无穷小量无穷大量和Stolz定理
无穷小无穷大极限运算法则
看下 表
X 1, 0.1 , 0.001 , 0.00001 ,… 2x 2, 0.2 , 0.002 0.00002 ,… 5x 5, 0.5 , 0.005 , 0.00005 ,… x3 1, 0.001,0.000000001,0.000000000000001,…
为了比较在同一变化过程中无穷小量趋于零的速度,引入以 下几个概念：设 ( x) 0, ( x) 0 是同一过程的无穷小量 1. ( x)是比 ( x)高阶无穷小 ( x) 0 称 ( x)是比 ( x)高阶无穷小 若 lim
1 1 3 2 x x lim 解：原式= x 1 2 5 2 x x
例5.求
x
lim ( x 1 x )
解：原式= xlim
x 1 x x 1 x
300 500 3 5
lim
x
1 x 1 x
=0
2 x lim1 1. lim(2 x 1) lim x 1 x 1
x 1
2.lim
x 2
2 lim x lim1
x 1 x 1
x 30 x2 ( x 2 5 x 3) x 2 5 x 3 lim x2
5
lim( x 5 30)
=2×1-1 =1
( x)
( x) 0的速度比 ( x) 0的速度快
2. ( x)是比 ( x)低阶的无穷小 若 lim
( x) ( x)
称 ( x)是比 ( x)低阶的无穷小
( x) 0的速度比 ( x) 0的速度慢
3. ( x)与 ( x)是同阶的无穷小
∴当x→0时
x 2 3x 5与x 2
stolz定理上极限
stolz定理上极限
摘要：
1.Stolz 定理的概述
2.Stolz 定理的证明
3.Stolz 定理的应用
4.Stolz 定理的局限性
正文：
【1.Stolz 定理的概述】
Stolz 定理，又称为Stolz-Cesàro 定理，是由瑞士数学家Otto Stolz 和意大利数学家Ernesto Cesàro 分别于1922 年和1890 年独立发现的。
它是一种求极限的方法，特别适用于求解形如“1/x”、“1/x^2”等当x 趋近于0 时的极限。
【2.Stolz 定理的证明】
Stolz 定理的证明过程相对简单。
假设我们有一个数列{a_n}，它的极限是A，另一个数列{b_n}，它的极限是B，那么当a_n/b_n 的极限存在时，我们可以得到：
lim (a_n/b_n) = A/B
这个定理的证明可以通过将两个数列的极限定义代入，进行简单的化简和变形得到。
【3.Stolz 定理的应用】
Stolz 定理在求极限时十分实用。
比如，当x 趋近于0 时，sinx/x 和
x/sinx 的极限都可以通过Stolz 定理求解。
又如，当x 趋近于0 时，
x^2/sinx^3 的极限也可以通过Stolz 定理求解。
【4.Stolz 定理的局限性】
虽然Stolz 定理在求解某些极限问题时十分有效，但它也有局限性。
首先，它只能应用于求解正数和负数序列的极限，对于非单调的数列，Stolz 定理并不能提供有效的解决方法。
其次，Stolz 定理只能求解一类特殊的极限问题，对于其他类型的极限问题，它并不能提供帮助。
数列极限中stolz定理的应用及推广
数列极限中stolz定理的应用及推广
数列极限中stolz定理是一个非常有用的定理，可以用来证明一些极限问题，尤其是对于那些比较复杂的数列，它的应用非常广泛。
在使用stolz定理时，我们通常需要将数列化为分数的形式，这样才能更好地进行推导计算。
一般来说，stolz定理适用于以下两种情况：
1. 原数列为无穷大/无穷小数列，且分母数列收敛于0。
2. 原数列为无穷大/无穷小数列，且分母数列单调递增/递减。
除了这些基本情况外，我们还可以通过一些较为复杂的推导来推广stolz定理的应用。
例如，我们可以将分母数列替换为另一个数列，只要这个数列的极限存在并不为0，那么stolz定理同样适用。
另外，我们还可以将stolz定理用于函数极限的证明，这时我们需要将函数化为数列的形式，然后再进行推导计算。
总之，stolz定理是一个非常重要的数学工具，在数列极限和函数极限的证明中都有着广泛的应用。
掌握这个定理对于理解和解决一些复杂的极限问题非常有帮助。
- 1 -。
stolz定理上极限
stolz定理上极限Stolz定理（或称为Stolz-Cesàro定理）对于求解极限是非常有用的定理之一。
它用于处理形式为$\frac{0}{0}$和$\frac{\infty}{\infty}$的极限问题。
Stolz定理可以陈述如下：设$\{a_n\}$和$\{b_n\}$是两个实数序列，并假设$\lim_{n \to \infty}\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}$存在（其中$b_n$单调增加），那么如果存在$\lim_{n \to \infty}\frac{a_n}{b_n}$，则有$\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\lim_{n\to \infty}\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}$。
通过Stolz定理，我们可以将形式为$\frac{0}{0}$或$\frac{\infty}{\infty}$的极限问题转化为两个序列的极限问题，更容易求解。
举个例子，考虑求解极限$\lim_{n\to \infty}\frac{n^2}{3^n}$。
我们可以定义$a_n=n^2$和$b_n=3^n$，那么根据Stolz定理，我们只需计算$\lim_{n \to \infty}\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}=\lim_{n \to \infty}\frac{(n+1)^2-n^2}{3^{n+1}-3^n}=\lim_{n \to \infty}\frac{2n+1}{3^n(3-1)}=\frac{2}{3}$。
因此，根据Stolz定理，我们有$\lim_{n\to\infty}\frac{n^2}{3^n}=\frac{2}{3}$。
Stolz定理在处理一些具体问题时非常有用，可以帮助简化计算和理解极限的性质。
stolz定理的证明和推广
stolz定理的证明和推广Stolz定理是数学中的一个重要定理，它描述了数学空间的某种结构特征。
在20世纪90年代，德国数学家Friedrich Stolz发现了这个定理，被称为Stolz定理。
它在后来的时间里，在很多领域中得到了广泛的应用，包括几何学，微分几何，变换理论，数学物理，概率论等等，受到了学者们的深入研究和讨论。
本文将详细地介绍Stolz定理的证明和推广，并对定理的应用进行分析。
一、Stolz定理的证明Stolz定理关于数学空间的某种结构特征的描述是这样的：定理：设$M$为一个自发的，完备的度量空间，$K$为$M$中的各种可渐变的无穷曲线，则$K$的单个空间$X$的标准性质（一般情况下均是抛物线，下同）在$M$中具有一致性。
Stolz定理的证明是由Friedrich Stolz发现的，证明步骤如下：首先，引入函数$f(x)$，它在曲线$K$上有连续性，它是一种可渐变的函数，其曲线表示为$y=f(x)$。
其次，证明$K$的单个空间$X$的抛物线$y=f(x)$的标准性质在$M$中具有一致性。
在这里，需要用到这样一个定理：定理：若对函数$f(x)$，在$K$上存在一个$gamma$，当x增加时，$f(x)$以$gamma$作为极限，则$f(x)$是$K$上的一条抛物线；再者，证明$X$空间中抛物线$y=f(x)$分布在$M$空间中具有一致性。
这是指给定一个抛物线$y=f(x)$，则可以找到抛物线$y=g(x)$，使得$g(x)$在$M$空间中和$f(x)$在$X$空间中具有一致性。
最后，当$M$空间中的抛物线$y=g(x)$的函数存在的时候，证明抛物线$y=f(x)$的标准性质在$M$空间中具有一致性。
根据上述证明，Stolz定理得到了证明。
二、Stolz定理的推广Stolz定理最初只针对一个自发的，完备的度量空间$M$和一个可渐变的无穷曲线$K$，但是后来，学者们对它进行了推广，使其适用于更多的度量空间和曲线等。
Stolz施笃兹定理 及其推论资料
Stolz施笃兹定理及其推论资料
Stolz施笃兹定理是数学分析中非常重要且常用的一种极限求解方法，它的应用范围
比较广，尤其是在求复杂极限时常常被使用。
下面我们将从定理的定义、证明以及推论方
面进行介绍。
1. 定义
Stolz施笃兹定理本质上是一种比值极限，它是指对于一个数列 a(n) 和 b(n)，若最终 a(n) 和 b(n) 均趋近于无穷大或无穷小，则极限 lim a(n)/b(n) 存在并等于若干项之差的极限，即：
若 lim a(n)/b(n) 没有意义（无穷大或无穷小），则上式不成立。
2. 证明
Stolz施笃兹定理的证明并不难，下面我们只需简要证明一下。
对于数列 a(n) 和 b(n)，假设：
因此，我们可以根据夹逼原理得到：
这是一个比值极限，因此可以通过利用L'Hospital法则进行求解：
也就是：
3. 推论
Stolz施笃兹定理在数学证明中具有广泛的应用，也是众多极限问题求解的有效方法。
下面我们以推论的形式展开。
（1）若lim n→∞a(n) = ∞ 或lim n→∞ a(n) = 0，且lim n→∞ b(n) = ∞，
则有：
lim n→∞a(n)/b(n) = lim n→∞(a(n) - a(n-1))/(b(n) - b(n-1))
上述的推论都可以直接利用 Stolz施笃兹定理进行推导，有了这些推论，不仅能更好地理解Stolz施笃兹定理，而且在实际应用被使用时也更加灵活和高效。
无穷小量与无穷大量
原式
lim x0
ln(1
ex2 1 (cos x
1))
ln(1
1 cos x (cos x
1))
lim
ex2 1
lim 1 cos x
x0 ln(1 (cos x 1)) x0 ln(1 (cos x 1))
lim x2 lim1 cos x x0 cos x 1 x0 cos x 1
与
x是
不可比较的无穷小.
二. 关于等阶无穷小的性质和定理
1. 定理
定理 设在某一极限过程中, ~ , ~ ,
若 lim a ( 或为 ) ,
则 lim lim .
3. 定理
定理
设在某极限过程中, ~ , ~ , 则 ~ .
1 x2
1,
f1(x) x (x ) , f2(x) x3 (x ) ,
而
f1(x)
g(x)
x
1 x2
1 x
0
(x ) .
f2(x)
g(x)
x3
1 x2
x
(x ) .
例9
有界量与无穷大量的乘积
是否一定为无穷大量？
不着不急一, 定看再个是例无题穷: 大量.
(4) lim sin x 1 sin x ~ x (x 0) x0 x
例2 证明 ax 1 ~ x ln a (x 0 , a 0) 证 即要证 lim a x 1 1 x0 x ln a 令 y ax 1, 则 x 0 时, y 0 , 且
高等数学微积分知识整理
f -1 f f f n nn n高等数学微积分知识整理第一章 极限与连续一、函数1、函数的定义与要素（定义域、对应法则；函数相等的条件）2、函数的性质：单调性，奇偶性，周期性，有界性 *单调性的定义（以递增为例）：∀x 1 , x 2 ∈ D f ，若x 1＜x 2时f (x 1 ) ≤ f (x )在D f 上严格单调递增。
f (x 2 )，则f (x )在D f 上单调递增；将≤ 改为＜，则*有界的定义： ∃M ＞0，对于∀x ∈ A ⊆ D f ，都有| f (x ) |≤ M ，则f (x )在A 上有界。
（f (x )≥m ∈R ，则 f (x )下有界；反之则上有界。
只有既上有界又下有界的函数才是有界函数。
）3、函数的运算：四则运算、复合运算、反函数*题型：判断某个函数由哪些基本初等函数复合而成。
*反函数存在的可能情况：①y 与 x 一一对应；②f (x )是某区间上的严格单调函数 （反函数的单调性与原来的函数相同）* D = R ；当x ∈ D 时，f -1 ( f (x )) = x ；当x ∈ R 时，f ( f -1 (x )) = x 。
4、初等函数：包括 6 大基本初等函数（常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数）以及它们的有限次四则、复合运算构成的函数。
二、数列的极限1、数列的定义及表示方法2、数列的性质：单调性、有界性3、数列极限的定义：ε-N 语言（存在性命题要学会寻找充分条件，即增加对 N 的限制，从而找到 N ；绝对值不等式与不等式放缩也很重要）4、极限的四则运算5、无穷小量的性质（1） 若lim a = A ，则{a - A }是无穷小量。
（一种证明极限的方法） n →∞（2）有限个无穷小量相加、相乘还是无穷小量。
（3）无穷小量乘以有界量还是无穷小量。
6、收敛数列的性质 （1） 收敛数列必然有界 （2） 收敛数列的任一子列与该数列收敛于同一极限。
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使得
当 n N1 时
xn xn1 2，于是 yn yn1
xn xn1 2 yn yn1 ,
n N1 1, N1 2,K
xn xN1 (xN11 xN1 ) (xN12 xN11) L (xn xn1) xN1 2( yN11 yN1 ) 2( yN12 yN11) L 2( yn yn1) xN1 2( yn yN1 ) yn ( yn 2 yN1 xN1 ),
n
nk +1
定理2.3.3(Stolz) 设 yn 是严格单调增加的正
无穷大量，且
lim xn xn1 a， (a可以是有限数或 ) n yn yn1
则 lim xn a。 y n
n
制作人：杨寿渊
第一章、函数与极限
证明：a. 当
lim xn xn1 时，存在 n yn yn1
N1
N
时，
0
yn 0 成立，则 zn xn yn 是无穷大量。
推论 设
xn
是无穷大量，lim n
yn
b
0，则
xn yn
与
xn yn
都是无穷大量。
制作人：杨寿渊
第一章、函数与极限
待定型极限：0， ， 0 • ， 等 0
例2.5.5 试求极限 lim 1k 2k L nk ，k 1, 2,3,K 。
lim zn zn1 lim xn xn1 a 0, n yn yn1 n yn yn1
问题归结为情形b，从而有
lim xn lim zn a lim zn zn1 a a.
y y n
n
n
n
n yn yn1
d. 当 lim xn xn1 , 请读者自己完成证明。 n yn yn1
制作人：杨寿渊
证明：G 0, 考察不等式 qn G,
第一章、函数与极限
其解集为n ¢
n
ln ln
G q
,
取
N
ln
ln
G q
，则当
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱnN
时
因此 lim qn 。 n
qn G,
例2.3.2
试证
n2 1
n
5
是正无穷大量。
制作人：杨寿渊
第一章、函数与极限
证明：当 n 5 时，n2 1 n2 / 2 n ， n 5 2n 4
G 0，取 N max5, 4G，则当 n N 时
n2 1 n G， n5 4 因此 lim n2 1 。 n n 5
制作人：杨寿渊
第一章、函数与极限
定理2.3.1 设 xn 0，则数列 xn 是无穷大量的
充分必要条件是
1
xn
是无穷小量。
定理2.3.2 设
xn
是无穷大量，若当
n
第一章、函数与极限
例2.3.5
设
lim
n
an
a，试求极限
lim
n
a1
2a2
L n2
nan 。
解：利用Stolz定理，得
lim
n
a1
2a2
L n2
nan
lim
n
n2
nan (n 1)2
lim nan n 2n 1
lim
n
n lim 2n 1 n
an
a 2
制作人：杨寿渊
由于yn是无穷大量，故存在 N2 N1，使当 n N2 时
制作人：杨寿渊
xn yn ( yn 2 yN1 xN1 ) yn ,
第一章、函数与极限
现在对于任意正实数 M 取 N3 N2 使得当 n N3 时 xn xn1 M , yn yn1
则当 n N3 时
xn xN3 xn xN3 yn yN3 yn yN3
第一章、函数与极限
如果对任意给定的 G 0，总可以找到
的正整数 N，使得当 n N 时，xn G 成立，
则称数列是正无穷大量，记为
lim
n
xn
+ 。
如果对任意给定的 G 0，总可以找到
的正整数 N，使得当 n N 时，xn G 成立，
则称数列是负无穷大量，记为
lim
n
xn
。
例2.3.1 设 q 1，试证 qn 是无穷大量。
N1
使得
当 n N1 时
xn xn1 ，于是
yn yn1
制作人：杨寿渊
xn xn1 yn yn1 ,
于是
第一章、函数与极限
n N1 1, N1 2,K
xn xN1 xn xn1 xn1 xn2 L xN11 xN1
yn yn1 yn1 yn2 L yN11 yN1 yn yN1
不等式两边同除以 yn 得
xn xN1 yn yn
1
yN1 yn
,
对于固定的 N1，又可以取到 N N1，使得当 n N时，
制作人：杨寿渊
xN1 ，从而 xn xN1 2。
yn
yn
yn
第一章、函数与极限
c. 当
lim xn xn1 a 0 时，令 n yn yn1
zn xn ayn，于是
yN3 M yn yN3 yN3 yn yN3
M
(n ),
从而存在 N4 N3，使当 n N4 时 由 M 的任意性， lim xn 。
y n n
xn M ， yn 2
制作人：杨寿渊
第一章、函数与极限
b. 当
lim xn xn1 a 0 时， 0，存在
n yn yn1
xN3 xn xn1 xn1 xn2 L xN31 xN3 yN3 yn yn1 yn1 yn2 L yN31 yN3
制作人：杨寿渊
第一章、函数与极限
yN3 M yn yn1 M yn1 yn2 L M yN31 yN3 yN3 yn yn1 yn1 yn2 L yN31 yN3
制作人：杨寿渊
第一章、函数与极限
例2.3.4
试求极限
lim 1k
n
2k L nk +1
nk ，k 1, 2,3,K 。
解：利用Stolz定理，得
lim 1k 2k L nk lim
nk
n
nk +1
n nk +1 (n 1)k 1
nk
1
lim
n
(k
1)nk
Cn2nk1
L
. k 1
制作人：杨寿渊