双曲线的第二定义
第三讲---双曲线的第二定义

第三讲 双曲线的第二定义知识梳理(一)双曲线的第二定义:平面内一动点 的比为常数 e 到一定点 F (c, 0) 的距离与到一定直线 L : x a2 的距离 cc (e>1) a定点 F (c, 0) 是双曲线的焦点,定直线 L 是双曲线的准线,常数 e 是双曲线的离心率。
(二)焦点三角形的面积公式。
S1 r1r2 sin b 2 tan 2 23.双曲线的方程,图形,渐进线方程,准线方程和焦半径公式: 标准方程 图像 渐进线方程x2 y 2 1(a 0.b 0) a 2 b2b x a a2 x c M 在右支上 r左 =|MF1 |=ex0 a yy 2 x2 1(a 0.b 0) a 2 b2a x b a2 y c y准线方程半径公式r右 =|MF2 |=ex 0 a M 在左支上 r左 =|MF|=-ex 1 0 a r右 =|MF2 |=-ex 0 a典例分析 题型一:与双曲线准线有关的问题 例 1.(1)若双曲线x2 y 2 1 上一点 P 到右焦点的距离等于 13 ,则点 P 到右准线的距离为______ 13 12x2 y 2 1 的离心率为 2,则该双曲线的两条准线间的距离为________ A.若双曲线 m 3练习:已知双曲线的渐进线方程为 3x 2 y 0 ,两条准线间的距离为 解:双曲线渐进线方程为 y 16 13 ,求双曲线的标准方程。
133 x 21所以双曲线方程为x2 y 2 ( 0 )在分 0 时 4 和 0 时。
。
。
4 9题型二:双曲线第二定义及其运用 例 2:设一动点到 F(1,0)和直线 x=5 的距离之比为 3 。
求动点的轨迹方程。
练习:已知双曲线x2 y 2 1(a 0, b 0) 的左右焦点分别为 F1F2 ,点 P 是左支上的一点,P 到左准线的 a 2 b2距离为 d ,若 y 3x 是已知双曲线的一条渐进线,则是否存在这样的 P 点使得 d , | PF1 |,| PF2 | 成为等比 数列?若存在,求出 P 点坐标;若不存在,说明理由。
双曲线的第二定义

一、第二定义
a2 引例:点M(x, y)与定点F(c, 0)的距离和它到定直线 x c c
的距离比是常数
a
(c>a>0),求点M的轨迹.
M
解: 设点M(x,y)到l的距离为d,则
| MF | c d a
( x c )2 y 2
即
a2 x 点M的轨迹也包括双曲线的左支. c
-
a2y2=a2b2
x2 y2 2 1 2 a b
(a>0,b>0)
故点M的轨迹为实轴、虚轴长分别为2a、2b的双曲线.
双曲线的第二定义
平面内,若定点F不在定直线l上,则到定点F的距离与到定 直线l的距离比为常数e(e>1)的点的轨迹是双曲线。 定点F是双曲线的焦点,定直线叫做双曲线的准线,常 数e是双曲线的离心率.
对于双曲线
a2 x c a2 x c
x2 y2 2 1 2 a b
y
类似于椭圆
l′ l
是相应于右焦点F(c, 0)的
右准线
是相应于左焦点F′(-c, 0) 的左准线
F′ o
M
F
x
点M到左焦点与左准线的距 离之比也满足第二定义.
a2 a x x c c
2
想一想:中心在原点,焦点在
y轴上的双曲线的准线方程 相应于上焦点F(c, 0)的是上准线 是怎样的?
作MN⊥l, AA1⊥l, 垂足分别是N, A1,
A
x
4 | MA | | MF2 || MA | | MN | | AA1 | 5
当且仅当M是 AA1与双曲线的交点时取等号, 令y=2, 解得:
| MF2 | 5 | MN | 4
高中数学圆锥曲线复习(二)——双曲线

圆锥曲线复习(二)---—双曲线一.双曲线的定义第一定义:平面内与两个定点21,F F 距离的差的绝对值等于|)|2(221F F a a <的点的轨迹。
第二定义:平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离的比是常数)1(>e 的动点的轨迹。
2双曲线的标准方程及几何性质标准方程 )0,0(12222>>=-b a b y a x )0,0(12222>>=-b a b x a y图形性质 焦点F 1(-)0,c ,F 2()0,c F 1(),0c -,F 2(),c o焦距 | F 1F 2|=2c222c b a =+范围R y a x ∈≥,|| R x a y ∈≥,||对称 关于x 轴,y 轴和原点对称 顶点 (-a ,0)。
(a ,0) (0,—a )(0,a ) 轴 实轴长2a ,虚轴长2b 离心率)1(>=e ac e 准线 c a x 2±=ca y 2±= 渐近线0=±bya x 0=±ayb x 到焦点的,c a =-最近距最远距无b Rt ∆焦渐距,第二个二、常见的结论:(1)与双曲线22221x y a b -=共同的焦点的双曲线22221x y a k b k-=-+(2)与双曲线22221x y a b-=(a>0,b>0),有共同渐近线的双曲线系方程为λ=-2222by a x (a 〉0,b>0,λ≠0), 当 λ>0 时,所求双曲线的焦点与已知的在同一坐标轴上 当 λ〈0 时,所求双曲线的焦点与已知的在同一坐标轴上 (3)等轴双曲线的性质:离心率为2,渐近线方程为y=±x 等轴双曲线可以设为x 2-y 2=λ≠0(4)双曲线形状与e 的关系:b k a ===,e 越大,即渐开阔,即双曲线的离心率越大,它的开口就越阔。
三、求双曲线标准方程常用的方法是待定系数法或定义法(强调取一支还是两支)。
双曲线的第二定义

说明:|PF1|, |PF2|称为椭圆的焦半径,此公式称为焦半径公式
x2 y2 例4:已知双曲线 1右支上一点P到右焦点的距离等于 8, 64 36 求点P到双曲线左准线的距离 。
解: a 8 , b 6, c a 2+b2 10
l' y
| PF2 | a ex0 其中e为双曲线的离心率。 y l' 2
a c
l
P.
| PF1 | c 由双曲线的第二定义得 : 2 a a x0 c
F1
.
O
.
F2
x
整理得:| PF 1 | a ex0
由双曲线的第一定义得 : | PF2 || PF 1 | 2a a ex0
b 直线 y x叫做双曲线的渐进线 a
x2 y2 x2 y2 双曲线 2 2 1的渐进线为 2 2 0 a b a b
y
b y x a
等轴双曲线 e 2
O
x
b y x a
P 2 5题 113 : 练习:
x y 2(1) 1 16 9
2 2
y2 x2 (2) 1 36 28
F’
.
O
.
F
x
化简 (c 2 a 2 ) x 2 a 2 y 2 a 2 (c 2 a 2 ) .
2 2 x y 设 c 2 a 2 b2 ,则 方程化为 2 2 1 (a 0, b 0) a b
点 M 的轨迹是实轴、虚轴长 分别为2a、 2b的双曲线.
双曲线的第二定义:
2 2
l d .M
F’
.
O
.
F
第10讲椭圆及双曲线的第二定义

第10讲 椭圆及双曲线的第二定义一. 椭圆1. 第二定义:动点M 到定点F 的距离和它到定直线l (F 不在l 上)的距离之比等于常数e (0<e<1),则动点M 的轨迹叫做椭圆。
定点F 是椭圆的焦点,定直线l 叫椭圆的准线(ca 2x :l ±=),常数e 是椭圆的离心率。
2. 焦半径:椭圆上任一点和焦点的连线段的长称为焦半径设椭圆焦点在x 轴上,F 1,F 2分别为椭圆的左右焦点,P(x 0,y 0)是椭圆上任一点,则0201a ,a ex PF ex PF -=+=。
(简记为:左+右-) 3. 焦点弦:过椭圆焦点的弦称为椭圆的焦点弦。
设过椭圆的焦点F 1(-c,0)的弦为AB ,其中A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则)(2a AB 21x x e ++=4. 通径:过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆通径,其长a2212b H H = 例1. 椭圆16410022=+y x 上有一点P ,它到右焦点的距离为14,求点P 到左准线的距离。
例2. 若椭圆13422=+y x 内有一点P(1,-1),F 为右焦点,在该椭圆上求一点M ,使得MF MP 2+最小,并且求最小值例3. 已知椭圆192522=+y x ,若椭圆上有一点P 到右焦点的距离是1,则点P 的坐标为多少?二. 双曲线1. 第二定义:动点M 到定点F 的距离和它到定直线l (F 不在l 上)的距离之比等于常数e (e>1),则动点M的轨迹叫做双曲线。
定点F 是双曲线的焦点,定直线l 叫双曲线的准线(ca 2x :l ±=),常数e 是双曲线的离心率。
2. 焦半径:双曲线上任一点和焦点的连线段的长称为焦半径设双曲线焦点在x 轴上,F 1,F 2分别为双曲线的左右焦点,若P(x 0,y 0)是双曲线左支上任一点,则0201a ,--a ex PF ex PF -==。
双曲线第二定义

双曲线的第二定义 :设问:椭圆有第二定义中:平面内一动点到一定点的距离与它到一定直线的距离之比为一个常数(常数在0、1之间取值得到的动点轨迹是椭圆,若常数大于1得到的动点轨迹又是什么呢? 点M (x ,y )与定点F (c ,o )的距离和它到定直线l ::x =ca2的距离的比是常数),0(>>c a ac求点M 的轨迹.解:设d 是点M 到直线l 的距离.根据题意,所求轨迹是集合p =⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=a c dMF M, 由此得ac cax y c x =-+-222)(.化简得0).b 0,(a 12222>>=+by ax这是椭圆的标准方程,所以点M 的轨迹是长轴长、短轴长分别为2a 、2b 的椭圆.如果把上题中的条件0>>c a 改为0>>a c ,其他条件不变,所求点M 的轨迹又是什么? 引导学生分析上面解题过程,发现:)()(22222222c a a y a x c a -=+-可改写为)()(22222222a c a ya x a c -=--设222b ac =-,就可化为:12222=-by ax (0,0>>b a )这是双曲线的标准方程,所以点M 的轨迹是实轴长、虚轴长分别为2a 、2b 的双曲线 总结:进一步类比研究椭圆第二定义过程,引导学生得到以下结论:(1)到定点的距离与到定直线的距离之比是常数e (1>e )的点的轨迹是双曲线;定点叫焦点,定直线叫准线,常数e 叫离心率。
(第二定义); (2)对于双曲线12222=-by ax ,相应与焦点F (c ,0)的准线方程是cax 2=,相应与焦点F (-c ,0)的准线方程是cax 2-=;对于双曲线12222=-bx ay ,相应与焦点F (0,c )的准线方程是cay 2=,相应与焦点F (0,-c )的准线方程是cay 2-=;(3)若定点是)0,(c F ,定直线是l : cax 2=,常数ac e =,则轨迹为双曲线的标准方程12222=-by ax ;若定点是),(b a F ,定直线是l :0=++C By Ax ,常数)1(>e e ,则轨迹一定是双曲线,但轨迹方程却不一定是标准方程。
11.双曲线的简单几何性质(第二定义)

( x 5) y 5 . 16 4 | x| 5
2 2
d
4
.
.
O
M F
d
x
.
点 M 的轨迹是实轴、虚轴长 分别为8、 6的双曲线.
x y2 即 1. 16 9
•
例2 点 与定点 的距离和它到 直线 的距离的比是常数 ,求 点M的轨迹.
• 由此可知,当点 M到一个定点的距离和它到 一条定直线的距离的比是常数 时,这 个点的轨迹是双曲线.通常称为双曲线的第二 定义.定点是双曲线的焦点,定直线叫做双曲 线的准线,常数 是双曲线的离心率.
y 2 x2 在双曲线 1 的一支上有不同的三点A( x1 , y1 ), 例 5、 12 13 B ( 26, 6), C (x3,y3)且与点F ( 0 ,) 5 的距离成等差数列。 y ()求 1 y y;
1 3
(2)求证AC的垂直平分线必过定点.
F1
. .F
A
1 e | AF | d A 解: dA e 1 1 同理 BF d B, CF dC e e AF 、 BF 、 CF 成等差数列
对于双曲线
准线方程是 焦点 两条准线.
,相应于焦点
的
,根据双曲线的对称性,相应于 的准线方程是 ,所以双曲线有
因此,双曲线离心率的几何意义是双曲线上一点到 焦点的距离与到相应准线距离的比.
例3. 双曲线的虚轴长、实轴长、焦距成等差数列, 右准线方程是x=1 .且经过点 A(2,2). 求:(1)双曲线的离心率e ; (2)双曲线的右焦点的轨迹方程. 解:(1)依题意,有:
作MN⊥l, AA1⊥l, 垂足分别是N, A1,
| MF2 | 5 | MN | 4
双曲线知识点总结及练习题

双曲线知识点总结及练习题Company number:【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】一、双曲线的定义1、第一定义:到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长(<|F 1F 2|)的点的轨迹(21212F F a PF PF <=-(a 为常数))。
这两个定点叫双曲线的焦点。
要注意两点:(1)距离之差的绝对值。
(2)2a <|F 1F 2|。
当|MF 1|-|MF 2|=2a 时,曲线仅表示焦点F 2所对应的一支; 当|MF 1|-|MF 2|=-2a 时,曲线仅表示焦点F 1所对应的一支;当2a =|F 1F 2|时,轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线;用第二定义证明比较简单 或两边之差小于第三边当2a >|F 1F 2|时,动点轨迹不存在。
2、第二定义:动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l (准线2ca )的距离之比是常数e (e >1)时,这个动点的轨迹是双曲线。
这定点叫做双曲线的焦点,定直线l 叫做双曲线的准线二、双曲线的标准方程(222a c b -=,其中|1F 2F |=2c )焦点在x 轴上:12222=-b y a x (a >0,b >0)焦点在y 轴上:12222=-bx a y (a >0,b >0)(1)如果2x 项的系数是正数,则焦点在x 轴上;如果2y 项的系数是正数,则焦点在y 轴上。
a 不一定大于b 。
判定焦点在哪条坐标轴上,不像椭圆似的比较x2、y2的分母的大小,而是x2、y2的系数的符号,焦点在系数正的那条轴上(2)与双曲线12222=-by a x 共焦点的双曲线系方程是12222=--+k b y k a x (3)双曲线方程也可设为:221(0)x y mn m n-=> 三、双曲线的性质四、双曲线的参数方程:sec tan x a y b θθ=⋅⎛ =⋅⎝ 椭圆为cos sin x a y b θθ=⋅⎛=⋅⎝五、 弦长公式[提醒]解决直线与椭圆的位置关系问题时常利用数形结合法、根与系数的关系、整体代入、设而不求的思想方法。
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双曲线的第二定义: 双曲线的第二定义
平面内到一个定点F的距离与它到一条定直 平面内到一个定点F的距离与它到一条定直 定点 的距离的比是常数 e>1) 比是常数e 线L的距离的比是常数e(e>1)的点的轨迹叫 双曲线. 做双曲线. 定点F 焦点,定直线L 准线,常数e 定点F叫焦点,定直线L叫准线,常数e叫做 双曲线的离心率 离心率. 双曲线的离心率.
2
的轨迹. 求:点M的轨迹. 点 的轨迹
的距离, 解:设d是点M到直线l的距离,根据题意,所求轨 是点M到直线 的距离 c 根据题意, | M F | = } 迹就是集合 P = { M |
d
由此可得: 由此可得:
a
(x − c) 2 + y 2 c = 2 a a x− c
令c − a = b
2 2
d min
3 = 2
21 p( ,2) 3
x2 y 2 0)的 例1: 思考如图,已知F1,F2为双曲线 a2 − b2 = 1(a > 0,b > 0)的焦 1 点,过F2作垂直与x轴的直线交双曲线于点P,且sin∠PF1F2 = . 3 求此双曲线的离心率。
x
P
由题意x 解 :由题意x P = c
双曲线的第二定义
授课人:谢莉 授课人: 指导老师: 指导老师:任社群
(一)知识回顾: 知识回顾:
一、椭圆的第二定义: 定义: 1、定义:平面内到一个 定点F和一条定直线 定点 和一条定直线 l 的距 和一条 离的比为常数e(0<e<1)的点 的点 离的比为常数
l1
d1
F1 O
M
d2
F2 F2(c,0)
(一)M1位于双曲线右支
y
M 2 ( x2 , y2 )
M1 ( x1 , y1 )
(二)M2位于双曲线左支 F1
O
F2
x
|M2F1 |= −a − ex2
焦半径的应用
26
16
到左、右焦点的距离之比为 , 到左、右焦点的距离之比为1:2,求P 点到右准线的距离. 点到右准线的距离.
d2=6
x 2 上一点P 上一点 − y =1 例1 已知双曲线 3
2
x y 1的 F,点 例2 已知双曲线 - = 1的右焦点F,点 9 16 3 ,在 M,使 A ( 9,2 ) ,在此双曲线上求一点M,使 MA + MF 5 的值最小,并求这个最小值
2
2
d min
36 = 5
3 5 ,2) M( 2
练习
y2 = 1 双曲线 已知点 已知点A ( 3,2 ), F ( 2,0 ), 在双曲线 x2 − 3 PA|+ PF| 上求一点 上求一点P, 使|PA|+1 |PF|的值最小. 2
1 6 的距离的比是常数 5 求:点M的 直线 :x= l 5 4 轨迹. 轨迹.
x y =1 16 9
故点M的轨迹为实轴、虚轴长分别为8 故点M的轨迹为实轴、虚轴长分别为8、6的双曲 线.
2
2
问题: 问题: 点M (x,y) 与定点F(c,0)的距离和它到定 与定点 的距离和它到定
c a 直线 l : x = 的距离的比是常数 (c>a>0), a c
焦点在X轴上: 焦点在 轴上:|MF1| = a + ex , |MF2| = a - ex 轴上 焦点在Y轴上: 焦点在 轴上:|MF1| = a + ey , |MF2| = a - ey 轴上 左加右减, 左加右减,下加上减
问题
点M(x,y)与定点F(5,0)的距离和它到定 M(x,y)与定点F(5,0)的距离和它到定 与定点F(5,0)
2
2
d2=6.4
d1=19.2
求焦半径公式
y
设M(x0 , y0 ),
N1
∴
M(x0,y0)
F1
a2 x=− c
O
F2
x
MF1 =e 2 a x0 + c
∴ MF1 = a + ex0
MF2 = a − ex0
a2 x= c
同理
左加右减,下加上减(带绝对值号) 左加右减,下加上减(带绝对值号)
焦半径公式: 焦半径公式:
∴焦半径 PF1 |= ec + a, PF2 |= ec − a | |
|PF2 | ec − a 1 ∴sin ∠PF1F2 = = = |PF1 | ec + a 3 yF10源自F2c 则e = = 2 a
小
结
(一)双曲线第二定义: 当点M到一定点的距离和它
y
x2 y2 − 2 =1 2 a b
P F d
1 1
=
P F d
2
2
=
c a
=
e
a2 x = ± c
0<e<1
或
a2 y = ± c
e>1
l2
x
M的轨迹,叫椭圆。 定点 叫焦点,定直线 l 的轨迹, 椭圆。 定点F叫焦点, 的轨迹 准线。 叫准线。 椭圆有两个焦点F 椭圆有两个焦点 1,F2,两条准线 l1 , l2
2、定义式: 定义式:
| MF 1 | | MF 2 | = e = e d1 d2
3、焦半径公式: 焦半径公式:
2
思考:双曲线与椭圆的第二定义的区别在哪里? 思考:双曲线与椭圆的第二定义的区别在哪里?
第二定义应用
x y − = 1上的点P到双曲线的右焦点 上的点P 如果双曲线 64 36 的距离是8,那么P到右准线的距离是多少, P到左 的距离是8 那么P到右准线的距离是多少, P到左 多少
准线的距离是多少。 准线的距离是多少。 多少
到一定直线的距离之比是常 c 数e = > 1,这个点的轨迹是 a 双曲线。
F1
o
F2
x
a2 (二)准线方程:x = ± , (a < c) c
(三)焦半径公式的推导及 其应用
椭圆 第二定义 定义式 准线方程 离心率范围
双曲线
动点到一个定点的距离和它到 一条定直线的距离的比是常数e 一条定直线的距离的比是常数
实 例 演 示 : e=2
线 距 离 的 二 倍 。 动 点 到 定 点 距 离 是 它 到 定 直
L
F
线 距 离 的 二 倍 。 动 点 到 定 点 距 离 是 它 到 定 直
y
L
a2 准线x = c
c e= =2 a
焦点
o
F
x
x2 y2 双曲线标准方程是: 双曲线标准方程是: − =1 a2 b2
2
将上式两边平方,并化简, 将上式两边平方,并化简,得 2 2 2 2 2 2 2 2 (c − a ) x − a y = a (c − a )
2
2
x y − 2 = 1(a > 0, b > 0) 2 a b
故点M的轨迹为实轴、虚轴长分别为2a、2b的双曲线. 故点M的轨迹为实轴、虚轴长分别为2a、2b的双曲线. 2a 的双曲线
双曲线有两个焦点,两条准线 分别为 分别为: , 双曲线有两个焦点,两条准线.分别为:F1,l1 两个焦点 和F2 l2
a2 F1 ( − c . 0 ), l1 : x = − c a2 F 2 ( c , 0 ), l 2 : x = c
定义式
| MF1 | | MF2 | = e, =e d1 d2
如果焦点在Y轴上时,如何? 如果焦点在 轴上时,如何? 轴上时
思考
2a 两准线间的距离: 2.两准线间的距离: d = 两准线间的距离 c
a a 或y = ± 准线方程: 1.准线方程:x = ± 准线方程 c c 2
2
2
b 焦准距:焦点到对应准线的距离 3.焦准距 焦点到对应准线的距离 d = 焦准距 c