对高中数学开放题的再认识
高中数学开放性问题
浅谈高中数学开放性问题数学开放性问题创新意识随着中国的日益发展，传统的教育模式已经不能适应知识经济的到来，现在知识教学中对确定事实的灌输、唯一答案的寻求，封闭习题的操练，难以适应对学生创新意识、创新精神、创新能力培养的要求。
必须改进我们的教学，将确定的事实、探究真理的方法和开放性、创造性态度融为一体，实现知识教学的革命，素质教育才可能真正深入。
一、数学开放性问题的含义开放性问题是相对于条件完备、结论确定的传统封闭题而言的。
是指那些条件不完备、结论不确定的，给学生形成了较大认知空间的问题。
它的核心是考查学生应用数学知识解决问题的能力，激发学生独立思考和创新的意识，这是一种新的教育理念的具体体现。
开放性问题是最富有教育价值的一种数学问题的题型。
二、数学开放题的特点（1）问题的条件常常是不完备的；（2）问题的答案是不确定的，具有层次性；（3）问题的解决策略具有非常规性、发散性和创新性；（4）问题的研究具有探索性和发展性；（5）问题的教学具有参与性和学生主体性。
由于开放题没有固定的标准答案，这就使教师在课堂教学中难以使用“灌输式”的教学方法，学生主动参与解题活动不但成为可能，而且是非常自然和必要的。
一些学生希望老师与学生一起来分享这种成功的喜悦，任何一个好教师都不会压制学生的这种愿望，这就使课堂教学自然地走向了以学生主动参与为主要特征的开放式的教学。
三、数学开放题的类型（1）条件开放题，未知的是解题假设。
（2）结论开放题，未知的是解题目标。
（3）策略开放题，未知的是解题推理。
四、数学开放题的教育价值1.开放题的教学有利于倡导民主的教学氛围由于开放题结果的多样性和解题策略的不唯一性，不同的学生常常有不同的解题策略和得到不同的结果，这为学生与学生之间进行交流提供了较大的空间。
学生之间通过开放性问题的讨论，能体会到同一个数学问题可以从不同的角度去观察，可以有不同的解决方式，相互之间受到有益的启发。
同时，学生之间的讨论过程是学生对数学开放题进行分析、综合、比较等思维活动的过程。
浅谈高中数学开放性问题
数 学 开放 题 由于 具 有 探 索 性 和 多样 性 ， 不 同 的 问题 应 有 不 同 的解 题 策
多 种 可 能 性 。 这样 ， 有 利 于 倡 导 民主 的 教 学 氛 围 ， 有利于学生体验 成功 ， 树
师都 不会 压 制 学生 的这 种 愿 望 ， 这 就 使 课 堂 教 学 自 然 地 走 向 了 以学 生 主 动 略 ， 需 要 不 断研 究 和推 敲 。 常 常要不循 常规、 勇于创新 ， 考 虑 的 问 题 存 在 着
二、 数 学 开 放 题 的特 点
２ ． 开放 题 的教 学 有 利 于 学 生 体 验 成 功 ， 树 立信 心
由于 学 生 对 开放 性 问题 的解 答 彼 此 可 以是 互 不相 同 的 ， 学 生 采 用 的 策
略 也 可 以是 不 相 同 的 ， 解答 完开放题 后， 学 生 的 概 括 能 力 和 知 识 运 用 能 力 ３ ． 开 放 题 的 教 学 有 利 于培 养 学 生 的 思 维 能 力
教学 方法， 学生主动参与解题活 动不但成 为可能 ， 而 且 是 非 常 自 然 和 必 要 的 方 案 ， 这本身就是一种创造。 的 。 一 些学 生希 望 老 师与 学 生 一 起 来 分 享 这 种 成 功 的 喜 悦 ， 任 何 一 个 好 教
参 与 为 主 要特 征 的 开放 式 的教 学 。 三、 数 学 开 放题 的类 型
（ １ ） 问题 的条 件 常 常 是 不 完 备 的 ； （ ２） 问题的答 案是不确定 的 ， 具 有 层 得 以提 高 ， 并 且 在 解 答过 程 中树 立 了信 心 ， 体验到成功的乐趣。 次性 ； （ ３） 问题 的解 决 策 略 具 有 非 常 规 性 、 发散 性和 创 新 性 ； （ ４） 问题 的研 究
浅谈高考数学开放性问题
浅谈高考数学开放性问题开放题是数学教学中的一种新题型，它是相对于传统的封闭题而言的，是一种新的教育理念的具体体现。
自二十世纪70年代，一些欧美国家在中小学教学中较为普遍地使用数学开放题以来，数学开放题已逐渐被数学教育界认为是最富有教育价值的一种数学问题，因为数学开放题能够激起学生的求知欲和学习兴趣，而强烈的求知欲望，浓厚的学习兴趣是创新能力发展的内在动力。
80年代介绍到我国后，在国内引起了广泛的关注，各类刊物发表了大量的介绍、探讨开放题的理论文章或进行教学实验方面的文章，并形成了一个教育界讨论研究的亮点。
二十世纪90年代，在全国和各地的高考数学试题中连续出现具有开放性的题目。
例如1993年的存在性问题，1994年的信息迁移题，1995年的结论探索性问题，1996年的主观试题客观化，1997年填空题选择化，1998的条件开放题，1999年的结论和条件探索开放。
2003年以后，随着新课程标准的改革和推进，又不断增加图表型问题（如程序框图、三视图），创新型问题，回归分析与独立性检验问题，合情推理与演绎推理问题等。
一、近几年高考数学开放题的常见题型有:1.按命题要素的发散倾向分为条件开放型、结论开放型、方法开放型、综合开放型；2.按解题目标的操作摸式分为规律探索型、分类讨论型、数学建模型、问题探求型、情景研究型；3.按信息过程的训练价值分为知识巩固型、知识发散型、信息迁移型；4.按问题答案的机构类型分为有限可列型、有限混沌型、无限离散型、无限连续型。
二、高考数学开放题的命题无论是改造陈题，还是自创新题，编制数学开放题都要围绕使用开放题的目的进行，开放题应当随着使用目的和对象的变化而改变，应作为常规问题的补充，在研究型课程中适合学生研究性学习的开放题应具备起点低、入口宽、可拓展性强的特点。
其主要从以下几方面着手：1、以一定的知识结构为依托，从知识网络的交汇点寻找编制问题的切入点。
以一定的知识为背景，编制出开放题，面对实际问题情景，学生可以分析问题情景，根据自己的理解构造具体的数学问题，然后尝试求解形成的数学问题并完成解答.2、以某一数学定理或公式为依据，编制开放题。
数学开放题研究及启示
数学开放题研究及启示数学是一门抽象而深奥的学科，是人类思维和科学发展的重要组成部分。
在数学领域，不仅有大量的已知理论和公式，还有许多未解决的问题和开放的研究方向。
这些开放题激发了数学家们的探索欲望，也推动了数学理论的发展。
本文将探讨一些数学开放题的研究现状及其带来的启示。
数学开放题是指那些尚未得到解决的问题或需要更深入研究的课题。
这些问题可能是由实际问题引发的，也可能是数学本身的困惑。
著名的费马大定理就是一个数学开放题。
费马大定理提出了"对于大于2的任意整数n，a^n + b^n = c^n在正整数域上无解"的猜想，直到1994年才被英国数学家安德鲁·怀尔斯提出证明。
这个问题经过多年的探索和研究，最终得到了解决，但不可否认，为此问题的研究做出了巨大的贡献。
数学开放题的研究具有极高的挑战性，需要数学家们进行大量的数学推演和证明。
对于某些问题，可能需要用到先进的数学工具和技术，甚至需要创新地发展出新的数学理论。
这种挑战性的研究过程，使得数学开放题成为了许多数学家追求的目标，也推动了数学理论的发展。
从数学开放题的研究中，我们可以得到一些启示。
数学开放题的存在表明数学领域仍然存在许多未知和未解决的问题，需要我们不断努力去探索和发现。
这种探索的过程本身就是一种享受和学习的机会，可以增强我们的数学思维能力和解决问题的能力。
数学开放题的研究需要跨学科的合作。
在解决数学开放题的过程中，数学家们往往需要与其他学科的专家进行合作，共同解决涉及到其他领域知识的问题。
数学开放题的研究不仅仅是数学家的事情，也需要其他学科的支持和参与。
数学开放题的研究还有助于培养年轻数学家的创新思维和科研能力。
年轻数学家在研究数学开放题时，会面临很多挑战和困惑，但也会获得更多的机会去发现新的数学定理和方法。
这种创新的过程对年轻数学家的成长和发展具有重要的促进作用。
数学开放题的研究是数学领域的重要组成部分，具有挑战性、跨学科合作、培养创新和推动理论发展的作用。
简析高中数学开放题
殴学四窝 。
简 析 高 巾 数 学 开 放 题
河北省 邯郸市滏春 中学 许建 民
【 摘 要】开放题 是数 学教 学中的一种新题型 ，它是相 对于传统 的封 闭题 而言的。 开放题 的核 心是培养 学生的创造意 识和 创造能力 ， 激发学生独立思考和创新 的意识，这是一种新的教 育理念 的具体体现 。
和发现新的 问题。 近两年高考题中也 出现
题：“ 关于函数 ｆ（ ）＝ Ｓ ｎ（ ｘ ｘ ４ ｉ ２ ＋ｎ／ ） ３
＝ 可得 ｘ － ２ 是 Ⅱ的整 数 倍；② ｙ ｆ（ ） Ｏ ｌｘ 必 ＝ ｘ
（ ）若 ｂ ２ ＝±２ ，圆与椭 圆恰有一个公
Байду номын сангаас
了开放题 的 “ 影子” ，如 １ ９ ９ ８年第 （ ９ 共点： １） （ Ｘ∈Ｒ ， ） 有下列命题 ① 由ｆ ｘ ） ｆ ｘ ） 公共 点。 （ １ ： （ ２
了数学教育的开放化和个性化 ， 从发现 问 并进行新的组合便有 问题 ：圆 ｘ ＋（－ ） 焦点弦 问题为例来看开放问题 的探 索。 ２ ｙ ｂ 题和解决问题中培养学生的创新精神和实 ２ ４ ＝ 与椭圆 ｘ ＋（ ｙｂ ＝ 有怎样的位置 ２ ２ — ）２ ４
践 能力 。 关 系 ？试 说 明理 由 。 （ ）己知抛 物 线 ，过 焦 点 Ｆ 直 线 与 例 的 抛 物 线 相 交于 Ａ （ ｌ １，Ｂ（ ｌ ）两 ｘ ，ｙ ） ｘ ，Ｙ 点 ，Ｐ （Ｏ Ｏ ｘ ，ｙ ）是 线 段 Ａ 的 中 点 ；抛 物 Ｂ
三 、 开 放 问 题 的 探 索
此首先必须改变那种只局限于教师给题 学 使 问题 向三个方向延 伸。
生 做 题 的 被动 的 、封 闭 的意 识 ，为 了使 数
数学开放题研究及启示
数学开放题研究及启示数学是一门严谨而深奥的科学，数学的核心是逻辑和推理。
在数学研究中，开放问题是指那些尚未解决的、以及尚未有明确解法的问题。
对于这些开放问题的研究，不仅有助于深化我们对数学本质的理解，而且也可以为其他学科的发展提供启示。
数学开放问题的研究能够推动数学理论的发展。
通过对数学开放问题的探索，数学家们不断地提出新的方法和概念，进一步扩展了数学领域的边界。
费马大定理曾经是一个悬而未决的问题，直到1994年安德鲁·怀尔斯使用了前所未有的方法证明了这一问题。
这样的研究不仅解决了问题本身，而且在证明方法的探索方面也起到了开创性的作用。
数学开放问题的研究可以为其他学科提供启示。
数学是一种通用的工具和语言，它在自然科学、工程技术、经济管理等领域中具有广泛的应用。
许多开放问题的解决不仅需要数学家的专业知识，还需要与其他学科的交叉融合。
著名的庞加莱猜想在很长时间内未能解决，直到20世纪后期，拓扑学与数论的交叉研究为该猜想的证明提供了新的思路和方法。
这表明了不同学科间的合作交流对于解决复杂问题的重要性。
数学开放问题的研究培养了人们的创新思维和问题解决能力。
数学是一门培养逻辑思维和推理能力的学科，而开放问题则更加强调探索和创新。
在研究开放问题的过程中，研究者需要不断思考、提出猜想、尝试各种方法，并不断修正和改进。
这种过程培养了人们勇于面对困难和挑战的精神，提高了人们解决实际问题的能力。
数学开放题的研究具有重要的理论和应用价值。
它推动了数学理论的发展，为其他学科提供了启示，并培养了人们的创新思维和问题解决能力。
在未来的研究中，我们应当继续关注和探索数学开放问题，以进一步拓展数学的边界，推动科学技术的发展。
关于高考数学开放性试题的基本解法分析
(Ⅰ)求椭圆C的ห้องสมุดไป่ตู้程。
(Ⅱ)设n是过原点的直线，l是与n垂直相交于P点、与椭圆相交于A,B两点的直线，|OP|=1，是否存在上述直线l使AP·PB=1成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由。
如1：（2011陕理12）设n∈N+,一元二次方程x2-4x+n=0有整数根的充要条件是n=【3或4】。
简解：△=16-4n≥0,又n∈N+,所以n=1,2,3,4。又由x2-4x+n=0可变为(x-2)2=4-n,从而经检验可知x=3或4时存在x为整数满足上式成立。
二、结论探索型试题
结论探索型试题就是命题中的结论不确定、不唯一。解决这类试题的方法有三种：一种是直接利用已知条件进行推理得出结论；一种是通过归纳得出一般性结论，然后再证明：一种是对多种结论优化。
∵AP·PB=1，|OP|=1，
∴OA·OB=（OP+PA）·（OP+PB）
=OP2+OP·PB+PA·OP+PA·PB
=1+0+0-1=0，
即x1x2+y1y2=0。
将y=kx+m代入椭圆方程，得(3+4k2)x2+8kmx+（4m2-12）=0，由求根公式可得x1+x2=,④x1x2=，⑤0=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=x1x2+k2x1x2+km(x1+x2)+m2=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2，
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浅谈中学数学教科书中的开放题
【编者按】：数学论文是科技论文的一种是用来进行数学科学研究和描述研究成果的论说性文章。
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在较长一段时期中，问题解决成为我国数学教育界的重要议题，现在把议题转移到开放题上来，可以认为是问题解决研究的进一步深入。
本文拟对开放题的含义、教育价值，以及怎样在中学数学教科书中引入开放题的问题作初步探讨。
一、两个概念
在对开放题的讨论中，对于什么是开放题，大家的意见尚不一致，因而有必要对开放题的含义作一个规定。
此外，有的同志把某些探索性问题也归入开放题，虽然对探索题的研究具有公认的意义，但在讨论与研究开放题的时候，有必要把这两者加以区别。
1、开放题的含义
1。
数学教育改革热点——开放题
数学教育改革热点——开放题一、数学开放题开放题是相对封闭题而言的，传统的数学题条件完备，结论确定，这类题称之为封闭题．解封闭题一般是为了找出确定的答案．条件不完备、结论不在确定的习题称之为开放题．开放题有时只有给出一种情境，题目的条件和结论，都要求主体在情境中自行寻找和设定．解开放题常常没有现成的可以遵循的模式，得出的答案也有多种多样．一个典型的封闭题与开放题如下：封闭题：试求下列两个整式的最大公因式：显然，对其共同点，学生可以从不同的角度来进行考察，所以结论也是多种多样的，这就是一个典型的开放题．二、数学开放题的产生数学开放题在数学教学中的重要地位的确立，及其对数学开放题比较深入系统的研究，始于二十世纪八十年代．数学教学最早被理解为传授知识，在这种理解下，过去偏重演绎论证的训练，注重灌输现成的知识，教师布置的问题，都是封闭型的，学习的主要方法是模仿，解题实质上就是“对号入座”，这种教育培养的是知识型的人才．20世纪60年代，数学教育界通过对新数学运动的反思，提出了“回到基础”的口号，我国数学教育也在重视基础的前提下，提出了培养三大能力．数学教育观念完成了从传授知识到传授知识培养能力的转变．在对数学教育的深层结构的反思过程中，“问题解决”理论尤为突出，它成为“衡量出个人和民族具有数学能力的效果”的标准，而在问题解决中，开放题就是一种极富教育价值问题类型．此时，我国的数学教育为了适应社会主义经济建设的飞速发展，更加注重了在教学中渗透数学思想方法，培养数学观念和良好的个性品质，正在由“应试教育”向“素质教育”的转化，培养全面发展的开拓性人才．在这种要求下，传统的封闭型数学问题不能完全满足对学生思维能力的训练，更不能完全满足培养学生良好思维品质的需要，开放型问题随之产生，进入了中考、高考试卷和课堂教学．数学开放题在日、美等国得到比较深入的研究．日本数学教育家开发了一种称之为“开放式结尾”(openend)的题目，从1971年开始，以岛田茂为首的一个日本数学教育学者小组，进行了颇有特色的研究，1977年他们发表了名为《算术、数学课的开放式结尾的问题改善教学的新方案》的报告文集，该小组的成员之一筑波大学教授能田伸彦认为：开放题“能够让学生了解问题的主题材料，而问题并没有唯一正确的解答，因此就向学生提供了用他们所最喜欢的解决问题的方法的机会．”国际数学教育委员会(icmi)的一个文件指出：“培养学生对数学的积极态度是中小学数学的一个共同目的，帮助学生体验这种智力的欢乐是达到目的的一种手段．然而实际上任何学校这种欢乐都是很有限的．也许在数学课堂更多地进行没有固定答案的研讨的趋势，将会使更多的学生首次体验到科学女皇赋予该学科的美感．”三、数学开放题的基本类型是相对于传统的“条件完备，结论明确”的封闭性问题而言的，开放题中可能是所提供的条件不完备，需要在求解过程中不断充实和增添假设，它的结论或结果一般因人而异、丰富多彩．数学开放题有以下几种类型．1．给出条件，没有给出明确结论，或者结论不确定，需要解题者探索出结论，并加以证明．例如要把一张面值1元的人民币换成零钱，现有足够多的面值5角、2角、1角的人民币，请设计兑换方法．2．给出了结论，没有给出条件或条件不完备，需要解题者分析出应具备的条件，并加以计算或证明．例如有一块长方形的空地，长50米、宽30米，现在要在这块空地上建造一个花园，使种花草部分的面积占这块空地面积的三分之二，问该怎样设计花园建造方案?3．改变已知问题的条件，探讨结论相应地会发生什么变化，或者改变已知问题的结论，探讨条件相应地会发生什么变化．例如在△abc中，ad是bc边上的中线，e为ad的中点，延长be交ac于f点，求af与fc的关系(如图1)．引申1在△abc中，ad是bc边上的中线，e为ad上的点，延长be交ac于f点，若ae△ed=m△n，求af△fc的值．引申2在△abc中，d为bc上的点，e为ad上的点，延长be交ac于f点，且bd△cd=a△b,ae△ed=m△n，求af△fc的值．4．从实际问题出发，给出一些数据，经过对数据的分析，建立数学模型，从而解决问题．例比较下面两列算式的结果的大小：(在横线上选填"＞"、"＜""＝")通过观察、归纳，写出能反映这种规律的一般结论，并加以证明．四、数学开放题的特征1．问题本身常常是不确定和一般性的，其背景情况也是用一般词语来描述的，主体必须搜集其他必要的信息，才能着手解题；2．没有现成的解题模式，有些答案可能易于直觉地发现，但是在求解过程中往往需要从多个角度进行思考和探索；3．有些问题的答案是不确定的，存在着多样的解答，但重要的还不是答案本身的多样性，而于寻求解答的过程中主体的认知结构和重建；4．常常通过实际问题提出，主体必须用数学语言将其数学化，也就是建立数学模型；．在求解过程中往往可以引出新的问题，或将问题加以推广，找出更一般、更有概括的结论；6．能激起多数学生的好奇心，全体学生都可以参与解答过程，而不管他是属于何种程度和水平；7．教师难以用注入式进行教学，学生能自然地处于一和主动参与的位置，教师在解题过程中的地位是示范者、启发者、鼓励者、咨询者和指导者．。
高中数学开放题及其教学管见
例谈数学开放题及其教学一、数学开放题的含义和分类（一）开放题的含义数学开放题的含义是指它所反映的数学问题所共有的本质属性。
弄清它的含义，能使我们更好地理解和研究开放题。
数学开放题是相对传统的封闭题而言的。
先请看下面两个简单数学问题：问题１：数列２，４，８……成等比数列，求公比。
问题２：试写出公比为２的一个等比数列。
明显可以发现问题１的答案是唯一的，一般我们称为封闭题，而问题２的答案不唯一，我们称它为开放题。
一个数学问题，如果它的答案不唯一，或者有多种解法，我们就称这个问题为数学开放题。
由以上含义可知，能“一题多解”的题也称为开放题。
且开放题和封闭题具有相对性。
并且一个题目是否开放，不但与题目本身的结构有关，而且与解题者自身所具备的知识和能力也有直接的关系。
二、开放题的分类：为了深入研究开放题，有必要对它进行分类。
可以选择不同的标准，进行不同的分类。
本文从思维形式的角度把数学开放题分为以下四类：1.条件性开放题如果一个数学开放题，其未知的要素是假设，则称为条件性开放题。
这类开放题中往往给出结论，要求从各种不同的角度去寻求这个结论成立的条件。
如问题3：在直四棱柱A1B1C1D1—ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件时，有A1C⊥B1D1，（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形）。
（1998年全国高考题）这是一道数学完形填空题，也是数学高考中首次出现的探索条件型答案不唯一的开放题，需要执果索因，答案较多，此题主要考查四棱柱的性质，三垂线性定理等，由于只要求填出使结论成立的充分条件，条件放得宽，难度不大。
2.策略性开放题如果一个数学开放题，其未知的要素是推理，则称为策略性开放题。
这类开放题一般都给出了条件和结论，而怎样由条件去推断结论，或怎样根据条件去判断结论是否成立的策略未知。
如：问题4：已知函数该函数的图象可由y=sinx(x∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？（2000年高考第17题）该题解答变换顺序有24种之多，由每一种不同的策略都能使该题完成。
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对高中数学开放题的再认识
我国教育正逐步由原来的应试教育向素质教育转变，素质教育的核心是为了每个学生的发展，培养学生的创新能力。
而数学开放题的核心正是培养学生的创造意识和创造能力，激发学生独立思考和创新的意识，是一种新的教育理念的具体体现，本文从高中数学开放题的概念、特征、价值及教师教学设计上做简要论述。
开放题是数学教学中的一种新题型，它是相对于传统的封闭题而言的。
开放题的核心是培养学生的创造意识和创造能力，激发学生独立思考和创新的意识，这是一种新的教育理念的具体体现。
现行数学教材中，习题基本上是为了使学生了解和牢记数学结论而设计的，学生在学习中缺乏主动参与的过程。
那么在教材还没有提供足够的开放题之前，好的开放题从那里来？我认为最现实的办法是让“封闭”题“开放”。
一、开放意识的形成
学习的目的是为了使自然人过渡到社会人、使社会人更好地服务于社会，由于社会时刻在发生着变化，因此，一个良好的社会人必需具备适应社会变化的能力。
让学生懂得用现成的方法解决现成的问题仅仅是学习的第一步，学习的更高境界是提出新问题、提出解决问题的新方案。
因此首先必须改变那种只局限于教师给题学生做题的被动的、封闭的意识，为了使数学适应时代的需要，我们选择了数学开放题作为一个切入口，开放题的引入，促进了数学教育的开放化和个性化，从发现问题和解决问题中培养学生的创新精神和实践能力。
关于开放题目前尚无确切的定论，通常是改变命题结构，改变设问方式，增强问题的探索性以及解决问题过程中的多角度思考，对命题赋予新的解释进而形成和发现新的问题。
近两年高考题中也出现了开放题的“影子”，如1998年第（19）题：“关于函数f（x）=4Sin（2x+π/3）（x∈R），有下列命题：①由f（x1）=f（x2）=0可得x1-x2必是π的整数倍；②y=f（x）的表达式可改写为y=4Cos（2x-π/6）：③y=f（x）的图象关于点（-π/6，0）对称；④y=f（x）的图象关于直线x=-π/6对称。
其中正确的命题是──（注：把你认为正确的命题的序号都填上）”显然《高中代数》上册第184页例4“作函数y=3Sin（2x+π/3）的简图。
”可作为其原型。
学生如果明白这些道理就会产生对问题开放的需求，逐步形成自觉的开放意识。
又如2000年理19文20题函数单调性的参数取值范围问题（既有条件开放又有结论的开放，条件上，对，是选择，还是选择？选择前者则得，以后的道路荆棘丛生，而选择后者则有，以后的道路一片光明；结论开放体现在结论分为两段，一段上可使函数单调，另一段上不单调，且证明不单调的方法是寻找反例）；
从数学考试中引进一定的结合现实背景的问题和开放性问题，已引起了广大数学教育工作者的极大关注，开放题的研究已成为数学教育的一个热点。
二、开放问题的构建
有了开放的意识，加上方法指导，开放才会成为可能。
开放问题的构建主要从两个方面进行，其一是问题本身的开放而获得新问题，其二是问题解法的开放而获得新思路。
根据创造的三要素：“结构、关系、顺序”，我们可以为学生构建由“封闭”题“开放”的如下框图模式：
〔例1〕已知，并且求证（《高中代数》下册第12页例7）
除教材介绍的方法外，根据目标的结构特征，改变一下考察问题的角度，或同时对目标的结构作些调整、重新组合，可获得如下思路：两点（b，a）、（-m，-m）的连线的斜率大于两点（b，a）、（0，0）的连线的斜率；b个单位溶液中有a个单位溶质，其浓度小于加入m个单位溶质后的浓度；在数轴上的原点和坐标为1的点处，分别放置质量为m、a的质点时质点系的重心，位于分别放置质量为m、b的质点时质点系的重心的左侧等。
〔例2〕用实际例子说明所表示的意义
给变量赋予不同的内涵，就可得出函数不同的解释，我们从物理和经济两个角度出发给出实例。
1.X表示时间（单位：s），y表示速度（单位：m/s），开始计时后质点以10/s 的初速度作匀加速运动，加速度为2m/s2，5秒钟后质点以20/s的速度作匀速运动，10秒钟后质点以-2m/s2的加速度作匀减速运动，直到质点运动到20秒末停下。
2.季节性服饰在当季即将到来之时，价格呈上升趋势，设某服饰开始时定价为10元，并且每周（7天）涨价2元，5周后开始保持20元的价格平稳销售，10周后当季即将过去，平均每周削价2元，直到20周末该服饰不再销售。
函数概念的形成，一般是从具体的实例开始的，但在学习函数时，往往较少考虑实际意义，本题旨在通过学生根据自己的知识经验给出函数的实际解释，体会到数学概念的一般性和背景的多样性。
这是对问题理解上的开放。
〔例3〕由圆x2+y2=4上任意一点向x轴作垂线。
求垂线夹在圆周和x轴间的线段中点的轨迹方程。
（《高中平面解析几何》复习参考题二第11题）（答案：x2/4+y2=1）
问题本身开放：先从问题中分解出一些主要“组件”，如：A、“圆x2+y2=4”；
B、“x轴”；
C、“线段中点”等。
然后对这些“组件”作特殊化、一般化等处理便可获得新问题。
对A而言，圆作为一种特殊的曲线，我们将其重新定位在“曲线”上，那么曲线又可分解成大小、形状和位置三要素，于是改变条件A（大小或形状或位置）就可使问题向三个方向延伸。
如改变位置，将A写成“（x-a）2+（y-b）2=4”，即可得所求的轨迹方程为（x-a）2+（2y-b）2=4；再将其特殊化（取a=0），并进行新的组合便有问题：圆x2+（y-b）2=4与椭圆x2+（2y-b）2=4有怎样的位置关系？试说明理由。
简解：解方程组得y=0 或y=2b/3
当y=0时，x2+b2=4，
（1）若b2，圆与椭圆没有公共点；
（2）若b=±2，圆与椭圆恰有一个公共点；
（3）若-26，圆与椭圆没有公共点；
（2）若b=±6，圆与椭圆恰有一个公共点；
（3）若-66时没有公共点；当b=±6时恰有一个公共点；当-66时，圆x2+（y-b）2=4上的点到椭圆x2+（2y-b）2=4上的点的最大距离是多少？这个问题的解决是对数形结合、等价转化等思想的进一步强化。
对B而言，它是一条特殊的直线，通过对其位置的变更可产生许多有意义的问题；而C是一种特殊的线段分点，同样可以使其推广到一般，若对由此产生的结果继续研究就会发现以往的一些会考、高考试题。
三.开放问题的探索
开放的行为给上面三个简单的问题注入了新的活力，推陈出“新”、自己给自己出题是人自我意识的回归。
开放的过程说白了就是探索的过程。
以下以抛物线的焦点弦问题为例来看开放问题的探索。
“所有的画都是以只有3种原色的方式构成的。
每当我们把某样东西说成是新的的时候，我们真正谈论的是现有元素独特的存在方式。
”具备对“封闭”题“开放”的意识的学生，事实上就有了创造意识，这种意识驱动下的实践自然会使创造力得以发展；同时，随着高考命题改革的进一步深入，我想这样的“开放”会在高考中更显示其生命力。