第讲两个重要极限极限存在准则
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10-第10讲两个重要极限、极限存在准则
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二.重要极限
1. 重要极限 sin x lim 1 x 0 x
2. 重要极限
1 1 e lim x x
x
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sin x 1. 重要极限 lim 1 x0 x 证 作一单位圆 ,
y
设 AOB x ,
2 从图中可看出: 先令 0 x
1 ( sin 1 是有界量 ) x
1 1 lim sin x x sin x 0 x x 1 1 lim sin x lim x sin 1 x 0 x x 0 x
解 (2)
1 sin 1 x 1 lim x sin lim x x 1 x x
再令 u t 1 , 则 t 时 , u , 且
1 1 lim 1 lim 1 x x u u
x
u
1 1 e u
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1 第三步：证明 lim 1 e x x
e
1 ( x)
k
( x ) 0
lim (1 k ( x) )
e
k
其中, k≠ 0 为常数.
( x) 0 表示在某极限过程中 ( x)的极限为零 .
( x) 表示在某极限过程中 ( x)的极限为 .
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例9
例10 例11 例12
3 求 lim 1 x x
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结束
1
例13
解
求 lim(cosx) x 0
1
x2
(1 )
常用的方法
1 x2
x 0 时， cos x 1
二.重要极限
1. 重要极限 sin x lim 1 x 0 x
2. 重要极限
1 1 e lim x x
x
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sin x 1. 重要极限 lim 1 x0 x 证 作一单位圆 ,
y
设 AOB x ,
2 从图中可看出: 先令 0 x
1 ( sin 1 是有界量 ) x
1 1 lim sin x x sin x 0 x x 1 1 lim sin x lim x sin 1 x 0 x x 0 x
解 (2)
1 sin 1 x 1 lim x sin lim x x 1 x x
再令 u t 1 , 则 t 时 , u , 且
1 1 lim 1 lim 1 x x u u
x
u
1 1 e u
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1 第三步：证明 lim 1 e x x
e
1 ( x)
k
( x ) 0
lim (1 k ( x) )
e
k
其中, k≠ 0 为常数.
( x) 0 表示在某极限过程中 ( x)的极限为零 .
( x) 表示在某极限过程中 ( x)的极限为 .
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例9
例10 例11 例12
3 求 lim 1 x x
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结束
1
例13
解
求 lim(cosx) x 0
1
x2
(1 )
常用的方法
1 x2
x 0 时， cos x 1
1.6极限存在准则 两个重要极限
1 x
)
x
1
2. (1 + 0 ) 趋势
( 1+ x )
∞
x ( 1+
1
3.
x
x
)
x
8
1 − cos x 例3 求 lim . 2 x→0 x
x 2 x 2 sin sin 1 2 = lim 2 解 原式 = lim x→0 x2 2 x →0 x 2 ( ) 2 x sin 1 2 )2 1 2 1 . = lim( = ⋅1 = x→0 x 2 2 2 2
sin x “配” 配 x
2. 三相同 3. x → 0
lim
x→0
sin x x
7
1 x lim(1 + x ) = lim(1 + ) = e x→0 x →∞ x
f ( x )g ( x ) 含
1 x
(1 + 0)∞ 的
型:
1. 倒数关系 ( 1+ x )
( 1+
1 x 1 x
方 法
“
(1+ x) , 1x (1+ ) x
13
思考题
1、求极限 、
x→+∞ →+∞ x→+∞ →+∞
lim 3 x + 9 x
(
)
1 x
答： lim 3 x + 9 x
(
)
1 x
= lim 9
x→+∞ →+∞ 1 x 3 3x ⋅ x
( )
x
1 x
1 + 1 x 3
1 x
1 = 9 ⋅ lim 1 + x x →+∞ 3
极限存在准则 两个重要极限
显然 xn+1 > xn , ∴ {xn } 是单调递增的 ;
12/19/2010 10:04 PM
1 1 1 1 2 n −1 xn = 1+ 1+ (1− ) +L+ (1− )(1− )L(1− ). 2! n n! n n n
n→∞
12/19/2010 10:04 PM
令 lim xn = A, 对递推公式
n→∞
xn = a + xn−1 的两边取极限
lim xn = lim a + xn−1 ⇒ 1 ± 1 + 4a 4a , A = a + A ⇒ A − A−a = 0⇒ A = 2
2
n→∞
n→∞
存在, 因为 xn > 0, 且 lim xn存在,则 lim xn = A ≥ 0,
类似地, 类似地,
xn +1 1 = 1 + n+1
n +1
1 1 = 1 + 1 + (1 − ) +L 2! n+1
1 1 2 n−1 )(1 − )L(1 − ) + (1 − n! n+1 n+1 n+1 1 1 2 n (1 − )(1 − )L(1 − ) + ( n + 1)! n+1 n+1 n+1
1 − cos x 1 = 1 ⋅ lim = . 2 x →0 2 x
12/19/2010 10:04 PM
sin 3 x . 例11 求 lim x →π tan 5 x 解 令x = π − t ⇒ t = π − x , 当x → π 时 ⇒ t → 0, 则 sin ( 3π − 3t ) sin 3 x lim = lim x →π tan 5 x t → 0 tan ( 5π − 5t )
12/19/2010 10:04 PM
1 1 1 1 2 n −1 xn = 1+ 1+ (1− ) +L+ (1− )(1− )L(1− ). 2! n n! n n n
n→∞
12/19/2010 10:04 PM
令 lim xn = A, 对递推公式
n→∞
xn = a + xn−1 的两边取极限
lim xn = lim a + xn−1 ⇒ 1 ± 1 + 4a 4a , A = a + A ⇒ A − A−a = 0⇒ A = 2
2
n→∞
n→∞
存在, 因为 xn > 0, 且 lim xn存在,则 lim xn = A ≥ 0,
类似地, 类似地,
xn +1 1 = 1 + n+1
n +1
1 1 = 1 + 1 + (1 − ) +L 2! n+1
1 1 2 n−1 )(1 − )L(1 − ) + (1 − n! n+1 n+1 n+1 1 1 2 n (1 − )(1 − )L(1 − ) + ( n + 1)! n+1 n+1 n+1
1 − cos x 1 = 1 ⋅ lim = . 2 x →0 2 x
12/19/2010 10:04 PM
sin 3 x . 例11 求 lim x →π tan 5 x 解 令x = π − t ⇒ t = π − x , 当x → π 时 ⇒ t → 0, 则 sin ( 3π − 3t ) sin 3 x lim = lim x →π tan 5 x t → 0 tan ( 5π − 5t )
两个极限存在准则和两个重要的极限
两个极限存在准则和两个重要的极限第一个极限存在准则是柯西-斯维亚切斯极限存在准则（Cauchy-Schwarz Limit Existence Criteria）。
其表述为：对于一个函数 f(x)，如果对于任意的ε>0，存在一个δ>0，使得当 0<，x-a，<δ 时，总有，f(x)-f(a)，<ε，则函数 f(x) 在点 a 处存在极限。
第二个极限存在准则是海涅定理（Heine's Theorem），也被称为局部有界性定理（Local Boundedness Theorem）。
其表述为：如果对于一个函数 f(x)，在点 a 的一些邻域内 f(x) 有界，即存在一个常数 M>0，使得对于所有的x∈(a-δ,a+δ) 有，f(x)，≤M，则函数 f(x) 在点 a 处存在极限。
这两个极限存在准则都用于判断函数在其中一点处的极限是否存在。
柯西-斯维亚切斯极限存在准则要求函数在该点的极限存在时，对于任意给定的ε>0，都能找到对应的δ>0，使得函数值与极限值的差小于ε。
而海涅定理则要求函数在该点附近有界，即函数在该点附近的函数值都不超过一些常数M。
这两个定理的应用范围和方法略有不同。
除了极限存在准则外，还有两个重要的极限：无穷小与无穷大。
无穷小是指极限趋近于零的数列或函数。
对于一个数列 {a_n}，如果对于任意的正数ε>0，存在正整数 N，使得当 n>N 时，有，a_n，<ε，则该数列是无穷小。
对于一个函数 f(x)，如果在其中一点 a 处，有lim(x→a) f(x)=0，则该函数在点 a 处是无穷小。
无穷大则是指极限趋于无穷的数列或函数。
对于一个数列 {a_n}，如果对于任意的正数 M>0，存在正整数 N，使得当 n>N 时，有，a_n，>M，则该数列是无穷大。
对于一个函数 f(x)，如果在其中一点 a 处，有lim(x→a) f(x)=∞（或表示为lim(x→a) ，f(x)，=∞），则该函数在点 a 处是无穷大。
1.4 极限存在准则与两个重要极限
( A) e −2; (C ) 0;
2
§1.4 极限存在准则与两个重要极限
思考练习
选择
1 ( 1) lim x sin = ( C ). x →∞ x ( A) ∞; ( B ) 不存在; (C ) 1; ( D ) 0.
（2）lim ( 1 − x ) ）
x →0 − 2 x
=（ D ）
( B ) ∞; ( D) e .
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U 准则Ⅰ′ 如果当 x ∈ ( x0 , δ 0 )(或 x > M )时,有 准则Ⅰ′
(1) g ( x ) ≤ f ( x ) ≤ h( x ), ( 2) x→ x g( x ) = A, x→ x h( x ) = A, lim lim
( x→∞ )
0
( x →∞ )
0
存在, 那么 lim f ( x )存在, 且等于 A.
§1.4 极限存在准则与两个重要极限
一、极限存在准则 二、两个重要极限
sin x lim =1 x→0 x
1n lim(1 + ) = e n→∞ n
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§1.4 极限存在准则与两个重要极限
一、极限存在准则
1.夹逼准则 1.夹逼准则
准则Ⅰ 满足下列条件: 准则Ⅰ 如果数列 x n , y n 及 z n 满足下列条件:
= e −2 .
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§1.4 极限存在准则与两个重要极限
例5
3− x x ) . 求 lim( x →∞ 2 − x
1 x 解 原式 = lim(1 + ) x →∞ 2− x
1 2− x 1 2 ) ⋅ (1 + ) = lim (1 + x →∞ 2− x 2− x
§1-7j极限存在准则与两个重要极限
, sin x 0 , sin x x tan x 2 sin x 1 1 cos x , x
得
1
x 1 , sin x cos x
1式 也 成 立 .
lim cos x 1
x 0
x 0
sin x 1. 由夹逼准则知 lim x
推广:
lim
sin
x 1 解 lim x x 1
x
x x x x lim ( ) ( ) 1 1 x x x 1 x 1 解 lim lim lim x 1 x e x x 1 x x x (1 ) lim x x x 1 x 1
n 2 2 2 2 2
解
存在 , 并求极限. 1 1 1 2 2 k 1,2, , n, 2 2 n k n2 12 n n 1 1 1 n 1 n 2 2 2 2 2 2 2 2 n 1 2n n n n 1 n 2 n n
12
t年末的本利和为
r mt Am (t ) A0 (1 ) m
若期数无限增大，即令 m , 则表示利息随时 计入本金，这样t年末本利和为
A(t ) lim Am (t ) lim A0 (1
m m
r mt ) m
r m rt = A0 lim (1 ) r A0 e rt m m
8
1 1 1 2. lim 1 e lim 1 e lim( 1 x ) x e n x x 0 n x
n
x
利用准则2,可以证明第二个重要极限
特点 1.幂指函数; 2.底数是1与无穷小量之和; 3.指数是无穷大量,且与底数中的无穷小量成倒数关系.
高数第-章极限存在准则两个重要极限PPT课件
2023
高数第-章极限存在准 则两个重要极限ppt 课件
https://
REPORTING
2023
目录
• 极限存在准则概述 • 第一个重要极限：夹逼准则 • 第二个重要极限：单调有界准则 • 极限存在准则的深入探讨 • 两个重要极限的拓展与应用 • 课程总结与回顾
2023
学习方法与技巧分享
深入理解概念
通过反复阅读教材和参考书籍，加深对极限存 在准则和两个重要极限的理解。
多做练习题
通过大量的练习题，熟练掌握求解函数极限的 方法和技巧。
归纳总结
及时归纳总结学习过程中的重点和难点，形成自己的知识体系。
下一步学习计划与建议
深入学习后续章节
在掌握本章知识点的基础上，继续深入学习后续章节，如导数、 微分等。
两个重要极限的引入
第一个重要极限
lim(sinx/x) = 1 (x->0)。
第二个重要极限
lim[(1 + 1/x)^x] = e (x->∞)。
引入原因
这两个极限在微积分学中具有重要地位，是求解许多复杂极限问题的基础。
应用举例
利用这两个重要极限可以求解诸如三角函数、指数函数、对数函数等的极限问题。
工程学
在工程学中，两个重要极限被用于分析和设计各 种工程结构，如桥梁、建筑、机械等，以确保其 稳定性和安全性。
经济学
在经济学中，两个重要极限被用于研究和分析市 场供需关系、价格变动等经济现象，为经济政策 制定提供理论支持。
两个重要极限的拓展形式
多元函数极限
将两个重要极限的概念拓展到多元函数，研 究多元函数在某一点或某一区域内的极限行 为。
2023
PART 03
高数第-章极限存在准 则两个重要极限ppt 课件
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REPORTING
2023
目录
• 极限存在准则概述 • 第一个重要极限：夹逼准则 • 第二个重要极限：单调有界准则 • 极限存在准则的深入探讨 • 两个重要极限的拓展与应用 • 课程总结与回顾
2023
学习方法与技巧分享
深入理解概念
通过反复阅读教材和参考书籍，加深对极限存 在准则和两个重要极限的理解。
多做练习题
通过大量的练习题，熟练掌握求解函数极限的 方法和技巧。
归纳总结
及时归纳总结学习过程中的重点和难点，形成自己的知识体系。
下一步学习计划与建议
深入学习后续章节
在掌握本章知识点的基础上，继续深入学习后续章节，如导数、 微分等。
两个重要极限的引入
第一个重要极限
lim(sinx/x) = 1 (x->0)。
第二个重要极限
lim[(1 + 1/x)^x] = e (x->∞)。
引入原因
这两个极限在微积分学中具有重要地位，是求解许多复杂极限问题的基础。
应用举例
利用这两个重要极限可以求解诸如三角函数、指数函数、对数函数等的极限问题。
工程学
在工程学中，两个重要极限被用于分析和设计各 种工程结构，如桥梁、建筑、机械等，以确保其 稳定性和安全性。
经济学
在经济学中，两个重要极限被用于研究和分析市 场供需关系、价格变动等经济现象，为经济政策 制定提供理论支持。
两个重要极限的拓展形式
多元函数极限
将两个重要极限的概念拓展到多元函数，研 究多元函数在某一点或某一区域内的极限行 为。
2023
PART 03
极限存在准则 两个重要极限
第二个重要极限：勇气极限
勇气极限是指我们所能承受的恐惧和心理压力的极 限。了解并逐步超越这个极限，可以使我们在挑战 中变得无所畏惧。
重要性说明
1 激发潜力
了解重要极限能激发我们 内在的潜力，鼓励我们尝 试新事物并突破自身的局 限。
2 规避风险
重要极限的认识有助于我 们规避风险，避免陷入危 险和不理智的决策中。
极限存在准则：两个重要 极限
在极限存在的世界里，我们要探讨两个重要极限：极限存在准则以及第一个 和第二个重要极限。让我们一同揭开生活中最极致的部分。
极限存在准则
1
什么是极限存在准则？
极限存在准则是指在一定条件下，存在着极限情况的规律和约束。它定义了事物 的极限状态和行为。
2
为什么极限存在准则重要？
3 追求卓越
超越重要极限是追求卓越 的关键一步，让我们不断 学习、成长和创新。
实际应用
运动训练
运动训练中，了解和超越个人身体极限是提高 体能和成绩的关键。
领导能力
领导者需要超越自身能力和局限，带领团队不 断创新和突破。
创业企业
创业企业需要超越市场的竞争和资源限制，寻 找新的商业机会和创新解决方案。
科学研究
科学研究需要不断突破知识和技术的边界，发 现未知领域和新的发现。
总结和结论
极限存在准则以及两个重要极限的认识，可以帮助我们更好地理解和应对生活中的极端情况和挑战。通过超越 这些极限，我们能够实现更高的成就和创造。
极限存在准则能帮助我们了解事物的极端表现和局限，提醒我们在决策和行动中 要注意避免超越这些极限。
3
应用领域
极限存在准则广泛应用于科学研究、工程设计、金融市场和人类行为等领域，在 寻找平衡和解决问题时发挥着关键作用。
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2
1 2
2
例6
求 lim sin x
x x
解 令 t x , 则 x 时, t 0
故 lim sin x lim sin(t )
x x t 0
t
lim sin t 1 t0 t
2. 重要极限
lim 1 x
1 x
x
e
1
lim(1 x)x e
x0
特别重要啊！
lim 1 x
xx0
xx0
2 0, 当 0 | x x0 | 2 时, | h(x) a | 当 0 | x x0 | 3 时, | g(x) a | . 即 a g(x) a .
取 min{1,2,3}, 则当 0 | x x0 | 时,
第二章 函数的极限与连续性
第六节 极限存在准则、 两个重要极限
一.夹逼定理 二.单调收敛准则
三.两个重要极限
一.夹逼定理
y
看懂后, 用精确地语言描述它.
y h(x)
y a
y f (x) y a y a
y g(x)
O
x0 x0 x0
x
函数极限的夹逼定理
定理
设 x Uˆ (x0, ) ( | x | X ) 时, 有
lim f (x) sup f (x) .
设在某极限过程中,函数 f (x)单调减少且有下界, 则在该极限过程中函数的极限存在 :
lim f (x) inf f (x) .
一般说成: 在某极限过程中,单调有界的函数必有极限.
二.重要极限
1. 重要极限 limsin x 1 x0 x
2. 重要极限
g(x) f (x) h(x) .
若 lim g(x) lim h(x) a , 则必有
x x0 ( x)
x x0 ( x)
lim f (x) a .
x x0 ( x)
证 只证 x x0 的情形 .
设 g(x) f (x) h(x) x U( x0,1) , 且
lim g(x) lim h(x) a , 则 0 ,
x0
lim sin x 1 x0 x
一般地 lim sin k(x) k (x)0 (x)
其中, k ≠0 为常数.
(x) 0 表示在某极限过程中(x)的极限为零.
例2
求 lim tan x x0 x
解 lim tan x lim sin x 1
x0 x
x0 x cosx
lim sin x lim 1 1 x0 x x0 cosx
a g(x) f (x) h(x) a ,
即 lim f (x) a . xx0
例1 解
证明: lim sin x 0. x0
由sin x的定义, 当0 x 时有
2
0 sin x x,
夹逼定理
而 lim x 0, 所以, lim sin x 0.
x0
x0
例2 解
2
22
2
故当 0 x 时, 1 x 1
2
sin x cos x
即有 cos x sin x 1, x
由sin x 与cos x 的奇偶性可知：
当 0 | x | 时 , cos x sin x 1 成立 .
2
x
由 limcos x 1, lim1 1 及夹逼定理 , 得
x0
1
21！1
1 n
31! 1
1 n
1
2 n
n1! 1
1 n
1
2 n
1
n
n
1
,
类似地, 有
xn1
1
1
n1
n 1
1
1
21！1
n
1
1
31! 1
n
1
11
n
2
1
n1! 1
n
1
11
n
2
1
然后看 y sin x 的图形. x
y
1
y sin x x
2
O
2
x
证 运用夹逼定理, 关键在于建立不等式.
作一单位圆 ,
y
设 AOB x ,
先令 0 x
2 从图中可看出:
AD
sin x tan x
x
1
O
Bx
AOB面积 扇形AOB面积 DOB面积
即 1 sin x 1 x 1 tan x (0 x ) .
1 x
x
e
1
lim(1 x)x e
x0
变量代换 y1 x
下面先证明
lim 1
1 x
e
x x
证明数列
1
1 n
n
收敛.
证 由中学的牛顿二项式展开公式
xn
1
1 n
n
1 n 1 1! n
n(n 2!
1)
1 n2
n(n
1)(n 3!
2)
1 n3
n(n
1)
(n n!
(n
1))
1 nn
1
例3
求 lim sin 5x
x0 x
解 lim sin 5x lim 5sin 5x
x0 x
x0 5x
5lim sin u 5 . (u 5x) u0 u
或直接用公式 lim sin a(x) a (a 0) : (x)0 (x)
limsin 5x 5 . x0 x
例4
求 lim sin 3(x a) xa x a
解 x a 时, (x) = x a 0 ,
故 lim sin 3(x a) 3.
xa x a
例5
求
lim
x0
1
cos x2
x
解
1 cosx
lim
x0
x2
lim
x0
2 s in 2 x2
x 2
1 sin 2 x lim 2 2
x0 x 2 2
1 2
lim x0
sin x
x 2
求
lim
x0
x
2 x
.
由取整函数的定义, 有
故当 x 0 时,
2 x
1
2 x
2 x
,
2 x x2x 2;
当 x 0 时, 2 x x2x 2,
夹逼定理
而
lim(2 x) 2,
x0
所以,
lim
x0
x 2x
2.
二.单调收敛准则
设在某极限过程中,函数 f (x)单调增加且有上界, 则在该极限过程中函数的极限存在 :
lim1 x
1 x
x
e
1. 重要极限 lim sin x 1 x0 x
首先看看在计算机上 进行的数值计算结果：
x 0
0.1 0.01 0.001 0.0001 0.00001 0.000001 0.0000001 0.00000001
sin x 1
x 0.9983341664682815475018 0.9999833334166664533527 0.9999998333333416367097 0.9999999983333334174773 0.9999999999833332209320 0.9999999999998333555240 1.0000000000000000000000