迫敛准则在极限求解中的应用

迫敛准则在极限求解中的应用中文摘要：在高等数学中，有很多重要的概念和方法都和极限有关，并且在实际问题中，极限也占有很很要的地位.同样在数学分析中，极限对我们来说也很重要，它是我们解决问题的一个工具.在这篇文章中，我主要介绍迫敛准则在极限求解中的应用，迫敛准则，我们有时也称它为夹挤定理或两边夹法则，它是微积分极限理论部分中一个非常重要的性质，对我们求解极限和证明极限是一个很好的工具.本文给出迫敛准则的一些直接应用，并进行了一些推广.关键词：迫敛准则；极限求解；应用Abstract：In advanced mathematics, there are a lot of important concepts and methods and to the limit,and in the actual problem, the limit also plays the position.Also in mathematical analysis, limit is also important for us, it is a tool for us to solve the problem, in this article, I'll focus on the of approximate convergence criteria limit solving.The approximate convergence criteria, we sometimes call it the squeeze theorem or folder on both sides of the law, it is the calculus limit the theoretical part of a very important nature, solving strength and proof limit is a good tool for us.In this paper, squeeze criteria applied directly,and some promotion.Keywords: forced convergence criteria; ultimate solving;application1. 引言迫敛性是微积分极限理论部分中一个非常重要的性质，它在许多极限问题的计算和证明中有很重要的应用.然而，在实际应用中，要寻找到满足条件的{}n x和{}n y经常是困难的，这给迫敛性的应用也带来了一定的不便.本文主要介绍这样一个求极限的方法——迫敛性定理，即对于给定的数列{}n x ，当变量n x 的极限不易求出时，可考虑将其作适当的放大或缩小，使放大或缩小后所得到的新变量均易求极限，并且二者的极限值相同，则原极限存在，且等于此公共值.2. 极限的定义2.1 数列极限的定义定义1 设{}n x 是一个数列，a 是实数.如果对任意给定的0ε>，总存在一个正整数N ，当n N >时，都有n x a ε-<，我们就称a 是数列{}n x 的极限，或者称数列{}n x 收敛，且收敛于a ，记为lim n n x a →∞=或()n x a n →→∞.2.2 函数极限的定义定义 2 （函数在0x 点的极限定义） 设函数()f x 在点0x 的附近（但可能除掉点0x 本身）有定义，又设A 是一个定数. 如果对任意给定的0ε>，一定存在0δ>，使得当00x x δ<-<时，总有()f x A ε-<，我们就称A 是函数()f x 在点0x 的极限，记为()0lim x x f x A →=或者记为()()0f x A x x →→.3. 迫敛准则及其证明3.1 数列极限的迫敛准则及其证明定理[]11 已知数列{}{}{},,n n n x y z ,若存在正整数N ,当n N >时，有n n n x y z ≤≤，且lim n n x →∞=lim n n z →∞=a ，则有lim n n y a →∞=.证明：因为lim n n x a →∞=，故对任意给定的0ε>，存在正整数1N ，当1n N >时，有||n x a ε-<，即有n a x ε-< ()3.1又因为lim n n z a →∞=，故对上述0ε>，存在正整数2N ，当2n N >时，有||n z a ε-<，即有n z a ε<+ ()3.2 又由已知n n n x y z ≤≤ ()3.3现取{}012max ,,N N N N =，则当0n N >时有()()()3.1,3.2,3.3三式同时成立， 从而有n n n a x y z a εε-<≤≤<+，即有||n y a ε-<成立，故lim n n y a →∞=. 证毕.推论 已知数列{}{},n n x y ，若存在一正整数N ，当n N >时，有n n a x y ≤≤（或n y n x a ≤≤），且lim n n y a →∞=，则lim n n x a →∞=.证明：此推论证明方法与定理1的证明方法类似,此处略.3.2 函数极限的迫敛准则及其证明定理2 若()00,x U x δ'∀∈,有()()()f x g x h x ≤≤,且()()lim lim oox x x x f x h x A →→==,则()lim ox x g x A →=.证明： <方法一> 因为()()lim lim oox x x x f x h x A →→== ,所以,对()00,U x δ'内的任意数列{}n x :()00lim n n n x x x x →∞=≠ ,由归结原理,有()()lim lim n n n n f x h x A →∞→∞== ,又由数列极限的性质;对*n N ∀∈，有()()()n n n f x g x h x ≤≤, 所以()lim n n g x A →∞=，故()lim ox x g x A →= . 证毕.<方法二>按假设,对0ε∀>分别存在正整数1δ和2δ,使得 当010||x x δ<-<时,有()A f x ε-<, 当020||x x δ<-<时,有()h x A ε<+,令 {}12min ,,δδδδ'=,则当 00||x x δ<-< 时, 有()A f x ε-< , ()h x A ε<+ , ()()()f xg xh x ≤≤同时成立,故有A ε-<()()()f x g x h x ≤≤A ε<+, 由此得()||g x A ε-<,故()lim ox x g x A →= . 证毕.鉴于以上两个定理,定理1告诉了我们一种判断数列的极限存在与否的一种方法,而且我们可以用它来求解极限和证明极限.另外,利用函数极限的迫敛性,我们可以从一些简单的数列极限和函数极限出发,计算一些较复杂的数列极限或函数极限.3.3 数列极限的迫敛准则的推广定理[]23 已知(){}n x ε,(){}n z η为实函数列, {}n y 为一实数列,若有一正整数N ,当n N >时,有(){}{}(){}n n n x y z εη≤≤,且()()00lim lim lim lim ,n n n n x z a εηεη→→∞→→∞==则有lim .n n y a →∞=证明： 令()()lim n n x x εε→∞=()(),lim ,n n z z ηη→∞=则对()()n n n x y z εη≤≤ 两端取上下极限：()()()()lim lim n n n n x x z z εεηη→∞→∞=≤=()()()()lim lim n n n n x x z z εεηη→∞→∞=≤=对上式令0,0εη→→和()()00lim lim lim lim n n n n x z a εηεη→→∞→→∞==，可得00lim lim lim ,lim lim lim n n n n n n n n y y a y y a εε→→∞→→∞→∞→∞====,即 lim n n y a →∞= . 证毕.在此定理中，当()n x ε，()n z η分别为,εη的常值函数时，此定理即为定理1，并且此定理条件中并未要求在n →∞时(),n x ε(),n z η的极限相等，此迫敛性的条件要弱，因此，定理可看成是极限迫敛性的推广，在实际应用中，寻找满足定理条件的()n x ε(),n z η也比迫敛性更为灵活.4. 应用4.1 数列极限迫敛准则的应用例1 求数列的极限.解: 记1n n a h ==+ （这里0,1n h n >>）则有 ()()2112nn n n n n h h -=+>,由上式得0n h <<()1n >,从而有111n n a h ≤=+≤ ()* 对数列1⎧⎪+⎨⎪⎩ ：lim 11n →∞⎡+=⎢⎣因对于任给的0ε>,取 221N ε=+,则当n N >时有11ε+<, 于是不等式()*的左右两边的极限皆为1， 故由迫敛准则，可得1n =.例2求极限lim ...n →∞⎡⎤++ . 解: 因为...≤++≤,而1n = ,1n =,故由数列极限的迫敛准则可得：lim ...1n →∞⎡⎤++=.由上例我们知道，当数列中的一般项为n 项的和时，在这种情况下，我们就可以放大或缩小{}n y ：取{}n y 中最大的分母作为 {}n x 的分母，最小的分母作为 {}n z 的分母，而{}{},n n x z 的其余部分具体情况具体定，一般为项数乘以原来 {}n y 中项的分子作为{}{},n n x z 的分子，若有 lim lim n n n n x z a →∞→∞== ，则可用迫敛性求得.注意：对于无穷项和的极限，不能拆成极限的和. 例[]33 设12,,...,k a a a 是 k 个正数，证明：{}12max ,,...,k n a a a =.证明: 记{}12max ,,...,k A a a a = , n x = ,则有 n A x ≤≤而lim n A →∞=,故由迫敛准则有:lim n n x A →∞=,即{}12max ,,...,k n a a a = . 证毕.注：在此例题中直接运用了例1的结论，这里1n =.例4 设()01,2,...n a n >= ，lim 0n n a a →∞=≠ ，证明：1n = .证明: 因 ()01,2,...n a n >= ,故由极限的保号性知:0a > ,且当n 充分大时，有22n aa a <<于是有<且1n = ,1n =故由迫敛准则知:1n = . 证毕.注：在此例题中也是直接运用了例1的结论，这里1n =，1n =.此外，通过这道例题，我们可以更加明显地感受到，利用迫敛准则不仅可以用来求解极限，还可以用来证明极限，这在上面的几道例题中得到了充分的体现.说明：以上几道例题均是对数列极限迫敛准则的应用，由此可见，在求解一些比较复杂数列极限的时候，通过应用迫敛准则能够很快解决问题.4.2 函数极限迫敛准则的应用例[]35 求01lim x x x →⎡⎤⎢⎥⎣⎦（注：[]* 表示取整函数）.解: 由取整函数定义知：1101x x ⎡⎤≤-<⎢⎥⎣⎦所以有1111x x x ⎡⎤-<≤⎢⎥⎣⎦,当0x >时，有111x x x ⎡⎤-<≤⎢⎥⎣⎦,而()0lim 11x x +→-=, 故由迫敛性得:01lim 1x x x +→⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.另一方面，当0x <时 ，有111x x x ⎡⎤≤<-⎢⎥⎣⎦,故由迫敛性又可得:01lim 1x x x -→⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. 综上所述，可得：1lim 1x x x →⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.说明：对于上述例5，首先要应用取整函数的定义得到不等式，然后利用不等式求出左右极限，最终求出所求函数极限.例6 求2sin lim4x x xx →+∞-.解: 因为x R ∀∈，有1sin 1x -≤≤, 从而由题意可得：当2x > 时有:222sin 444x x x xx x x -≤≤---, 并且有221lim lim 0441x x x x x x→+∞→+∞--==--, 同理有 2lim04x xx →+∞=-,从而由函数极限的迫敛准则可得：2sin lim04x x xx →+∞=- .说明：在上例中要注意不等式成立的条件.另外，迫敛准则在解决问题的过程中，要借助不等式的放缩（技巧要求比较高，最主要是放缩之后要能求出极限），再利用极限的相关性质，法则和定理，才能很快求出极限.这种方法在解决一些难度较高的问题时，可以变复杂为简单，是一种非常有效的工具.5. 迫敛准则的推广定理[]44 若级数1n n a ∞=∑与1n n b ∞=∑收敛，且成立不等式()1,2,...n n n a u b n ≤≤=，则级数1nn u∞=∑ 收敛，且 111n n n n n n a u b ∞∞∞===≤≤∑∑∑.证明: 因为n n n a u b ≤≤，于是有0n n n n b u b a ≤-≤- ()1,2,...n =， 又因为级数1n n a ∞=∑与1n n b ∞=∑收敛，从而级数()1n n n b a ∞=-∑收敛，故级数()1n n n b u ∞=-∑收敛.又因为()111n n n n n n n u b b u ∞∞∞====--∑∑∑,所以 1n n u ∞=∑收敛,又由于()1,2,...n n n a u b n ≤≤= ，所以111nnnk k k k k k a u b ===≤≤∑∑∑于是令n →∞得：111n n n n n n a u b ∞∞∞===≤≤∑∑∑. 证毕.定理[]45 设函数()()(),,h x f x g x 都在任何区间[],a A [),a ⊂+∞上可积，且对任意[),x a ∈+∞,有()()()h x f x g x ≤≤,若无穷积分:()a h x dx +∞⎰与 ()a g x dx +∞⎰ 都收敛，则无穷积分()a f x dx +∞⎰ 收敛，且()()()a aa h x dx f x dx g x dx +∞+∞+∞≤≤⎰⎰⎰. 证明: 对[),x a ∀∈+∞,由条件知，有 ()()()()0g x f x g x h x ≤-≤-因为()a h x dx +∞⎰与()a g x dx +∞⎰都收敛,从而()()a g x h x dx +∞-⎡⎤⎣⎦⎰收敛, 故()()ag x f x dx +∞-⎡⎤⎣⎦⎰收敛. 又因()()()()a a a f x dx g x dx g x f x dx +∞+∞+∞=--⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰, 所以 ()af x dx +∞⎰收敛.又因为对于任给的[),x a ∈+∞ ，有()()()0h x f x g x ≤≤≤,所以 [),A a ∀∈+∞,有()()()A A Aa a a h x dx f x dx g x dx ≤≤⎰⎰⎰令 A →∞ 得：()()()a a a h x dx f x dx g x dx +∞+∞+∞≤≤⎰⎰⎰ 证毕.以上这两个定理，定理4是将迫敛准则推广到数项级数的情形，而定理5则是将迫敛准则推广到无穷限的反常积分的情形.接下来看一个积分区间为有限的例子.例7求10lim nn →∞. 解:由0nn x ≤≤ []0,1x ∈, 将上述不等式对x 从0到1积分得：1100101n n x dx n ≤≤=+⎰. 又由1lim 01n n →∞=+,据迫敛性，有10lim 0nn →∞=. 例8 求01lim sin xx t dt x →+∞⎰. 解: 由于sin t 是以π为周期的函数，因此，有 00sin sin 2n t dt tdt n ππ==⎰⎰ ，其中 n N ∈,所以0x ∀>,存在n ，使()1n x n ππ≤≤+ ,则有 ()1000sin sin sin n n x t dt t dt t dt ππ+≤≤⎰⎰⎰,有 ()02sin 21x n t dt n ≤≤+⎰ ,于是()()0sin 2121xt dt n n n x n ππ+≤≤+⎰, 两边取极限有： 012lim sin x x t dt x π→+∞=⎰.这两个例题均是积分区间为有限的，自变量趋于无穷大的情况.6. 结束语极限是微积分学中的最基本的概念，迫敛性是极限的一个重要性质，利用它我们既可以来判断极限的存在，又可以用它来求出极限.通过对迫敛性定理的应用，我们可以更快更准确的求出一些极限，对于一些极限的证明，我们也可以利用迫敛准则.但是，在迫敛性解决一些实际问题时，常常需要进行一些技巧性较高的放缩，然后再利用其他相关知识加以求解.由此可见，迫敛性是一种很好的解决问题的工具.数列极限是函数极限的基础，通过对数列极限，函数极限迫敛性的深入理解，可以将迫敛性条件减弱、放宽，加以推广.在这篇文章中，我将迫敛准则的应用推广到了级数和积分中，另外还可以再进一步推广到二重积分、三重积分中.参考文献[1] 陈传章，等.数学分析（上册）[M].北京：高等教育出版社，1983,36.[2] 覃燕梅，吴凯腾，等.极限迫敛性的推广[J].内江师范学院报，2006，21（4）.[3] 欧阳光中，等.数学分析（上册）[M].北京：高等教育出版社，2007.[4] 孙雪莹.迫敛性及其应用[J].科技信息，2008:139-141.。