极限存在准则与两个重要极限

x x0 ( x )
x x0 ( x )
那末 lim f ( x)存在, 且等于 A . x x0 ( x)
准则 I 和准则 I ' 称为夹逼准则.
注意:利用夹逼准则求极限关键是构造出 yn与zn , 并且 yn与zn的极限是容易求的 .
例1 求 lim( 1 1 1 ).
n
设
xn

(1

1)n n
1 n 1 n(n 1) 1 n(n 1) (n n 1) 1
1! n 2! n2
n!
nn
1 1 1 (1 1) 1 (1 1)(1 2) (1 n 1).
2! n
n! n n
1
lim（1 ( x)) ( x) e
（x )0
注意这个极限的特征： 底为两项之和，第一项为1，第二项
是 无穷小量，指数与第二项互为倒数 。
例4 求 lim(1 1 )x .
x
x
解
原式 lim[(1 1 ) x ]1 lim
x
x
x
(1
1 1
) x
1
20 lim (1 ) e. 某过程
思考题
1
求极限 lim 3x 9x x x
思考题解答
1
lim 3x 9x
x
1 x
lim 9x x
1 x


1 3x

1
x
1

9
lim 1 x

1 3x
3x

x
x
t
t
t t 1
lim (1 1 )t1(1 1 ) e.
t t 1
t 1
lim(1 1 )x e
x
x
令t 1, x
lim(1
1
x)x

lim(1
1)t
e.
x0
t
t
1
lim(1 x) x e
x0
利用变量代换可导出上述极限的一般形式：
3xx


9
e0

9

1

1
1 2!

1 n!
11 1 2

1 2n1

3

1 2n1

3,
xn是有界的;
lim n
xn
存在.
记为 lim(1 1)n e
n
n
(e 2.71828 )
令 t x,
lim (1 1 )x lim (1 1)t lim (1 1 )t

lim
x0
2 sin 2 x2
x 2

1 lim 2 x0
sin 2 x 2
( x)2
2
x

1
sin lim(
2
)2
2 x0 x

1 2
12

1. 2
2
（2） 求 lim tan x . x0 x
2、 lim(1 1 )x e
x
x
定义 lim(1 1)n e
n
x0
x0
x0 x
sin x 的图象
x
1
1
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2 0.2
-wenku.baidu.com0
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
10
-0.2-0.2
利用变量代换可导出上述极限的一般形式：
sin ( x)
lim
1;
( x)0 ( x)
例3
（1）求
lim
x0
1

cos x2
x
.
解
原式
几何解释:
x1 x2 x3xn xn1 A M
x
例2 证明数列xn 3 3 3(n重根
式)的极限存在 .
证 显然 xn1 xn , xn是单调递增的 ;
又 x1 3 3, 假定 xk 3, xk1 3 xk 3 3 3,
xn是有界的;
x
上式对于 x 0也成立. 当 0 x 时,
2
2
0 cos x 1 1 cos x 2sin 2 x 2( x)2 x2 , 22 2
lim x2 0, lim(1 cos x) 0,
x0 2
x0
lim cos x 1, 又 lim1 1, lim sin x 1
1
x
.
e
例5 求 lim(3 x )2x . x 2 x
解 原式 lim[(1 1 ) x2 ]2 (1 1 )4 e 2 .
x
x2
x2
三、小结与判断思考题
小结
1.两个准则
夹逼准则; 单调有界准则 .
2.两个重要极限
设 为某过程中的无穷小 ,
10 lim sin 1; 某过程
lim n
xn
存在.
xn1
3 xn ,
x2 n1

3

xn ,
lim
n
x
2 n
1

lim(3
n

xn ),
A2 3 A, 解得 A 1 13 , A 1 13 (舍去)
2
2
1 13
lim n
xn

2
.
二、两个重要极限
C
B
1、 lim sin x 1 x0 x
zn

a,
证那末数因列为xynn的极限a,存在zn,且alni,m xn a .
0, N1 0, N2 0, 使得
当n
N
时恒有
1
yn
a
,
当n

N
时恒有
2
zn

a

,
取 N max{N1 , N2 }, 上两式同时成立,
即 a yn a , a zn a ,
1 n2

由夹逼准则得 1 ) 1.
n n2 1 n2 2
n2 n
2.单调有界准则
如果数列 xn满足条件
x1 x2 xn xn1 , 单调增加 单调数列 x1 x2 xn xn1 , 单调减少
准则Ⅱ 单调有界数列必有极限.
n
当 x 1时, 有 [ x] x [ x] 1,
(1 1 )[ x] (1 1 ) x (1 1 )[ x]1 ,
[x] 1
x
[x]
而 lim (1 1 )[ x]1 lim (1 1 )[ x] lim (1 1 ) e,
x [x]
1 (1 2!

1 n
) 1

1 (1 1 )(1 2 ) (1 n 1)
n! n 1 n 2
n1
1 (1 1 )(1 2 ) (1 n ).
(n 1)! n 1 n 2
n1
显然 xn1 xn ,
x 是单调递增的; n
xn
x [x]
x [x]
lim (1 1 )[ x] x [x] 1
lim (1 1 )[ x]1 lim (1 1 )1 e,
x [x] 1
x [x] 1
lim (1 1 )x e.
x
x
类似地,
xn1

1
1

n n2 1 n2 2
n2 n
解 n 1 1 n ,
n2 n n2 1
n2 n n2 1
又 lim n
n lim n2 n n
1 1 1 1,
n
lim
n
lim(
n n2 1
1
lim n
1
1,
1 1

o
x
D
A
设单位圆 O, 圆心角AOB x, (0 x )
2
作单位圆的切线，得ACO .
扇形OAB的圆心角为 x , OAB的高为 BD ,
于是有sin x BD, x 弧 AB, tan x AC ,
sin x x tan x, 即 cos x sin x 1,
第六节 极限存在准则与两个重要极限
一 极限存在的两个准则 二 两个重要极限 三 小结与思考判断题
一 极限存在准则
1.夹逼准则(两边夹定理）
定理Ⅰ 如果数列 xn , yn 及 zn 满足下列条件: (1) yn xn zn (n 1,2,3 )
(2)
lim
n
yn

a,
lim
n
当 n N时, 恒有 a yn xn zn a ,
即 xn a 成立,
lim n
xn

a.
上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限
准则Ⅰ′
如果当
x

U
0
(
x0
)
(或
x

M )时,有
(1) g( x) f ( x) h( x),
(2) lim g( x) A, lim h( x) A,