极限存在准则两个重要极限
极限存在准则两个重要极限公式
极限存在准则两个重要极限公式首先，我们来介绍极限保号公式。
设函数f(x)在点a的一些邻域内有定义，如果存在常数M>0，使得对于任意的x∈(a-h,a+h)（h>0），都有，f(x)，≤M，则称M为f(x)在点a处的一个保号常数。
现在我们来证明极限保号公式：假设f(x)在其中一点a的一些邻域内有定义，并且存在常数M>0，使得对于任意的x∈(a-h,a+h)（h>0），都有，f(x)，≤M。
如果limx→af(x)=L存在，那么L也满足，L，≤M。
证明：由于limx→a f(x)=L存在，那么对于任意的ε>0，存在δ>0，使得对于任意的x∈(a-h,a+h)（h>0），如果0<，x-a，<δ，那么有，f(x)-L，<ε。
现在我们取ε=M，那么存在δ>0，使得对于任意的x∈(a-h,a+h)，如果0<，x-a，<δ，那么有，f(x)-L，<M。
这说明，对于任意的x∈(a-h,a+h)，如果0<，x-a，<δ，那么有，f(x)，=，f(x)-L+L，≤，f(x)-L，+，L，<M+，L。
我们再取任意的x∈(a-h,a+h)，如果0<，x-a，<δ，那么有，f(x)，≤M+，L，但是我们已经知道，在点a的一些邻域内存在保号常数M>0，使得对于任意的x∈(a-h,a+h)，都有，f(x)，≤M。
所以有，L，≤M。
这就是极限保号公式的证明。
接下来我们来介绍夹逼准则。
设函数f(x)、g(x)、h(x)在点a的一些邻域内有定义，并且对于任意的x∈(a-h,a+h)（h>0），都有g(x)≤f(x)≤h(x)。
如果limx→a g(x)=limx→a h(x)=L存在，那么limx→a f(x)=L也存在。
证明：对于任意的ε>0，由于limx→a g(x)=L存在，那么存在δ1>0，使得对于任意的x∈(a-h,a+h)，如果0<，x-a，<δ1，那么有，g(x)-L，<ε。
高数第一章极限存在准则 两个重要极限
当
时,
当
时,
lim
n
xn
a
令N max N1 , N2,
则n当 N
时, 有
由条件 (1) a yn xn zn a
即xn a ,
l故im
n
xn
a
.
2
例1. 证明
证: 利用夹逼准则 由.
n
n2
1
n2
1
2
n2
1
n
n2
n2
且
lim
n
n
n2 2
lim
n
1
1
n2
1
lim n
n
n2
1
n2
1
2
n2
1
n
1
3
准则1’ 函数极限存在的夹逼准则
当 x (x0 , ) 时, g(x) f (x) h(x) , 且
a
lim
n
xn
b
(m)
b ( 证明略 ) 5
例2. 设
证明数列
极限存在 . (P49)
证: 利用二项式公式(P270 ), 有
xn (1 1n)n
1
n 1!
1 n
n(n1) 2!
1 n2
n(n1)(n2) 3!
1 n3
n(n1)(nn1) n!
1 nn
11
x x0
2
极限存在准则与两个重要极限
极限存在准则与两个重要极限首先，我们来定义极限存在准则。
设函数f(x)在x=a的其中一去心邻域内有定义，且有极限L，那么对于任意给定的正数ε，存在正数δ，使得当0<，x-a，<δ时，有，f(x)-L，<ε。
左极限：设函数f(x)在x=a的其中一左去心邻域内有定义，且有极限L，那么对于任意给定的正数ε，存在正数δ，使得当a-δ<x<a时，有，f(x)-L，<ε。
右极限：设函数f(x)在x=a的其中一右去心邻域内有定义，且有极限L，那么对于任意给定的正数ε，存在正数δ，使得当a<x<a+δ时，有，f(x)-L，<ε。
接下来，我们来介绍两个重要的极限存在准则。
1.夹逼准则（或夹挤准则）：设函数f(x)在x=a的其中一去心邻域内有定义，且在这个去心邻域中，存在两个函数g(x)和h(x)，满足g(x)≤f(x)≤h(x)。
若当x→a时，g(x)和h(x)的极限都是L，则函数f(x)在x=a处的极限也是L。
夹逼准则的直观意义是，如果一个函数在一些点附近被两个函数“夹住”，而这两个函数的极限是相等的，则原函数在该点也存在极限，并且极限等于夹逼的值。
2.单调有界准则：如果函数f(x)在x=a的其中一去心邻域内有定义，并且在这个去心邻域中是递增或递减的（即f’(x)≥0或f’(x)≤0），那么如果存在一个实数M，使得对于任意的x，都有f(x)≤M（或f(x)≥M），那么函数f(x)在x=a处存在极限。
单调有界准则的直观意义是，如果一个函数在一些点附近是单调递增或递减的，并且在该区间内被一个实数所界定，那么函数在该点存在极限。
这两个极限存在准则在微积分中具有重要的意义和应用。
在求解极限问题时，可以利用夹逼准则来确定极限的存在性。
而在证明一些极限存在的定理时，可以利用单调有界准则来进行证明。
总结起来，极限存在准则是用于确定函数在一些点是否存在极限的基本规则。
夹逼准则和单调有界准则是两个重要的应用极限存在准则，它们在微积分中有着广泛的应用。
微积分：极限存在准则与两个重要极限
02
两个重要极限
第一个重要极限
总结词
当x趋近于0时，sin(x)/x的极限为1。
详细描述
这个极限描述了正弦函数和x轴在x=0处的交点附近的相对大小关系。具体来说， 当x的值非常接近0时，sin(x)和x的大小关系近似相等。
第二个重要极限
总结词
当x趋近于无穷大时，(1+1/x)^x的极 限为e。
= 2epsilon$。最后，我们得出结论 $lim_{n to infty} a_n = L$。
极限存在准则的应用
应用场景
极限存在准则在实数序列的收敛性判断中有着广泛的应用。例如，在判断一个数列是否收敛时，我们 可以先找到一个收敛的子序列，然后利用极限存在准则判断原序列是否收敛。
应用方法
首先，我们需要找到一个收敛的子序列。这可以通过选取适当的项或通过数学变换实现。然后，利用 极限存在准则，我们可以判断原序列是否收敛。如果原序列收敛，则极限值等于子序列的极限值；否 则，原序列发散。
详细Байду номын сангаас述
这个极限描述了一个增长速度的问题。 具体来说，当x的值非常大时， (1+1/x)^x的增长速度近似等于e，这 是自然对数的底数，约等于2.71828。
两个重要极限的证明
第一个重要极限的证明
通过使用三角函数的性质和等价无穷 小替换，可以证明当x趋近于0时， sin(x)/x的极限为1。
第二个重要极限的证明
通过使用二项式定理和等价无穷大替 换，可以证明当x趋近于无穷大时， (1+1/x)^x的极限为e。
03
微积分中的其他概念
导数
导数定义
导数是函数在某一点的变化率，表示函数在 该点的切线斜率。
两个极限存在准则和两个重要的极限
两个极限存在准则和两个重要的极限第一个极限存在准则是柯西-斯维亚切斯极限存在准则（Cauchy-Schwarz Limit Existence Criteria）。
其表述为：对于一个函数 f(x)，如果对于任意的ε>0，存在一个δ>0，使得当 0<，x-a，<δ 时，总有，f(x)-f(a)，<ε，则函数 f(x) 在点 a 处存在极限。
第二个极限存在准则是海涅定理（Heine's Theorem），也被称为局部有界性定理（Local Boundedness Theorem）。
其表述为：如果对于一个函数 f(x)，在点 a 的一些邻域内 f(x) 有界，即存在一个常数 M>0，使得对于所有的x∈(a-δ,a+δ) 有，f(x)，≤M，则函数 f(x) 在点 a 处存在极限。
这两个极限存在准则都用于判断函数在其中一点处的极限是否存在。
柯西-斯维亚切斯极限存在准则要求函数在该点的极限存在时，对于任意给定的ε>0，都能找到对应的δ>0，使得函数值与极限值的差小于ε。
而海涅定理则要求函数在该点附近有界，即函数在该点附近的函数值都不超过一些常数M。
这两个定理的应用范围和方法略有不同。
除了极限存在准则外，还有两个重要的极限：无穷小与无穷大。
无穷小是指极限趋近于零的数列或函数。
对于一个数列 {a_n}，如果对于任意的正数ε>0，存在正整数 N，使得当 n>N 时，有，a_n，<ε，则该数列是无穷小。
对于一个函数 f(x)，如果在其中一点 a 处，有lim(x→a) f(x)=0，则该函数在点 a 处是无穷小。
无穷大则是指极限趋于无穷的数列或函数。
对于一个数列 {a_n}，如果对于任意的正数 M>0，存在正整数 N，使得当 n>N 时，有，a_n，>M，则该数列是无穷大。
对于一个函数 f(x)，如果在其中一点 a 处，有lim(x→a) f(x)=∞（或表示为lim(x→a) ，f(x)，=∞），则该函数在点 a 处是无穷大。
极限存在准则 两个重要极限
第二个重要极限：勇气极限
勇气极限是指我们所能承受的恐惧和心理压力的极 限。了解并逐步超越这个极限，可以使我们在挑战 中变得无所畏惧。
重要性说明
1 激发潜力
了解重要极限能激发我们 内在的潜力，鼓励我们尝 试新事物并突破自身的局 限。
2 规避风险
重要极限的认识有助于我 们规避风险，避免陷入危 险和不理智的决策中。
极限存在准则：两个重要 极限
在极限存在的世界里，我们要探讨两个重要极限：极限存在准则以及第一个 和第二个重要极限。让我们一同揭开生活中最极致的部分。
极限存在准则
1
什么是极限存在准则？
极限存在准则是指在一定条件下，存在着极限情况的规律和约束。它定义了事物 的极限状态和行为。
2
为什么极限存在准则重要？
3 追求卓越
超越重要极限是追求卓越 的关键一步，让我们不断 学习、成长和创新。
实际应用
运动训练
运动训练中，了解和超越个人身体极限是提高 体能和成绩的关键。
领导能力
领导者需要超越自身能力和局限，带领团队不 断创新和突破。
创业企业
创业企业需要超越市场的竞争和资源限制，寻 找新的商业机会和创新解决方案。
科学研究
科学研究需要不断突破知识和技术的边界，发 现未知领域和新的发现。
总结和结论
极限存在准则以及两个重要极限的认识，可以帮助我们更好地理解和应对生活中的极端情况和挑战。通过超越 这些极限，我们能够实现更高的成就和创造。
极限存在准则能帮助我们了解事物的极端表现和局限，提醒我们在决策和行动中 要注意避免超越这些极限。
3
应用领域
极限存在准则广泛应用于科学研究、工程设计、金融市场和人类行为等领域，在 寻找平衡和解决问题时发挥着关键作用。
高等数学 第1章 第七节 极限存在准则 两个重要极限
则
lim
n
x n1
lim n
6 xn ,
A
6 A,
解得 A 3或A 2,（舍去）
lim n
xn
3.
14
3.两个重要极限的应用
例6： 求 lim tan x 1
x0 x
可作为公式
lim
x
s
in u x ux
1
lim ux 0
x
解： lim tan x lim sin x 1 lim sin x lim 1 11 1 x0 x x0 x cos x x0 x x0 cos x
1 n2 1
n2
1
22
n2
1
n2
n n2 1
,
1
lim 1 0, n 2n
lim n n n2 1
lim n
n
1
1
由夹逼定理知：
n2
0 0, 10
lim n
n
1 2
1
n2
1 22
n2
1 n2
存在, 且
lim n
n
1 2
1
n2
1
22
n2
1
n2
0.
8
例2 用夹逼准则证明：
lim sin x 1.
1yn xn zn n 1,2,3,,
2
lim
n
yn
a,
lim
n
z
n
a,
则数列x
n
的
极
限
存
在,
且
lim
n
xn
a.
准则1 若
1当x
U
x
极限存在准则两个重要极限公式
夹逼准则不仅说明了极限存在，而且给出了求极限的
方法．下面利用它证明另一个重要的
极限公式： lim sin x 1 x0 x
证:
当
x
(
0
,
2
)
时，
BD
1x
oC
A
△AOB 的面积＜圆扇形AOB的面积＜△AOD的面积
即
1 2
sin
x
1 2
x
1 2
tan
x
亦故即有
1sin sxinxxxctoa1snxx
1. 单调有界准则
数列 xn : 单调增加 x1 x2 xn xn1 ,
单调减少 x1 x2 xn xn1 ,
准则I 单调有界数列必有极限 单调上升有上界数列必有极限
说 明: 单调下降有下界数列必有极限 (1) 在收敛数列的性质中曾证明：收敛的数列一定 有界，但有界的数列不一定收敛．
1
1 1 n1 n 1
1 yn1
由于数列 yn 是单调增加的，所以数列 zn 是单调减少的.
又
xn
1
1
n
n
1
1
ห้องสมุดไป่ตู้n1
n
zn
z1
4
则 2 xn 4. 综上，根据极限存在准则Ⅰ可知，数列是
收敛的.
2023年12月9日星期六
4
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通常用字母 e 来表示这个极限，即
lim
n
1
1
n
)
( n 1, 2,
), 且
x1 0,
a0,
求
lim
n
xn
.
利用极限存在准则
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极限存在准则两个重要极限
【教学目的】
1、了解函数和数列的极限存在准则；
2、掌握两个常用的不等式；
3、会用两个重要极限求极限。
【教学内容】
1、夹逼准则；
2、单调有界准则；
3、两个重要极限。
【重点难点】
重点是应用两个重要极限求极限。
难点是应用函数和数列的极限存在准则证明极限存在，并求极限。
【教学设计】
从有限到无穷，从已知到未知，引入新知识（5分钟）。
首先给出极限存在准则（20分钟），并举例说明如何应用准则求极限（20分钟）；然后重点讲解两个重要的极限类型，并要求学生能利用这两个重要极限求极限（40分钟）；课堂练习（15分钟）。
【授课内容】
引入：考虑下面几个数列的极限
1、1000个0相加，极限等于0。
2、无穷多个“0”相加，极限不能确定。
3、，其中，，极限不能确定。
对于
2、3就需要用新知识来解决，下面我们来介绍极限存在的两个准则：
一、极限存在准则1、夹逼准则准则Ⅰ 如果数列及满足下列条件:那么数列的极限存在, 且、证：
取上两式同时成立, 当时，恒有上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限准则Ⅰ′ 如果当 (或)时,有那么存在, 且等于、准则 I和准则 I称为夹逼准则。
【注意】
利用夹逼准则求极限的关键是构造出与，并且与的极限是容易求的。
例1 求解：
由夹逼定理得：
【说明】
夹逼准则应恰当结合“放缩法”使用2、单调有界准则准则Ⅱ 单调有界数列必有极限、如果数列满足条件，就称数列是单调增加的；如果数列满足条件，就称数列是单调减少的。
单调增加和单调减少的数列统称为单调数列。
几何解释:例2 证明数列（重根式）的极限存在
【分析】
已知，，求。
首先证明是有界的，然后证明是单调的，从而得出结论证：
1、证明极限存在a)
证明有上界，设，则所以对任意的n，有b)
证明单调上升所以存在
2、求极限设，则，解得（舍去）所以=2
二、两个重要极限1、如右图所示，，例3 求下列极限（1）解：原极限（2）解：原极限==1（）（3）解：原极限=；
2、，，；“”型
【说明】
（1）上述三种形式也可统一为模型（2）第二个重要极限解决的对象是型未定式。
例如，例4 求下列极限（1）解：原极限（2）解：原极限===
【补充】
“”型计算公式：其中时，。
证明：例5 求下列极限（1）【分析】
是幂指数函数，“”型，考虑用“”型计算公式解：====1（2）
【分析】
是幂指函数，“”型，考虑用“”型计算公式。
解：原极限。
（3）
【分析】
是幂指数函数，“”型，考虑用“”型计算公式，但它不是标准型，通过“加1减1”变成标准型。
解：原极限== 【思考题1】
设有k个正数，，…，，令={，，…，}，求（“大数优先”准则）。
解：而，所以由夹逼准则：
【思考题2】
设，，求解：显然。
因为，所以数列有下界。
又因为，所以数列单调下降，即存在。
设=，则，解得，所以=
【思考题3】
求；解：原极限=
【思考题4】
求极限解：
【课堂练习】
求。
解：而，所以原极限
【内容小结】
1、夹逼准则当时，有，且=，则。
2、单调有界准则（1）单调上升有上界的数列，极限一定存在；（2）单调下降有下界的数列，极限一定存在。
3、两个重要极限（1）为弧度）；（2），。