无穷大与无穷小,极限的四则运算
第四节 极限运算法则
( C 为常数 ) ( n 为正整数 ) 试证
例2. 设 n 次多项式 lim Pn ( x) = Pn ( x0 ).
x→x0
证: lim P ( x) = n
x→x0
定理 5 . 若lim f ( x) = A, lim g( x) = B , 且 B≠0 , 则有
证: 因 lim f ( x) = A, lim g( x) = B , 有
f ( x) = A + α , g( x) = B + β , 其中α , β 为无穷小
设
A+ A+ α A 1 (Bα − Aβ ) = − = B + β B B(B + β ) 无穷小
有界
γ 为无穷小 f ( x) = A + γ 因此 为无穷小,
1 1 limarcsin x⋅sin = lim x⋅sin = 0 x→0 x x→0 x
tan x − sin x 例1. 求 lim . 3 x→0 → x
解: 原式
x− x 原式 = lim 3 x→0 x
x⋅ 1 x2 = lim 23 x→0 x
(1 + x ) − 1 . 例2. 求 lim x→0 cos x − 1
2
2
例6 . 求 解: 时, 分母 分子 “ 抓大头” 抓大头”
分子分母同除以 x2 , 则 4− 31 + 9 1 x x2 原式 = lim x→∞ 5+ 21 − 1 x x2
一般有如下结果： 一般有如下结果：
lim
x→∞
a0 xm + a1 xm−1 + L+ am
无穷大与无穷小极限运算法则(2)
1.什么是传统机械按键设计？
传统的机械按键设计是需要手动按压按键触动 PCBA上的开关按键来实现功能的一种设计方式。
传统机械按键结构 层图：
按
PCB
键
A
开关 键
传统机械按键设计要点： 1.合理的选择按键的类 型，尽量选择平头类的 按键，以防按键下陷。 2.开关按键和塑胶按键 设计间隙建议留 0.05~0.1mm，以防按键 死键。 3.要考虑成型工艺，合 理计算累积公差，以防
1) n
1. 2
9
定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
证 设函数u在U 0 ( x0 , 1 )内有界，
则M 0, 1 0,使得当0 x x0 1时 恒有u M.
又设是当x x0时的无穷小,
0, 2
0,使得当0
x
x0
时
2
恒有 . M
10
取 min{1 ,2 }, 则当 0 x x0 时, 恒有 u u M ,
1 B(B
)
2 B2
,
有界，
(3)成立.
注 ①此定理对于数列同样成立
②此定理证明的基本原则：
lim f ( x) A f ( x) A ( x)
③(1),(2)可推广到任意有限个具有极限的函数
④ (2)有两个重要的推论
23
推论1 如果lim f ( x)存在,而c为常数,则
lim[cf ( x)] c lim f ( x).
常数因子可以提到极限记号外面.
推论2 如果lim f ( x)存在,而n是正整数,则
lim[ f ( x)]n [lim f ( x)]n .
⑤定理的条件： lim f ( x),lim g( x) 存在
极限的6种运算方法有哪些
极限的6种运算方法有哪些极限运算是微积分中一个重要的概念，用于描述函数在某个点趋近于一个特定值时的行为。
在微积分中，我们通常使用符号"lim"表示极限运算，其中lim表示极限，而x表示自变量，a表示函数趋近的值。
极限运算有多种不同的方法和技巧，下面将介绍六种常见的极限运算方法以及它们的应用场景。
1. 代入法：代入法是一种最基本的极限运算方法，它适用于一些简单的函数，可以直接将自变量的值代入到极限表达式中，计算出函数在该点的极限值。
例如，计算函数f(x) = x²在x = 2的极限值，可以将x = 2代入到函数中，得到f(2) = 2²= 4。
2. 四则运算法：四则运算法是一种常见的极限运算方法，它适用于可以通过四则运算得到的函数。
对于一个由多个函数通过加减乘除组合而成的复合函数，可以通过将每个函数的极限运算分别进行，并利用加法、减法、乘法和除法的性质，计算得到整个函数在某个点的极限值。
3. 复合函数法：复合函数法是一种适用于复合函数的极限运算方法。
对于一个复合函数，可以先计算内部函数的极限值，然后再计算外部函数的极限值。
通过逐层计算，最终可以得到整个复合函数在某个点的极限值。
4. 代入无穷法：代入无穷法是一种适用于函数趋向于无穷大或无穷小的极限运算方法。
当函数在某个点趋势无穷大或无穷小时，可以将无穷代入到函数中，计算函数在无穷处的极限值。
例如，计算函数f(x) = 1/x在x趋向于无穷大时的极限值，可以将x替换为无穷大，得到f(∞) = 1/∞= 0。
5. 夹逼定理：夹逼定理是一种适用于函数无法直接计算极限的方法，它适用于通过找到两个函数，其中一个函数的极限值小于待求函数的极限值，另一个函数的极限值大于待求函数的极限值。
通过夹逼定理，可以确定待求函数的极限值。
夹逼定理在计算一些复杂的极限时非常有用，例如计算正弦函数和余弦函数的极限值。
6. 等价无穷小替换法：等价无穷小替换法是一种适用于一些函数在某个点的极限值难以计算的情况下的方法。
四、五节 无穷小与无穷大极限运算法则
特殊情形：正无穷大，负无穷大． 特殊情形：正无穷大，负无穷大．
x → x0 ( x→∞ )
lim f ( x ) = +∞ (或 lim f ( x ) = −∞ )
x → x0 ( x→∞ )
注意 （1）无穷大是变量 不是一个很大的数，它能大于任 不是一个很大的数， ）无穷大是变量,不是一个很大的数 意大的数; 意大的数
0
x−3 例3 求 lim 2 x →3 x − 9
B、x -->∞ 时求函数极限 、
例4
2x − 3 求 lim 2 x →1 x − 5 x + 4
3x3 + 4 x2 + 2 例5 求 lim 3 x→∞ 7 x + 5 x2 − 3
3 x2 − 2 x − 1 例6 求 lim 3 2 x→∞ 2x − x + 5
极限的四则运算法则
定理
设 lim f ( x) = A, lim g( x) = B, 则 (1) lim f ( x) ± g( x)] = A± B; [ (2) lim f ( x) ⋅ g( x)] = A⋅ B; [ f ( x) A (3) lim B = , 其中 ≠ 0. g( x) B
第五节 极限的运算法则
本节讲述极限的四则运算法则。为此先介绍两个定理。 定理1：有限个无穷小的和还是无穷小。 有限个无穷小的和还是无穷小 定理 有限个无穷小的和还是无穷小 定理2：有界函数与无穷小的乘积是无穷小。 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 定理 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 推论1：常数与无穷小的乘积是无穷小。 常数与无穷小的乘积是无穷小 推论 常数与无穷小的乘积是无穷小 （常数是有界的） 推论2：有限个无穷小的乘积是无穷小。 有限个无穷小的乘积是无穷小 推论 有限个无穷小的乘积是无穷小 （无穷小是有界的）
D1-4=1=无穷大与无穷小 极限运算法则
无穷小因子析出法
解 x 时, 分子,分母的极限均为无穷大.
3 x 方 法 先用 去除分子分母, 分出无穷小,
无穷小分出法 求有理函数当 x 的极限时, 先将分子、分母同除以x 的最高次幂, 以分出 无穷小, 再求极限.
3 2 1 2 3 3x 2x 1 0 x x x lim 3 lim 0. x x 3 x 5 x 3 5 1 1 2 3 x x
④ (2)有两个重要的推论
推论1 如果 lim f ( x )存在, 而c为常数, 则
lim[cf ( x )] c lim f ( x ).
常数因子可以提到极限记号外面. 推论2 如果 lim f ( x )存在, 而n是正整数, 则
lim[ f ( x )]n [lim f ( x )]n .
取 min{ 1 , 2 }, 则当 0 x x0 时, 恒有 u u M , M 当x x0时, u 为无穷小.
推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘 积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.
推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.
x x0
f ( x ) A ( x ).
充分性 设 f ( x ) A ( x ),
其中 ( x )是当x x0时的无穷小 ,
则 lim f ( x ) lim ( A ( x )) A lim ( x ) A.
x x0 x x0
x x0
取 N max{ N 1 , N 2 }, 当 x N时, 恒有 , 2 2 0 ( x )
无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.
1-5 极限运算法则
思考： 思考：
不存在， 若 lim f ( x ) = a ≠ 0, lim g ( x )不存在，问 lim f ( x ) g ( x ) 是否存在？ 是否存在？
解 设 lim f ( x ) g( x )存在且为 b, lim f ( x ) g ( x ) b 则 lim g ( x ) = = lim f ( x ) a
lim f [φ(x)] = lim f (u) = A
u→ ∞
意义： x→ x0 f [ g ( x )] 意义： lim →
令u= g(x) =
u0 = limg(x)
x→ 0 →x
u→u0 →
lim f ( u)
例 求 提示: 提示 令
x −3 u= 2 x −9
例 求 方法1 提示 方法 令 u= x , 则 limu =1,
① 证: lim f ( u) = A u→ a
∀ > 0, ∃η > 0,当 0 < u−a <η ε 时, 有 f (u) − A < ε
取 δ = m { δ1 , δ2} , 则当 0 < x − x <δ 时 in 0 0 < φ(x) −a = u−a <η − = f (u) − A < ε , 因此①式成立 故 因此①式成立.
解
2x3 − x2 + 5 lim 2 = ∞. x →∞ 3 x − 2 x − 1
小结: 小结:当a 0 ≠ 0, b0 ≠ 0, m 和n为非负整数时有
a0 b ,当n = m , m m −1 0 a0 x + a1 x + L + am lim = 0, 当 n > m , n n −1 x →∞ b x + b x + L + bn 0 1 ∞ , 当n < m ,
无穷小与无穷大、极限的四则运算与复合函数的极限.ppt
1 1 3 2 2 3 4 3 2 x 3 x 4 3 2 2x 3x 4 ①lim 3 ; x x 但又 x 5x 6x 7 3 1 1 5x 6x 7 56 2 3 x x 1 而 lim n 0 ( n 1 , 2 , 3 ) x x 运用极限的和、商运算 法则，立即可得： 1 1 2 3 4 3 3 2 2x 3x 4 2 x x lim lim 3 x 5 x 6 x 7 x 1 1 5 56 2 3 2019/3/21 x x
n n 1 ②设 P ( x ) a x a x a xa ，则： n n n 1 1 0 x x 0
lim P ( x ) P ( x ) 。 ( 其中 n Z ,a 为常数 ) n n 0 n
解①：
lim x x 0
x x 0 x x 0
证明：①由极限的四则 运算法则，立得； ②设 lim ( x ) 0 , f ( x ) 是有界量，即：
x x0
M 0 , x | f ( x ) | M ; 0 , 1 0 , 使得：当 则： 对于正数 0 | x x 0 | 1时，| ( x ) |
2019/3/21
x 1
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结束
运用四则运算求极限的例子（续2） 例5： 求极限：③ lim (x 1 x ) 。
x
解③： 原式
lim
x
lim lim
x
x
x 1 x ( x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 1 x 1 1 1 x
M
第2周：函数的极限、无穷大与无穷小、极限四则运算法则
x x
。 y sin x x
lim x 2 sin 1
x0
x
3.在自变量的同一变化过程中,
若
为无穷大, 则 1 为无穷小 ;
f (x)
若
为无穷小, 且
f
(x)
0, 则
1 f (x)
为无穷大。
x
5.定理：x 时y=f (x)的极限存在的充要条件是 x 和 x 时的极限都存在且相等。
即：lim f (x) A lim f (x) lim f (x) A
x
x
x
例：观察图形判断以下极限是否存在：
lim ex 不存在， lim ex 0, lim ex 不存在
x x0
3.以上法则，对于 x 等情形也同样成立。
例：lim x2
2x2 x x2 4
2
注1：求初等函数在x x0 时的极限，如果把 x x0 代入函数有意义，则函数值就是极限值。
例：lim x3
x2
3x 2x
4 15
注2：运用无穷小与无穷大的关系求极限。
例如: lim 1 x0 x
Байду номын сангаас
lim(2x2 1)
x
注：1.说一个函数是无穷小（大）量需说明x变化
趋势。
2.无穷小（大）量表示的是函数的一种变化趋势，
而不是一个很小（大）的数。
问题：零是无穷小量吗？ 是（特例）
3.无穷大量的极限并不存在，lim f (x) 只是
一个记号而已。
x
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第 4 次课 2 学时§1.5 无穷小与无穷大一、无穷小若)(x f 当0x x →（或x →∞）时的极限为零，就称)(x f 为当0x x →（或x →∞）时的无穷小，即有定义1：对,0>∀ε若)0(0>>∃X δ，使得当00()x x x X δ<-<>时，有ε<)(x f 成立，就称)(x f 为当0()x x x →→∞时的无穷小，记为0lim ()0(lim ()0)x x x f x f x →→∞==，。
注⑴：除上两种之外，还有0,0,,00+→-→+∞→-∞→x x x x x x 的情形。
⑵：无穷小不是一个数，而是一个特殊的函数（极限为0），不要将其与一个绝对值非常小的数混淆，因为任一常数不可能任意地小，除非是0，即0是唯一可作为无穷小的常数。
【例1】 因为0422)42(lim 2=-⨯=-→x x ，所以42-x 当2→x 时为无穷小；同理：0sin lim=∞→x x x ，所以xxsin 当∞→x 时为无穷小， 定理1：当自变量在同一变化过程0x x →（或∞→x ）中，（i ）具有极限的函数等于其极限值与一个无穷小之和，即：A 为)(x f 的极限()()0(),0,()f x A x x x xx αα⇔=+→→→∞其中或。
（ii ）若一函数可表示为一常数与无穷小之和，那么该常数就是其极限。
()()()()()00000lim (),0,0,().(),)().().(),()0())lim ()..x x x x f x A x x f x A f x A x x x f x A f x A x f x A x x x x f x A x x x f x A εδδεααεαααααεδ→→=∀>∃>-<-<=-→=-<→=+=+→→-=<-<=0证明：若则对使得当 0<时有令x 显然当时，（故当x x 时,x 为无穷小，且 反之，设 ，则可使（在0<时成立，故二、无穷大若当0x x →或∞→x 时∞→)(x f ，就称)(x f 为当0x x →或∞→x 时的无穷大。
定义2：若对)0(0,0>>∃>∀X M δ，使得当)(00X x x x ><-<δ时，有Mx f >)(，就称)(x f 当)(0∞→→x x x 时的无穷大，记作:))(lim ()(lim 0∞=∞=∞→→x f x f x x x 。
注⑴：同理还有+∞→-∞→)(,)(x f x f 时的定义。
⑵：无穷大也不是一个数，不要将其与非常大的数混淆。
⑶：若∞=→)(lim 0x f x x 或∞=∞→)(lim x f x ，按通常意义讲，)(x f 的极限不存在。
【例2】 可证明∞=→201limx x ，所以当0→x 时21x 为无穷大。
曲线的渐近线：一般地，若lim (),x f x c y c →∞==则是曲线y=f(x)的一条水平渐近线。
若00lim (),x x f x x x →=∞=则是曲线y=f(x)的一条垂直渐近线。
定理2：当自变量在同一变化过程中时， （i ）若)(x f 为无穷大，则)(1x f 为无穷小。
（ii ）若)(x f 为无穷小，且0)(≠x f ，则)(1x f 为无穷大。
（证明略）§1.6 极限运算法则定理1：有限个无穷小的和仍为无穷小，即设0)lim(0lim ,0lim =+⇒==βαβα. 证明：考虑两个无穷小的情形。
设0x x →时 ,αβ均为无穷小。
0,γαβε=+∀>，则1010,0,02 2.x x εεδδα>∃><-<<对于当时，有2020,0 2.x x εδδβ∃><-<<同理，当时，有1022.22x x εεδδδδαβεεγαβαβεγ-<<=+≤+<+=2取=min{,}， 则当0<<时,,同时成立.故也是无穷小。
注：可以推广到有限多个无穷小的代数和的情形。
但是，无穷多个无穷小的和不一定是无穷小，如：222222(1)123112lim lim .2n n nn n n n n n n n n →∞→∞+-⎛⎫+++++== ⎪⎝⎭…… 定理2：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小，即设u 有界，0lim 0lim =⇒=ααu 。
证明：证明0x x →时的情况，设函数u 在0x 的某邻域),(10δx U 内有界，即0>∃M ，当),(10δx U x ∈时，有M u ≤，又设α为当0x x →时的无穷小，即0lim 0=→αx x ，故对)(0,01δδδε<>∃>∀，当),(0δ∧∈x U x 时，有εεααεα=⋅<=⇒<MM u u M所以0lim 0=→αu x x ，即αu 为无穷小；同理可证∞→x 时的情形。
推论1：常数与无穷小的乘积仍为无穷小，即若k 为常数，0lim 0lim =⇒=ααk 。
推论2：有限个无穷小的乘积仍为无穷小，设0)lim (0lim lim lim 2121=⇒====n n αααααα 。
定理3：若B x g A x f ==)(lim ,)(lim ，则)]()(lim[x g x f ±存在，且)(lim )(lim )]()(lim[x g x f B A x g x f ±=±=±。
证明： 只证B A x g x f +=+)]()(lim[，过程为0x x →，对0,01>∃>∀δε，当100δ<-<x x 时，有2)(ε<-A x f ，对此ε，02>∃δ，当200δ<-<x x 时，有2)(ε<-B x g ，取},m in{21δδδ=，当δ<-<00x x 时，有εεε=+<-+-≤-+-=+-+22)()())(())(()())()((B x g A x f B x g A x f B A x g x f 所以B A x g x f x x +=+→))()((lim 0。
其它情况类似可证。
注：本定理可推广到有限个函数的情形。
定理4：若B x g A x f ==)(lim ,)(lim ，则)()(lim x g x f ⋅存在，且)(lim )(lim )()(lim x g x f AB x g x f ⋅==。
证明：因为B x g A x f ==)(lim ,)(lim ，由§ 1.5定理1（i ）⇒,)(,)(βα+=+=B x g A x f（βα,均为无穷小）)())(()()(αβαββα+++=++=⇒B A AB B A x g x f ，记αβαβγ++=B A ，由定理2的推论1.2及定理1γ⇒为无穷小，再由§1.5定理1（iii ）AB x g x f =⇒)()(lim 。
推论1：)(lim )](lim[x f c x cf =（c 为常数）。
推论2：nnx f x f )]([lim )](lim [=（n 为正整数）。
定理5：设0)(lim ,)(lim ≠==B x g A x f ，则)(lim )(lim )()(limx g x f B A x g x f ==。
证明：设βα+=+=B x g A x f )(,)(（βα,为无穷小），考虑差：)()()(ββαβα+-=-++=-B B A B B A B A B A x g x f其分子βαA B -为无穷小，分母0)(2≠→+B B B β，我们不难证明)(1β+B B 有界（详细过程见书上）)(ββα+-⇒B B A B 为无穷小，记为γ，所以γ+=B Ax g x f )()(，由§1.5定理1（ii ）BA x g x f =⇒)()(lim。
注：以上定理对数列亦成立。
定理6：如果)()(x x ψϕ≥，且b x a x ==)(lim ,)(lim ψϕ，则b a ≥。
【例1】b ax b x a b ax b ax x x x x x x x x +=+=+=+→→→→0000lim lim lim )(lim 。
【例2】nnx x n x x x x x 0]lim [lim 0==→→。
推论1：设n n n n a x a x a x a x f ++++=--1110)( 为一多项式，当)()(lim 00111000x f a x a x a x a x f n n n n x x =++++=--→ 。
推论2：设)(),(x Q x P 均为多项式，且0)(0≠x Q ，由定理5，)()()()(lim 000x Q x P x Q x P x x =→。
【例3】221lim(510)15113x x x →-+=-⨯+=-。
【例4】33009070397lim 53530-=+--⨯+=+--+→x x x x x （因为03005≠+-）。
注：若0)(0=x Q ，则不能用推论2来求极限，这时需采用其它手段。
【例5】求322lim 221-+-+→x x x x x 。
解：当1→x 时，分子、分母均趋于0，因为1≠x ，约去公因子)1(-x ，所以 53322lim 322lim1221=++=-+-+→→x x x x x x x x 。
【例6】求)1311(lim 31+-+-→x x x 。
解：当13,11,13++-→x x x 极限均不存在，故不能直接用定理3，但当1-≠x 时，12)1)(1()2)(1(1311223+--=+-+-+=+-+x x x x x x x x x x ，所以 11)1()1(2112lim )1311(lim 22131-=+-----=+--=+-+-→-→x x x x x x x 。
【例7】求2lim 22-→x x x 。
解：当2→x 时，02→-x ，故不能直接用定理5，又42→x ，考虑：04222lim22=-=-→xx x ， 由§1.5定理2（ii ）∞=-⇒→2lim22x x x 。
【例8】设n m b a ,,0,000≠≠为自然数，则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>∞<==++++++--∞→时当时当时当m n m n m n ba b x b x b a x a x a m m m n n n x 0lim 0110110 。
证明：当∞→x 时，分子、分母极限均不存在，故不能用§1.6定理5，先变形：mmn n m n x m m m n n n x x b x b b x a x a a x b x b x b a x a x a ++++++⋅=++++++-∞→--∞→ 1010110110lim lim⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧>++++++⋅∞<++++++⋅=++++++⋅=时当时当时当m n b a m n b a m n b a 00000000000001000000 【例9】sin 1limlim sin 0n n x x x x→∞→∞==。