高职大一应用数学两个重要极限教学设计
两个重要极限教案(修改稿)
一方面，学生已经学习了函数的极限以及函数极限的运算法则，会用因式分解约去非零因子、有理化分子或分母这两种方法计算“ 型”函数的极限,具备了接受新知识的基础；另一方面，学生理性思维能力相对较弱，对函数极限概念的理解还比较浅显，运用极限思维解决问题的能力有限。
教学目标
知识与技能:让学生了解公式 的证明过程，正确理解公式，知道公式应用的条件，熟练运用公式及其变形式解决有关函数极限的计算.
教学重点
正确理解公式 ，并能运用公式及其变形式解决有关函数极限的计算。
教学难点
公式 的证明、公式及其变形式灵活运用。
教法学法
本节课采用实验法、讨论法以及讲练结合的教学方法。通过复习函数极限的定义以及函数极限的运算法则，配以适当的练习，强化学生对极限概念的理解和运算能力。在公式的引入上通过设疑引导学生尝试、讨论、猜想，并借助多媒体动画帮助学生理解结论，锻炼学生运用数学工具解决数学问题的意识,提高学生的学习兴趣.对于公式的证明，所涉及的内容比较多,逻辑性较强，在老师的引导下了解论证过程.在公式的运用上按照循序渐进的原则,设计梯度、降低难度，留出学生的思考空间,让学生去尝试、联想、探索,以独立思考和相互交流相结合的形式，在教师的指导下分析和解决问题,帮助学生获得成功的体验。
2、当 。如 .
例2:求 ⑴ ⑵
解：⑴ =3 =3
⑵ ==Biblioteka =回顾反思：1、此例用到了变量替换（换元），变量替换后一定要注意变量的变化趋势可能会发生变化.
2、函数变形后要注意系数的变化，防止计算错误。
3、一般地 ， ， 。
例3：求
解： = = =
回顾反思：利用公式 求函数极限,有时不仅要进行变量替换，还要利用三角函数公式进行变形。
两个重要极限教案
学生分组巩固练习
设疑激趣
分组讨论
教师视情况引导学生使用计算器代入进行近似计算，并猜想。
利用几何画板事先制作课件，拖动动点，让学生观察比值的变化，验证猜想。体会数形结合思想的作用
教师讲授证明过程，学生理解识记，记住公式特征。
教师引导鼓励学生发表观点。第（1）小题学生独立思考，第（2）小题教师引导并板书。
学生尝试，教师引导。体会换元法、转化思想在数学解题中的重要作用。
师生回顾归纳交流解题经验
综合运用，提高分析、解决问题的能力
课堂练习
练习：求下列极限：
3 ②
③ ④
小结
1．正确、灵活地运用公式 。
2．当 。
3．运用换元法时须注意自变量的变化趋势的改变和系数的变化。
过程与方法：通过教师引导，学生观察、实验、猜想、分析讨论和练习，培养学生观察、归纳、举一反三的能力，进一步认识换元法、转化思想、数型结合思想在数学解题中的重要作用。
情感态度与价值观：通过对这一重要极限公式的研究，进一步认识数学的美，激发学生的学习兴趣；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维品质。
公开课教案
教者
龚桂琼
科目
数学
班级
12级数一班
课题
两个重要极限（一）
课型
时间
地点
教材分析
《两个重要极限》是在学生学习了数列的极限、函数的极限以及函数极限的四则运算法则的基础上进行研究的，它是解决极限计算问题的一个有效工具，也是今后研究初等函数求导公式的一个工具，所以两个重要极限是后继学习的重要基础。
学情分析
③
一、问题的提出
两个重要极限教案(修改
两个重要极限教案教学目标：1. 理解极限的定义和性质。
2. 掌握两个重要极限的表达式和应用。
3. 能够运用两个重要极限解决实际问题。
教学内容：第一章：极限的定义和性质1.1 极限的定义1.2 极限的性质1.3 极限的存在条件第二章：两个重要极限2.1 极限lim(x->0) (sin x / x) = 12.2 极限lim(x->∞) (sin x / x) = 02.3 两个重要极限的证明和应用第三章：极限的计算方法3.1 直接计算法3.2 因式分解法3.3 代数运算法第四章：无穷小和无穷大4.1 无穷小的定义和性质4.2 无穷大的定义和性质4.3 无穷小和无穷大的比较第五章：极限的运算法则5.1 极限的基本运算法则5.2 极限的复合运算法则5.3 极限的逆运算教学过程：第一章：1.1 引入极限的概念，引导学生理解极限的定义。
1.2 引导学生通过举例和观察，总结极限的性质。
1.3 引导学生探讨极限的存在条件，并举例说明。
第二章：2.1 引导学生理解两个重要极限的表达式，并通过图形和实例进行解释。
2.2 引导学生掌握两个重要极限的证明方法，并能够运用到实际问题中。
2.3 引导学生通过练习题，巩固两个重要极限的应用。
第三章：3.1 引导学生学习直接计算法，并通过例子进行演示。
3.2 引导学生学习因式分解法，并通过例子进行演示。
3.3 引导学生学习代数运算法，并通过例子进行演示。
第四章：4.1 引导学生理解无穷小的概念，并通过例子进行解释。
4.2 引导学生理解无穷大的概念，并通过例子进行解释。
4.3 引导学生掌握无穷小和无穷大的比较方法，并能够运用到实际问题中。
第五章：5.1 引导学生学习极限的基本运算法则，并通过例子进行演示。
5.2 引导学生学习极限的复合运算法则，并通过例子进行演示。
5.3 引导学生学习极限的逆运算，并通过例子进行演示。
教学评价：1. 课堂讲解的清晰度和连贯性。
2. 学生的参与度和积极性。
1.4 教学设计——两个重要极限
课题名称
学时数
课程类型
两个重要极限
2
理论课
教学内容及学情分析
本节课学习两个重要极限，通过对函数变化趋势的观察，确定重要极限的极限值。同时要对重要极限的形式进行分析，注意它们的使用前提。
教学目标
知识目标
1.掌握两个重要极限；
2.掌握第二个重要极限的两种形式。
能力目标
1.会用重要极限计算函数的极限；
2.能够对函数的形式进行适当的变形，了解重要极限的结构特点。
素质目标
1.通过启发、诱导，让学生明确两个重要极限的研究过程和研究方法，培养学生分析、归纳、猜想、概括、论证等逻辑思维能力；
2.训练学生严密的逻辑思维能力，培养学生严谨的学习态度；
3.通过对两个重要极限的研究，揭示透过现象看本质的辩证唯物主义观念。
教学过程
教学环节
时间
分配
教学内容
教学活动
教学
资源
覆盖目标
课程育人
5’
哲学教学认识极限：无限与有限、变与不变、量变和质变
师生共同讨论，说出自己的观点和看法
视频
多媒体课件
素质目标
2,3
导入新课
10’
等价无穷小中出现的当
时 ，以此来引出第一个重要极限
在等价无穷小的基础上，引出第一个重要极限，便于学生接受和理解
多媒体课件
素质目标1
讲授新课
40’
1.第一个重要极限
形式介绍、结构特点，如何应用；
2.第二个重要极限
两种形式、结构特点，如何应用
3.第二个重要极限是用Mathematica软件做出函数的图形，以此观察在 时函数值的变化趋势；
2.第一个重要极限的讲授同样可以借助软件来作图，同时说明第二个重要极限的两种形式，第二个重要极限是针对幂指函数求极限的
2.3两个重要极限 单元教学设计
黑板演示
学生讨论
30分钟
6
（任务5）
无穷小替换定理
设
则
（1）无穷小替换要注意什么事项？
（2）你都知知道那些常用等价无穷小？总结出来，并记忆
用无穷小替换定理处理下题
例1
例2
例3
教师讲解
黑板演示
学生听讲
40分钟
7
案例
案例1 求 （要求：两种方法）
案例2求
案例3求证 ， 与 是等价无穷小
2.3两个重要极限 单元教学设计
一、教案头
单元标题：
两个重要极限
略
上课地点
略
教学
目标
能力目标
知识目标
素质目标
➀能够理解 并应用
➁能够理解 并应用
➂能够运用无穷小替换求极限
掌握
掌握
掌握无穷小替换定理
➀深刻思维能力
➁团结合作能力
➂语言表达能力
能力训练任务
及案例
任务1理解并证明
任务2 在若干极限中的应用
任务3 理解
任务4 在若干极限中的应用
任务5 无穷小替换定理
案例1 求
案例2求
案例3求证 ， 与 是等价无穷小
案例4 注：这个问题是个竞赛题，需要学生讨论解决
教学
材料
高等数学教材 侯风波主编 高等教育出版社
高等数学习题集 张天德主编 山东科技出版社
经济数学基础 顾静相主编 高等教育出版社
教师提示
分组研讨
15分钟
3
（任务2）
应用
学生先讨论：如何应用这个极限？ 对吗？为什么？
例1
例2
例3
例4
两个重要极限教案
两个重要极限教案两个重要极限教案作为一名无私奉献的老师，有必要进行细致的教案准备工作，借助教案可以更好地组织教学活动。
那么大家知道正规的教案是怎么写的吗？下面是小编收集整理的两个重要极限教案，仅供参考，大家一起来看看吧。
一、教材分析两个重要极限是在学生系统学习了数列极限、函数极限以及函数极限运算法则的基础上进行研究的，它在求函数极限中起着重要作用，也是今后研究各种基本初等函数求导公式的工具，所以两个重要极限应重点研究。
二、学情分析一方面，学生已经学习了有界函数和无穷小乘积的极限，他们可以通过类比的方法研究这第一个重要极限，具备了接受新知识的基础；另一方面，学生基础比较薄弱，对以前所学的三角函数关系、二倍角公式等运用还不够熟练，所以现在在角的转化上面还存在一定困难。
三、教学目标根据以上两点分析并结合本节教材的特点，现把本节课的目标、重点、难点定为：教学目标：（1）知识与技能：使学生掌握重要极限公式的特点及其变形式，并能运用其求某些函数极限；（2）过程与方法：提高学生的自学意识，培养学生类比、观察、归纳、举一反三等方面的'能力；（3）情感态度与价值观：通过对重要极限公式的研究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯，同时激发学生的学习兴趣。
教学重点与难点：重点：重要极限公式及其变形式难点：的灵活应用四、教法与学法的选择本节课我是以学案为载体，采用启发式、讨论式以及讲练结合的教学方法，通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与数学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师的指导下发现、分析和解决问题。
学法上以课前自学为主要方式，在引导分析时，留出学生的思考空间，让学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，围绕中心各抒己见，让学生自己出题，把思路方法和需要解决的问题弄清。
五、教学环节的设计（1）课前尝试利用学案导学，让学生明确课前要做的作业，课堂采用的方法，需要达到的要求，在尝试练习中，让学生通过练习，类比，引入新课。
两个重要极限
=
=e
例题4求
解： =
= =
=
例题5求
解： = = = =
练习：求
教学步骤及教学内容
时间分配
四，课堂练习
五，课堂小结
1.第一个重要极限：
2．第二个重要极限：
作业布置
课后反思
准则1如果数列 及 满足下列条件：
（1） ，（2）
那么数列 的极限存在，且 。
准则2单调有界数列必有极限
例 求
解：
而
所以原式极限为1。
二．新课讲解
1.第一个重要极限：
教学步骤及教学内容
时间分配
注：（1）这个重要极限主要解决含有三角函数的 型的极限。
（2）公式形象的记为： （）表示同一个代数式
2．第二个重要极限：
授课课题
两个重要极限
教学
目标和要求
掌握两个极限的存在准则，并会利用它们求极限，
掌握利用两个重要极限求极限的方法
教学
重点和难点
利用两个重要极限求极限
特别是利用第二重要极限求极限的方法
教学方法
案例分析法
教学手段
板书
授课时间
第3周
课时累计
1-2
教 学 过 程
教学步骤及教学内容
时间分配
一，新课引入
1.下面我们来介绍极限存在的两个准则：
也可以写为：
注：（1）公式形象记忆为：
（2）此极限主要解决 型幂指函数的极限。
三．例题讲解
例1（1）求
解：原式= = =1
（2）求
解：原式= = =练习来自求例2（1）求 （2）
解：(1)原式
（2）令arcsinx=t,则x=sint，当 时， 。
两个重要极限教案
公开课教案教者龚桂琼科目数学班级12级数一班课题两个重要极限（一）课型时间地点教材分析《两个重要极限》是在学生学习了数列的极限、函数的极限以及函数极限的四则运算法则的基础上进行研究的，它是解决极限计算问题的一个有效工具，也是今后研究初等函数求导公式的一个工具，所以两个重要极限是后继学习的重要基础。
学情分析一方面，学生已经学习了函数的极限以及函数极限的运算法则，会用因式分解约去非零因子、有理化分子或分母这两种方法计算“0型”函数的极限，具备了接受新知识的基础；另一方面，学生理性思维能力相对较弱，对函数极限概念的理解还比较浅显，运用极限思维解决问题的能力有限。
教学目标知识与技能：让学生了解公式1sinlim=→xxx的证明过程，正确理解公式，知道公式应用的条件，熟练运用公式及其变形式解决有关函数极限的计算。
过程与方法：通过教师引导，学生观察、实验、猜想、分析讨论和练习，培养学生观察、归纳、举一反三的能力，进一步认识换元法、转化思想、数型结合思想在数学解题中的重要作用。
情感态度与价值观：通过对这一重要极限公式的研究，进一步认识数学的美，激发学生的学习兴趣；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维品质。
教学重点正确理解公式1sinlim=→xxx，并能运用公式及其变形式解决有关函数极限的计算。
教学难点公式1sin lim0=→xxx 的证明、公式及其变形式灵活运用。
教法学法本节课采用实验法、讨论法以及讲练结合的教学方法。
通过复习函数极限的定义以及函数极限的运算法则，配以适当的练习，强化学生对极限概念的理解和运算能力。
在公式的引入上通过设疑引导学生尝试、讨论、猜想，并借助多媒体动画帮助学生理解结论，锻炼学生运用数学工具解决数学问题的意识，提高学生的学习兴趣。
对于公式的证明，所涉及的内容比较多，逻辑性较强，在老师的引导下了解论证过程。
在公式的运用上按照循序渐进的原则，设计梯度、降低难度，留出学生的思考空间，让学生去尝试、联想、探索，以独立思考和相互交流相结合的形式，在教师的指导下分析和解决问题，帮助学生获得成功的体验。
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学科
应用数学
教 学 内 容 1.7 两个重要极限（第一重要极限） （课名）
该内容总课时 共讲 2 讲 一、学习内容分析
翻转课时 第 1 讲
两个重要极限在整个学期的授课共 2 时节，在第一模块函数的极限与连续中学完极限的运算
法则后的内容。
这堂翻转课教学内容特色：两个重要极限在内容上是两特殊的极限，重点是让学生掌握应用，
40%，组间互评 占 30%，组内互 评占 30%。这部
打分
间互评。
分成绩记入过
程考核中的作
业成绩。
学生总结所学
3 总结
内容并谈学习 答疑补充 学生总结
10
感受
下次课要
4 求·
巡回答疑
辅导答疑 提出问题
5
六、教学设计反思 在课前学习中学生必须要认真进行学习，课堂上的翻转才能真正实施，所以课前任务设计是 关键，要想办法调动学生学习积极性。对于课上翻转部分，学生的分组也是很关键的，一个 小组中成员应该是基础好的和基础差的搭配，如果某个组成员基础都很差就有可能课前任务 完成不了。
有点类似于掌握两个公式的应用。
重点：第一重要极限的形式及变形
难点：第一重要极限的形式及变形的应用
二、学习目标分析 学习目标：第一重要极限的形式及变形的应用 通过学生做巩固练习题的正确率来判断学生是否达到了目标
三、学习者特征分析 学生基础薄弱，运算能力不强；对极限的运算性质掌握不牢固；
四、课前任务设计 学生通过课前导学指导观看视频 1.7.1，完成在线测试 1.7.1，并以小组为单位形成一篇学习笔 记（要体现出课前学习过程中不理解的地方） 课前导学内容：第一步观看视频 1.7.1，掌握第一重要极限的形式、第一重要极限的变形及应 用。第二步完成在线测试 1.7.1。第三步以小组为单位形成一篇学习笔记。 在线测试占课前学习成绩的 60%，学习笔记在线测试占课前学习成绩的 40%. 课前导学、视频、在线测试学习笔记通过学校教学平台发给学生
五、课上任务设计
序 号
步骤
教学内容
教师活动 （方法与 手段）
学生活动
时
间 评价标准与
分
方法配小组展示Fra bibliotek报告，学 集中出现问题 重点讲解， 小组展示学习
1
和在线测试集
生线上学 中出错题目
解疑答惑
报告
5
习提示
老师打分占
2
学 习 成 果 课堂强化训练 检验
辅导答疑， 现场做题，检 验线下学习成
现场给小组 果，组内、组 25