(完整版)无穷小量与无穷大量
无穷小量与无穷大量
2
lim ( x + 3 x)
2
0 正解：∵ lim 正解 = = =0 ， x→2 x 2 + 3 x lim ( x 2 + 3 x) 10
x →2 x →2
x−2
lim ( x − 2)
x + 3x ∴ lim =∞ 。 x→2 x − 2
2
例.求下列极限
3x − 4 x + 2 ∞ （1） lim ( 型 ) 3 x→∞ 7 x + 5 x − 3 ∞ 3 4 2 − + 2 x x 2 x3 3x − 4 x + 2 解：※ 若 a0 ⋅b0 ≠ 0 ， m, n∈N + ，则 = 0 ； lim = lim 5 3 x→∞ 7 x 3 + 5 x − 3 x→∞ 7+ − 2 3 x ax 0 3 b , 当 m = n, 7 x + 5 x n−1 ∞ −3 （2） lim x n + a x +L型 0 ( + a) a0 2 1 x→ lim ∞ 3x − 4 xm−1 ∞ n = ∞, 当 m < n, +2 m x →∞ b x + b x +L+ bm 0 1 0, 当 m > n. 3 7 x +5x −3 解： lim =∞ 。 2 x→∞ 3 x − 4 x + 2
无穷小量和无穷大量
1.无穷小量 1.无穷小量
定义 1
若 lim X = 0 ，则称 X 为该极限过程中的
无穷小量，简称无穷小。
例如：当 x → 0 时， sin x 和 tan x 是无穷小量；
当 x → xo 时， x− xo 是无穷小量；
无穷小量与无穷大量
定理11. 若在同一极限过程中, α, β, γ 均为无穷小
量, 则
(1). α ~ α;
(反身性)
(2).若α ~ β; 则 β ~ α;
(对称性)
(3).若α ~ β, β ~ γ; 则 α ~ γ; (传递性)
(4).若α ~ β; 则 αγ ~ γ β .
9
定理12. (等价代换原理)设α, α１, β, β１, 为同一极限
过程中无穷小量且 α～α１,β～β１, 若 lim 1 存在,则
1
lim lim 1 .
1
注1:由此定理可知, 求两个无穷小量商的极限时, 如果 分子, 分母的等价无穷小量存在, 则就可用它们各自的 等价无穷小量来代换原来的分子, 分母, 使计算简化. 请记住以下几个常用的等价无穷小量:
10
当x 0 时
因 ( x) 为无穷小量,
则 0, 某个时刻，在此时刻后, ( x)
f
M ( x)( x)
M
.
M, f ( x)( x)为无穷小量.
M
例 lim x sin 1 0, 但 lim x sin 1 1.
x0
x
x
x
sin x
(1)n
lim
0; lim
0.
x x
n n
3
定理8. (函数与其极限间的关系)函数ƒ(x)的极限为A 的充要条件是函数ƒ(x )等于A与无穷小量 α 的和.
不是一个很大的常量. 当ƒ(x)取正值无限增大(取负值
绝对值无限增大)时, 称为正无穷大量(负无穷大量).
记为 lim f ( x) （或）lim f ( x)
注2.通常 lim f ( x) 是极限不存在的记号; 但它又
无穷大量与无穷小量
例1 证明 : 当x → 0时,4 x tan 3 x为x的四阶无穷小 .
4 x tan 3 x tan x 3 解 lim ) = 4, = 4 lim( 4 x→0 x→0 x x
故当 x → 0时,4 x tan 3 x为x的四阶无穷小 .
性质2 有限个无穷小量之积仍为无穷小量. 性质 ： 有限个无穷小量之积仍为无穷小量 注:无穷多个无穷小量之积不一定是无穷小量. 无穷多个无穷小量之积不一定是无穷小量.
性质3： 无穷小量与有界变量之积仍为无穷小量. 性质 ： 无穷小量与有界变量之积仍为无穷小量 证 设函数 u( x )在0 < x − x 0 < δ 1内有界， 内有界，
2 2
, .
趋
零的 快
度
定义: 定义:
设α , β 是同一过程中的两个无 穷小, 且β ≠ 0.
α (1) 如果 lim = 0, 就说α是比β 高阶的无穷小, β 记作 α = o( β );
(2) 如果 lim
记作α 记作α=O(β)或 β=O(α) β)或 α α 特别地： 如果 lim = 1, 称α与β是等价的无穷小; β 记作 α ~ β ; α 此外， 如果 lim k = A ( A ≠ 0, k > 0), 称α是β的k阶无穷小. β α (3) 如果 lim = ∞, 称α是比β低阶的无穷小. β
π 无界， y( xn ) = 2nπ + , 当n充分大时, y( xn ) > M . 无界， 2 1 ′ ( 2) 取 x n = ( n = 0,1,2,3,L) 2 nπ
当n充分大时 , x ′ 可以任意小 , n
第一章无穷小量与无穷大量
α ( x) 的同阶无穷小， （3）如果 lim = A ≠ 0，则称 α ( x )是β ( x )的同阶无穷小， β ( x)
α ( x) 是等阶无穷小量， 当A = 1，即 lim = 1，则称 α ( x )与β ( x )是等阶无穷小量， β ( x)
记作α(x) ～ β(x) 记作
α ( x) 的同阶无穷小， （3）如果 lim = A ≠ 0，则称 α ( x )是β ( x )的同阶无穷小， β ( x)
x →0
x
1 sin ≤ 1， 解：因为 lin x = 0，即x是x → 0时的无穷小量。 x →0 x 1 1 即 sin 是有界变量 ， 由推论 2知x sin 为x → 0时的无穷 x x 1 小量， 即 lim x. sin = 0 x →0 x
三、无穷小的比较
x， x，x 2都是无穷小， 都是无穷小， 我们知道， 我们知道，当 x → 0时， 3
x2 lim = 0， x →0 3 x 3x lim 2 = ∞， x →0 x 3x lim = 3， x况， 两个无穷小之比的极限的各种不同情况，反 映了不同的无穷小趋向于零的快慢程度． 映了不同的无穷小趋向于零的快慢程度．所以无 穷小量的比较是指这种趋向于0的 穷小量的比较是指这种趋向于 的“快”与“慢” 的比较， 的比较，可以用它们在同一变化过程中的比值的 极限来衡量． 极限来衡量．
即 lim ( x 2 − 2 x + k ) = 0
x→3
所以， 所以，k=3
例4、 x3 1)、lim = 0， 则 x 3是 x的高阶无穷小 x→0 x
x = ∞ ， 则 x是 x 3的低阶无穷小 x→0 x 3 tan 2 x 3)、lim = 2， 则 tan 2 x是 x的同阶无穷小 x→0 x 2)、lim
无穷小量和无穷大量wuqiongdahewuqiongxia
•
f xogx
(4) 如果
lim
f g
xx ，则称f是比g低阶的无穷小量。
例如 lim xsinx2lim0
xsinx2与x 为同阶无穷小量。
时x 0
limtanxlimsinx 1 1， 所以，当 x 0 x x 0 x cosx
x 时0
tanx x
无穷小量的性质
•性质１ 有限个无穷小量的和也是无穷小量。 •性质２ 有限个无穷小量的乘积仍是无穷小量。 •性质３ 常数乘以无穷小量仍是无穷小量。 •性质４ 有界函数乘以无穷小量仍是无穷小量。
例如 由性质4可得
cos x lim 0 x x
二、无穷大量
定义 若 x x0 时，函数 | f x |，则称函数f(x)
2、limxsin11 1、limsin x 0
x x
x x
填空题
x 为曲x 0 线y＝f(x)的垂直渐
三、无穷小量与无穷大量的关系
定理 如果当 x x0 或 x 时，f(x)为无穷大量, 则
为无 且
穷1小量；反之，如果当
f x
为无穷大f 量x。
0,则
时x ， f(xx)0为或 无x 穷 小量，
1
f x
说明 据此定理，关于无穷大的问题都可以转化无穷小来讨论。
第四节 无穷小量和无穷大量 一、无穷小量
定义 若 x x0或x时 ，函数 f x则称0函, 数 f(x)为 x x0 或x 时的无穷小量。
例如： limx20 ，函数 x2当x2 时为无穷小 x2
li m 1 0 ，函数 x x
1 当 x时为无穷小。
x
说明 除0以外任何很小的常数都不是无穷小量。
例11 求
无穷小量无穷大量
正无穷大量 : lim f ( x)
负无穷大量 : lim f ( x)
1 例 证明 lim 1 . x 1 x 1
1 证 : 设 G是任意给定的正数 , 要使 G, x 1 1 只要 | x 1| . G y 1 1 取 , 则当 0 | x 1| 时 , 0 G
错！ 错！
1 1 1 （1）错解： lim lim x lim x lim sin 1 ， ； 正解： ∵ x sin 0 ，而 sin 0 x0x0 x x0 x0x x
1 ∴ lim x sin 0 。 x x0
1 （2） 解： ∵ lim 0 ，而 arctan x ， 2 x x
(3)若lim X ， limY , 则lim(X Y) (4) 若lim X ， Y, 则limY X (5)若lim X ，则lim （ X )
1 (6) 若lim X ，则lim 0; X 1 反之，若lim X 0，且X 0, 则lim X
5
1 就有 G. x 1 1 所以 lim . x 1 x 1
-4
-2
-5 -10
2
4
6
x
又如 用无穷大的定义可以证明 :
当x 时, e x 是无穷大量,即 lim e x
x
当x 0 时, e 是无穷大量,即 lim e
x 0
1 x
1 x
在下面的定义和定理中, 总设 及 是在同一 个自变量的变化过程中的 无穷小 , 且 0 .
定义 3 设 lim X lim Y 0
X （1）若 lim 0 , 则称 X 是比 Y 高阶的无穷小 , Y 而称 Y 是 X 的低阶无穷小 ; 记为X o(Y );
大学数学-1-5-无穷小与无穷大无穷小的比较精选全文完整版
lim
'
lim
' '
lim '
' lim '
.
例 4 求lim sin 5x . x0 tan 6x
解 当 x 0时，sin 5x 5x, tan 6x 6x,所以
lim sin 5x lim 5x 5 . x0 tan 6x x0 6x 6
例 5 求lim (x 3) tan x . x0 arcsin 4x
第五节 无穷小与无穷大 无穷小的比较
一、无穷小
在讨论变量的极限时，经常遇到以变量零为极限的变量.
例如，数列(
1 2
)n
，当n
时，极限为
0；
函数 1 x2
，当n
时，极限也为
0；
函数（ x 2），当x 2时，极限为 0，等等.
这些在自变量某一变化过程中以零为极限的变量统称
为无穷小量（简称为无穷小）.
注意 这里lim X 只是沿用了极限符号，并不意 味着变量 x 的存在极限；无穷大()不是数，不可与绝 对值很大的常数(如107 108等)混为一谈；无穷大是指绝 对值可以任意变大的一个变量.
例 3 下列变量中，哪个是无穷大，哪个是无穷小，
为什么？
（1）1 (x 0) ；（2） tan x (x 0) ；（3） 1 (x 2) ；
比较两个无穷小在自变量同一变化过程中趋于零的“速
度”是很有意义的，并能为处理未定式极限问题带来一些具
体方法.
三、无穷小的比较
设 lim 0,lim 0, 且lim 也是在该变化过程中的
极限问题.
1. 如果lim 0, 就说 是比 高阶无穷小，记作
( );当 0时，也说 是比 低阶的无穷小.
无穷小量与无穷大量
当
x
0
x 时，ln
x
是负无穷大，记作
lim
ln x 。
x ，1 就不是无穷大，而是无穷小x了0。 x
②无穷大是指绝对值可以无限变大的变量，绝不
能与任何一个绝对值很大的常数如101000 ，
10001000 等混为一谈。
问：两个无穷大量的和是否是无穷大量？
答：不一定。
例如： f (x) 2x 1 ， g(x) 2x ，
2x
lim f (x) ， lim g(x) ，它们都是无穷大量，
x
x
但 lim [ f (x) g(x)] lim 1 0 是无穷小量。
x
x 2x
又如： f (x) 2x cosx ， g(x) 2x ，
lim f (x) ， lim g(x) ，它们都是无穷大量，
x
x
但 lim [ f (x) g(x)] lim cosx 不存在。
例．求下列极限
（1） lim xsin 1 ； （2） lim arctanx 。
x0 x
x x
错！
错！
（1）错正解： li∵m lximsinx10 l，im而x sliimn 1sin11， 0 ； x0x0 x x0 x0x x ∴ lim xsin 1 0 。 x0 x
（2） 解： ∵ lim 1 0 ，而arctan x ，
无穷小量和无穷大量
1.无穷小量 定义 1 若lim X 0 ，则称 X 为该极限过程中的
无穷小量，简称无穷小。
例如：当x0 时，sin x 和tanx 是无穷小量； 当 x x时，xx 是无穷小量；
当x 时， ax (a 1) 是无穷小量；
当 x 时， 1 是无穷小量。 x2
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第周第学时教案授课教师：贾其鑫
第周第学时教案授课教师：贾其鑫
第 周第 学时教案 授课教师：贾其鑫 1.3.2 无穷大量
定义：1.13 如果在x 的某一变化过程中，1()
y f x =是无穷小量，则在该变化过程中，()f x 为无穷大量，简称无穷大，记作：lim ()f x =∞ 如果在x 的某一变化过程中，对应的函数值的绝对值|f (x )|无限增大（函数）, 就称函数 f (x )为当x →x 0(或x →∞)时的无穷大. 记为
∞=→)(lim 0x f x x (或∞=∞
→)(lim x f x ). 应注意的问题: 当x →x 0(或x →∞)时为无穷大的函数f (x ), 按函
数极限定义来说, 极限是不存在的. 但为了便于叙述函数的这一性态, 我们也说“函数的极限是无穷大”, 并记作
∞=→)(lim 0x f x x (或∞=∞
→)(lim x f x ). 讨论: 无穷大的精确定义如何叙述？很大很大的数是否是无穷大? 提示: ∞=→)(lim 0x f x x ⇔∀M >0, ∃δ>0, 当0<|x -0x |<δ时, 有
|f (x )|>M .
正无穷大与负无穷大:
+∞=∞→→)(lim )( 0x f x x x , -∞=∞→→)(lim )
( 0x f x x x . 例2 证明∞=-→1
1lim 1x x . 证 因为∀M >0, ∃M 1=
δ, 当0<|x -1|<δ 时, 有 M x >-|11|
, 所以∞=-→1
1lim 1x x . 提示: 要使M x x >-=-|
1|1|11|
, 只要M x 1|1|<-.
第 周第 学时教案 授课教师：贾其鑫 铅直渐近线:
如果∞=→)(lim 0
x f x x , 则称直线0x x =是函数y =f (x )的图形的铅直渐近线.
例如, 直线x =1是函数1
1-=x y 的图形的铅直渐近线. 定理2 (无穷大与无穷小互为倒数关系)
在自变量的同一变化过程中, 如果f (x )为无穷大,
则)(1x f 为无穷小; 反之, 如果f (x )为无穷小, 且f (x )≠0, 则)(1x f 为无穷大.
简要证明:
如果0)(lim 0=→x f x x , 且f (x )≠0, 那么对于M 1=ε, ∃δ>0, 当
0<|x -0x |<δ时,
有M x f 1|)(|=
<ε, 由于当0<|x -0x |<δ时, f (x )≠0, 从而 M x f >|)(1|
, 所以)
(1x f 为x →x 0时的无穷大. 如果∞=→)(lim 0x f x x , 那么对于ε
1
=M , ∃δ>0,当0<|x -0x |<δ时, 有ε1|)(|=>M x f , 即ε<|)
(1|x f , 所以为x →x 时的无穷小. 简要证明:
如果f (x )→0(x →x 0)且f (x )≠0, 则∀ε >0, ∃δ>0,
当0<|x - x 0|<δ时, 有|f (x )|<ε , 即, 所以f (x )→∞(x →x 0). 如果f (x )→∞(x →x 0), 则∀M >0, ∃δ>0,当0<|x - x 0|<δ时,
有|f (x )|>M , 即, 所以f (x )→0(x →x 0).
1.3.3无穷小量的性质
第 周第 学时教案 授课教师：贾其鑫 性质1.1 有限个无穷小的和也是无穷小，
性质1.2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小，
性质1.3 常数与无穷小的乘积是无穷小，
性质1.4 有限个无穷小的乘积也是无穷小。
例：求01lim sin x x x
→ 1.3.4无穷小量的阶（阶：理解为无穷小量趋近于零的速度） 定义1.14：设,αβ是同一变化过程中的两个无穷小量
如果lim 0βα
=，就说β是比α高阶的无穷小量，记作0()βα=
如果lim
βα
=∞，就说β是比α低阶的无穷小量， 如果lim 0c βα
=≠，就说β是比α同阶的无穷小量， 如果lim 0,0k c k βα
=≠>，就说β是关于α的k 阶无穷小量， 如果lim 1βα=，就说β是比α等价无穷小量，记作αβ:
补充：常见的等价无穷小量 当0x →时
sin ~x x sin ~arc x x tan ~x x tan ~arc x x
(1)~lin x x + -1~x
e x 21(1cos )~2x x - 11(1)~n x x n +
第周第学时教案授课教师：贾其鑫
第周第学时教案授课教师：贾其鑫。