无穷小量无穷大量和Stolz定理
无穷小无穷大极限运算法则
看下 表
X 1, 0.1 , 0.001 , 0.00001 ,… 2x 2, 0.2 , 0.002 0.00002 ,… 5x 5, 0.5 , 0.005 , 0.00005 ,… x3 1, 0.001,0.000000001,0.000000000000001,…
为了比较在同一变化过程中无穷小量趋于零的速度,引入以 下几个概念：设 ( x) 0, ( x) 0 是同一过程的无穷小量 1. ( x)是比 ( x)高阶无穷小 ( x) 0 称 ( x)是比 ( x)高阶无穷小 若 lim
1 1 3 2 x x lim 解：原式= x 1 2 5 2 x x
例5.求
x
lim ( x 1 x )
解：原式= xlim
x 1 x x 1 x
300 500 3 5
lim
x
1 x 1 x
=0
2 x lim1 1. lim(2 x 1) lim x 1 x 1
x 1
2.lim
x 2
2 lim x lim1
x 1 x 1
x 30 x2 ( x 2 5 x 3) x 2 5 x 3 lim x2
5
lim( x 5 30)
=2×1-1 =1
( x)
( x) 0的速度比 ( x) 0的速度快
2. ( x)是比 ( x)低阶的无穷小 若 lim
( x) ( x)
称 ( x)是比 ( x)低阶的无穷小
( x) 0的速度比 ( x) 0的速度慢
3. ( x)与 ( x)是同阶的无穷小
∴当x→0时
x 2 3x 5与x 2
stolz定理上极限
stolz定理上极限
摘要：
1.Stolz 定理的概述
2.Stolz 定理的证明
3.Stolz 定理的应用
4.Stolz 定理的局限性
正文：
【1.Stolz 定理的概述】
Stolz 定理，又称为Stolz-Cesàro 定理，是由瑞士数学家Otto Stolz 和意大利数学家Ernesto Cesàro 分别于1922 年和1890 年独立发现的。
它是一种求极限的方法，特别适用于求解形如“1/x”、“1/x^2”等当x 趋近于0 时的极限。
【2.Stolz 定理的证明】
Stolz 定理的证明过程相对简单。
假设我们有一个数列{a_n}，它的极限是A，另一个数列{b_n}，它的极限是B，那么当a_n/b_n 的极限存在时，我们可以得到：
lim (a_n/b_n) = A/B
这个定理的证明可以通过将两个数列的极限定义代入，进行简单的化简和变形得到。
【3.Stolz 定理的应用】
Stolz 定理在求极限时十分实用。
比如，当x 趋近于0 时，sinx/x 和
x/sinx 的极限都可以通过Stolz 定理求解。
又如，当x 趋近于0 时，
x^2/sinx^3 的极限也可以通过Stolz 定理求解。
【4.Stolz 定理的局限性】
虽然Stolz 定理在求解某些极限问题时十分有效，但它也有局限性。
首先，它只能应用于求解正数和负数序列的极限，对于非单调的数列，Stolz 定理并不能提供有效的解决方法。
其次，Stolz 定理只能求解一类特殊的极限问题，对于其他类型的极限问题，它并不能提供帮助。
数列极限中stolz定理的应用及推广
数列极限中stolz定理的应用及推广
数列极限中stolz定理是一个非常有用的定理，可以用来证明一些极限问题，尤其是对于那些比较复杂的数列，它的应用非常广泛。
在使用stolz定理时，我们通常需要将数列化为分数的形式，这样才能更好地进行推导计算。
一般来说，stolz定理适用于以下两种情况：
1. 原数列为无穷大/无穷小数列，且分母数列收敛于0。
2. 原数列为无穷大/无穷小数列，且分母数列单调递增/递减。
除了这些基本情况外，我们还可以通过一些较为复杂的推导来推广stolz定理的应用。
例如，我们可以将分母数列替换为另一个数列，只要这个数列的极限存在并不为0，那么stolz定理同样适用。
另外，我们还可以将stolz定理用于函数极限的证明，这时我们需要将函数化为数列的形式，然后再进行推导计算。
总之，stolz定理是一个非常重要的数学工具，在数列极限和函数极限的证明中都有着广泛的应用。
掌握这个定理对于理解和解决一些复杂的极限问题非常有帮助。
- 1 -。
stolz定理上极限
stolz定理上极限Stolz定理（或称为Stolz-Cesàro定理）对于求解极限是非常有用的定理之一。
它用于处理形式为$\frac{0}{0}$和$\frac{\infty}{\infty}$的极限问题。
Stolz定理可以陈述如下：设$\{a_n\}$和$\{b_n\}$是两个实数序列，并假设$\lim_{n \to \infty}\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}$存在（其中$b_n$单调增加），那么如果存在$\lim_{n \to \infty}\frac{a_n}{b_n}$，则有$\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\lim_{n\to \infty}\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}$。
通过Stolz定理，我们可以将形式为$\frac{0}{0}$或$\frac{\infty}{\infty}$的极限问题转化为两个序列的极限问题，更容易求解。
举个例子，考虑求解极限$\lim_{n\to \infty}\frac{n^2}{3^n}$。
我们可以定义$a_n=n^2$和$b_n=3^n$，那么根据Stolz定理，我们只需计算$\lim_{n \to \infty}\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}=\lim_{n \to \infty}\frac{(n+1)^2-n^2}{3^{n+1}-3^n}=\lim_{n \to \infty}\frac{2n+1}{3^n(3-1)}=\frac{2}{3}$。
因此，根据Stolz定理，我们有$\lim_{n\to\infty}\frac{n^2}{3^n}=\frac{2}{3}$。
Stolz定理在处理一些具体问题时非常有用，可以帮助简化计算和理解极限的性质。
stolz定理的证明和推广
stolz定理的证明和推广Stolz定理是数学中的一个重要定理，它描述了数学空间的某种结构特征。
在20世纪90年代，德国数学家Friedrich Stolz发现了这个定理，被称为Stolz定理。
它在后来的时间里，在很多领域中得到了广泛的应用，包括几何学，微分几何，变换理论，数学物理，概率论等等，受到了学者们的深入研究和讨论。
本文将详细地介绍Stolz定理的证明和推广，并对定理的应用进行分析。
一、Stolz定理的证明Stolz定理关于数学空间的某种结构特征的描述是这样的：定理：设$M$为一个自发的，完备的度量空间，$K$为$M$中的各种可渐变的无穷曲线，则$K$的单个空间$X$的标准性质（一般情况下均是抛物线，下同）在$M$中具有一致性。
Stolz定理的证明是由Friedrich Stolz发现的，证明步骤如下：首先，引入函数$f(x)$，它在曲线$K$上有连续性，它是一种可渐变的函数，其曲线表示为$y=f(x)$。
其次，证明$K$的单个空间$X$的抛物线$y=f(x)$的标准性质在$M$中具有一致性。
在这里，需要用到这样一个定理：定理：若对函数$f(x)$，在$K$上存在一个$gamma$，当x增加时，$f(x)$以$gamma$作为极限，则$f(x)$是$K$上的一条抛物线；再者，证明$X$空间中抛物线$y=f(x)$分布在$M$空间中具有一致性。
这是指给定一个抛物线$y=f(x)$，则可以找到抛物线$y=g(x)$，使得$g(x)$在$M$空间中和$f(x)$在$X$空间中具有一致性。
最后，当$M$空间中的抛物线$y=g(x)$的函数存在的时候，证明抛物线$y=f(x)$的标准性质在$M$空间中具有一致性。
根据上述证明，Stolz定理得到了证明。
二、Stolz定理的推广Stolz定理最初只针对一个自发的，完备的度量空间$M$和一个可渐变的无穷曲线$K$，但是后来，学者们对它进行了推广，使其适用于更多的度量空间和曲线等。
Stolz施笃兹定理 及其推论资料
Stolz施笃兹定理及其推论资料
Stolz施笃兹定理是数学分析中非常重要且常用的一种极限求解方法，它的应用范围
比较广，尤其是在求复杂极限时常常被使用。
下面我们将从定理的定义、证明以及推论方
面进行介绍。
1. 定义
Stolz施笃兹定理本质上是一种比值极限，它是指对于一个数列 a(n) 和 b(n)，若最终 a(n) 和 b(n) 均趋近于无穷大或无穷小，则极限 lim a(n)/b(n) 存在并等于若干项之差的极限，即：
若 lim a(n)/b(n) 没有意义（无穷大或无穷小），则上式不成立。
2. 证明
Stolz施笃兹定理的证明并不难，下面我们只需简要证明一下。
对于数列 a(n) 和 b(n)，假设：
因此，我们可以根据夹逼原理得到：
这是一个比值极限，因此可以通过利用L'Hospital法则进行求解：
也就是：
3. 推论
Stolz施笃兹定理在数学证明中具有广泛的应用，也是众多极限问题求解的有效方法。
下面我们以推论的形式展开。
（1）若lim n→∞a(n) = ∞ 或lim n→∞ a(n) = 0，且lim n→∞ b(n) = ∞，
则有：
lim n→∞a(n)/b(n) = lim n→∞(a(n) - a(n-1))/(b(n) - b(n-1))
上述的推论都可以直接利用 Stolz施笃兹定理进行推导，有了这些推论，不仅能更好地理解Stolz施笃兹定理，而且在实际应用被使用时也更加灵活和高效。
无穷小量与无穷大量
原式
lim x0
ln(1
ex2 1 (cos x
1))
ln(1
1 cos x (cos x
1))
lim
ex2 1
lim 1 cos x
x0 ln(1 (cos x 1)) x0 ln(1 (cos x 1))
lim x2 lim1 cos x x0 cos x 1 x0 cos x 1
与
x是
不可比较的无穷小.
二. 关于等阶无穷小的性质和定理
1. 定理
定理 设在某一极限过程中, ~ , ~ ,
若 lim a ( 或为 ) ,
则 lim lim .
3. 定理
定理
设在某极限过程中, ~ , ~ , 则 ~ .
1 x2
1,
f1(x) x (x ) , f2(x) x3 (x ) ,
而
f1(x)
g(x)
x
1 x2
1 x
0
(x ) .
f2(x)
g(x)
x3
1 x2
x
(x ) .
例9
有界量与无穷大量的乘积
是否一定为无穷大量？
不着不急一, 定看再个是例无题穷: 大量.
(4) lim sin x 1 sin x ~ x (x 0) x0 x
例2 证明 ax 1 ~ x ln a (x 0 , a 0) 证 即要证 lim a x 1 1 x0 x ln a 令 y ax 1, 则 x 0 时, y 0 , 且
高等数学微积分知识整理
f -1 f f f n nn n高等数学微积分知识整理第一章 极限与连续一、函数1、函数的定义与要素（定义域、对应法则；函数相等的条件）2、函数的性质：单调性，奇偶性，周期性，有界性 *单调性的定义（以递增为例）：∀x 1 , x 2 ∈ D f ，若x 1＜x 2时f (x 1 ) ≤ f (x )在D f 上严格单调递增。
f (x 2 )，则f (x )在D f 上单调递增；将≤ 改为＜，则*有界的定义： ∃M ＞0，对于∀x ∈ A ⊆ D f ，都有| f (x ) |≤ M ，则f (x )在A 上有界。
（f (x )≥m ∈R ，则 f (x )下有界；反之则上有界。
只有既上有界又下有界的函数才是有界函数。
）3、函数的运算：四则运算、复合运算、反函数*题型：判断某个函数由哪些基本初等函数复合而成。
*反函数存在的可能情况：①y 与 x 一一对应；②f (x )是某区间上的严格单调函数 （反函数的单调性与原来的函数相同）* D = R ；当x ∈ D 时，f -1 ( f (x )) = x ；当x ∈ R 时，f ( f -1 (x )) = x 。
4、初等函数：包括 6 大基本初等函数（常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数）以及它们的有限次四则、复合运算构成的函数。
二、数列的极限1、数列的定义及表示方法2、数列的性质：单调性、有界性3、数列极限的定义：ε-N 语言（存在性命题要学会寻找充分条件，即增加对 N 的限制，从而找到 N ；绝对值不等式与不等式放缩也很重要）4、极限的四则运算5、无穷小量的性质（1） 若lim a = A ，则{a - A }是无穷小量。
（一种证明极限的方法） n →∞（2）有限个无穷小量相加、相乘还是无穷小量。
（3）无穷小量乘以有界量还是无穷小量。
6、收敛数列的性质 （1） 收敛数列必然有界 （2） 收敛数列的任一子列与该数列收敛于同一极限。
(参考资料)Stolz(施笃兹)定理 及其推论
Stolz 定理设{}n y 是严格单调增加的正无穷大量,且11lim n n n n n x x a y y -→∞--=-(a 可以为有限量,+∞与-∞)则lim n n nx a y →∞=重要结论:如lim n n a a →∞=,则1lim n n a a a n→∞++= 例1:设lim n n a a →∞=,求122lim ()2n n a a a na n →∞+++ 例2:设k 为正整数,求极限11112lim ()k k k k n n n k +→∞++++ 例3:证明：22223135(21)4lim 3n n n →∞+++++= 求极限22223135(21)4lim 3n n n n →∞⎛⎫+++++- ⎪⎝⎭ 性质设()f x 在[,]a b 内具有一阶连续导数,则1()lim ()()[()()}2n b a n k b a k b a b a n f x dx f a f a f b n n →∞=---⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭∑⎰Stolz 定理应用:设11(0,1),(1),(1,2,),n n n x x x x n +Î=-= 证明：lim 1n n nx =证明：易知n x 单调降且趋于零，下用Stolz 定理证lim 1n nnx =.11111111lim lim lim lim (1)n n n n n n n n n n x x x nx n n n x x ---÷ç÷===-ç÷ç÷--因1111111111(1)(1)(1)111(1)n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x +++--=-Þ=Þ=+--Þ-+-因此11111lim lim 1lim 11n nn n n n n nx x x x --÷ç÷-==Þ=ç÷ç÷-证明如下结论:(i)结定数列{}n a ,证明lim n n a 存在的充要条件是()11n n n a a ¥-=-å收敛(ii)设111ln 2n a n n=+++- ,证明lim n n a 存在证明:(i)级数收敛充要条件是该级数的部分和序列{}n S 收敛()101nn k k n k S a a a a -==-=-å{}n S 收敛,即{}0n a a -收敛的充要条件是lim n n a 存在.(ii)()1111111ln ln(1)ln(1)n n n n n a a n n n n n-===-=-+-=+-(但此级数不是正项级数,除有限项外都是负的),而211ln(1)1lim 12n nn n ---=与111ln(1)n n n ¥=÷ç-+-÷ç÷çå与211n n ¥=å有相同敛散性,故111ln(1)n n n ¥=÷ç-+-÷ç÷çå收敛.故111ln(1)n n n ¥=÷ç+-÷ç÷çå收敛,因此由(i)知:lim n n a存在设012(1)0,2n n n x x x x ++>=+，求lim n n x →∞解：易知02n x <≤，如n x 有极限a ，则lim 2n n x →∞=（可从02(1)0,2a x a a +>=+得）关键在：证n x 有极限。
数列极限的几种计算方.
3n 2 n 2-3-3数列极限的几种计算方法1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1数学的应用，在我们的生活中随处可见，而数学分析中的数列极限是高等数学的重 要内容，是贯穿于整个微积分教学的主线，它描述了变量在运动过程中的变化趋势，是 从有限认识无限，从近似认识精确，从量变认识质变的必备推理工具.同时，数列极限又 是极限的基础，它的计算是微积分教学中的重点和难点，所以本文通过典型实例，对数 列极限的计算方法做了一些规律性的分析和总结.二计算方法 1定义法设为数列，a 为任一常数，若对任给的；7,总存在N>0,使得当n>N 时,有a. - a c s 则称数列牯,收敛于a ,或称数列以为极限a.注1 一般来说，用定义求数列极限局限性很大，它更多地被应用于有关极限值 的相关证明，对于如何用数列极限定义证明数列极限问题， 常用的基本方法有：适当 放大法，条件放大法.3n 2例题1用定义法证明数列极限冋厂弋 分析由于 9n 一3 .n因此，对任给的；0,只要9 ：：：；,便有n3n 2 n 2-33即当？：：：；时,左边的式子成立•又由于（1）式是在n —3的条件下成立的，故应取n9N 二 max{3, —}.z9 证明 任给；0,取N = max{3, -}. z根据分析，当n • N 时3n 2n 2-3于是此题得证.2利用数列极限的四则运算法则计算数列极限设极限lim a n 与lim b n 均存在，则nn _po(1) lim a n士b n= lim a n士 lim b n;n — %f n —sc n _咨(2) lim a nb n=lima nlimb n;n — * * n —sc(3) lim ca n= clim a n;n ^^ n _iClim a n--limb n";注2数列极限的四则运算只能推广到有限个数列的情况， 而不能推广到无限个数列 或不定个数的数列上去.1 1 c2 2 5 6 = 2n 5n -n n 解 lim 2limn------- -- n「n 3n 4 n「3 ]4 q n n 2( 1 1 )lim2 5 - -6 飞 n1 n n 2( 1 1 \ lim 13 4 2nn n 23利用数列的一些特征计算数列极限a nb nlimb n n/n _ac2n 25n - 6例题2求极限lim 2nTc n +3n +4分析由于n r "，，所以有-r 0， n数列极限四则运算法计算即可.4 > 0.于是给分子分母同时除以n 2，再利用 n4利用夹逼准则计算数列极限设 lim a n ，lim g 均存在，且 lim a “ 二 A,lim g 二 A ，若数列｛c n｝满足 a n_c n — b n，则有n ^^ n ^^ n _^c11 111111lim c n = A.n _j :注4利用夹逼准则求极限的关键是：将原数列适当地放大和缩小，使得放大后和缩小后的两个新数列的极限值相等，贝U 原数列的极限值存在且等于新数列的极限值 .111 1例题 4 计算数歹U 极限 lim —^=2+ / 2+ /2 = +，''十 』2 :f &n 2 +1 J n 2+2 J n 2+3 J n 2+n 丿分析 括号里的数列极限不能用上面的方法，但是，数列可以放大和缩小，所以关 键是找到极限值相等的数列｛a n｝与｛b n｝，进而可以用夹逼准则来计算数列极限注3此种方法也就是直接将数列进行化简，从而计算出数列极限 •方法只适用于些特殊的数列，不具有一般性.例题 f 1 1 13计算极限lim + ++' ■■+J X 2 2x3 3x41（n —1" n 』 f n 1 、 1分析 观察数列，可以看出数列极限为lim = —1—，通项a 」=―1—，由(i —1)如， (n — 1)x n- --，所以括号中的式子可用裂项相消法计算，以此可以解出数列极限(n -1) n n -1 nlimn L :（n 一1）汉 n y-•丄2 2解5利用“单调有界数列必有极限”准则求解数列极限(a) 如果数列｛a n｝单调增加且有上界，即存在数M,使得a^M n = 1,2….那么lim a n* * n^ic存在且不大于M.(b) 如果数列｛a n｝单调递减且下界，即存在数m,使得a n_ m n =1,2…，那么lim a.存在且不小于m.注5递推数列极限的计算是数列极限计算中的一大类问题.而“单调有界准则”是判别递推数列极限是否存在最常用的一种方法，它不用借助其它数列而是直接利用所给数列自身的单调性和有界性来判别极限的存在性.例题5计算数列极限人-2, x2 - • 2 • . 2 ,…,x n = 2 x n,求lim x n分析(1)通过观察可以看出x, ::：x2…x^即数列｛x n｝单调增加；(2)X1 ：：：2,X2「WE —W2 =2，…,X n 二-.2 •X n',厂2 =2,即数列｛x n｝有上界. 所以，由单调有界准则知，数列极限存在，设lim = a，然后计算出常数a即为数列极限.解由单调有界准则知，数列极限存在，设lim焉二a,V X n =逗:x 4所以给等式两边取极限得］叫& jm广2也，也即a二庞―a,解出a =2或a =T.又由于X n 0,所以取a =2.例题6设捲=丄,y i =1,X n =族川」,丄J 丄+丄,证明数列｛焉｝ , ｛ y .｝收敛, 2 y n 2Mn 」 y n 」丿 且有相同的极限•分析 因数列｛X n ｝与数列｛y n ｝之间有大小关系，所以只要明确两者之间的关系，利 用夹逼准则，就可证明两个数列极限均存在，进而证明两个极限相等又：X n 二JX^i y nd j X n-i X n 」二X n" 数列仇｝单调递减，且有0 ：：：：：：为=1且有1二力”：y n ，于是1二力疳y 2疳…”：y n 疳x .：：：…：：：捲=1.2所以 数列｛X n ｝单调递减有下界，数列｛Y n ｝单调增加有上界; 由单调有界准则知两个数列的极限均存在设 lim x n = a,lim y n 二 b. n ^^ n ^c 于是有a= ab,^ - 1 1 , 求出a = b. b 2 (a b 丿 即两个数列有相等的极限.6利用多项式型极限性质求得数列极限多项式型极限:0,k clk亠k -1 I Ii..a°n +dn + …+ azn+ak a 。
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使得
当 n N1 时
xn xn1 2，于是 yn yn1
xn xn1 2 yn yn1 ,
n N1 1, N1 2,K
xn xN1 (xN11 xN1 ) (xN12 xN11) L (xn xn1) xN1 2( yN11 yN1 ) 2( yN12 yN11) L 2( yn yn1) xN1 2( yn yN1 ) yn ( yn 2 yN1 xN1 ),
n
nk +1
定理2.3.3(Stolz) 设 yn 是严格单调增加的正
无穷大量，且
lim xn xn1 a， (a可以是有限数或 ) n yn yn1
则 lim xn a。 y n
n
制作人：杨寿渊
第一章、函数与极限
证明：a. 当
lim xn xn1 时，存在 n yn yn1
N1
N
时，
0
yn 0 成立，则 zn xn yn 是无穷大量。
推论 设
xn
是无穷大量，lim n
yn
b
0，则
xn yn
与
xn yn
都是无穷大量。
制作人：杨寿渊
第一章、函数与极限
待定型极限：0， ， 0 • ， 等 0
例2.5.5 试求极限 lim 1k 2k L nk ，k 1, 2,3,K 。
lim zn zn1 lim xn xn1 a 0, n yn yn1 n yn yn1
问题归结为情形b，从而有
lim xn lim zn a lim zn zn1 a a.
y y n
n
n
n
n yn yn1
d. 当 lim xn xn1 , 请读者自己完成证明。 n yn yn1
制作人：杨寿渊
证明：G 0, 考察不等式 qn G,
第一章、函数与极限
其解集为n ¢
n
ln ln
G q
,
取
N
ln
ln
G q
，则当
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱnN
时
因此 lim qn 。 n
qn G,
例2.3.2
试证
n2 1
n
5
是正无穷大量。
制作人：杨寿渊
第一章、函数与极限
证明：当 n 5 时，n2 1 n2 / 2 n ， n 5 2n 4
G 0，取 N max5, 4G，则当 n N 时
n2 1 n G， n5 4 因此 lim n2 1 。 n n 5
制作人：杨寿渊
第一章、函数与极限
定理2.3.1 设 xn 0，则数列 xn 是无穷大量的
充分必要条件是
1
xn
是无穷小量。
定理2.3.2 设
xn
是无穷大量，若当
n
第一章、函数与极限
例2.3.5
设
lim
n
an
a，试求极限
lim
n
a1
2a2
L n2
nan 。
解：利用Stolz定理，得
lim
n
a1
2a2
L n2
nan
lim
n
n2
nan (n 1)2
lim nan n 2n 1
lim
n
n lim 2n 1 n
an
a 2
制作人：杨寿渊
由于yn是无穷大量，故存在 N2 N1，使当 n N2 时
制作人：杨寿渊
xn yn ( yn 2 yN1 xN1 ) yn ,
第一章、函数与极限
现在对于任意正实数 M 取 N3 N2 使得当 n N3 时 xn xn1 M , yn yn1
则当 n N3 时
xn xN3 xn xN3 yn yN3 yn yN3
第一章、函数与极限
如果对任意给定的 G 0，总可以找到
的正整数 N，使得当 n N 时，xn G 成立，
则称数列是正无穷大量，记为
lim
n
xn
+ 。
如果对任意给定的 G 0，总可以找到
的正整数 N，使得当 n N 时，xn G 成立，
则称数列是负无穷大量，记为
lim
n
xn
。
例2.3.1 设 q 1，试证 qn 是无穷大量。
N1
使得
当 n N1 时
xn xn1 ，于是
yn yn1
制作人：杨寿渊
xn xn1 yn yn1 ,
于是
第一章、函数与极限
n N1 1, N1 2,K
xn xN1 xn xn1 xn1 xn2 L xN11 xN1
yn yn1 yn1 yn2 L yN11 yN1 yn yN1
不等式两边同除以 yn 得
xn xN1 yn yn
1
yN1 yn
,
对于固定的 N1，又可以取到 N N1，使得当 n N时，
制作人：杨寿渊
xN1 ，从而 xn xN1 2。
yn
yn
yn
第一章、函数与极限
c. 当
lim xn xn1 a 0 时，令 n yn yn1
zn xn ayn，于是
yN3 M yn yN3 yN3 yn yN3
M
(n ),
从而存在 N4 N3，使当 n N4 时 由 M 的任意性， lim xn 。
y n n
xn M ， yn 2
制作人：杨寿渊
第一章、函数与极限
b. 当
lim xn xn1 a 0 时， 0，存在
n yn yn1
xN3 xn xn1 xn1 xn2 L xN31 xN3 yN3 yn yn1 yn1 yn2 L yN31 yN3
制作人：杨寿渊
第一章、函数与极限
yN3 M yn yn1 M yn1 yn2 L M yN31 yN3 yN3 yn yn1 yn1 yn2 L yN31 yN3
制作人：杨寿渊
第一章、函数与极限
例2.3.4
试求极限
lim 1k
n
2k L nk +1
nk ，k 1, 2,3,K 。
解：利用Stolz定理，得
lim 1k 2k L nk lim
nk
n
nk +1
n nk +1 (n 1)k 1
nk
1
lim
n
(k
1)nk
Cn2nk1
L
. k 1
制作人：杨寿渊