极限存在准则 两个重要极限

∴ sin x < x < tan x ,
π 上式对于 − < x < 0也成立 . 2
sin x 即 cos x < < 1, x
当 0 < x < 时, 2
π
x x 2 x2 0 < cos x − 1 = 1 − cos x = 2 sin 2 < 2( ) = , 2 2 2
x2 Q lim = 0, x→0 2
当 x ≥ 1 时,
有 [ x ] ≤ x ≤ [ x ] + 1,
1 [ x] 1 x 1 [ x ]+ 1 (1 + ) ≤ (1 + ) ≤ (1 + ) , [ x] + 1 x [ x] 1 [ x ]+ 1 1 [ x] 1 ) ) ⋅ lim (1 + ) = e, 而 lim (1 + = lim (1 + x → +∞ x → +∞ x → +∞ [ x] [ x] [ x] 1 [ x] lim (1 + ) x → +∞ [ x] + 1 1 [ x ]+ 1 1 −1 ) ) = e, = lim (1 + ⋅ lim (1 + x → +∞ x → +∞ [ x] + 1 [ x] + 1 1 x ∴ lim (1 + ) = e. x→+∞ x
x 2
1 2 = 2 ⋅1
2
例4
arcsin x 求 lim . x →0 x
解: 令 t = arcsinx, 则 x = sint , 因此
t 原式 = lim t →0 sin t
sin t t
=1
2.单调有界准则 单调有界准则
如果数列 xn满足条件
x1 ≤ x 2 L ≤ x n ≤ x n + 1 ≤ L , 单调增加 x1 ≥ x 2 L ≥ x n ≥ x n + 1 ≥ L , 单调减少
二、两个重要极限
B
(1)
C
Hale Waihona Puke Baidu
sin x lim =1 x→0 x
π
o
x
D
A
设单位圆 O , 圆心角 ∠AOB = x , (0 < x < ) 2
作单位圆的切线 ，得∆ACO .
的高为 扇形 OAB的圆心角为 x , ∆OAB的高为 BD , 的圆心角为
于是有 sin x = BD , x = 弧 AB , tan x = AC ,
∴ lim cos x = 1,
x→0
∴ lim(1 − cos x ) = 0,
x→0
又 Q lim 1 = 1,
x→0
sin x ∴lim = 1. x→0 x
例3
1 − cosx . 求 lim 2 x→0 x
x 2sin2 2 lim 2 x→0
解: 原式 =
x
1 sin = lim x 2 x→0 2
令 t = − x,
1 x 1 −t 1 t ) ∴ lim (1 + ) = lim (1 − ) = lim (1 + x → −∞ t → +∞ t → +∞ x t t −1 1 t −1 1 ) (1 + ) = e. = lim (1 + t → +∞ t −1 t −1
1 x ∴ lim(1 + ) = e x→∞ x
其他几个重要极限: 其他几个重要极限
log a (1 + x ) lim = lim log a (1 + x )1 / x = 1 / ln a x →0 x →0 x
ln(1 + x ) =1 x →0 x lim
a −1 lim = ln a (令 : u = a x − 1) x→0 x
x
1 + 13 1 − 13 (舍去 舍去) , A= 舍去 解得 A = 2 2 1 + 13 . ∴ lim x n = n→∞ 2
A 2 = 3 + A,
(2) 定义
1 x lim(1 + ) = e x→∞ x 1n lim(1 + ) = e n→∞ n
1 设 x n = (1 + ) n n n 1 n( n − 1) 1 n( n − 1)L( n − n + 1) 1 = 1+ ⋅ + ⋅ 2 +L+ ⋅ n 1! n 2! n n! n 1 1 1 1 2 n−1 = 1 + 1 + (1 − ) + L + (1 − )(1 − )L(1 − ). 2! n n! n n n
又 Q x1 = 3 < 3, 假定 x k < 3, x k + 1 = 3 + x k< 3 + 3 < 3,
∴ lim x n 存在.
n→∞
2 lim x n + 1 = lim ( 3 + x n ), n→ ∞ n→∞
2 Q x n+1 = 3 + x n , x n+1 = 3 + x n ,
1 n +1
2
+
1 n +2
2
+L+
1 n +n
2
).
n 1 1 n , < +L+ < 解 Q 2 2 2 2 n +n n +1 n +n n +1
n 1 又 lim 2 = lim = 1, n→ ∞ n + n n→ ∞ 1 1+ n n 1 lim 2 = lim = 1, 由夹逼定理得 n→ ∞ n + 1 n→ ∞ 1 1+ 2 n 1 1 1 lim ( 2 ) = 1. + +L+ 2 2 n→ ∞ n +1 n +2 n +n
φ ( x)→∞
原式
1 )−x −1 = lim (1+ −x −x→∞
[
]
= e−1
例5
求 lim(1 + 2 x) .
x →0
1 x
例6
3 + x 2x ) . 求 lim ( x→∞ 2 + x
求 lim( 3 − 2 x )
x →1 3 x −1
例7
1 sin x 例8 求 lim x →∞ ln(1 + x ) − ln x
. 则Ⅱ 准 Ⅱ 单调 界数列 则 有 必有 极限
单调数列
几何解释: 几何解释
x1 x 2 x 3x n x n + 1
A
M
x
例2
证明数列 xn = 3 + 3 + L + 3 ( n重根
∴ {xn } 是单调递增的 ;
式)的极限存在 . 证 显然 x n + 1 > x n ,
∴ {xn } 是有界的 ;
x → +∞
)
= lim (9
x → +∞
x
1 x x
)
1 x + 1 3
0
1 x
3 1 = 9 ⋅ lim 1 + x x → +∞ 3

1 3x ⋅x
= 9⋅e = 9
即 xn − a < ε 成立 ,
∴ lim x n = a .
n→ ∞
上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限
则 ′ 果 准 Ⅰ 如 当x ∈Uδ ( x0 )(或x > M )时 有 ,
0
(1) g( x) ≤ f ( x) ≤ h( x), (2) x→x g( x) = A, x→x h( x) = A, lim lim
09高数 高数
第六节 极限存在准则 两个重要极限
重点与难点
掌握两个重要极限公式的特点和运用他 们求极限的方法； 运用单调有界法则证明极限存在；
一、极限存在准则 1.夹逼准则 夹逼准则
准则Ⅰ 满足下列条件: 准则Ⅰ 如果数列 xn , yn及 zn满足下列条件:
(1) yn ≤ xn ≤ zn
n→∞
ex −1 lim =1 x→0 x
e α ln(1+ x ) − 1 (1 + x ) α − 1 lim = lim x →0 x →0 x x e α ln(1+ x ) − 1 α ln(1 + x ) = lim ⋅ =α x → 0 α ln(1 + x ) x
三、小结
1.两个准则 夹逼准则; 夹逼准则 单调有界准则 . 2.两个重要极限
当 n > N 2时恒有 z n − a < ε ,
取 N = max{ N 1 , N 2 }, 即 a − ε < y n < a + ε,
上两式同时成立, 上两式同时成立
a − ε < z n < a + ε,
当 n > N时, 恒有 a − ε < yn ≤ xn ≤ zn < a + ε ,
∴ {xn } 是单调递增的 ;
1 1 1 1 xn < 1 + 1 + + L + < 1 + 1 + + L + n −1 2! n! 2 2 1 = 3 − n − 1 < 3, ∴ {xn } 是有界的 ; 2 1n ) ∴ lim x n 存在. 记为lim(1 + ) = e (e = 2.71828L n→∞ n→∞ n
(n = 1,2,3L )
n→∞
(2) lim yn = a, limzn = a,
的极限存在, 那么数列 xn的极限存在, 且 lim xn = a.
证 Q yn → a ,
zn → a ,
n→∞
∀ ε > 0, ∃N 1 > 0, N 2 > 0, 使得
当 n > N 1时恒有 y n − a < ε,
( x→∞)
0
( x→∞)
0
末 那 lim f ( x)存 , 且 于A. 在 等
x→ x→x0 ( x→∞)
称为夹逼准则 准则 I和准则 I'称为夹逼准则 和 称为夹逼准则. 注意: 利用夹逼准则求极限关 注意: 键是构造出yn与zn ,
并且yn与zn的极限是容易求的.
例1 求 lim (
n→ ∞
类似地, 类似地
1 1 xn+1 = 1 + 1 + (1 − )+L n+1 2! n−1 1 1 2 )(1 − )L(1 − ) + (1 − n! n+1 n+ 2 n+1 n 1 1 2 (1 − )(1 − )L(1 − ). + n+1 n+2 n+1 ( n + 1)!
显然 x n + 1 > x n ,
1 令t= , x
x→0
1t lim(1 + x) = lim(1 + ) = e. x→0 t →∞ t
1 x
1 x
lim(1 + x) = e
例.
解: 令 t = −x, 则
t →∞
lim(1+ 1)−t t
1
= lim
t →∞
1 说明 ：若利用 lim (1+ φ( x))φ( x) = e, 则
设 α 为某过程中的无穷小 ,
sinα 0 1 lim = 1; 某过程 α
20 lim (1 + α) = e.
某过程
1 α
两个重要极限
或 注: 代表相同的表达式
作
书56页 Ex1 Ex2
业
思考
x 求极限 lim 3 + 9 x → +∞
(
1 x x
)
思考题解答
lim (3 + 9
x 1 x x