) C++程序设计 (39) 操作系统 (42) 泛函分析 (49) 数据结构 (52) 离散数学 (55) 计算机图形学 (58) 微分几何 (60) 近世代数 (62)

软件工程 (64) 随机过程初步 (71) 运筹学 (73) 拓扑学 (75) 人工神经网络 (77) 现代数学选讲 (80) 小波分析 (81) 遗传算法 (83) 动力系统 (85) 证券投资分析 (87) 模糊数学 (89) 统计预测与风险决策 (91) 计算机网络 (94) 控制理论 (97) 多元统计分析 (100) 保险精算 (103) 极值理论 (106) 数学实验基础 (108) 数学实验 (110)

数学分析I、II、III 开课院系：数学系课程编号：0751********、0751********、0751******** 课程英文名称：Mathematical Analysis 课程总学时：85+85+68 总学分：5+5+4 含实验或实践学时：0 学分：0 推荐使用教材：《数学分析》编者：陈传璋、金福临、朱学炎、欧阳光中出版社：高等教育出版社出版时间及版次：1983年7月第2版（2001年重印）课程教学目标与基本要求：数学分析是应用数学专业和计算数学专业的一门重要基础课，它一方面为后继课程提供所需的基础知识，同时又为培养学生（利用数学工具）进行独立工作的能力提供必需的训练。学生学好这门课程的基本内容和方法，对今后的学习具有关键性的作用。通过本课程的教学，要求学生掌握微积分学的基本概念、基本理论和基本运算，并培养学生对数学问题的思维能力、论证能力、运算技能和独立分析、解决问题的能力。本课程的教学分为三个学期进行，在第二、三学期尝试双语教学，将专业英语融合到专业课教学中。考试形式：闭卷笔试80%，平时考查20%。各章节授课内容（细化到章、节、目）、教学目标、授课模式（指传统讲授、讨论、多媒体教学等）、学时分配：

高中数学《函数的极限(一)》教案

课题：2.3函数的极限(一) 教学目的： 1.理解当x →+∞，x →－∞，x →∞时，函数f (x )的极限的概念. 2.从函数的变化趋势，理解掌握函数极限的概念. 3.会求当函数的自变量分别趋于+∞，－∞，∞时的极限教学重点：从函数的变化趋势来理解极限的概念，体会极限思想. 教学难点：对极限概念如何可从变化趋势的角度来正确理解. 授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入： 1.数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近于．．．．．某个常数a （即n a a -无限趋近于0），那么就说数列}{n a 以a 为极限，或者说a 是数列}{n a 的极限．记作lim n n a a →∞ =，读作“当n 趋向于无穷大时，n a 的极限等于a ” “n →∞”表示“n 趋向于无穷大”，即n 无限增大的意思n a a →∞ =有时也记作：当n →∞时，n a →a ．理解：数列的极限的直观描述方式的定义，只是对数列变化趋势的定性说明，而不是定量化的定义.“随着项数n 的无限增大，数列的项a n 无限地趋近于某个常数a ”的意义有两个方面：一方面，数列的项a n 趋近于a 是在无限过程中进行的，即随着n 的增大a n 越来越接近于a ；另一方面，a n 不是一般地趋近于a ，而是“无限”地趋近于a ，即|a n －a |随n 的增大而无限地趋近于0. 2.几个重要极限：（1）01lim =∞→n n （2）C C n =∞→lim （C 是常数）（3）无穷等比数列}{n q （1

1-7 两个重要极限练习题

1-7 两个重要极限练习题教学过程：引入：考察极限x x x sin lim → 问题1：观察当x →0时函数的变化趋势：当x 取正值趋近于0时， x x sin →1，即+ →0 lim x x x sin =1；当x 取负值趋近于0时，-x →0, -x >0, sin(-x )>0．于是 ) () s i n (lim sin lim 0 x x x x x x --=+ - →-→．综上所述，得一．1si n l i m =→x x x ． 1sin lim =→x x x 的特点： (1)它是“0 0”型，即若形式地应用商求极限的法则，得到的结果是0 0； (2)在分式中同时出现三角函数和x 的幂．推广如果a x →lim ?(x )=0,(a 可以是有限数x 0, ±∞或∞)，则 a x →l i m ()[] () x x ??s i n =()()[]() x x x ???sin lim 0 →=1．例1 求x x x tan lim →．解 x x x tan lim →=111cos 1lim sin lim cos 1sin lim cos sin lim 0 =?=?=? =→→→→x x x x x x x x x x x x x ．例2 求x x x 3sin lim 0 →．解 x x x 3sin lim →=3sin lim 3)3(33sin 3lim 0==→→t t t x x x t x 令．例3 求2 cos 1lim x x x -→．解 2 cos 1lim x x x -→=212 2sin 2 2sin 21lim )2 (22sin lim 2sin 2lim 02 2 2 2 =? ? ==→→→x x x x x x x x x x x ．例4 求x x x arcsin lim →．

极限存在准则两个重要极限

极限存在准则两个重要极限【教学目的】 1、了解函数和数列的极限存在准则； 2、掌握两个常用的不等式； 3、会用两个重要极限求极限。【教学内容】 1、夹逼准则； 2、单调有界准则； 3、两个重要极限。【重点难点】重点是应用两个重要极限求极限。难点是应用函数和数列的极限存在准则证明极限存在，并求极限。【教学设计】从有限到无穷，从已知到未知，引入新知识（5分钟）。首先给出极限存在准则（20分钟），并举例说明如何应用准则求极限（20分钟）；然后重点讲解两个重要的极限类型，并要求学生能利用这两个重要极限求极限（40分钟）；课堂练习（15分钟）。【授课内容】引入：考虑下面几个数列的极限 1、1000个0相加，极限等于0。 2、无穷多个“0”相加，极限不能确定。

3、，其中，，极限不能确定。对于 2、3就需要用新知识来解决，下面我们来介绍极限存在的两个准则：一、极限存在准则1、夹逼准则准则Ⅰ 如果数列及满足下列条件:那么数列的极限存在, 且、证：取上两式同时成立, 当时，恒有上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限准则Ⅰ′ 如果当 (或)时,有那么存在, 且等于、准则 I和准则 I称为夹逼准则。【注意】利用夹逼准则求极限的关键是构造出与，并且与的极限是容易求的。例1 求解：由夹逼定理得：【说明】夹逼准则应恰当结合“放缩法”使用2、单调有界准则准则Ⅱ 单调有界数列必有极限、如果数列满足条件，就称数列是单调增加的；如果数列满足条件，就称数列是单调减少的。单调增加和单调减少的数列统称为单调数列。几何解释:例2 证明数列（重根式）的极限存在【分析】已知，，求。首先证明是有界的，然后证明是单调的，从而得出结论证： 1、证明极限存在a)

(完整版)《数列的极限》教学设计

《高等数学》——数列极限教学设计

教学过程设计 A 、【课前准备】1、安排学生提前预习本节内容。 2、分组：4～6人为一个学习小组，确定一人为组长。教师需要做好协调工作，确保每位学生都参加。 B 、【组织教学】检查学生出勤情况，填写教学日志，教材、用具准备等（2分钟） C 、【复习回顾】数列的定义（2分钟） D 、【教学内容、方法和过程】接下表教师活动学生活动设计意图 (一) 结合实际，情景导入(时间4分钟）导入1、战国时代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭” 也就是说一根长为一尺的木棒，每天截去一半，这样的过程可以无限制地进行下去导入2、三国时的刘徽提出的“割圆求周”的方法.他把圆周分成三等分、六等分、十二等分、二十四等分、··· 这样继续分割下去,所得多边形的周长就无限接近于圆的周长. 教师引入：不论是庄周还是刘徽，在他们的思想中都体现了一种数列极限思想，今天我们来学习数列极限。【学情预设】：有的学生可能没体会到情景导入的目的，教师最后要总结导入中蕴含的数学思想。 (二)归纳总结,形成概念: (时间9分钟） 1．提出问题：分析当无限增大时，下列数列的项的变化趋势及共同特征. （1）１，21，31，41…n 1 …递减（2）递增（3）摆动学生参与，思考，感受学生参与，思考问题，在老师的引导下对数列极限知识有一个形象化的了解。通过讨论，学生了解以研究函数值的变化趋势的观点研究无穷数列，从而体会发现数列极限的过程通过介绍我国古代哲学家庄周和刘徽，激发学生的民族自尊心和爱国主义思想情感，并使他们对数列极限知识有一个形象化的了解。同时为学习新知识做准备，使学生更好的承上启下。（一）概念探索阶段” 在这一阶段的教学中，由于注意到学生在开始接触数列极限这个概念时，总是以静止的观点来理解这个描述变化过程的动态概念，总觉得与以

高数教案_重要极限6

课题: 两个重要极限目的要求：教学重点：教学难点：教学课时：教学方法：教学内容与步骤： 1. 0sin lim 1x x x →=．证明作单位圆如下图所示,取AOB x ∠=(rad),于是有： BC =sin ,x ? AB x =,tan AD x =.由图得OAB OAD OAB S S S ??<<扇形，即 111sin tan 222x x x <<得 sin tan x x x <<,从而有sin cos 1x x x <<. 上述不等式是当π02x <<时得到的,但因当 x 用x -代换时cos x ,sin x x 都不变号,所以 x 为负时,关系式也成立. 因为0limcos 1x x →=,又0 lim11x →=,由极限的夹逼准则知介于它们之间的函数sin x x 当

0x →时,极限也是1.这样就证明了0sin lim 1x x x →=. 说明：（1）这个重要极限主要解决含有三角函数的 00 型极限．（2）为了强调其一般形式,我们把它形象地写成0sin lim 1x x →=x (方框□代表同一变量)．例6 求0sin 3lim sin 4x x x →. 解： 003040sin 3sin 3433sin 343lim lim()lim lim .sin 43sin 4443sin 44 x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→=??=?= 例7 求201cos lim x x x →-. 解 2 2220002sin sin 1cos 1122lim lim lim 22 2x x x x x x x x x →→→?? ?-=== ? ???．例8 求30tan sin lim x x x x →-．解： 332000tan sin tan (1cos )1sin 1cos lim lim lim cos x x x x x x x x x x x x x x →→→---??==?? ??? 由例7知 21cos 1(0)2 x x x -→→, 故30tan sin 1lim 2x x x x →-=. 2. 1lim 1e x x x →∞??+= ??? ．解释说明：列出11x x ??+ ??? 的数值表(如下表)，观察其变化趋势. 从上表可看出,当x 无限增大时,函数11x x ??+ ??? 变化的大致趋势,可以证明当x →∞时, 11x x ??+ ???的极限确实存在,并且是一个无理数,其值为e 2.718282828=L ,即

高三选修2教案2.4极限的四则运算(一)

课题：2.4极限的四则运算(一) 教学目的：掌握函数极限的运算法则，并会求简单的函数的极限教学重点：运用函数极限的运算法则求极限教学难点：函数极限法则的运用授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入： 1.数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近于．．．．．某个常数a ,那么就说数列}{n a 以a 为极限．记作lim n n a a →∞ =． 2.几个重要极限：

（1）01 lim =∞→n n （2）C C n =∞ →lim （C 是常数）（3）无穷等比数列}{n q （1

经济应用数学教案4.2.1

4．2．1 风险型决策教学目的：理解决策的基本概念，掌握风险型决策数学模型的期望值决策两种方法，矩阵决策法与决策树法。教学内容：1 决策矩阵模型 2 决策树模型教学重点：利用决策矩阵模型与决策树模型进行期望值决策教学难点：决策树模型的建立教具：多媒体课件教学方法：启发式教学、演示法教学过程 1引入新课决策是人们生活和工作中普遍存在的一种活动，是为解决当前或未来可能发生的问题选择最佳方案的一种过程。由小至个人生活，大至企业经营管理，国家的经济、政治等问题，引出风险型决策数学模型，并给出此数学模型的期望值决策两种方法：矩阵决策法与决策树法。 2教学内容一、风险型决策问题风险型决策是指在不确定情况下的决策。在风险型决策时，每个备选方案都会遇到几种不同的可能情况，而且已知出现每一种情况的可能性有多大，即发生的概率有多大，在依据不同概率所拟定的多个决策方案中，选择一种方案，使其能达到最优期望效益。【例1】某企业经过市场调查和预测得知，某新产品今后5年中在市场上的销售为畅销、一般、滞销的概率分别0.3，0.5和0.2。为使该新产品投产，该企业有三种可供选择的行动方案：第一种方案是投资150万元新建一车间，按这种方案，市场畅销、一般和滞销三种情况下的利润情况分别为获利500万元、250万元和亏损50万元；第二种方案是投资60万元扩建原有车间，在这种方案下，市场畅销、一般和滞销三种情况下的利润情况分别为获利350万元、200万元和50万元，第三种方案是利用原有车间，在这种方案下，市场畅销、一般和滞销三种情况下的利润情况分别为获利200万元、100万元和0万，问该企业应确定哪一种决策方案能使5年中的利润最大。分析以上问题可以发现，上述决策问题包括下列要素：（1）自然状态：它描述了决策问题所处的各种状态。三种自然状态，即产品畅销、一般和滞销；（2）行动方案：它是为解决决策问题，决策者可采取的行动。三种，即新建车间、扩建车间和利用原有车间；（3）状态概率：它描述自然状态发生的概率。如畅销、一般、滞销的概率分别0.3，0.5和0.2。

《高职应用数学》(教案)

《高职应用数学》教案课程名称：高职应用数学总学时：64

n a a a 个 (n 为正整数0a ≠)． 1 n a = (0a ≠，n 为正整数a a =n ；)n b a b =； )b a b =．

N a a a ==log ()p q a p q +=+=

已知直线l 经过点000()P x y ，，且斜率为k ．设点()P x y ，为直线l 上不同于点0P 的任意一点，由斜率公式可得 00y y k x x -=-，整理得 00()y y k x x -=-．点000()P x y ，也满足上述方程．由于上述方程是由直线上的一点和直线的斜率确定的，所以称为直线的点斜式方程． 2）直线的斜截式方程设直线l 与x 轴交于点(0)A a ，，与y 轴交于点 (0)B b ，，则a 称为直线l 在x 轴上的截距（或横截距）；b 称为直线l 在y 轴上的截距（或纵截距）．设直线l 与y 轴的交点为(0)B b ，，且直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为 (0)y b k x -=-，即 y kx b =+． 3）直线的一般式方程把形如0Ax By C ++=（A B ，不全为零）的二元一次方程称为直线的一般式方程． 2、一元二次方程等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，称为一元二次方程．一元二次方程的一般形式为 20(0)ax bx c a ++=≠． 1）公式法一般地，式子24b ac -称为一元二次方程20ax bx c ++=根的判别式，通常用希腊字母“?”表示，即24b ac ?=-．当0?…时，方程20(0)ax bx c a ++=≠的实数根可写为

经济应用数学教案3.2.2

3.2.2 线性规划数学模型教学目的：会建立简单的线性规划问题的数学模型，熟练掌握线性规划问题的标准形和线性规划问题的图解法，掌握线性规划问题的单纯形法，了解两阶段法。内容：1. 线性规划问题的数学模型 2. 图解法 3．单纯形法 4. 两阶段法教学重点: 线性规划问题的数学模型、两个变量的线性规划问题的图解法、单纯形法教学难点: 线性规划问题的数学模型建立，两阶段法教具：多媒体课件教学方法: 启发式教学，精讲多练教学过程： 1.引入新课：本节介绍线性规划问题的数学模型，两个变量的线性规划问题的图解法。本节介绍线性规划问题的单纯形法及两阶段法。 2.教学内容：一、线性规划问题的数学模型【例1】某生产车间生产甲、乙两种产品，每件产品都要经过两道工序，即在设备A 和设备B 上加工，但两种产品的单位利润却不相同。已知生产单位产品所需的有效时间（单位：小时）及利润见表3-10。问生产甲、乙两种产品各多少件，才能使所获利润最大。设1,x 2x 分别表示产品甲和乙的产量。1,x 2x 称为决策变量。根据问题所给的条件有 1212 3260 2480x x x x +≤?? +≤? 又因产量1,x 2x 不能是负值，故 0,021≥≥x x 以上是决策变量1,x 2x 受限的条件，把它们合起来称之为约束条件： ??? ??≥≤+≤+0,804260232 12121x x x x x x 上述问题要确定的目标是：如何确定产量1x 和2x ，才能使所获利润为最大。利润的获取和1,x 2x 密切相关，以f 表示利润，则得到一个线性函数式 125040f x x =+ 所给问题目标是要使线性函数f 取得最大值（用max 表示），即目标函数是 max 125040f x x =+ 综上所述，本例的数学模型可归结为： max 125040f x x =+ 12121 23260 s.t.24800,0 x x x x x x +≤?? +≤??≥≥? 这里“s.t.”是“subject to”的缩写，表示“在 … 约束条件之下”，或者说“约束为…”。

孙斌-工程数学教案

线性代数课程教案授课题目（教学章节或主题）：第一章行列式 §1 二阶与三阶行列式 §2 全排列及其逆序数 §3 n 阶行列式的定义 §4 对换本授课单元教学目标或要求： 1. 会用对角线法则计算2阶和3阶行列式。 2. 知道n 阶行列式的定义。本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：基本内容：行列式的定义 1. 计算排列的逆序数的方法设12 n p p p 是1,2, ,n 这n 个自然数的任一排列，并规定由小到大为标准次序。先看有多少个比1p 大的数排在1p 前面，记为1t ；再看有多少个比2p 大的数排在2p 前面，记为2t ； …… 最后看有多少个比n p 大的数排在n p 前面，记为n t ；则此排列的逆序数为12n t t t t =+++。 2. n 阶行列式 12 12 11 1212122212() 1 2 (1)n n n n t p p np p p p n n nn a a a a a a D a a a a a a = = -∑ 其中12 n p p p 为自然数1,2, ,n 的一个排列，t 为这个排列的逆序数，求和符号∑是对所有排列 12()n p p p 求和。 n 阶行列式D 中所含2n 个数叫做D 的元素，位于第i 行第j 列的元素ij a ，叫做D 的(,)i j 元。 3. 对角线法则：只对2阶和3阶行列式适用 1112 112212212122 a a D a a a a a a = =-

第 2 页，共 46 页 11 1213 21 222311223312233113213231 32 33 132231122133112332 a a a D a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ==++--- 重点和难点：理解行列式的定义行列式的定义中应注意两点： (1) 和式中的任一项是取自D 中不同行、不同列的n 个元素的乘积。由排列知识可知，D 中这样的乘积共有!n 项。 (2) 和式中的任一项都带有符号(1)t -，t 为排列12 ()n p p p 的逆序数，即当12n p p p 是偶排列时，对应的项取正号；当12 n p p p 是奇排列时，对应的项取负号。综上所述，n 阶行列式D 恰是D 中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的代数和，其中一半带正号，一半带负号。例：写出4阶行列式中含有1123a a 的项。解：11233244a a a a -和11233442a a a a 。例：试判断142331425665a a a a a a 和324314512566a a a a a a -是否都是6阶行列式中的项。解：142331425665a a a a a a 下标的逆序数为()4312650122016τ=+++++=，所以142331425665a a a a a a 是6阶行列式中的项。 324314512566a a a a a a -下标的逆序数为(341526)(234156)538ττ+=+=，所以324314512566a a a a a a -不是6阶行列式中的项。例：计算行列式0 0010 020******** D = 解：0123(1)123424D +++=-???= 本授课单元教学手段与方法：讲授与练习相结合首先通过二（三）元线性方程组的解的表达式引出二（三）阶行列式的定义。然后介绍有关全排列及其逆序数的知识，引出n 阶行列式的定义。通过讨论对换以及它与排列的奇偶性的关系，引导学生了解行列式的三种等价定义。本授课单元思考题、讨论题、作业： §1 P.26 1(1)(3) §2 2(5)(6) 本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出）线性代数附册学习辅导与习题选讲（同济第四版）

高中数学新课极限教案

课题：2.2数列的极限教学目的： 1. 理解数列极限的概念；教学重点：会判断一些简单数列和函数的极限教学难点：数列极限的理解授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：这节课一开始就把学生引入数列是否“趋向于”一个常数的讨论中，虽然学生对“趋向于”并没有精确的认识，但是凭借他们的自身的感受，运用“观察”“分析”“归纳”“概括”也能得到一些数列的“极限”的肤浅认识，这是感性认识数列的极限是一个十分重要的概念，它的通俗定义是：随着项数n 的无限增大，数列的项a n 无限地趋近于某个常数a (即|a n －a |无限地接近于0)，它有两个方面的意义. 教学过程：一、复习引入： 1.战国时代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”也就是说一根长为一尺的木棒，每天截去一半，这样的过程可以无限制地进行下去（1）可以求出第n 天剩余的木棒长度n a ＝ 1 2n (尺)；（2）前n 天截下的木棒的总长度n b ＝1- 1 2 n (尺) 分析变化趋势. 2. 观察下列数列，随n 变化时，n a 是否趋向于某一个常数： (1)n n a n 12+= ; (2)n n a )3 1(3-=; (3)a n =4·(－1)n －1 ; (4)a n =2n ; (5)a n =3; (6)a n =n n 2)1(1--; (7)a n =(2 1 )n ; (8)a n =6+n 101 二、讲解新课： 1.数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近于．．．．．某个常数a （即n a a -无限趋近于0），那么就说数列}{n a 以a 为极限，或者说a 是

两个重要极限(可编辑修改word版)

2.5.1 两个重要极限（第一课时） ——新浪微博：月牙 LHZ 一、教学目标 1. 复习该章的重点内容。 2. 理解重要极限公式。 3. 运用重要极限公式求解函数的极限。二、教学重点和难点重点：公式的熟记与理解。难点：多种变形的应用。三、教学过程 1、复习导入（1）极限存在性定理： lim f (x ) = A ? x → x lim x → x 0+ f (x ) = lim x → x 0- f (x ) = A （ 2）无穷大量与无穷小量互为倒数，若 f (x ) → ∞（x → x 0），则 1 f (x ) → （0 x → x 0）（3）极限的四则运算： lim [ f (x ) ± g (x )] = lim f (x ) ± lim g (x ) lim [ f (x ) ? g (x )] = lim f (x ) ? lim g (x ) lim f (x ) = lim f (x ) (lim g (x ) ≠ 0) g (x ) lim g (x ) （4） lim [cf (x )] = c lim f (x ) （加法推论）（5） lim [ f (x )]k = [lim f (x )]k （乘法推论）（6） lim [无穷小量? 有界变量] = 0 （无穷小量的性质） eg: lim sin x = lim ? 1 ? sin x ? = 0 x →∞ x ? x →∞? x ?

lim ? = lim ? ? 那么， lim sin x = ？呢，这是我们本节课要学的重要极限 x →0 x 2、掌握重要极限公式 lim sin x = 1 x →0 x 公式的特征：（1） 0 型极限；（2）分子是正弦函数；（3） sin 后面的变量与分母的变量相同。 3、典型例题【例 1】求 lim sin x (k ≠ 0) x →0 kx 解： lim sin x = 1 lim sin x = 1 ?1 = 1 x →0 kx k x →0 x k k 【例 2】求 lim tan x x →0 x 解： lim tan x = ? sin x 1 ? = lim sin x ? lim 1 = 1?1 = 1 x →0 x x →0 ? x cos x ? x →0 x x →0 cos x （推导公式： lim tan x = 1 ） x →0 x 【例 3】求 lim sin 5x x →0 x 解： lim sin 5x = lim 5 ? sin 5x = 5 ? lim sin 5x = 5 ?1 = 5 x →0 x x →0 5x x →0 5x 4、强化练习（1） lim sin x （2） lim sin kx (k ≠ 0)（3） lim sin 5x (4) lim tan 2x x →0 3x x →0 x x →0 3x x →0 x 解：（1） lim sin x = 1 lim sin x = 1 ?1 = 1 x →0 3x 3 x →0 x 3 3 （2） lim sin kx = lim k ? sin kx = k ? lim sin kx = k ?1 = k x →0 x x →0 kx x →0 kx （3） lim sin 5x = ? sin 5x 5 ? lim ? 5 ? l im sin 5x = 5 ?1 = 5 x →0 3x x →0 ? 5x 3 ? 3 x →0 5x 3 3 （4） lim tan 2x = ? sin 2x 1 ? = 2 ? lim sin 2x ? lim 1 = 2 ?1?1 = 1 x →0 x x →0 ? x cos 2x ? x →0 2x x →0 cos 2x 四、小结:

极限的概念教学设计

《极限的概念》教学设计公共教学部数学教研室徐小丽 1、教学内容分析使用教材：《高等数学应用教程》，许艾珍主编，北京：航空工业出版社，2010.8第一版。第一章第二节《极限的概念》。内容分析：极限描述性概念的形成过程，是学生有感性认识初步上升到理性认识，从而形成、培养理性思维能力的过程。极限思想是高等数学的重要思想方法，也是学习微积分的理论基础。理解极限的概念，对提升学生的抽象思维能力、逻辑推理能力和严密思维能力都具有积极的意义。2、学生学习情况分析《高等数学》是学生学习比较困难的学科之一，难学是因为高等数学中的抽象思维对学生的巨大考验。极限的概念是学生接触高等数学后遇到的第一个重点，又是难点，更加增加了学习的困难。理解好极限的概念，对学生完成从形象思维到抽象思维的转变，从感性认识到理性认识的升华具有重要意义，同时也能增强学生学好高等数学的信心。教师应注意耐心引导学生充分感受用静态的有限量来刻画动态的无限量的方法和过程，充分利用教材的相关例题对概念进行深化，从而加深学生的认知和理解。 3、设计思想本教学设计以“任务教学法”为主要框架，将教学目标分解成两大学习任务：知识学习任务和实验认知任务，每项任务由分解成若干个子任务，让学生在接受一项项子任务的过程中完成学习目标，同时每完成一项子任务也能增强学生信心，激发学习动机。教学过程由“任务驱动”引入，激发学习兴趣；将知识教学内容分为5个子任务，每个子任务为一个知识点，增强学习信心；实验任务分为3个子任务，任务一学会使用极限命令，任务二在实例中体会极限的思想和特点，任务三进一步加深对极限思想的理解，并培养学生通过探索自主学习的能力和对数学的热爱；实验任务分组实现，培养学生的团队合作精神和良性竞争意识。极限的概念知识任务实验任务数列的极限函数极限的概念简单的函数极限讨论函数极限存在的充要条件分段函数在分段点处的极限问题极限命令的应用连续计息问题—你能成为百万富翁吗？ Koch雪花曲线—一个不可能的结论！教学目标

高中数学教案：极限与导数极限的概念

极限的概念（4月27日）教学目的：理解数列和函数极限的概念；教学重点：会判断一些简单数列和函数的极限；教学难点：数列和函数极限的理解教学过程：一、实例引入：例：战国时代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”也就是说一根长为一尺的木棒，每天截去一半，这样的过程可以无限制地进行下去。（1）求第n 天剩余的木棒长度n a (尺)，并分析变化趋势；（2）求前n 天截下的木棒的总长度n b (尺)，并分析变化趋势。观察以上两个数列都具有这样的特点：当项数n 无限增大时，数列的项n a 无限趋近于某个常数A （即A a n -无限趋近于0）。n a 无限趋近于常数A ，意指“n a 可以任意地靠近A ，希望它有多近就有多近，只要n 充分大，就能达到我们所希望的那么近。”即“动点n a 到A 的距离A a n -可以任意小。二、新课讲授 1、数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近于．．．．．某个常数A （即A a n -无限趋近于0），那么就说数列}{n a 的极限是A ，记作 A a n n =∞ →lim 注：①上式读作“当n 趋向于无穷大时，n a 的极限等于A ”。“n →∞”表示“n 趋向于无穷大”，即n 无限增大的意思。A a n n =∞ →lim 有时也记作当n →∞时，n a →A ②引例中的两个数列的极限可分别表示为_____________________，____________________ ③思考：是否所有的无穷数列都有极限？例1：判断下列数列是否有极限，若有，写出极限；若没有，说明理由（1）1， 21，31，…，n 1，… ；（2）21，32，43，…，1 +n n ，…；

两个重要极限教案

公开课教案教者龚桂琼科目数学班级12级数一班课题两个重要极限（一）课型时间地点教材分析《两个重要极限》是在学生学习了数列的极限、函数的极限以及函数极限的四则运算法则的基础上进行研究的，它是解决极限计算问题的一个有效工具，也是今后研究初等函数求导公式的一个工具，所以两个重要极限是后继学习的重要基础。学情分析一方面，学生已经学习了函数的极限以及函数极限的运算法则，会用因式分解约去非零因子、有理化分子或分母这两种方法计算“ 0型”函数的极限，具备了接受新知识的基础；另一方面，学生理性思维能力相对较弱，对函数极限概念的理解还比较浅显，运用极限思维解决问题的能力有限。教学目标知识与技能：让学生了解公式1 sin lim = →x x x 的证明过程，正确理解公式，知道公式应用的条件，熟练运用公式及其变形式解决有关函数极限的计算。过程与方法：通过教师引导，学生观察、实验、猜想、分析讨论和练习，培养学生观察、归纳、举一反三的能力，进一步认识换元法、转化思想、数型结合思想在数学解题中的重要作用。情感态度与价值观：通过对这一重要极限公式的研究，进一步认识数学的美，激发学生的学习兴趣；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维品质。教学重点正确理解公式1 sin lim = →x x x ，并能运用公式及其变形式解决有关函数极限的计算。

教学难点公式1sin lim 0=→x x x 的证明、公式及其变形式灵活运用。教法学法本节课采用实验法、讨论法以及讲练结合的教学方法。通过复习函数极限的定义以及函数极限的运算法则，配以适当的练习，强化学生对极限概念的理解和运算能力。在公式的引入上通过设疑引导学生尝试、讨论、猜想，并借助多媒体动画帮助学生理解结论，锻炼学生运用数学工具解决数学问题的意识，提高学生的学习兴趣。对于公式的证明，所涉及的内容比较多，逻辑性较强，在老师的引导下了解论证过程。在公式的运用上按照循序渐进的原则，设计梯度、降低难度，留出学生的思考空间，让学生去尝试、联想、探索，以独立思考和相互交流相结合的形式，在教师的指导下分析和解决问题，帮助学生获得成功的体验。课前准备教师：多媒体课件；学生：计算器。教学环节教学内容师生双边活动复习导入 1、说说当0x x →时，函数)(x f 的极限的定义。如果当x 无限接近于定值0x 时，函数)(x f 无限接近于一个确定的常数A ，那么A 称为函数)(x f 当0x x →时的极限，记作A x f x x =→)(lim 0 。 2、A x f x x =→)(lim 0 的充要条件是什么？ A x f x x =→)(lim 0 ? )(lim 0 x f x x -→=A x f x x =+→)(lim 0 3、说出函数极限的四则运算法则。 B A x g x f x g x f B x g A x f +=+=+==)(lim )(lim )]()(lim[, )(lim ,)(lim :1则设法则 B A x g x f x g x f B x g A x f ?=?=?==)]([lim )]([lim )]()(lim[, )(lim ,)(lim 2则：设法则 B A x g x f x g x f B B x g A x f = =≠==)(lim )(lim )()(lim ,0,)(lim ,)(lim 3则且：设法则教师引导，学生回忆口述，为了解公式的证明、正确计算有关函数极限作铺垫，达到温故知新的目的。

两个重要极限开课教案讲课教案

两个重要极限开课教案

仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢2 预备知识 1. 有关三角函数的知识 x x x cos sin tan =，00sin =，10cos =，1sin ≤x ，1cos ≤x 2.无穷小量定义：在某个变化过程中，以0为极限的变量称为在这个变化过程中的无穷小量性质: 无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小. 一、1sin lim 0=→x x x 问题1：观察当x →0时x x sin 的变化趋势： x (弧度) ±1.0 ±0.9 ±0.8 ±0.7 ±0.6 ±0.5 ±0.4 ±0.3 ±0.2 ±0.1 ±0.01 x x sin 0.8417 0.8703 0.8967 0.9203 0.9410 0.9588 0.9735 0.9850 0.9933 0.9983 0.9999 二、证明1sin lim 0=→x x x 用两边夹定理证明. 。 x AOB =∠圆心角),20(π<

仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢3 如图单位圆，作单位圆的切线，得扇形AOB 的圆心角为x , 的高为BC , 于是有 BC 弧AB AD 因为ΔAOB 的面积 < 圆扇形AOB 的面积 <ΔAOD 的面积, 即于是例1 求x x x tan lim 0→。解 x x x tan lim 0→ =111cos 1lim sin lim cos 1sin lim cos sin lim 0000=?=?=?=→→→→x x x x x x x x x x x x x 例2 求x x x 5sin lim 0→．解 x x x 5sin lim 0→=5sin lim 5)5(55sin 5lim 00==→→t t t x x x t x 令 . 02也成立上式对于<<-x π 11lim ,1cos lim 00 ==++→→x x x 因为1sin lim 0=+→x x x 从而有，所以类似可以证明1sin lim -0=→x x x 1sin lim 0=→x x x .AOD ?AOB ?. tan , , sin ===x x x ,tan 2121sin 21x x x <<所以,tan sin x x x <<,1sin cos <

高二数学上册 7.7《极限的运算法则》教案沪教版

7.7 (2)极限的运算法则一、教学内容分析本小节的教学内容是在理解无穷数列极限的概念的基础上学习数列极限的运算性质及四个重要的极限，鉴于高二学生现有的数学基础，教材采取从实际的例子引入，给出数列极限的运算性质及四个重要极限的结论，然后通过例题加以说明的方式. 教学重点是数列极限的运算性质，教学中要强调运算性质成立的条件是两个数列的极限都存在. 教学难点是数列极限的运算性质及四个重要极限结论的灵活运用，会进行恒等变形，运算性质可从两个数列推广到有限个数列，注意有限与无限的本质区别. 二、教学目标设计掌握数列极限的运算性质，会利用这些性质计算数列的极限. 知道数列极限的四个重要结论，并会用它们来求有关数列的极限；会运用式的恒等变形，把分子、分母极限不存在的分式转化为若干个极限存在的数列的代数和，从而求出极限，提高观察，分析以及等加转换的能力. 三、教学重点及难点重点：数列极限的运算性质. 难点：数列极限的运算性质及重要极限的灵活运用. 四、教学流程设计五、教学过程设计课堂小结并布置作业实例引入极限概念数列极限的结论运用与深化（例题分析，巩固练习）极限的运算性质

一、复习回顾 1、数列极限的定义. 2、已知1 23-= n n a n 试判断数列{}n a 是否有极限，如果有，写出它的极限. 二、讲授新课 1、实例引入计算由抛物线x y =2 ，x 轴以及直线x=1所围成的区域面积S ：26) 12)(1(lim lim n n n S S n n n --==∞→∞ → 2、数列极限的运算性质（1）数列极限的运算性质如果B b A a n n n n ==∞ →∞ →lim ,lim ，那么（1）B A b a b a n n n n n n n ±=±=±∞ →∞ →∞ →lim lim )(lim ；（2）B A b a b a n n n n n n n ?=?=?∞ →∞ →∞ →lim lim )(lim ；（3）B A b a b a n n n n n n n ==∞ →∞ →∞→lim lim lim ；（2）的推论：若C 是常数，则A C a C b C n n n n n ?=?=?∞ →∞ →∞ →lim lim )(lim 说明：1、运算性质成立的条件 2、在数列商的极限中，作为分母的数列的项及其极限都不为零. （2）常用的数列极限的几个结论（1）对于数列{}n q ，当1