双曲线第一课定义
双曲线一二三定义及推导
双曲线一二三定义及推导双曲线是二维平面上的一类曲线，它的形状类似于一条拉长的长蛋糕。
在数学中，双曲线有三种常见的定义方式，分别是用几何定义、用解析几何定义和用参数方程定义。
下面将详细介绍这三种定义方式及其推导。
一、几何定义：双曲线的几何定义是通过一个焦点和一个确定的准线上的一个点到这个焦点和焦准线之间的距离差的比例来确定的。
设焦点为F，准线为L，准线上的一个点为P，点P到焦点F的距离为d1，到焦准线L的距离为d2，则双曲线的几何定义是d1/d2等于一个常数e（离心率）。
用数学符号表示为：d1/d2 = e其中，e是一个大于1的常数，称为离心率。
通过几何定义，我们可以得到双曲线的一些性质。
首先，双曲线是对称的，即关于焦准线对称。
其次，离心率e越大，双曲线的拉长程度越高。
最后，双曲线的两个分支无限延伸，且与焦准线无限靠近但永远不会相交。
二、解析几何定义：双曲线的解析几何定义是通过代数方程来表示的。
设焦点为F（c, 0），离心率为e，焦准线为x = a/e（a为坐标原点到焦准线的距离），则双曲线的解析几何定义为：(x^2 + y^2)/(a^2) - (y^2)/(b^2) = 1其中，b^2 = a^2 * (e^2 - 1)。
通过解析几何定义，我们可以进一步推导双曲线的一些性质。
首先，双曲线的中心在原点（0, 0）处。
其次，双曲线以x轴和y轴为渐近线，即双曲线的两个分支与x轴和y轴无限靠近但永远不会相交。
最后，双曲线的曲线方程可以写成标准形式：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1或y^2/b^2 - x^2/a^2 = 1，其中a为实际顶点到中心的距离，b为顶点到焦准线的距离。
三、参数方程定义：双曲线的参数方程定义是通过参数方程来表示的。
设焦点为F（c, 0），离心率为e，参数为t，则双曲线的参数方程定义为：x = a*cosh(t)y = b*sinh(t)其中，a = 1/e，b = 1。
双曲线(讲解部分)
答案
y2 x2
- =1
45
方法总结 1.定义法:根据已知条件,若所求轨迹满足双曲线的定义,则利用
双曲线的定义求出参数a,b的值,从而得到轨迹方程.
2.待定系数法:根据题目条件确定焦点的位置,从而设出所求双曲线的标准
方程,利用题目条件构造关于a,b的方程(组),解得a,b的值,即可求得方程.
例2
5.设P,A,B是双曲线(焦点在x轴上)上的三个不同的点,其中A,B关于原点对
称,则直线PA与PB的斜率之积为
b2 a2
.
6.若P是双曲线右支上一点,F1、F2分别为双曲线的左、右焦点,则|PF1|min=a
+c,|PF2|min=c-a.
7.同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦),其长为 2b2 ,异
45
解法二:椭圆
x2 27
+
y2 36
=1的焦点坐标是(0,±3).设双曲线方程为
y a
2 2
-
x2 b2
=1(a>
0,b>0),则a2+b2=9①,又点( 15 ,4)在双曲线上,所以 16 -15 =1②,联立①②,解
a2 b2
得a2=4,b2=5.故所求双曲线的标准方程为 y2 - x2 =1.
a b
x平行的直线为y
=
a b
x+c,由
y y
= =
a x+ b - a x, b
c,
解得
x y
= =
- bc 2a c, 2
,
即M
-
bc 2a
,
c 2
.因为M在以线段F1F2为直径
的圆x2+y2=c2内,所以
双曲线定义的应用
• 解析：设F(x，y)，因为A、B两点在以C、 F为焦点的椭圆上， • 所以|FA|＋|CA|＝2a，|FB|＋|CB|＝2a(其 中a表示椭圆的长半轴) • 所以|FA|＋|CA|＝|FB|＋|CB|. • 所以|FA|－|FB|＝|CB|－|CA|
所以|FA|－|FB|＝2. 由双曲线的定义知，F 点在以 A、B 为焦点，2 为实 轴长的双曲线的下半支上． x2 所以点 F 的轨迹方程是 y2－ ＝1(y≤－1)． 48
3．双曲线的几何性质：以x2/a2-y2/b2=1(a、b＞0)表示的双 曲线为例，其几何性质如下：(1)范围：x≤-a，或x≥a(2)关 于x轴、y轴、原点对称，(3)两顶点是(±a,0)(4)离心率 e=c/a∈(1,+∞).c=√a2+b2(5)渐近线方程为y=±bx/a，准线方 程是x=±a2/c 4．双曲线的焦半径公式 (1)双曲线x2/a2-y2/b2=1上一点P(x0，y0)的左焦半径为 |PF1|=|ex0+a|；右焦半径为|PF2|=|ex0-a| (2)双曲线-x2/b2+y2/a2=1上一点P(x0,y0)的下焦半径为 |PF1|=|ey0+a|，上焦半径为|PF2|=|ey0-a| 5．双曲线x2/a2-y2/b2=1的渐近线方程为x2/a2-y2/b2=0；双曲 线x2/a2-y2/b2=1的共轭双曲线为x2/a2-y2/b2=-1.
解析：由条件可知|BC|－|BA|＝10，且|AC|＝12，又 sinA－sinC |BC| |AB| |AC| 在△ABC 中， sinA＝sinC＝sinB＝2R， 有 从而 sinB ＝ |BC|－|AB| 5 5 ＝ .故填 . |AC| 6 6
x y （1）双曲线 1 的两 9 16 个焦点F1，F2，A是双曲线上的 一点，且|AF1|=8，则 |AF2|=_______.
双曲线的第一二三定义公式
双曲线的第一二三定义公式
双曲线的三种定义公式如下：
1. 双曲线的几何定义公式：
双曲线是平面上一点P与两个不同定点F1，F2的距离之差等
于一定正数2a的所有点的集合。
该双曲线的方程为：
(x^2 / a^2) - (y^2 / b^2) = 1 或 (y^2 / b^2) - (x^2 / a^2) = 1
其中，a为双曲线中心到各焦点的距离，b为双曲线顶点到中
心的距离，且a > b。
2. 双曲线的参数方程：
以焦点F1为中心，以2a为直径，作圆γ1；以焦点F1为中心，以2c为直径，作圆γ2。
过点P(x,y)的垂线分别交γ1，γ2于点A，B，连接AB并延长交椭圆于点C。
则C点的坐标(x/c, y/c)
即为双曲线的参数方程。
3. 双曲线的解析定义：
双曲线为满足方程y^2/a^2 - x^2/b^2 = 1（或x^2/a^2 - y^2/b^2
= 1）的所有点的集合。
这种定义方法通常用于描述具体的数
学对象。
双曲线第一定义推导
双曲线第一定义推导
双曲线是一个平面上的曲线，定义为满足以下关系的点的集合：
x^2 / a^2 - y^2 / b^2 = 1 或者 y^2 / b^2 - x^2 / a^2 = 1
其中，a 和 b 是正常数，并且 a > 0，b > 0。
为了推导这个定义，我们可以从定义中的两个方程出发进行推导。
假设我们从第一个方程开始推导：
x^2 / a^2 - y^2 / b^2 = 1
首先，我们可以将这个方程改写为：
x^2 / a^2 = 1 + y^2 / b^2
然后，我们可以通过乘以 a^2 来消去分母：
x^2 = a^2 + y^2 * (a^2 / b^2)
然后，我们可以通过减去 a^2 来将常数项移至右边：
x^2 - a^2 = y^2 * (a^2 / b^2)
最后，我们可以通过除以 (a^2 / b^2) 来消去分母：
(a^2 / b^2) * (x^2 - a^2) = y^2
根据上述推导，我们可以得到如下方程：
y^2 = (a^2 / b^2) * (x^2 - a^2)
这个方程可以用来描述双曲线上的点。
同样地，我们也可以从第二个方程推导出双曲线的方程。
因此，我们可以得出双曲线的一般方程为：
y^2 = (a^2 / b^2) * (x^2 - a^2)
或者
x^2 / a^2 - y^2 / b^2 = 1
这就是双曲线的第一种定义推导的结果。
3.3 双曲线 课件2 (北师大选修2-1)
2m
y
2
m 1
1
③焦点在x轴上，经过点
( 2 , 3 ), ( 15 3 , 2)
• • • • • • •
方法1：分类讨论 设方程x2/a2－y2/b2=1(a>0,b>0) 点的坐标代入得a2=1,b2=3 设方程－x2/b2+y2/a2=1(a>0,b>0) 点的坐标代入无解 方法2：设方程mx2+ny2=1(mn＜0) 点的坐标代入得m=1,n=－1/3
归纳总结
• 数学思想方法：数形结合，待定系 数法，分类讨论 • 掌握双曲线的定义及其标准方程的 推导，并利用焦点、焦距与方程关 系确定双曲线方程.
• 预习提纲 • 在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2s， 说明了什么？
• 根据题意怎样确定爆炸点的位置？为 什么？ • 如果A、B两点同时听到爆炸声，那么 爆炸点应在怎样的曲线上？
• 与椭圆定义对照，比较它们有什么相同点 与不同点？ • 双曲线定义中“差的绝对值”只说“差” 行不行，为什么？ • 椭圆标准方程是如何推导的？
•
轴经过点F1、F2，并且点 O与线段F1F2的中点重合. • 设M（x,y）是双曲线上任 意一点，双曲线的焦距为 2c(c>0)，那么，焦点F1、 F2的坐标分别是(－c,0)、 (c,0).又设M与F1、F2的距 离的差的绝对值等于常数 2a. • 由定义可知，双曲线就是 集合 P M MF 1 MF 2 2 a .
• 形式一：
双曲线的标准方程的形式 x y
2 2
a
2
b
2
1
（a>0,b>0）
• 说明：此方程表示焦点在x轴上的双曲线.焦 点是F1(－c,0)、F2(c,0)，这里c2=a2+b2. 2 2 y x • 形式二： （a>0,b>0） 1
双曲线 知识点
双曲线知识点写一篇文章（step by step thinking）双曲线是数学中的一个重要概念，它具有许多有趣和实用的性质。
在本文中，我们将逐步介绍双曲线的定义、性质和应用。
第一步：什么是双曲线双曲线是平面上的一种曲线，它由一条固定点F（焦点）和一条固定直线d（直轴）确定。
对于平面上的任意点P，它到焦点F的距离与到直轴d的距离之差的绝对值等于一个常数e（离心率）。
第二步：双曲线的性质根据双曲线的定义，我们可以得出一些有趣的性质。
1.双曲线有两支，分别称为实部和虚部。
实部是指离焦点近的那一支，虚部是指离焦点远的那一支。
2.双曲线的离心率e决定了曲线的形状。
当e<1时，双曲线是有界的；当e=1时，双曲线是无界的；当e>1时，双曲线是无界的。
3.双曲线的对称轴是与直轴d垂直且经过焦点F的直线。
它将双曲线分成两个对称的部分。
4.双曲线的渐近线是与曲线趋于无穷远点的两条直线。
它们与曲线的距离趋于零，但永远不会与曲线相交。
第三步：双曲线的应用双曲线在许多领域都有着广泛的应用。
1.物理学：双曲线广泛应用于电磁场的研究中。
双曲线的形状可以描述电磁波的传播特性，如焦点对应着天线的位置，离心率反映了电磁波的聚焦程度。
2.工程学：双曲线在无线通信中的应用十分重要。
例如，双曲线可以用于定位技术中的多普勒测距，通过测量信号传播时间和频率变化，可以精确计算出物体的位置。
3.数学建模：双曲线可以用于描述一些复杂的现象。
例如，在人口增长模型中，双曲线可以描述人口增长速度的变化趋势，对于预测未来的人口趋势具有重要意义。
第四步：总结通过以上的介绍，我们了解了双曲线的定义、性质和应用。
双曲线作为数学中的一个重要概念，具有许多有趣和实用的性质。
它在物理学、工程学和数学建模等领域都有着广泛的应用。
通过深入研究和理解双曲线的性质，我们可以更好地应用它们解决实际问题。
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根据实验及椭圆定义，你能给双曲线下定义吗？
2.双曲线的定义 回忆椭圆的定义
平面内与两个定点 F1， F 平面内与两个定点 F F2的距离的和为一个定 2的距离的差的绝对值 1， 等于常数 （小于︱ F1F2︱） 的点的轨迹叫做双曲线. 值（大于 ︱F1F2︱ ）的点的轨迹叫做椭圆 ① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点; ② |F1F2|=2c ——焦距. 注意
(2) 双曲线的标准方程为______________ (3)双曲线上一点Ｐ， |PF1|=10, 4或16 则|PF2|=_________
小结 ----双曲线定义及标准方程
定义
| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
y
M
M F2
y
图象
F1
o
F2
x
F1
x
方程 焦点
a.b.c 的关 系
2 2
2
2
2 2 x2 x y ( 2) y 2 1 ( 3) 1 5 12 8
双曲线与椭圆之间的区别与联系：
椭 圆 y2 双曲线
||MF1|－|MF2||=2a
定义
方程
|MF1|+|MF2|=2a
x2 a2
+
b2
=1
x2
y2 x2 + 2 =1 2 a b
焦点
F（±c，0） F（0，±c）
a2 b2 y2 x2 = 1 2 2 a b
F（±c，0） F（0，±c） a>0，b>0，a,b大小 不确定，c2=a2+b2
-
y2
=1
a.b.c 的关系 a>b>0，a2=b2+c2
这节课，我们一起认识到了双曲线的 图形及方程之美，但我们并没有完全认识 她的特征。她像极了我们的人生，有优美， 也有悲伤，接下来让我们通过一首歌一起 去遐想和感受她的悲伤，希望大家能在聆 听之后，下课之余，去真正的认识双曲线 的另外一面，为今后我们研究双曲线的性 质提供帮助，同时也让我们得出对人生的 一些思考。
北公园
花瓶
反比例函数的图像
冷却塔
罗兰导航系统原理
平面内与两定点F1、F2的距离的 差 和 等于常数2a 的点的轨迹是什么?
M
2a |F F | 2a |1 F F 2 1 2 | 2a | F1F2 | 2a | F1F2 | 2a | F1F2 | 2a | F1F2 |
M
(1)距离之差的绝对值
F
| |MF1| - |MF2| | = 2a
(2)常数要小于|F1F2|大于0
1
o
F2
0<2a<2c
3.双曲线的标准方程
1. 建系. 以F1,F2所在的直线为X轴， 如何求这优美的曲线的方程？ 线段F1F 2的中点为原点建立直角坐 标系 2.设点． 设M（x , y）,双曲线的焦 距为2c（c>0）,F1(-c,0),F2(c,0) 3.列式． |MF1|
F1
y
M
o
F2
x
- |MF2|= 2a _ 2a (x-c)2 + y2 = +
即
(x+c)2 + y2 -
4.化简.
(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
( (x c)2 y2 )2 ( (x c)2 y2 2a)2
y
M F1
o
cx a2 a (x c)2 y2
没有轨迹 椭圆
F1 F2
线段 一条射线
没有轨迹
画双曲线
演示实验：用拉链画双曲线
画双曲线
演示实验：用拉链画双曲线
①如图(A)， |MF1|-|MF2|=|F2F|=2a ②如图(B)，
|MF2|-|MF1|=|F1F|=2a
由①②可得： | |MF1|-|MF2| | = 2a （差的绝对值）
上面 两条合起来叫做双曲线
x y 1( x 0) 9 16
两条射线 轨迹不存在
2
2
没有“绝对值”这个条件时, 仅表示双曲线的一支
练3:已知双曲线
上一点
P到
双曲线的一个焦点的距离为9，则它到另 一个焦点的距离为 3或15 思考： 若把距离9改为3， 则现在有几解？ .
例2：求适合下列条件的双曲线的标准方程。 （1）a 4, c 5焦点在
x2 y2 y2 x2 1与 判断： 1 的焦点位置？ 16 9 9 16
结论： 看
x , y 前的系数，哪一个为正，则
2
2
焦点在哪一个轴上。
双曲线的标准方程与椭圆的 标准方程有何区别与联系?
双曲线与椭圆之间的区别与联系
椭
定义
圆
双曲线
||MF1|－|MF2||=2a
|MF1|+|MF2|=2a
取值范围
变式二: 表示焦点在y轴的双曲线时， 求m的范围。
思考探究
过双曲线 的左焦点F1的
弦AB的长为6，则△ABF2（F2是右焦点）的
周长是
小结：
1、双曲线及其焦点，焦距的定义，双曲线的标 准方程以及方程中的a，b，c之间的关系
2、怎样的双曲线其方程是标准方程； 标准方程表示的双曲线的特征
3、焦点位置的确定方法 4、求双曲线标准方程关键（定位，定量）
x y 2 1 2 a b
F ( ±c, 0)
2
2
y2 x2 2 1 2 a b
F(0, ± c)
2 2
c a b
2
例1: 已知F1(-5，0)，F2（5，0），动点P到
F1、F2的距离之差的绝对值为6，求点P的轨迹 2 2 方程. x y
9
16
1
1、若|PF1|-|PF2|=6呢？ 2、若||PF1|-|PF2||=10呢？ 3、若||PF1|-|PF2||=12呢？ 注意
练习：
根据下列条件，求双曲线的标准方程：
15 16 1、过点 P ( 3 , )、Q ( , 5 ) 且焦点在坐标 4 3
轴上； 2、 c = 6 ，经过点 (－5 , 2 )，焦点在 x 轴上；
x y 3、与双曲线 1 有相同焦点，且经过 16 4 点 ( 3 2, 2 )
y x (1) 1 9 16
F（0，±c）
a.b.c的关 系
F（0，±c）
a>0，b>0，c2=a2+b2 但a不一定大于b
a>b>0，a2=b2+c2
课堂巩固
已知双曲线的焦点为F1(-5,0), F2(5,0)双曲线上 一点到焦点的距离差的绝对值等于6，则 (1) a=_______ , c =_______ , b =_______ 3 5 4
如果我是双曲线，你就是那渐近线 如果我是反比例函数，你就是那坐标轴 虽然我们有缘，能够生在同一个平面 然而我们又无缘，漫漫长路无交点 为何看不见，等式成立要条件 难到正如书上说的，无限接近不能达到 为何看不见，明月也有阴晴圆缺 此事古难全，但愿千里共婵娟
方程
2 2 x2 y 2 x y 2 1(a b 0) 2 1(a 0, b 0) 2 2 a b a b 2 2 y 2 x2 y x 2 1(a b 0) 2 1(a 0, b 0) 2 2 a b a b
焦点
F（±c，0）
F（±c，0）
(c a ) x a y a (c a )
2 2 2 2 2 2 2 2
令c2－a2=b2
x y 2 1 2 a b
2
2
双曲线的标准方程
y
M
y
M F2 x
F
1
O
F
2
x
O
F1
x y 2 1 2 a b
2
2
y x 2 1 2 a b
2
2
(a 0，b 0)
思考：如何由双曲线的标准方程来判断它的焦点 是在X轴上还是Y轴上？
y 轴上
思考：
要求双曲线的标准 方程需要几个条件 （2）a 4 经过点 A(1, 17)
x y （3）已知椭圆的方程为 9 16 1 ， 求以
此椭 圆的顶点为焦点、焦点为顶点的双 曲线的标准方程.
2
2
例3:如果方程
表示焦点在y轴
的双曲线，求m的取值范围. 变式一: 方程 表示双曲线时，则m的