极限的运算法则
大学高数极限运算法则
1.极限法则：极限是一个数列取极限值的概念，它表示一个数包含在另一个数中时，前者的值趋于后者。
2.链式法则：链式法则是极限的一种计算方法，即从一个已知限的出发，由此推出另外一个极限。
3.运算法则：
（1）可积性法则：假设函数有连续的极限，则在极限中乘以另外一个函数后再求极限，则取得的极限结果等于先求出两个函数的极限再相乘；
（2）可逆性法则：假设函数有连续的极限，则在极限中除以另外一个函数后再求极限，则取得的极限结果等于先求出两个函数的极限再相除；
（3）可幂次性：假设对函数求极限，则取出的极限结果等于该函数的幂次方的极限。
极限的运算法则及计算方法
极限的运算法则及计算方法极限是微积分中的一个重要概念，用于研究函数在接近其中一点时的趋势。
在许多情况下，计算极限可以通过应用一些运算法则来简化。
本文将介绍极限的运算法则以及一些常用的计算方法。
一、极限的四则运算法则1. 乘法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在，则(f(x) * g(x))的极限等于f(x)的极限乘以g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) * g(x)] = lim(x→a) f(x) * lim(x→a) g(x)。
2. 除法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在且g(x)不等于0，则(f(x) / g(x))的极限等于f(x)的极限除以g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) / g(x)] = lim(x→a) f(x) / lim(x→a) g(x)。
3. 加法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在，则(f(x) + g(x))的极限等于f(x)的极限加上g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) + g(x)] = lim(x→a) f(x) + lim(x→a) g(x)。
4. 减法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在，则(f(x) - g(x))的极限等于f(x)的极限减去g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) - g(x)] = lim(x→a) f(x) - lim(x→a) g(x)。
二、极限的乘方法则1. 幂函数法则：对于任意正整数n，如果函数f(x)的极限存在，则(f(x)^n)的极限等于f(x)的极限的n次方，即lim(x→a) [f(x)^n] = [lim(x→a) f(x)]^n。
2. 平方根法则：如果函数f(x)的极限存在且大于等于0，则√[f(x)]的极限等于f(x)的极限的平方根，即lim(x→a) √[f(x)] =√[lim(x→a) f(x)]。
三、特殊函数的极限计算法则1. 三角函数：常见的三角函数包括正弦函数sin(x)、余弦函数cos(x)和正切函数tan(x)等。
极限运算法则
但在点 x0 的某去心邻域内 ϕ ( x ) ≠ a，又 lim f ( u) = A，
u→ a
时的极限也存在， 则复合函数 f [ϕ ( x )] 当 x → x0 时的极限也存在，且
x → x0
lim f [ϕ ( x )] = lim f ( u) = A.
u→ a
意义： 意义：
x → x0
第六节
极限运算法则
1、极限运算法则 、 2、求极限方法举例 、
一、极限运算法则
定理 设lim f ( x) = A, lim g( x) = B,则
(1) lim[ f ( x) ± g( x)] = A ± B; (2) lim[ f ( x) ⋅ g( x)] = A⋅ B; f ( x) A (3) lim = , 其中B ≠ 0. g( x) B
证 Q lim f ( x ) = A, lim g ( x ) = B .
∴ f ( x ) = A + α,
g ( x ) = B + β. 其中α → 0, β → 0.
由无穷小运算法则,得 由无穷小运算法则 得
[ f ( x ) ± g ( x )] − ( A ± B ) = α ± β → 0. ∴ (1)成立. [ f ( x ) ⋅ g ( x )] − ( A ⋅ B ) = ( A + α )( B + β ) − AB = ( Aβ + Bα ) + αβ → 0.
2 x→2
= (lim x ) 2 − 3 lim x + lim 5
x→2 x→2 x→2
= 2 2 − 3 ⋅ 2 + 5 = 3 ≠ 0,
lim x − lim 1 x −1 23 − 1 7 x→2 x→2 = ∴ lim 2 = . = 2 x→2 x − 3 x + 5 3 lim( x − 3 x + 5) 3
极限运算法则
参与四则运算的各项的极限都存在！
定理 5. 若lim f (x) A，lim g(x) B，且 f (x) g(x)， 则 A B.
7
例1求
lim
x2
x2
x3 1 3x
5
.解：原式 Fra biblioteklim(x3 1)
x2
7
lim(x2 3x 5) 3
x2
结论 2：设有理分式函数 R(x) P(x) ，其中P(x)，Q(x) Q(x)
x x 2 1 x
x
1
1 x2
1
2
解法 2: 令 t 1 ，则 x 时，t 0 x
原式= lim 1
t t 0
1 t2
1
1 t
lim t0
1 t2 1 t2
lim 1 1 t0 1 t 2 1 2
倒代换
16
练习
1 x 1 x lim x0 3 1 x 3 1 x
2
1
2
lim
结论 1：设 n次多项式 Pn (x) a0 a1x an xn，
则 lim x x0
Pn
(x)
Pn
(
x0
).
6
定理 4.
若
lim
n
xn
A，lim n
yn
B ，则
(1)
lim(
n
xn
yn )
A
B;
(2)
lim
n
xn
yn
AB;
(3)
当 yn
0且 B
0时， lim n
xn yn
A. B
注：极限的四则运算法则成立的条件为：
x0
(1
极限的运算法则
lim(
n
1 n2
2 n2
n n2
)
lim
n
1
2
n2
n
1 n(n 1)
lim 2 n
n2
1 2
lim(1
n
n1 )
1. 2
目录
小结
------极限求法;
1.多项式与分母不为零的分式函数代入法求极限;
2.利用无穷小与无穷大的关系求 A型极限;
0
0
3.消去零因子法求 0极限;
4.分子分母同除以x的最高次方法求 (x 型) 极限; 5.通分法求 极限;
0
则来计算的极限
目录
*求未定式极限方法举例、练习 1. 0 型有理式 0
约零因子法（因 式分解）
方法：分子分母分解因式，消去使他们趋于
零的公因子
( 0型) 0
解
目录
x2 9 lim x3 x 3
解 分析：因为 lim（x2 9） 0，lim（x 3） 0.
x3
x3
lim x2 9 lim ( x 3)( x 3) lim( x 3) 6
lim[c f (x)] c lim f (x) （c为常数）
特例2：推广到有限个函数的积
3、除法法则: 商的极限等于极限的商
lim
f (x) g( x)
lim f (x)
lim g(x)
A B
（B 0）
小 结: 函数的和、差、积、商的极限等于函数极限
的和、差、积、商
目录
(1)和函数的极限等于极限的和. (2)积函数的极限等于极限的乘积. (3)商函数的极限等于极限的商(分母不为零).
lim
x
2 3
极限运算法则
= 2 2 − 3 ⋅ 2 + 5 = 3 ≠ 0,
lim x − lim 1 x −1 23 − 1 7 x→2 x→2 = ∴ lim 2 = . = 2 x→2 x − 3 x + 5 3 lim( x − 3 x + 5) 3 x→2
3
3
4x − 1 . 例2 求 lim 2 x →1 x + 2 x − 3
lim [ f ( x ) ⋅ g ( x )] = lim f ( x ) ⋅ lim g ( x )
x → x0 x → x0
x → x0
lim kf ( x ) = k lim f ( x )
x → x0
（k为常 数）
3) 当 lim g ( x ) ≠ 0 时，
x → x0
f ( x) lim = lim f ( x ) / lim g ( x ). x → x0 g ( x ) x → x0 x → x0
( x 2 + 2 x − 3) = 0, x − 1) = 3 ≠ 0,
x →1
x2 + 2x − 3 0 ∴ lim = = 0. x →1 4x − 1 3
∴ lim 4x − 1 x + 2x − 3
2 x →1
= ∞.
小结: 1. 设 f ( x ) = a 0 x n + a1 x n −1 +
=
u→ B ln A
lim e u = e B ln A = A B .
极限存在准则、两个重要极限
极限存在准则 两个重要极限
1、极限存在准则
数列极限的夹挤准则
准则Ⅰ 如果数列 x n , y n 及 z n 满足下列条件:
极限的 运算法则
x
1
3
2 2
1
1 3
．
x1
x1
x1
结论 一般地，当有理分式函数中分母的极限不为零时，有理分式在 x0 处的极 限也等于其在 x0 处的函数值．
1.1 极限的四则运算法则
例3
求
lim
x1
4x 3 x2 3x
2
．
解 因为分母的极限 lim(x2 3x 2) 12 31 2 0 ，故不能直接用商的极限 x1
lim
xx0
(a0
xn
a1xn1
an1x an ) a0 x0n a1x0n1
an1x0 an ．
1.1 极限的四则运算法则
例2
求
lim
x1
3x2
2x 2x
1
．
解 这里分母的极限不为零，故
lim
x1
3x2
2x 2x
1
lim 2x
x1
lim(3x2 2x
1)
3lim
2lim x x1
a1 x n 1 b1 x m 1
0， n m ，
an bm
a0 b0
，
n m ，（其中 a0 0 ，b0 0
， n m ，
1.1 极限的四则运算法则
例9
求
lim
n
2n 2n1
5n 5n1
．
解 当 n 时，分子、分母都是无穷大，故不能直接用商的极限法则，但可 以将分子、分母同除以 5n ，再利用极限四则运算法则计算．
高等数学
极限的运算法则
本节讨论极限的求法，主要是建立极限的四则运算法则和复合函数 的极限运算法则，利用这些法则，可以求某些函数的极限．以后我们 还将介绍求极限的其他方法．
极限四则运算法则
DOCS SMART CREATE
极限四则运算法则
DOCS
01
极限四则运算的基本概念
极限的定义与性质
极限的定义
• 数列极限：当自变量趋向某一值时，数列的项趋向另一值
• 函数极限：当自变量趋向某一值时，函数的值趋向另一值
极限的性质
• 极限存在唯一性：如果一个函数在某个点存在极限，那么这个极限是唯一的
DOCS
间接法求解极限的步骤
• 通过已知条件和极限的性质，间接求出极限的值
• 分析已知条件，找出与极限相关的表达式
• 根据极限的性质，将表达式变形
• 求出极限的值
无穷小量与无穷大量在极限运算中的应用
无穷小量的概念
• 当自变量趋向某一值时，函数值趋向于0，但永远无法等于0
无穷大量的概念
• 当自变量趋向某一值时，函数值趋向于无穷大，但永远无法等于无穷
• 将复杂的极限问题转化为导数问题
过求导数的方法求解极限
• 通过洛必达法则求解极限，简化运算过程
对数函数与指数函数在极限运算中的技巧
对数函数与指数函数在极限运算中的性质
• 对数函数的极限：当自变量趋向于无穷大时，对数函数的极限等于无穷小量
• 指数函数的极限：当自变量趋向于无穷大时，指数函数的极限等于无穷大量
对数函数与指数函数在极限运算中的应用
• 利用对数函数和指数函数的性质，简化极限运算
• 通过变换函数形式，将复杂的极限问题转化为简单的极限问题
04
极限四则运算的案例分析
连续函数与间断函数的极限分析
连续函数的极限分析
断续函数的极限分析
• 连续函数在一点的极限等于函数在该点的值
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极限的运算法则
目的要求
1．掌握数列极限与函数极限的运算法则。
2．能运用极限的运算法则，求出较复杂的函数和数列的极限。
3．让学生体验“化归”、“类比”的数学思想方法。
内容分析
1．简单的函数极限可以从函数值的变化趋势中找出，但较为复杂的函数极限，就必须把它“化归”为简单的函数的极限，通过运算而得出。
因此，极限的运算法则是我们实现化繁为简的基本手段。
2．教科书中给出了0x x →时，函数f （x ）极限的四则运算法则，我们类似地可以给出当x →∞时，函数f(x)极限的运算法则，即
如果极限)(lim x f x ∞→与)(lim x g x ∞
→都存在，那么 )()(x g x f ±，)()(x g x f ⋅，)
()(x g x f （当x →∞时）的极限也存在，并且 )(lim )(lim )]()([lim x g x f x g x f x x x ∞→∞
→∞→±=±， )(lim )(lim )]()([lim x g x f x g x f x x x ∞
→∞→∞→⋅=⋅， )0)(lim ()(lim )(lim )()(lim ≠=∞
→∞
→∞→∞→x g x g x f x g x f x x x x 。
这些法则，可用类比的方法，直接改变式中的0x x →为x →∞而得出，以便学生理解记忆。
3．对于函数极限的运算法则，教科书只给出结论，不要求证明。
4．在上一节课中，已经给学生讲述了数列与函数的关系，即把数列看成是特殊的函数，根据演绎推理，很自然地得出数列的极限运算法则。
进一步地令C b n =（C 为常数），则可推得：n n n n a C a C ∞
→∞→⋅=⋅lim )(lim 。
5．极限运算法则可以推广到有限多个数列的情况，让学生感受数学思维的一般规律，养成从特殊到一般，从具体到抽象的归纳思维习惯。
6．教科书中的例1~例5，共包含了0x x →与x →∞两类极限的计算问题。
其中，0x x →的函数f （x ）的极限计算时，分f(x)在0x x =处有定义和无定义的两种（例1、例2是有定
义的；例3是无定义的），另一类x →∞时的函数极限也有两种；一种是每项的极限都存在，可以直接用运算法则而求出的，另一种必须对原来的函数进行恒等变形转化为第一种（例4、例5）。
无论是哪一种，它都体现了一种化繁为简，化难为易的基本思想。
教学过程
1．导入新课 ①提出问题：函数1
13)(22+-+=x x x x f ，当x →∞时，你能否直接看出函数值的变化趋势？
②接着提问：怎么办？怎样才能把问题转化为已知能求的函数极限？转化的数学方法与依据是什么？
③导出课题：极限的运算法则。
2．给出0x x →的极限运算法则
①用多媒体展示法则的表达式与文字叙述。
②强调法则运用的条件：)(lim 0x f x x →、)(lim 0
x g x x →都必须存在。
③当C 为常数、n 是正整数时，从第二个式子推出：
)(lim )]([lim 0
0x f C x f C x x x x →→⋅=⋅ n x x n x x x f x f )](lim [)]([lim 0
0→→=
3．把展示出来的法则的表达式中的0x x →用x →∞替换，并指出式子仍然成立（用多媒体手段直接在原式上更换）
4．分析讲解例题
例1与例2是同一种类型，当0x x =时，f(x)有定义，学生比较容易掌握。
例3中的f(x)在0x x =处无定义，必须通过代数变形才能达到目的。
例4、例5都是当x →∞时，分子、分母都没有极限的情况，不能直接运用运算法则，只有帮助学生寻找代数变形的规律与方法，化未知为已知，创造运用法则的条件，才能解决问题。
5．利用数列与函数的关系，直接推出数列极限的运算法则（用多媒体技术，直接把表达式中的f(x)、g(x)分别改成n a 、n b 把x →∞改成n →∞）
6．提出问题：能否把法则推广到有限多个数列的情况？如果有无限多个数列，法则是否仍然成立？
让学生对上述问题进行讨论，并各举实例，如
个
n n n n )11(lim ++∞→的极限情况研究。
7．课堂训练
①学生板演例6、例7、例8。
②学生口答52P 练习。
③学生笔算53P 练习。
8．归纳总结（学生回答下列问题）
①概述极限的运算法则。
②数列的极限计算分几类？具体解决问题的方法如何？
③函数的极限计算分哪几类？如何解决？
布置作业
教科书习题2.2第3题、第6题、第7题。
思考题：求下列式子的极限。
（1）)0,0*,(lim 01110111≠≠∈++++++++----∞→n n n n n n n n x b a N n b x b x
b x b a x a x a x a ππ （2）*),,0,0(lim 0
1110111N t s b a b n b n b n b a n a n a n a t s t t t t s s s s n ∈≠≠+++-++++----∞→
（孙惠华）。