河北省定州市 高二数学下学期期末考试试题承智班

2016-2017学年第二学期高二数学承智班期末考试试题一、选择题1．已知复数a+bi=i(1-i)(其中a,b ∈R,i 是虚数单位),则a+b 的值为( ) (A)-2(B)-1 (C)0 (D)22．曲线y ＝x 3＋11在点P (1,12)处的切线与y 轴交点的纵坐标为 ( )． A ．－9 B ．－3 C ．9 D ．153．因为指数函数xa y =是增函数（大前提）,而x y )31(=是指数函数（小前提），所以x y )31(=是增函数（结论）”，上面推理的错误是 （ ） A ．大前提错导致结论错 B ．小前提错导致结论错C ．推理形式错导致结论错D ．大前提和小前提都错导致结论错 4．已知,2121dx x S ⎰=,1212dx xS ⎰= dx e S x ⎰=213，则S 1,S 2,S 3的大小关系为（ ）A. S 1＜S 2＜S 3 B ．S 2＜S 1＜S 3 C ． S 2＜S 3＜S 1 D ．. S 3＜S 2＜S 1 5．已知20π<<x ，则0sin 1<-x x 是0sin 1>-x x成立的( ) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 6．设随机变量X 服从正态分布N （0，1），P （X>1）= p,则P （X>－1）= （ ） A ．pB ．1－pC ．1－2pD ．2p7．正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为3，侧棱3231=AA ，D 是CB 延长线上一点，且BC BD =，则二面角B AD B --1的大小 （ ）A ．3π B ．6π C ．65π D ．32π 8．已知 215()sin(),'()42f x x x f x π=++为()f x 的导函数，则 '()y f x =的图象大致是（ ）9．《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？ ”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（ ） A.310π B. 320π C. 3110π- D. 3120π- 10．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A. 28+36+C. 36+44+11．某农场有如图所示的六块田地，现有萝卜、玉米、油菜三类蔬菜可种．为有利于作物生长，要求每块田地种一类蔬菜，每类蔬菜种两块田地，每行、每列的蔬菜种类各不相同，则不同的种植方法数为( ).A.12 B ．16 C ．18 D ．2412．若点A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线x y 22=的焦点，点M 在抛物线上移动时，MA MF +取得最小值的M 的坐标为（ ）A ．()6,3 B ．⎪⎭⎫⎝⎛1,21 C ．()2,1 D ．()2,2二、填空题13．某项游戏活动的奖励分成一、二、三等奖且相应获奖概率是以a 1为首项，公比为2的等比数列，相应资金是以700元为首项，公差为－140元的等差数列，则参与该游戏获得资金的期望为________元．14．5(21)x -的展开式中3x 项的系数是____________（用数字作答）.15．所有真约数（除本身之外的正约数）的和等于它本身的正整数叫做完全数． 如：6=123++；28=124714++++；496=1248163162124248++++++++．已经证明：若21n -是质数，则12(21)n n--是完全数，n *∈N .请写出一个四位完全数 ；又623=⨯，所以6的所有正约数之和可表示为(12)(13)+⋅+；22827=⨯，所以28的所有正约数之和可表示为2(122)(17)++⋅+；按此规律，496的所有正约数之和可表示为 ．16．点M 为正方体1111ABCD A BC D -的内切球O 球面上的动点，点N 为11B C 上一点，112,NB NC DM BN =⊥，若球O 的体积为，则动点M 的轨迹的长度为__________．三、解答题 17．已知集合{}()(){}2|230,,|220,,A x x x x R B x x m x m x R m R =--≤∈=-+--≤∈∈．（1）若{}|03AB x x =≤≤，求实数m 的值；（2）若R A C B ⊆，求实数m 的取值范围．18．如图，四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面A B C D ，底面A B C D 为梯形，//,2AB CD AB DC AC BD F ==⋂=，且PAD ∆与ABD ∆均为正三角形， G 为PAD ∆的重心.GF平面PDC；（1）求证：//（2）求平面AGC与平面PAB所成锐二面角的正切值.AQI小于100表19．如图是某市2017年3月1日至16日的空气质量指数趋势图，空气质量指数()示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月14日中的某一天到达该市.（1）若该人到达后停留2天（到达当日算1天)，求此人停留期间空气质量都是重度污染的概率；（2）若该人到达后停留3天(到达当日算1天〉，设X是此人停留期间空气重度污染的天数，求X 的分布列与数学期望.20．已知动圆C 过定点（1,0），且与直线1x =-相切. （1）求动圆圆心C 的轨迹方程；（2）设,A B 是轨迹C 上异于原点O 的两个不同点，直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和β,①当2παβ+=时，求证直线AB 恒过一定点M ；②若αβ+为定值(0)θθπ<<，直线AB 是否仍恒过一定点，若存在，试求出定点的坐标；若不存在，请说明理由.21．已知函数f(x)＝ln x －ax ＋1在x ＝2处的切线斜率为－12. (1)求实数a 的值及函数f(x)的单调区间；(2)设g(x)＝22x kx kx++，对∀x 1∈(0，＋∞)，∃x 2∈(－∞，0)使得f(x 1)≤g(x 2)成立，求正实数k 的取值范围；(3)证明：2ln 22 ＋2ln 33＋…＋2ln n n <()22141n n n --+(n ∈N *，n≥2)．22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中xOy 中，曲线C 的参数方程为{(2x acostt y sint==为参数，0a >）. 以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭.（1）设P 是曲线C 上的一个动点，当a =P 到直线l 的距离的最大值； （2）若曲线C 上所有的点均在直线l 的右下方，求a 的取值范围.答案 DCABC BAADB 11．A 12．D 13．500 14．8015．8128;234(12222)(131)++++⋅+16 17．（1）2=m ；（2）()(),35,-∞-+∞．{}{}|13,|22A x x B x m x m =-≤≤=-≤≤+，（1）由于{}|03AB x x =≤≤，则20m -=，∴2m =；（2）{}|22R C B x x m x m =<->+或， ∵R A C B ⊆，∴2321m m ->+<-或， ∴53m m ><-或， ∴m 的取值范围是()(),35,-∞-+∞．18．（1）见解析（2）811解：(1)连接AG 并延长交PD 于H ，连接CH .由梯形,//ABCD AB CD且2AB DC =，知21AF FC =，又G 为PAD ∆的重心， 21AG AF GH FC ∴==，故//GF HC .又HC ⊂平面,PCD GF ⊄平面,//PCD GF ∴平面PDC .(2)平面PAD ⊥平面,ABCD PAD ∆与ABD ∆均为正三角形，延长PG 交AD 的中点E ，连接,,,BE PE AD BE AD PE ∴⊥⊥∴⊥平面ABCD ，以E 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，)()()()()2,0,0,3,0,3,0,,0,0,1AB DC AP B D G ==∴，()()()3,0,1,3,3,0,3,0,3AG AB AP ∴=-=-=-，设()()()011,,,,,22C x y z DCAB x y z =∴=，可得000333,0,,0,,0222x y z C AC ⎛⎫⎛⎫===∴∴= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设平面PAB的一个法向量为()1111,,n x y z =，由11111130{{{30n A By x n A P z x ⊥-+==⇒⇒⊥+==，令11z =，得()13,1,1n =，同理可得平面AGC的一个法向量()11212123,5,3,cos ,5n n n n n n n ⋅=〈〉===⨯以平面AGC 与平面PAB 所成锐二面角的正切值为811. 19．（1）514（2）107解：设i A 表示事件“此人于3月i 日到达该市” ()1,2,...,14i =.依题意知， ()114i P A =，且()i j A A i j ⋂=∅≠.(1)设B 为事件“此人停留2天空气质量都是重度污染” ，则12121314B A A A A A =⋃⋃⋃⋃，所以()()()()()()12121314514P B P A P A P A P A P A =⋃⋃⋃⋃=，即此人停留2天空气质量都是重度污染的概率为514. (2)由题意可知，X 的所有可能取值为0,1,2,3，且()()()()()4894893014P X P A A A P A P A P A ==⋃⋃=++=， ()()()()()21114211143214P X P A A A P A P A P A ==⋃⋃=++=，()()()()()11213112133314P X P A A A P A P A P A ==⋃⋃=++=，()()()()333511023114141414P X P X P X P X ==-=-=-==---=，(或()()()()()()()3567103567105114P X P A A A A A P A P A P A P A P A ==⋃⋃⋃⋃=++++=)，所以X 的分布列为故X 的期望()3533100123141414147E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 20．（1）24y x =；（2）①参考解析，②4(4,)tan θ- (1)设动圆圆心M(x,y),依题意点M 的轨迹是以(1,0)为焦点,直线x=－1为准线的抛物线其方程为24y x =.(2)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2).由题意得x 1≠x 2(否则αβπ+=)且x 1x 2≠0,则4,4222211y x y x == 所以直线AB 的斜率存在,设直线AB 的方程为y=kx+b,则将y=kx+b 与y 2=4x 联立消去x,得ky 2－4y+4b=0由韦达定理得121244,b y y y y k k +==-------※ ①当βα+=2π时,tan tan 1αβ⋅=所以121212121,0y y x x y y x x ⋅=-=,所以y 1y 2=16,又由※知:y 1y 2=kb 4所以b=4k;因此直线AB 的方程可表示为y=kx+4k,所以直线AB 恒过定点(－4,0). ②当αβ+为定值(0)θθπ<<时.若βα+=2π,由①知, 直线AB 恒过定点M(－4,0)当2πθ≠时,由αβθ+=,得tan tan()θαβ=+=tan tan 1tan tan αβαβ+-=12124()16y y y y +- 将※式代入上式整理化简可得:4tan 4b k θ=-,所以44tan b k θ=+,此时,直线AB 的方程可表示为y=kx+44tan k θ+,所以直线AB 恒过定点4(4,)tan θ-所以当2πθ=时,直线AB 恒过定点(－4,0)., 当2πθ≠时直线AB 恒过定点4(4,)tan θ- 21．（1）即f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)．（2）k≥1（3）见解析(1)解 由已知得f′(x)＝1x －a ，∴f′(2)＝12－a ＝－12，解得a ＝1. 于是f′(x)＝1x －1＝1x x-， 当x ∈(0,1)时，f′(x)>0，f(x)为增函数，当x ∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)为减函数，即f (x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)．(2)解 由(1)知x 1∈(0，＋∞)，f(x 1)≤f(1)＝0，即f(x 1)的最大值为0，由题意知：对∀x 1∈(0，＋∞)，∃x 2∈(－∞，0)使得f(x 1)≤g(x 2)成立，只需f(x)max ≤g(x)max .∵g(x)＝22x kx k x ++＝x ＋k x ＋2k ＝－k x x ⎛⎫-+ ⎪-⎝⎭＋2k≤－2k ，∴只需－＋2k≥0，解得k≥1.(3)证明 要证明2ln 22＋2ln 33＋…＋22ln n n <()22141n n n --+(n ∈N *，n≥2)． 只需证22ln 22＋22ln 33＋…＋22ln n n <()22121n n n --+， 只需证22ln 22＋22ln 33＋…＋22ln n n <()22121n n n --+. 由(1)当x ∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)为减函数，f(x)＝ln x －x ＋1≤0，即ln x≤x－1，∴当n≥2时，ln n 2<n 2－1， 22ln n n <221n n -＝1－21n <1－()11n n +＝1－1n ＋11n +， 22ln 22＋22ln 33＋…＋22ln n n <111221⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭＋111331⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭＋…＋1111n n ⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭＝n －1－12＋11n +＝()22121n n n --+， ∴2ln 22 ＋2ln 33＋…＋2ln n n <()22141n n n --+.22．（1）2）(0,解：(1)由cos4πρθ⎛⎫+=-⎪⎝⎭，得)cos sinρθρθ-=-，化成直角坐标方程，得)2x y-=-l的方程为40x y-+=，依题意，设(),2sinP t t，则P到直线l的距离42c o s6d tπ⎛⎫===+⎪⎝⎭，当26t kππ+=，即2,6t k k Zππ=-∈时，maxd==故点P到直线l的距离的最大值为(2)因为曲线C上的所有点均在直线l的右下方，t∴∀∈R，cos2sin40a t t-+>恒成立，即()4tϕ+-（其中2tanaϕ=）恒成立，4<，又0a>，解得0a<<故a取值范围为(0,.。