高等数学期末复习：1.6 无穷小量与无穷大量
高等数学：无穷小量与无穷大量
1无穷小量与无穷大量一、基本内容1. 无穷小的定义 ：若)(x f 当?→x 时的极限为零，（即?→x 时)(x f 0→）则称)(x f 为当?→x 时的无穷小量，简称无穷小。
2. 无穷小与函数极限的关系：α+=⇔=→A x f A x f x )()(lim ?，其中α是?→x 时的无穷小。
3. 无穷大的定义：若x 满足δ<-<||00x x （或X x >||）时，有M x f >|)(|，则称)(x f 为当0x x →（或∞→x ）时的无穷大量，简称无穷大。
4. 无穷小与无穷大的关系： 1）若)(x f 是无穷大，则)(1x f 是无穷小； 2）若)(x f 是无穷小，且0)(≠x f ，则)(1x f 是无穷大。
二、学习要求1. 了解无穷小、无穷大的概念。
2. 理解无穷小与无穷大的关系及无穷小与函数极限的关系。
三、基本题型及解题方法 题型 判定无穷小与无穷大解题方法：（1）直接根据无穷小无穷大的定义；（2）当变量是分式时，常根据无穷大与无穷小的关系：若分母的极限值是零而分子的极限为常数，则该变量为无穷大量；若分母为无穷大而分子的极限为常数，则该变量为无穷小量。
【例】 判断下列哪些是无穷小量，哪些是无穷大量(1) 当∞→x 时，x 1； (2) 当+∞→x 时，xe -； (3) 当1→x 时，112-x ； (4) 当2→x 时，412-+x x 。
2解：(1)因为01lim=∞→x x ,则当∞→x 时，x1为无穷小量。
（2）因为0lim =-+∞→xx e ，故当+∞→x 时，x e -为无穷小量。
（3）因为当1→x 时，分母12-x 0→，而分子为非零常数，由无穷大与无穷小的关系，可知当1→x 时，112-x 为无穷大量。
（4）因为当2→x 时，412-+x x 的分母042→-x ，而分子31→+x ，故当2→x 时，412-+x x 为无穷大量。
无穷大量与无穷小量
x
2
sin
1 x
是同阶无穷小量.
U ( x0 ) 内满足:
f (x) L, g( x)
则记 f ( x) O( g( x)) ( x x0 ).
f ( x) 为 x x0 时的有界量时 , 我们记
f ( x) O(1) ( x x0 ) .
应当注意，若
f ( x) , g( x) 为 x x0 时的同阶无
U ( x0 ) 内，有
L f (x) M , g( x)
则称 f与( x) 是 g( x) x x0 时的同阶无穷小量.
根据函数极限的保号性，特别当
f (x)
lim
c0
xx0 g( x)
时，这两个无穷小量一定是同阶的.
例如: 当 x 0 时, 1 cos x 与 x2是同阶无穷小量;
当 x 0 时，x 与
x 0
x x 0 x 0 x
从几何上看，曲线
y
x sin
1 x
在
x 近0旁发生无
限密集的振动，其振幅被两条直线
y x 所限制.
y
0.1 y x
0.05
y x sin 1 x
-0.1 -0.05 O
0.05 0.1
x
-0.05 -0.1
y x
二、无穷小量阶的比较 、 、 两个相同类型的无穷小量，它们的和 差 积仍
一、无穷小量
定义1 设 f 在点x0 的某邻域 U ( x0 ) 内有定义，
若 lim f x 0, x x0
则称 f 为 x x0 时的无穷小量 .
若 f 在点 x0的某个空心邻域内有界，则称 f 为
x x0 时的有界量.
冲刺高考数学无穷小量与无穷大量的比较
冲刺高考数学无穷小量与无穷大量的比较在高考数学的广袤知识海洋中，无穷小量与无穷大量的比较是一个颇为重要的考点，也是很多同学在学习和解题过程中容易感到困惑的地方。
让我们一起深入探讨这个有趣且关键的数学概念，为高考冲刺做好充分准备。
首先，我们要明白什么是无穷小量和无穷大量。
简单来说，无穷小量就是在某个变化过程中，极限为零的变量。
比如说，当 x 趋近于无穷大时，函数 f(x) ＝ 1/x 的值就越来越接近于零，那么 1/x 就是 x 趋近于无穷大时的无穷小量。
而无穷大量则是在某个变化过程中，绝对值无限增大的变量。
比如当 x 趋近于 0 时，函数 f(x) ＝ 1/x²的值就变得越来越大，趋向于无穷，那么 1/x²就是 x 趋近于 0 时的无穷大量。
理解了基本概念后，我们来看看无穷小量和无穷大量的性质。
对于无穷小量，有这么几个重要的性质。
其一，有限个无穷小量的和、差、积仍然是无穷小量。
但要注意，无限个无穷小量的和、差、积就不一定是无穷小量了。
其二，有界函数与无穷小量的乘积仍然是无穷小量。
接下来，我们讲讲无穷小量的比较。
在同一个变化过程中，设α和β都是无穷小量。
如果lim(β/α) ＝ 0，那么就说β是比α高阶的无穷小量，记作β ＝o(α)；如果lim(β/α) ＝∞，则说α是比β高阶的无穷小量；如果lim(β/α) ＝c（c 为非零常数），那么就说α和β是同阶无穷小量；特别地，如果 c ＝ 1，就称α和β是等价无穷小量，记作α ～β。
等价无穷小量在解题中有着非常重要的作用。
比如在求极限的时候，如果能够巧妙地运用等价无穷小量进行替换，往往可以使计算变得简单快捷。
常见的等价无穷小量有：当 x 趋近于 0 时，sin x ～ x，tanx ～ x，1 cos x ～ x²/2 等等。
再来说说无穷大量。
无穷大量也有相应的比较方法。
同样在某个变化过程中，如果lim(β/α) ＝ 0，那么α是比β更高阶的无穷大量；如果lim(β/α) ＝∞，则β是比α更高阶的无穷大量；如果lim(β/α) ＝ c（c 为非零常数），那么α和β是同阶无穷大量。
无穷小量与无穷大量
当
x
0
x 时，ln
x
是负无穷大，记作
lim
ln x 。
x ，1 就不是无穷大，而是无穷小x了0。 x
②无穷大是指绝对值可以无限变大的变量，绝不
能与任何一个绝对值很大的常数如101000 ，
10001000 等混为一谈。
问：两个无穷大量的和是否是无穷大量？
答：不一定。
例如： f (x) 2x 1 ， g(x) 2x ，
2x
lim f (x) ， lim g(x) ，它们都是无穷大量，
x
x
但 lim [ f (x) g(x)] lim 1 0 是无穷小量。
x
x 2x
又如： f (x) 2x cosx ， g(x) 2x ，
lim f (x) ， lim g(x) ，它们都是无穷大量，
x
x
但 lim [ f (x) g(x)] lim cosx 不存在。
例．求下列极限
（1） lim xsin 1 ； （2） lim arctanx 。
x0 x
x x
错！
错！
（1）错正解： li∵m lximsinx10 l，im而x sliimn 1sin11， 0 ； x0x0 x x0 x0x x ∴ lim xsin 1 0 。 x0 x
（2） 解： ∵ lim 1 0 ，而arctan x ，
无穷小量和无穷大量
1.无穷小量 定义 1 若lim X 0 ，则称 X 为该极限过程中的
无穷小量，简称无穷小。
例如：当x0 时，sin x 和tanx 是无穷小量； 当 x x时，xx 是无穷小量；
当x 时， ax (a 1) 是无穷小量；
当 x 时， 1 是无穷小量。 x2
无穷大量与无穷小量
| a (x) f (x) | = | a (x) | | f (x) | < e M .
由于 e 是任意的小正数，因而 e M 也是可以任意 小的正数, 故 a (x) f (x) →0 .
推论 1
有限个无穷小量 (自变量同一趋向下)
之积为无穷小量 . 推论 2 常数与无穷小量之积为无穷小量 . 若 lim f ( x ) , 则 lim
定理3
设 f ( x ) 0 , 若 lim f ( x ) 0 ,
1 0. 反之， f ( x) 则 lim 1 . f ( x)
三、无穷小与无穷大的关系
定理2. 在自变量的同一变化过程中, 1 为无穷大, 则 若 为无穷小 ; f ( x) 1 为无穷大. 若 为无穷小, 且 f ( x) 0 , 则 f ( x) 说明: 据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.
无穷小量与无穷大量
一、无穷大量 二、无穷小量
三、无穷大量与无穷小 量的关系 四、无穷小量阶的比较
一、无穷大量
若函数 y = f ( x ) 的绝对值 | f ( x )| 在 x 的某
种趋向下无限增大，则称 y = f ( x ) 为在 x 的这
种趋向下的无穷大量，简称为无穷大.
当 x→ x0 时， f ( x ) 为无穷大量， 记作
x x0
lim f ( x ) ,
当 x → 时， f ( x ) 为无穷大量， 记作
lim f ( x ) .
x
有时，所研究的无穷大量具有确定的符号， 若在 x 的某种趋向下，f ( x ) 恒正地无限变大， 或者恒负，但绝对值无限变大，则记为
无穷大量与无穷小量
f (x) = 1 = o(1), (x → ∞). x
f (x) = ex = o(1), (x → −∞).
f (x) = arcsin x = o(1), (x → 0). f (x) = 0 = o(1), (x → X ).
2018/10/11
Edited by Lin Guojian
1
例: 证明设 lim f (x) = A ⇔ f (x) − A = o(1), (x → X ). x→X
例 : 设f (x) = 6x3, g(x) = 3x3,则当x → 0时, f (x) = o(1), g(x) = o(1)(x → 0), 则lim f (x) = 6x3 = 2,即f (x)与g(x)同阶无穷小. x→0 g(x) 3x3
例 : 设f (x) = sin x = o(1), g(x) = x = o(1)(x → 0),
f (x) 2
x→X
从而0 ≤ f (x)g(x) ≤ M f (x) , (x → X ).
由于f (x) = o(1), (x → X ),故 lim M f (x) = M lim f (x) = 0.
x→X
x→X
由夹逼定理知 : lim f (x)g(x) = 0. x→X
从而f (x)g(x) = o(1), (x → X ).
x→0
x
例: lim x2 sin x→0
1 x3
= 0,
lim x cos 1 = 0,
x→0
x
lim(ln x)⋅sin 1 = 0.
x→1
x −1
1
1
注 : lim sin 不存在,lim cos 不存在.
x→0
无穷小量和无穷大量
常用等价无穷小:
当 x 0时，
sinx ~ tan x ~ arcsinx ~ arctanx ~ ln( x ) ~ x， 1
1 2 e 1 ~ x , 1 cos x ~ x , (1 x )a 1 ~ ax (a 0) 2
x
五、等价无穷小量在求极限问题中的作用
任何无穷小量都是有界量。
类似可定义x→x0+, x→x0-,x→+∞, x→–∞以及x→∞时的无穷小量与有界量。
例1 (1) lim sin x 0， x 0
sinx是当x 0时的无穷小， sin x o(1) ( x 0 )； 即
lim sin x 1 0， sin x o(1) ( x
三、无穷小量的性质
性质1 有限个相同类型的无穷小量的和、差、积仍是 无穷小量. 性质2 （同一过程中的）有界量与无穷小量的乘积是 无穷小，即 O(1)· o(1)=o(1).
证法1： 用迫敛性可以证明。
性质2 （同一过程中的） O(1)· o(1)=o(1). 证法2 仅对 x x0 这种自变量的变化过程 来证。
定理 3 设函数f,g,h在U°(x0)内有定义，且有 f(x)~g(x) (x→x0). （1）若 lim f ( x )h( x ) A, 则 lim g( x )h( x ) A,
x x0 x x0
h( x ) h( x ) （2）若 lim B, 则 lim B x x0 f ( x ) x x0 g ( x ) h( x ) h( x ) f ( x ) h( x ) f ( x) lim lim lim 证（2） lim x x0 g ( x ) x x0 f ( x ) g ( x ) x x0 f ( x ) x x0 g ( x )
无穷小量与无穷大量
证明略．
1.1 无穷小量
3．无穷小量的性质 性质 1 有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量． 证明 以两个无穷小量的和为例．
设
lim (x)
xx0
0
，lim xx0
(x)
0
，由极限定义知：
0
，1
0
，当
0
|
x
x0
|
1
时， | (x)
|
2
；
0
，
2
0
1.1 无穷小量
例 2 求 lim x2 sin 1 ．
x0
x
解 因为 sin 1 1 ，当 x 0 时， x2 是无穷小量．根据无穷小量的性质 3，当 x
x 0 时， x2 sin 1 是无穷小量，即 x
lim x2 sin 1 0 ．
x0
x
1.2 无穷大量
1．无穷大量的概念 定义 2 在自变量的某个变化过程中，绝对值无限增大的函数称为无穷大量，简称无穷大， 记作 lim f (x) ．
x
2
cos x 是无穷小量．
1.1 无穷小量
例 1 下列变量在自变量怎样的变化过程中为无穷小量：
（1） 1 ； x 1
（2） 2x 4 ；
（3） 2x ；
（4）
1 4
x
．
解 （1）因为 lim 1 0 ，所以当 x 时， 1 为无穷小量．
x x 1
x 1
（2）因为 lim(2x 4) 0 ，所以当 x 2 时， 2x 4 为无穷小量． x2
例如，当 x 1时， 1 无限增大，所以当 x 1时， 1 是无穷大，即 lim 1 ．
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时的无穷小.
注意 1.无穷小是变量,不能与很小的数混淆;
2.零是可以作为无穷小的唯一的数.
2.无穷小与函数极限的关系:
定理 1 lim f ( x) A f ( x) A ( x), x x0
其中( x)是当 x x0时的无穷小.
证 必要性 设 lim f ( x) A, x x0
于是 0, 0, 使得当0 x x0 时 恒 有 f ( x) A . 令 ( x) f ( x) A,
原式 lim
22 0 (x )
定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
证 设函数u在U 0 ( x0 , 1 )内有界，
则M
0, 使得当0
x x0
时
1
恒有u M.
又设是当x x0时的无穷小,
0, 2
0,使得当0
x
x0
时
2
恒有 . M
取 min{1 ,2 }, 则当 0 x x0 时, 恒有 u u M ,
1 x3
2
原
式
lim
x0
2 (2
x
)3
1. 16
例5 求 lim tan 5x cos x 1 .
x0
sin 3x
解 tan5x 5x o(x), sin 3x 3x o( x),
1 cos x 1 x 2 o( x 2 ).
2
5x o( x) 1 x 2 o( x 2 )
lim
.
例3 求 lim tan2 2x . x0 1 cos x
解 当x 0时, 1 cos x ~ 1 x2 , tan 2x ~ 2x. 2
原
式
lim
x0
tan2 2 x (2x)2
(2x)2
.
.
1 x2 2
1 x2 1 cos x
8.
2
注意 不能滥用等价无穷小代换.
对于代数和中各无穷小不能分别替换.
例4 求 lim tan x sin x . x0 sin3 2 x
错解 当x 0时, tan x ~ x, sin x ~ x.
原式 lim x x
x0 (2 x)3
0.
解 当x 0时, sin 2x ~ 2x,
tan x sin x tan x(1 cos x) ~ 1 x3 ,
则有 lim ( x) 0, x x0
而 f (x) A(x).
充分性 设 f ( x) A ( x),
其中 ( x)是当x x0时的无穷小,
则 lim f ( x) A lim ( x) 0 即 lim f ( x) A.
x x0
x x0
x x0
意义 1.将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷 小);
于是有 o().
例如, sin x x o( x), cos x 1 1 x 2 o( x 2 ). 2
等价无穷小替换
定理(等价无穷小替换定理)
设 ~ , ~ 且lim 存在, 则 lim lim .
证 lim lim( )
lim lim lim
解
lim
x0
4x
tan3 x4
x
tan 4 lim(
x0 x
x)3
4,
故当x 0时,4x tan 3 x为x的四阶无穷小.
例2 当x 0时,求 tan x sin x关于x的阶数.
解
lim
x0
tan
x x3
sin
x
lim(
x0
tan x
x
1
cos x2
x
)
1, 2
tan x sin x为x的三阶无穷小.
M 当x x0时, u 为无穷小.
推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘 积是无穷小.
推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.
推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.
例如,当x 0时, x sin 1 , x 2 arctan 1 都是无穷小
x
x
二、无穷小量的比较
例如, 当x 0时, x, x 2 , sin x, x 2 sin 1 都是无穷小.
(1) 如果lim 0,就说是比高阶的无穷小,
记作 o();
(2) 如果 lim C(C 0), 就说与是同阶的无穷小;
特殊地 如果lim 1,则称与是等价的无穷小;
记作 ~ ;
(3) 如果lim C(C 0,k 0),就说是的k阶的 k
无穷小.
例1 证明 :当x 0时,4x tan 3 x为x的四阶无穷小.
第六节 无穷小量与无穷大量
一、无穷小
1.定义: 极限为零的变量称为无穷小.
定义1 如果对于任意给定的正数 (不论它多么小)， 总存在正数 (正数X )，使得对于适合不等式 0 x x0 （或x X）的一切x，对应的函数 值f ( x)都满足不等式 f ( x) , 那么称函数f ( x)
2.给出了函数f ( x)在x0附近的近似表达式 f ( x) A, 误差为( x).
3.无穷小的运算性质:
定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和 仍是无穷小.
证 设及是当x 时的两个无穷小,
0,N1 0, N2 0,使得
当
x
N
时恒有
1
; 2
当
x
N
时恒有
2
; 2
取 N max{N1 , N2 }, 当 x N时, 恒有 ,
x2 lim 0,
x
x 2比3 x要快得多;
观 x0 3x
察 各 极 限
lim sin x 1,
sin x与x大致相同;
x0 x
lim
x0
x 2 sin x2
1 x
lim sin
x0
1 x
不存在.
不可比.
极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不 同.
定义:设,是同一过程中的两个无穷小,且 0.
当x x0 (或x )时为无穷小，记作
lim f ( x) 0 (或 lim f ( x) 0).
x x0
x
例如,
lim sin x 0, 函数sin x是当x 0时的无穷小. x0
lim 1 0, x x
函数 1 是当x 时的无穷小. x
lim (1)n n n
0, 数列{(1)n }是当n n
常用等价无穷小: 当x 0时,
sin x ~ x, arcsin x ~ x,
tan x ~ x, arctan x ~ x,
ln(1 x) ~ x, e x 1 ~ x, 1 cos x ~ 1 x2 . 2
用等价无穷小可给出函数的近似表达式:
lim 1, lim 0, 即 o(),