【精品】高中数学新课 极限 教案 (9)

课题：2.4极限的四则运算(二)

教学目的:掌握数列极限的运算法则，并会求简单的数列极限的极限 教学重点：运用数列极限的运算法则求极限。

教学难点:数列极限法则的运用.

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、复习引入：

1。数列极限的定义：

一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近于．．．．．某个常数a ，那么就说数列}{n a 以a 为极限。记作lim n n a a →∞

=． 2。几个重要极限:

(1）01lim =∞→n n （2)C C n =∞

→lim (C 是常数) （3)无穷等比数列}{n q （1

→q q n n 3。函数极限的定义：

（1)当自变量x 取正值并且无限增大时,如果函数f （x )无限趋近于一个常数a ，就说当x 趋向于正无穷大时，函数f (x )的极限是a 。

记作：+∞→x lim f （x ）=a ,或者当x →+∞时，f (x ）→a .

(2)当自变量x 取负值并且绝对值无限增大时，如果函数f （x ）无限趋近于一个常数a ，就说当x 趋向于负无穷大时，函数f （x ）的极限是a . 记作-∞→x lim f （x )=a 或者当x →－∞时,f （x ）→a 。

（3)如果+∞→x lim f (x )=a 且-∞

→x lim f （x ）=a ，那么就说当x 趋向于无穷大时,函数f (x )的极限是a ，记作：∞→x lim f (x )=a 或者当x →∞时，f (x ）→a .

4.常数函数f (x )=c 。（x ∈R ），有∞

→x lim f (x ）=c 。 ∞→x lim f (x )存在，表示+∞→x lim f （x )和-∞→x lim f （x )都存在，且两者相等.所以∞→x lim f (x )中的∞既有+∞，又有－∞的意义，而数列极限∞

→x lim a n 中的∞仅有+∞的意义

5。趋向于定值的函数极限概念：当自变量x 无限趋近于0x (0x x ≠）时，如果函数)(x f y =无限趋近于一个常数a ，就说当x 趋向0x 时，函数)(x f y =的极限是a ，记作0lim ()x x f x →=特别地,C C x x =→0lim ；0

lim x x x x =→6.000

lim ()lim ()lim ()x x x x x x f x a f x f x a -+→→→=?== 7.对于函数极限有如下的运算法则：

如果B x g A x f o o x x x x ==→→)(lim ,)(lim ,那么B A x g x f o

x x +=+→)]()([lim ， B A x g x f o x x ?=?→)]()([lim ，0()()(lim ≠=→B B

A x g x f o x x 当C 是常数,n 是正整数时:)(lim )]([lim x f C x Cf o o x x x x →→=，n

x x n x x x f x f o o )](lim [)]([lim →→= 这些法则对于∞→x 的情况仍然适用

二、讲解新课：

1。数列极限的运算法则：

与函数极限的运算法则类似，如果,lim ,lim B b A a n n n n ==∞

→∞→那么 B A b a n n n +=+∞→)(lim B A b a n n n -=-∞→)(lim B A b a n n n .).(lim =∞→ )0(lim ≠=∞→B B A b a n

n n 2.推广：上面法则可以推广到有限．．

多个数列的情况若{}n a ，{}n b ，{}n c 有极限，则n n n n n n n n n c b a c b a ∞

→∞→∞→∞→++=++lim lim lim )(lim 三、讲解范例：

例1已知,5lim =∞→n n a 3lim =∞→n n b ，求).43(lim n n n b a -∞

→ 解:因为,5lim =∞→n n a 3lim =∞

→n n b ， 所以lim(34)lim3lim43lim 4lim 15123n n n n n n n n n n n a b a b a b →∞→∞→∞→∞→∞

-=-=-=-= 例2 求下列极限：（1）)45(lim n

n +

∞→；（2）2)11(lim -∞→n n 解：(1)44lim(5)lim5lim 505n n n n n →∞→∞→∞+=+=+=；

(2)22211lim(1)(lim lim1)(01)1n n n n n →∞→∞→∞

-=-=-= 例3求下列极限：

（1）)21(lim 2n n n +∞→。（2）n

n n 23lim -∞→。（3）232lim 22++∞→n n n n .（4)24323lim n n n n n -+∞→。 解:(1）0001lim 202lim 1lim )21(lim 22=+=+=+=+∞→∞→∞→∞→n n

n n n n n n n 。 （2)(方法一)3031lim 232lim 3lim )23(lim 23lim

=-=-=-=-=-∞→∞→∞→∞→∞→n n n n n n n n n n . （方法二）∵n →∞,∴n ≠0.分子、分母同除n 的最高次幂.

3131lim )23(lim 123lim 23lim ==-=-=-∞

→∞→∞→∞→n n n n n n n n . 第二个题目不能体现“分子、分母同除n 的最高次幂”这个方法的优势.这道题目就可以。使用上述方法就简单多了。因为分母上是3n 2+2，有常数项,所以(2)的方法一就不能用了。 (3)3203022lim 3lim 1lim 2lim )23(lim )12(lim 2312lim 232lim 22222=++=++=++=++

=++∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→n n n n n n n n n n n n n n n n n . 规律一：一般地，当分子与分母是关于n 的次数相同的多项式时，这个公式在n →∞时的极限是分子与分母中最高次项的系数之比.

解：(4)分子、分母同除n 的最高次幂即n 4，得.

002001lim 2lim 1lim 3lim 1213lim 23lim 2323243

=-+=-+=-+=-+∞→∞→∞→∞→∞→∞→n n n n n n n n n n n n n n n n . 规律二：一般地,当分子、分母都是关于n 的多项式时，且分母的次数高于分子的次数时,当n →∞时，这个分式极限为0.

例4求下列极限.

（1）)13(lim 2n n n n -+-∞→。(2)2

1323lim -++-∞→n n n 。(3）1513lim ++-∞→n n n .