浅谈高中数学开放题
浅谈高中数学开放题
发表时间：2013-01-28T14:44:52.890Z 来源：《少年智力开发报》2012-2013学年12期供稿作者：邵元华[导读] 开放题是数学教学中的一种新题型，它是相对于传统的封闭题而言的。重庆市奉节县夔门高级中学邵元华
开放题是数学教学中的一种新题型，它是相对于传统的封闭题而言的。开放题的核心是培养学生的创造意识和创造能力，激发学生独立思考和创新的意识，这是一种新的教育理念的具体体现。现行数学教材中，习题基本上是为了使学生了解和牢记数学结论而设计的，学生在学习中缺乏主动参与的过程。那么在教材还没有提供足够的开放题之前，好的开放题从那里来？我认为最现实的办法是让“封闭”题“开放”。
一、开放意识的形成
学习的目的是为了使自然人过渡到社会人、使社会人更好地服务于社会，由于社会时刻在发生着变化，因此，一个良好的社会人必需具备适应社会变化的能力。让学生懂得用现成的方法解决现成的问题仅仅是学习的第一步，学习的更高境界是提出新问题、提出解决问题的新方案。因此首先必须改变那种只局限于教师给题学生做题的被动的、封闭的意识，为了使数学适应时代的需要，我们选择了数学开放题作为一个切入口，开放题的引入，促进了数学教育的开放化和个性化，从发现问题和解决问题中培养学生的创新精神和实践能力。
关于开放题目前尚无确切的定论，通常是改变命题结构，改变设问方式，增强问题的探索性以及解决问题过程中的多角度思考，对命题赋予新的解释进而形成和发现新的问题。如1998年高考全国理工农医类第（19）题：“关于函数f(x)=4Sin(2x+π/3)(x∈R)，有下列命题：①由f(x1)=f(x2)=0可得x1-x2必是π的整数倍；②y=f(x)的表达式可改写为y=4Cos(2x-π/6):③y=f(x)的图象关于点（-π/6，0）对称；④y=f(x)的图象关于直线x=-π/6对称。其中正确的命题是──（注：把你认为正确的命题的序号都填上）”显然《高中代数》上册第184页例4“作函数y=3Sin(2x+π/3)的简图。”可作为其原型。学生如果明白这些道理就会产生对问题开放的需求，逐步形成自觉的开放意识。又如2000年理19文20题函数单调性的参数取值范围问题（既有条件开放又有结论的开放，条件上，对，是选择，还是选择？选择前者则得，以后的道路荆棘丛生，而选择后者则有，以后的道路一片光明；结论开放体现在结论分为两段，一段上可使函数单调，另一段上不单调，且证明不单调的方法是寻找反例）；
从数学考试中引进一定的结合现实背景的问题和开放性问题，已引起了广大数学教育工作者的极大关注，开放题的研究已成为数学教育的一个热点。
二、开放问题的构建
有了开放的意识，加上方法指导，开放才会成为可能。开放问题的构建主要从两个方面进行，其一是问题本身的开放而获得新问题，其二是问题解法的开放而获得新思路。根据创造的三要素：“结构、关系、顺序”，我们可以为学生构建由“封闭”题“开放”的如下框图模式：
除教材介绍的方法外，根据目标的结构特征，改变一下考察问题的角度，或同时对目标的结构作些调整、重新组合，可获得如下思路：两点（b,a）、(-m,-m)的连线的斜率大于两点（b,a）、(0,0)的连线的斜率；b个单位溶液中有a个单位溶质，其浓度小于加入m个单位溶质后的浓度；在数轴上的原点和坐标为1的点处，分别放置质量为m、a的质点时质点系的重心，位于分别放置质量为m、b的质点时质点系的重心的左侧等。
〔例2〕用实际例子说明所表示的意义
给变量赋予不同的内涵，就可得出函数不同的解释，我们从物理和经济两个角度出发给出实例。
1.X表示时间（单位：s），y表示速度（单位：m/s），开始计时后质点以10/s的初速度作匀加速运动，加速度为2m/s2，5秒钟后质点以20/s的速度作匀速运动，10秒钟后质点以-2m/s2的加速度作匀减速运动，直到质点运动到20秒末停下。
2.季节性服饰在当季即将到来之时，价格呈上升趋势，设某服饰开始时定价为10元，并且每周（7天）涨价2元，5周后开始保持20元的价格平稳销售，10周后当季即将过去，平均每周削价2元，直到20周末该服饰不再销售。
函数概念的形成，一般是从具体的实例开始的，但在学习函数时，往往较少考虑实际意义，本题旨在通过学生根据自己的知识经验给出函数的实际解释，体会到数学概念的一般性和背景的多样性。这是对问题理解上的开放。
对B而言，它是一条特殊的直线，通过对其位置的变更可产生许多有意义的问题；而C是一种特殊的线段分点，同样可以使其推广到一般，若对由此产生的结果继续研究就会发现以往的一些会考、高考试题。
三．开放问题的探索
开放的行为给上面三个简单的问题注入了新的活力，推陈出“新”、自己给自己出题是人自我意识的回归。开放的过程说白了就是探索的过程。以下以抛物线的焦点弦问题为例来看开放问题的探索。 “所有的画都是以只有3种原色的方式构成的。每当我们把某样东西说成是新的的时候，我们真正谈论的是现有元素独特的存在方式。”具备对“封闭”题“开放”的意识的学生，事实上就有了创造意识，这种意识驱动下的实践自然会使创造力得以发展；同时，随着高考命题改革的进一步深入，我想这样的“开放”会在高考中更显示其生命力。
浅谈高中数学开放题
浅谈高中数学开放题 发表时间：2013-01-28T14:44:52.890Z 来源：《少年智力开发报》2012-2013学年12期供稿作者：邵元华[导读] 开放题是数学教学中的一种新题型，它是相对于传统的封闭题而言的。重庆市奉节县夔门高级中学邵元华 开放题是数学教学中的一种新题型，它是相对于传统的封闭题而言的。开放题的核心是培养学生的创造意识和创造能力，激发学生独立思考和创新的意识，这是一种新的教育理念的具体体现。现行数学教材中，习题基本上是为了使学生了解和牢记数学结论而设计的，学生在学习中缺乏主动参与的过程。那么在教材还没有提供足够的开放题之前，好的开放题从那里来？我认为最现实的办法是让“封闭”题“开放”。 一、开放意识的形成 学习的目的是为了使自然人过渡到社会人、使社会人更好地服务于社会，由于社会时刻在发生着变化，因此，一个良好的社会人必需具备适应社会变化的能力。让学生懂得用现成的方法解决现成的问题仅仅是学习的第一步，学习的更高境界是提出新问题、提出解决问题的新方案。因此首先必须改变那种只局限于教师给题学生做题的被动的、封闭的意识，为了使数学适应时代的需要，我们选择了数学开放题作为一个切入口，开放题的引入，促进了数学教育的开放化和个性化，从发现问题和解决问题中培养学生的创新精神和实践能力。 关于开放题目前尚无确切的定论，通常是改变命题结构，改变设问方式，增强问题的探索性以及解决问题过程中的多角度思考，对命题赋予新的解释进而形成和发现新的问题。如1998年高考全国理工农医类第（19）题：“关于函数f(x)=4Sin(2x+π/3)(x∈R)，有下列命题：①由f(x1)=f(x2)=0可得x1-x2必是π的整数倍；②y=f(x)的表达式可改写为y=4Cos(2x-π/6):③y=f(x)的图象关于点（-π/6，0）对称；④y=f(x)的图象关于直线x=-π/6对称。其中正确的命题是──（注：把你认为正确的命题的序号都填上）”显然《高中代数》上册第184页例4“作函数y=3Sin(2x+π/3)的简图。”可作为其原型。学生如果明白这些道理就会产生对问题开放的需求，逐步形成自觉的开放意识。又如2000年理19文20题函数单调性的参数取值范围问题（既有条件开放又有结论的开放，条件上，对，是选择，还是选择？选择前者则得，以后的道路荆棘丛生，而选择后者则有，以后的道路一片光明；结论开放体现在结论分为两段，一段上可使函数单调，另一段上不单调，且证明不单调的方法是寻找反例）； 从数学考试中引进一定的结合现实背景的问题和开放性问题，已引起了广大数学教育工作者的极大关注，开放题的研究已成为数学教育的一个热点。 二、开放问题的构建 有了开放的意识，加上方法指导，开放才会成为可能。开放问题的构建主要从两个方面进行，其一是问题本身的开放而获得新问题，其二是问题解法的开放而获得新思路。根据创造的三要素：“结构、关系、顺序”，我们可以为学生构建由“封闭”题“开放”的如下框图模式： 除教材介绍的方法外，根据目标的结构特征，改变一下考察问题的角度，或同时对目标的结构作些调整、重新组合，可获得如下思路：两点（b,a）、(-m,-m)的连线的斜率大于两点（b,a）、(0,0)的连线的斜率；b个单位溶液中有a个单位溶质，其浓度小于加入m个单位溶质后的浓度；在数轴上的原点和坐标为1的点处，分别放置质量为m、a的质点时质点系的重心，位于分别放置质量为m、b的质点时质点系的重心的左侧等。 〔例2〕用实际例子说明所表示的意义 给变量赋予不同的内涵，就可得出函数不同的解释，我们从物理和经济两个角度出发给出实例。 1.X表示时间（单位：s），y表示速度（单位：m/s），开始计时后质点以10/s的初速度作匀加速运动，加速度为2m/s2，5秒钟后质点以20/s的速度作匀速运动，10秒钟后质点以-2m/s2的加速度作匀减速运动，直到质点运动到20秒末停下。 2.季节性服饰在当季即将到来之时，价格呈上升趋势，设某服饰开始时定价为10元，并且每周（7天）涨价2元，5周后开始保持20元的价格平稳销售，10周后当季即将过去，平均每周削价2元，直到20周末该服饰不再销售。 函数概念的形成，一般是从具体的实例开始的，但在学习函数时，往往较少考虑实际意义，本题旨在通过学生根据自己的知识经验给出函数的实际解释，体会到数学概念的一般性和背景的多样性。这是对问题理解上的开放。 对B而言，它是一条特殊的直线，通过对其位置的变更可产生许多有意义的问题；而C是一种特殊的线段分点，同样可以使其推广到一般，若对由此产生的结果继续研究就会发现以往的一些会考、高考试题。 三．开放问题的探索 开放的行为给上面三个简单的问题注入了新的活力，推陈出“新”、自己给自己出题是人自我意识的回归。开放的过程说白了就是探索的过程。以下以抛物线的焦点弦问题为例来看开放问题的探索。 “所有的画都是以只有3种原色的方式构成的。每当我们把某样东西说成是新的的时候，我们真正谈论的是现有元素独特的存在方式。”具备对“封闭”题“开放”的意识的学生，事实上就有了创造意识，这种意识驱动下的实践自然会使创造力得以发展；同时，随着高考命题改革的进一步深入，我想这样的“开放”会在高考中更显示其生命力。
高中数学开放题专项练习
2020年高中数学开放题专项练习（2） 一、解答题（本大题共13小题，共156.0分） =√5asinB这两个条件中任选一个，补充在下1.在①3asinC=4ccosA，②2bsin B+C 2 面问题中，然后解答补充完整的题． 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知______，a=3√2． (1)求sin A； (2)如图，M为边AC上一点MC=MB.∠ABM=π ，求△ABC的面积． 2 注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分． 2.已知{a n}是公比为q的无穷等比数列，其前n项和为S n，满足a3=12，___.是否存 在正整数k，使得S k>2020？若存在，求k的最小值；若不存在，说明理由．从①q=2，②q=1 ，③q=?2这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作 2 答．
3.给定数列{A n}，若对任意m，n∈N?且m≠n，A m+A n是{A n}中的项，则称{A n}为 “H数列”.设数列{a n}的前n项和为S n． (1)请写出一个数列{a n}的通项公式______，此时数列{a n}是“H数列”； (2)设{a n}既是等差数列又是“H数列”，且a1=6，a2∈N?，a2>6，求公差d 的所有可能值； 4.在①tanα=4√3，②7sin2α=2sinα，③cosα 2=2√7 7 这三个条件中任选一个，补 充在下面问题中，并解决问题． 已知α∈(0,π 2)，β∈(0,π 2 )，cos(α+β)=?1 3 ，______，求cosβ.注：如果选择多个 条件分别解答，按第一个解答计分． 5.在①函数f(x?π 3 )为奇函数 ②当x=π 3 时，f(x)=√3 ③2π 3 是函数f(x)的一个零点 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答． 已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π 2 )，f(x)的图象相邻两条对称轴间的距离为π，______． (1)求函数f(x)的解析式；
高中数学开放题练习卷
高中数学开放题练习卷 1. 过双曲线12222=-b y a x 的右焦点F （c ，0）的直线交双曲线于M 、N 两点，交y 轴于P 点，点M 、N 分→ PF 所成定比分别为1λ、2λ，则有21λλ+为定值.222 b a 类 比双曲线这一结论，在椭圆122 22=+b y a x （a ＞b ＞0）中，21λλ+为定值是（ ） A ．22 2b a B ．222b a - C ．22 2a b D ．22 2a b - 2. 设A 、B 、C 是ΔABC 的三个内角，表达式①sin(A+B)+sinC,②cos(A+B)+cosC, ③tan 2B A +tan 2 C ,④cos 2B A +2 cos 1C 中，其中一定是常数的是 A ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④ 3. 要将两种大小不同的钢板截成A 、B 、C 三种规格，每张钢板可同时截得三种 数分别为m 、n （m 、n 为整数），则m +n 的最小值为 （ ）． A ．10 B ．11 C ．12 D ．13 4. 对于定义在D 上的函数y =f (x )，如同时满足①f (x )在D 内单调；②存在区间 [a ,b ]?D ，使得f (x )在[a ,b ]上的值域为[a ,b ]，则函数y =f (x ) (x ∈D)称闭 函数。则定义在x ≥1上的闭函数11-+=x y 符合条件②的区间[a ,b ]是__________． 5. 设函数)(x f 的定义域为D ，如果对于任意的D x ∈1，存在唯一的D x ∈2，使 C x f x f =+2 ) ()(21（C 为常数）成立，则称函数)(x f 在D 上均值为C.给出下 列四个函数： ①3x y = ②x y sin 4= ③x y lg = ④y=2 x 则满足在其定义域上均值为2的所有函数的序号是 . 6．（全国高考）如图, 在直四棱柱A 1B 1C 1D 1-ABCD 中， 当底面四边形ABCD 满足条件__________时, 有A 1C ⊥B 1D 1.(注：填上一种你认为正确的一种条件即可, 不必考虑所有可能的情形.) 7．（上海春季高考）设曲线1C 和2C 的方程分别为 A 1 D 1 B 1 C 1 A D B C
最新高中数学《复数》经典考题分类解析
最新高中数学《复数》经典考题分类解析 复数的代数运算年年必考，其题目活而不难，主要考查学生灵活运用知识的能力，复数的几何意义也是考查的一个重点。落实考查特点有利于抓住复习中的关键：（1）复数的概念，包括虚数、纯虚数、复数的实部与虚部、复数的模、复数的相等、共轭复数的概念。（2）复数代数形式基本运算的技能与技巧，特别是 i ±1的计算，注意转化思想的训练，善于将复数向实数转化。 （3）复数的几何意义， 1、复数的概念以及运算 例1i 是虚数单位，238i 2i 3i 8i ++++=L ．（用i a b +的形式表示，a b ∈R ，） 解：原式＝i －2－3i ＋4＋5i －6－7i ＋8＝4－4i 点评：复数是高中数学的重要内容，是解决数学问题的重要工具，本题考查了复数的概念以及复数的引入原则，主要考查i 12-=的实际应用问题。 例2若a 为实数， =，则a 等于（ ） A ． B ． C ． D ．-解析：由已知得：等式左边＝i a a i ai 3 223223)21)(2(-++=-+ 由复数相等的充要条件知：???????-=-=+23 220322a a ，所以a ＝ 点评：本题考查了复数的基本运算以及复数相等的概念。 例3若复数(1)(2)bi i ++是纯虚数（i 是虚数单位，b 是实数），则b =（ ） A ．2 B ．12 C ．12- D ．2- 解析：(1)(2)bi i ++＝i b b )12()2(++-，因为(1)(2)bi i ++是纯虚数，因此
???≠+=-0 1202b b 所以b ＝2。 点评：本题考查的复数的乘法运算问题，通过该运算考查了纯虚数的概念。 2、复数的几何意义 复数与复平面上的点，及复平面上从原点出发的向量建立了一一对应关系，这样使得 复数问题可以借助几何图形的性质解决，反之，一些解析几何问题、平面几何问题也可以借助于复数的运算加以解决。 例4若35ππ44θ??∈ ??? ，，则复数(cos sin )(sin cos )i θθθθ++-在复平面内所对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 解析：复数的实部a ＝)4sin(2sin cos π θθθ+=+，虚部b ＝ )4sin(2cos sin πθθθ-=-，因为4 543πθπ<<，所以 ππθπππθπ<-<<+<42,234，所以0)4sin(<+πθ，0)4 sin(>-πθ，即a<0，b>0，所以复数对应的点在第二象限。 点评：本题以复数的三角形式作为命题背景，考查了复数的三角形式运算以及三角函数的恒等变化，以及复数的几何意义。复数与复平面内的点的对应关系经常出现在考题中，关键是把复数化简成bi a +的形式，并且准确的判断出a 、b 的符号是求解问题的关键。 3、复数的开放性的考查 例4．复数i z a b a b =+∈R ，，，且0b ≠，若24z bz -是实数，则有序实数对()a b ，可以是 ．（写出一个有序实数对即可） 解析：因为24z bz -＝i b ab ab b a )42()4(222-+--是实数，所以有 0422=-b ab ，因为0≠b ，所以b a 2=，所以答案可以填写（2，1）或（2，4）、（3，6）等等。
(完整版)高一数学试题及答案解析.docx
高一数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分 . 满分 150 分 . 考试时 间 120 分钟 . 第Ⅰ 卷（选择题，满分 50 分） 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分．在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的 ,把正确的答案填在指定位置上 .） 1. 若角 、 满足 90o 90o ，则 2 是（） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角 2. 若点 P(3 , y) 是角 终边上的一点，且满足 y 0, cos 3 ，则 tan （） A ． 3 B ． 3 C ． 4 D ． 4 5 4 4 3 3 1 ，则 g(x) 可以是（） 3. 设 f (x) cos30 o g(x) 1，且 f (30o ) 2 A ． 1 cos x B ． 1 sin x C ． 2cosx D ． 2sin x 2 2 4.满足 tan cot 的一个取值区间为（） A ． (0, ] B ． [0, ] C ． [ , ) D ． [ , ] 4 4 4 2 4 2 5.已知 sin x 1 ，则用反正弦表示出区间 [ , ] 中的角 x 为（） 3 2 A ． arcsin 1 B ． arcsin 1 C ． arcsin 1 D ． arcsin 1 3 3 3 3 6.设 0 | | ，则下列不等式中一定成立的是： (） 4 A ． sin 2 sin B ． cos2 cos C ． tan2 tan D ． cot 2 cot 7. ABC 中，若 cot A cot B 1，则 ABC 一定是（） A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．以上均有可能 8.发电厂发出的电是三相交流电， 它的三根导线上的电流分别是关于时间 t 的函
高一数学试题及答案解析
高一数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间120分钟. 第Ⅰ卷（选择题，满分50分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的,把正确的答案填在指定位置上.）1. 2 A．第二象限角C．第三象限角 2. A． 3.设 2 A．1 4. A． 5. A． 6.设 A． C． 7.ABC A B>，则ABC ?一定是（） ?中，若cot cot1 A．钝角三角形B．直角三角形 C．锐角三角形D．以上均有可能 8.发电厂发出的电是三相交流电，它的三根导线上的电流分别是关于时间t的函
数：2sin sin()sin()3A B C I I t I I t I I t πωωω?==+=+且0,02A B C I I I ?π++=≤<， 则?=（） A ．3πB ．23πC ．43πD ．2 π 9.当(0,)x π∈时，函数 21cos 23sin ()sin x x f x x ++=的最小值为（） A ． B ．3 C ．．4 10.()f x =的A ．1112131415的映射 :(,)()cos3sin3f a b f x a x b x →=+.关于点(的象()f x 有下列命题：①3()2sin(3)4 f x x π=-； ②其图象可由2sin3y x =向左平移4 π个单位得到； ③点3(,0)4π是其图象的一个对称中心
④其最小正周期是23 π ⑤在53[,124 x ππ∈上为减函数 其中正确的有 三．解答题（本大题共5个小题，共计75分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 24)t ≤≤经长期观察，()y f t =的曲线可近似的看成函数cos (0)y A t b ωω=+>. （1）根据表中数据，求出函数cos y A t b ω=+的最小正周期T 、振幅A 及函数表达式； （2）依据规定，当海浪高度高于1m 时才对冲浪者开放，请根据（1）中的结论，判断一天中的上午8：00到晚上20：00之间，有多少时间可供冲浪者运
高中数学开放题研究
高中数学开放题研究 摘要：数学开放题强调了学生在教学活动中的主体作用。研究数学开放题，构建数学开放题及其教学模式是对学生进行素质教育的一种有效途径。 关键词：高中；数学；开放题；探究 开放题作为一种具有特殊形式的数学问题，与一般的数学问题一样，也具有知识教育价值。开放题最突出的也是人们谈论最多的是：它有利于培养学生发散思维和创造能力。激发学生独立思考和创新的意识，这是一种新的教育理念的具体体现。目前人们普遍认为素质教育的核心是培养创新精神和创造能力，而开放题教学是推进数学素质教育的一个切入点和突破口。这从一个侧面反映了开放题在培养创造能力方面所具有的巨大教育价值。数学教师需要主动接受建构主义教学理论的指导，研究数学开放题，构建数学开放题及其教学模式并用之于数学教学是对学生进行素质教育的一种有效途径。 一、开放题的特点 数学开放题是最富有教育价值的—种数学问题的题型。它具有以下几种最突出的特征： 1.内容的丰富性。开放题题材广泛，涉及面宽，贴进学生生活实际，背景新颖，内容深刻，解法灵活，不像封闭性题目那样简单、乏味，单靠纯记忆、套模式来解题。 2.形式的多样性。开放题呈现的形式多样化，除文字叙述外，还可以用表格、图画、对话等形式来安排设计，综合性强，不像封闭性习题形式那样单一地呈现和呆板的叙述。 3.思路的发散性。由于开放题的答案不唯一，解题时需要运用多种思维方法，并通过多角度、全方位的分析探索，从而获得多种结论。 4.教育的创新性。其解题思路具有发散性，为学生提供了充分发挥创新意识和创新精神的时空途径。 数学开放性题是近年高考命题的一个新的亮点，其解法灵活且具有—定探索性。这类题型按解题目标的操作模式分为：规律探索型、问题探究型、数学建模型、操作设计型、情景研究型。如果“未知的”是解题假设，那么就称为条件开放型；如果“未知的”是解题目标，那么就称为结论开放型：如果“未知的”是解题推理，那么就称为策略开放型。 二、数学开放题的分类与设计策略 1.对数学开放题的分类，从构成数学题系统的四要素（条件、依据、方法、结论）出发，定性地可分成四类：如果寻求的答案是数学题的条件，则称为条件开放题；如果寻求的答案是依据或方法，则称为策略开放题；如果寻求的答案是结论，则称为结论开放题；如果数学题的条件、解题策略或结论都要求解题者在给定的情景中自行设定与寻找，则称为综合开放题。 （1）条件开放题，即未知的要素是条件。
解析《高中数学阅读理解测试题》教学设计
解析《高中数学阅读理解测试题》教学设计 西安市五环中学 赵 恒 阅读是当代社会人们获取信息的最重要的途径之一，所以阅读能力是高考各学科都重点考查的内容。几年来的全国和各地的高考数学试卷中出现了大量的阅读理解问题，现分类加以解析，希望能对学生的数学思维能力的提高有所帮组。 一、阅读教材内容，归纳总结提炼数学思想方法 学习数学离不开做题，但更离不开阅读教材，要从课本叙述中通晓知识的来龙去脉、从例题中提炼思想方法、从课外练习中学会解题技巧，等等。 1.教材中“坐标平面上的直线”与“圆锥曲线”两章内容体现出解析几何的本质是 解析：如果平时我们只顾埋头解题，只知道用公式、死算，面对这个问题就会一筹莫展。相反，如果我们注重对教材的阅读，并且在阅读中把握课本对知识体系的演绎、思想方法的展开，就知道，解析几何的本质是：“用代数的方法研究几何图形的性质”。 2.设2 21)(+=x x f ，利用课本中推导等差数列的前n 项和的公式的方法，可求得)6()5()0()4()5(f f f f f +++++-+- 的值为： 。 解析：本题要求利用课本中等差数列的求和方法，如果平时只记忆公式，而缺乏对课本公式来源过程的阅读，就不知道要用“倒序相加法”。观察函数解析式的特点，得到f （x ）+f （1－x ）=，即f （－5）+ f （6）=， f （－4）+f （5）=，f （－3）+f （4）=，f （－2）+f （3）=， f （－1）+ f （2）= ，f （0）+f （1）=，故所求的值为3.
由此可见，任何好的参考资料都不能代替对课本的阅读、掌握。 二、阅读解题过程，辨别真伪，考查思维的批判性 有时高考试题还通过模拟考生的错误，给出解法，让考生阅读。这一类试题给出的错误正是学生易出错的地方，所以具有很强的迷惑性和欺骗性，题型相当于英语考试中的“改错题”。 3.F 1、F 2是双曲线20 162 2y x =1的焦点，点P 在双曲线上.若点P 到焦点F 1的距 离等于9，求点P 到焦点F 2的距离.某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8， 由||PF 1|－|PF 2||=8，即|9－|PF 2||=8，得|PF 2|=1或17.该学生的解答是否正确？ 若正确，请将他的解题依据填在下面空格内，若不正确，将正确的结果填在下面空格 . 解析：试题提供的解答过程是不正确的，产生了多解。由题意知：|F 1F 2|=12，若|PF 2|=1，由题设|PF 1|=1 知△F 1F 2P 两边之差大于第三边，与三角形两边之差小 于第三边的性质矛盾。正确的答案为：|PF 2|=17 解决此类问题，需要在练习过程中注意对思维的严谨性和推理的逻辑性进行训练，也要注意对课本、参考书和教师、同学的解法进行反思和加工，从而形成良好的批判思维能力。 三、阅读给定的材料，用数学的眼光分析和解答相关问题 学习数学，不仅是为了能够解题，更重要的是应用数学，也就是要会用数学的眼光和头脑来观察和分析生活中遇到的问题。 4.毛泽东在《送瘟神》中写到：“坐地日行八万里”。又知地球的体积大约是火星的8倍，则火星的大圆周长约为 万里。 解析:由生活常识知道，一日地球自转一周，所以读懂“坐地日行八万里” 的含义相当重要，这句话指的是地球大圆（或赤道）周长大约为8万里，又 由题意可知地球体积是火星体积的8倍，从而地球的周长是火星的周长的2
关于数学开放性试题的探讨
关于数学开放性试题的探讨 【摘要】中学数学教学最早被理解为传授知识，在这种情况下，过去偏重演绎论证的训练，注重灌输现成的知识。随着对中学数学教学的深入研究，更加注重了在教学中渗透数学思想方法，培养数学全面发展的开拓型人才。在这种情况下，传统的封闭型数学问题不能完全满足对学生思维能力的训练，开放性试题随之产生，并且日益在考试中占有一席之地。 【关键词】开放性试题创新 随着中国的日益发展，传统的教育模式已经不能适应知识经济的到来，现在知识教学中对确定事实的灌输、唯一答案的寻求，封闭习题的操练，难以适应对创新意识、创新精神、创新能力培养的要求。必须改造我们的教学，将确定的事实、探究真理的方法和开放性、创造性态度融为一体，实现知识教学的革命，素质教育才可能真正深入。 一、开放性试题产生的背景 1、开放性试题产生的国际背景 70年代，由日本学者首先研究，以后得到东西方许多国
家数学教育界认同的数学开放题的出现，是人们站在新时代历史的高度上对数学教育改革的新探索，它对培养人的创造性思维和培养创新人才有着积极而重要的作用。 2、开放性试题产生的国内背景 中国的数学教育有自己的历史文化背景和鲜明的民族 特点，中国学生在数学奥林匹克竞赛以及国际数学教育评价中的优异测试成绩，一方面表明了中国数学教育在国际教育界享有很好的声誉，我们应该引以自豪：中国在教育投入很少的情况下，学生的数学成绩能居世界前列。另一方面表明中国学生花在数学作业上的时间比其他国家多，但是优秀学生受考试的束缚，创造性不强，数学教学中的创新性不够。中国的学生虽然考试能力很强，但是世界上最好的科学家却往往不是出现在中国。这是不是说明了中国的考试体制不够科学完善？我们需要重新审视我们的考试制度和我们的教 学模式。开放性试题的提出，无疑是合乎时宜的，它有利于消除学生的思维定势，提高学生全面思维能力，有利于培养创造性人才和开拓性人才。 3、新教材在全国范围内的普及 高中新教材无论是在教材课文还是在课后练习、习题部分都体现出新的教育理念。如:构建共同基础，提供发展平台；
高中数学开放题赏析
í?3 C B í?2 B í?1 C B 高中数学开放题赏析 数学开放性问题是近年来高考命题的一个新方向,其解法灵活且具有一定的探索性,这类题型按解题目标的操作模式分为:规律探索型,问题探究型,数学建模型,操作设计型,情景研究型.如果未知的是解题假设,那么就称为条件开放题;如果未知的是解题目标,那么就称为结论开放题;如果未知的是解题推理,那么就称为策略开放题.当然,作为数学高考题中的开放题其“开放度”是较弱的,如何解答这类问题,还是通过若干范例加以讲解. 题目1：如果一个四面体的三个面是直角三角形，那么，第四个面可能是：①直 角三角形；②锐角三角形；③钝角三角形；④等腰三角形；⑤等腰直角三角形；⑥等边三角形。请说出你认为正确的那些序号。 解 分三种情形 第一种情形 从同一顶点出发的三个面都是直角三角形，且都以该顶点为直角顶点，如图1。 设AD 、BD 、CD 的长分别是a 、b 、c ， ∵ ∠ADB=∠ADC=∠BDC=900， ∴ AB ，BC ，AC 的长分别为 222222,,a c c b b a +++ 在△ABC 中，由余弦定理 cos ∠BAC=AC AB BC AC AB ?-+22 22 = AC AB c b c a b a ?+-+++2) (2 22222 =AC AB a ?2 ＞0 ∴ ∠BAC 是锐角，同理∠ABC 、∠ACB 也是锐角 ∴ △ABC 是锐角三形。②正确。当a=b=c 时△ABC 是等边三角形，⑥正确。 第二种情形 如图2，∠ADB=∠ADC=∠DBC=900 ∵ AD ⊥BD ，AD ⊥DC ， ∴ AD ⊥面DBC ∴ BD 是AB 在平面DBC 上的射影。 由三垂线定理知，BC ⊥AB ∴ 第四个面△ABC 是直角三角形。①正确。 第三种情形 如图3，∠ADC=∠BDC=∠ACB=900
高中数学教学中开放性试题略探
高中数学教学中开放性试题略探 发表时间：2015-01-30T09:46:48.743Z 来源：《读写算（新课程论坛）》2014年第11期（上）供稿作者：李元波[导读] 所谓开放性试题，它是相对传统的封闭试题而言的，是适应高中数学新课标的需要而出现的一种新型题型。◇李元波 （万源市第三中学万源 636350） 【摘要】：对于现代普通高中数学教学过程，对开放性试题的教学是教学的重中之重，是历年高考的侧重点，更是衡量数学教学质量和学生数学水平的重要参数。 【关键词】：高中数学开放试题意识构建 所谓开放性试题，它是相对传统的封闭试题而言的，是适应高中数学新课标的需要而出现的一种新型题型。它的核心是培养学生的创造思维和创新能力，激发学生独立求知与探究，是新教育理论的具体体现。现代高中数学教材中，多数习题基本上是为了使学生了解和牢记数学结论而设计的，学生在学习中缺乏主动参与的过程。那么在教材还没有提供足够的开放题之前，好的开放题从那里来？我认为最现实的办法是让封闭题走向开放。 一、培养学生做开放题的意识 学生学习的目的是为了使自然人过渡到社会人，使社会人更好地服务于社会，由于社会时刻在发生着变化，因此，一个良好的社会人必须具备适应社会变化的能力。让学生懂得用现成的方法解决现成的问题仅仅是学习的第一步，学习的更高境界是提出新问题，并提出解决新问题的方案。因此首先必须改变那种只局限于老师给题学生做题的被动的、封闭的意识，为了使数学适应时代的需要，我们选择了数学开放题作为一个切入口，开放题的引入，促进了数学教育的开放化和个性化，从发现问题和解决问题中培养学生的创新精神和实践能力。开放的题目，通常是改变命题结构，改变设问方式，增强问题的探索性以及解决问题过程中的多角度思考，对命题赋予新的解释进而形成和发现新的问题。近几年的高考题中也出现了开放试题的影子。如某年的高考题： 关于函数f（x）=4sin（2x+π/3）（x∈R），有下列命题：①由f（x1）=f（x2）=0可得x1-x2必是π的整数倍；②y=f（x）的表达式可改写为y=4cos（2x-π/6）；③y=f（x）的图象关于点（-π/6，0）对称；④y=f（x）的图象关于直线x=-π/6对称．其中正确的命题的序号是________。（把你认为正确的命题序号都填上）。 很显然，高中数学课本《高中代数》第一册下P64的例4“作函数y=3sin(2x+π/3)的简图”可以视其为原型。如果学生明白这些道理就会产生对问题开放的需求，逐步形成自学的开放意识。 从数学考试中引进一定的结合现实背景的问题和开放性问题，早已成为广大数学教育工作者的共识，开放题的研究已成为数学教育的一个热点。 二、开放性试题的构建 有了开放性的意识，再加上老师的方法指导，开放才会 成为可能。开放性问题的构建主要从两个方面进行，其一是问题本身的开放而获得新问题，其二是问题的解法的开放而获得新思路。例：命题A：底面为正三角形，且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥。命题A的等价题B可以是：底面为正三角形，且______的三棱锥是正三棱锥。 根据正三棱锥的定义可知． ①若三棱锥的三条侧棱相等，则顶点在底面的射影是底面的外心，因为底面为正三角形，所以外心也是底面三角形的中心，所以此时三棱锥是正三棱锥． ②若三棱锥的三条侧棱侧棱与底面所成角相等，所以顶点在底面的射影是底面三角形的内心，因为底面为正三角形，所以内心也是底面三角形的中心，此时三棱锥是正三棱锥． 故可以答“侧棱相等”或“侧棱与底面所成角相等”，也可以答“侧面与底面所成角相等”，…… 函数概念的形成，一般是从具体的实例开始的，但在学习函数时，往往较少考虑实际意义，作为教师，我们要通过学生根据自己的知识经验给出函数的实际解释，体会到数学概念的和背景的多样性。这是对问题理解上的开放。 三、开放性试题的探究 开放的行为给上面的几个简单的问题注入了新的活力，推陈出新，自己给自己出题是人意识的回归。开放的过程说明白一点，就是探索的过程。我们再来看一个例子。 例：已知抛物线y2=2px（p>0），经过焦点F的直线与抛物线相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，P（x0，y0）是线段AB的中点；抛物线的准线为l，分别过点A、B、P作X轴的平等线，依次交准线l于M、N、O，连接FM、FN、FQ、AQ和BQ，试尽可能地找出：⑴点A、B、P的纵横6个坐标所满足的等量关系；⑵图中各线段的垂直关系；⑶如果允许引辅助线，你还能发现哪些结论？通过分析，点A、B、P的6个坐标（x1，y1）、（x2，y2）、（x0，y0）之间至少存在下列几个等量关系：
基于高中数学教材的开放题教学的实践研究
基于高中数学教材的开放题教学的实践研究 上海市松江二中黄继红 摘要：通过基于教材的开放题教学,学生在获得知识和技能的同时，能体验“问题提出和解决”的探究过程，达到优化思维品质的目的。结合多个基于教材的开放题教学的案例，总结基于教材的开放题教学的基本模式和教学策略,构建了基于教材的开放题教学能把教科书上的“冰冷的美丽”还原成学生“火热的思考”的一种数学教育形态。在多年实践的基础上,提出了进一步思考的问题。 关键词：高中数学教材；开放题；基本模式；教学策略；案例。 一、问题提出 高中数学受学生欢迎的程度正在降低，原因是多方面的，除了应试的原因外,还有教材的数学表现形式是枯燥的、冷冰冰的原因，更有教师的教学理念仍停留在“教教材”而非“用教材教”的原因，即使有一些教师注重教材的再创造，但缺乏较有效的引领学生提出问题和解决问题的策略。正如张奠宙教授指出：“教师的责任在于把写在教科书上的冰冷的学术形态，恢复为学生易于接受的火热思考的教育形态”。他的话语击中了数学教育的核心，数学教学应在数学的自然形态和数学的学术形态的两极之间构建出既反映数学本质又适宜学生学习的数学教育形态。要把数学“冰冷的美丽”转变成学生“火热的思考”，需要把教材内容艺术地还原成生动活泼的教学内容，点燃、激发学生的思维火花，使学生能欣赏数学的美丽，感受数学的魅力，提高学习兴趣和学习效率。 为了更好地激活教材，我先来分析一下数学问题的类型和特点。Johnstone提出根据已知数据或条件、使用方法与达成目标的一种分类方法:如果这些因素都是已知的或熟悉的，问题就只是简单的常规应用，可以根据已知的解决程序、处理数据达到预定目标，那么这样的问题解决充其量只是算法练习而已；如果这些因素至少有一方面是未知的，那么这样的问题就是开放的问题,其中如果这些因素都是未知的,那就是完全开放的问题。下表中的8种不 可以被看作是“练习”。3与4就更复杂些，3需要寻找数据(信息)，4则需要与1和2中极为不同的推理。5到8都有开放的目标。现行高中数学教材中呈现的概念、定理、公式大多缺乏知识的形成过程，教材的例题或练习题一般由两部分组成，即已知条件和所求问题。这样的数学问题，它提出了解决问题的要求，但是，通常不包含提出问题的过程。
高中数学开放题及其教学管见
例谈数学开放题及其教学 一、数学开放题的含义和分类 （一）开放题的含义 数学开放题的含义是指它所反映的数学问题所共有的本质属性。弄清它的含义，能使我们更好地理解和研究开放题。数学开放题是相对传统的封闭题而言的。先请看下面两个简单数学问题： 问题１：数列２，４，８……成等比数列，求公比。 问题２：试写出公比为２的一个等比数列。 明显可以发现问题１的答案是唯一的，一般我们称为封闭题，而问题２的答案不唯一，我们称它为开放题。一个数学问题，如果它的答案不唯一，或者有多种解法，我们就称这个问题为数学开放题。 由以上含义可知，能“一题多解”的题也称为开放题。且开放题和封闭题具有相对性。并且一个题目是否开放，不但与题目本身的结构有关，而且与解题者自身所具备的知识和能力也有直接的关系。 二、开放题的分类： 为了深入研究开放题，有必要对它进行分类。可以选择不同的标准，进行不同的分类。本文从思维形式的角度把数学开放题分为以下四类： 1.条件性开放题 如果一个数学开放题，其未知的要素是假设，则称为条件性开放题。这类开放题中往往给出结论，要求从各种不同的角度去寻求这个结论成立的条件。如 问题3：在直四棱柱A1B1C1D1—ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件 时，有A1C⊥B1D1，（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形）。（1998年全国高考题） 这是一道数学完形填空题，也是数学高考中首次出现的探索条件型答案不唯一的开放题，需要执果索因，答案较多，此题主要考查四棱柱的性质，三垂线性定理等，由于只要求填出使结论成立的充分条件，条件放得宽，难度不大。 2.策略性开放题
漫谈高中数学开放题
漫谈高中数学开放题 开放题是数学教学中的一种新题型，它是相对于传统的封闭题而言的。开放题的核心是培养 学生的创造意识和创造能力，激发学生独立思考和创新的意识，这是一种新的教育理念的具 体体现。 一、开放题的特点 数学开放题是最富有教育价值的—种数学问题的题型。它具有以下几种最突出的特征： 1.内容的丰富性。开放题题材广泛，涉及面宽，贴进学生生活实际，背景新颖，内容深刻， 解法灵活，不像封闭性题目那样简单、乏味，单靠纯记忆、套模式来解题。 2.形式的多样性。开放题呈现的形式多样化，除文字叙述外，还可以用表格、图画、对话等 形式来安排设计，综合性强，不像封闭性习题形式那样单一地呈现和呆板的叙述。 3.思路的发散性。由于开放题的答案不唯一，解题时需要运用多种思维方法，并通过多角度、全方位的分析探索，从而获得多种结论。 4.教育的创新性。其解题思路具有发散性，为学生提供了充分发挥创新意识和创新精神的时 空途径。 数学开放性题是近年高考命题的一个新的亮点，其解法灵活且具有—定探索性。这类题型按 解题目标的操作模式分为：规律探索型、问题探究型、数学建模型、操作设计型、情景研究型。如果“未知的”是解题假设，那么就称为条件开放型；如果“未知的”是解题目标，那么就 称为结论开放型：如果“未知的”是解题推理，那么就称为策略开放型。 二、开放意识的形成 学习的目的是为了使自然人过渡到社会人、使社会人更好地服务于社会，由于社会时刻在发 生着变化，因此，一个良好的社会人必需具备适应社会变化的能力。让学生懂得用现成的方 法解决现成的问题仅仅是学习的第一步，学习的更高境界是提出新问题、提出解决问题的新 方案。因此首先必须改变那种只局限于教师给题学生做题的被动的、封闭的意识，为了使数 学适应时代的需要，我们选择了数学开放题作为一个切入口，开放题的引入，促进了数学教 育的开放化和个性化，从发现问题和解决问题中培养学生的创新精神和实践能力。 关于开放题目前尚无确切的定论，通常是改变命题结构，改变设问方式，增强问题的探索性 以及解决问题过程中的多角度思考，对命题赋予新的解释进而形成和发现新的问题。从数学 考试中引进一定的结合现实背景的问题和开放性问题，已引起了广大数学教育工作者的极大 关注，开放题的研究已成为数学教育的一个热点。 三、开放问题的构建 有了开放的意识，加上方法指导，开放才会成为可能。开放问题的构建主要从两个方面进行，其一是问题本身的开放而获得新问题，其二是问题解法的开放而获得新思路。根据创造的三 要素：“结构、关系、顺序”，我们可以为学生构建由“封闭”题“开放”的如下框图模式： 〔例1〕用实际例子说明所 给变量赋予不同的内涵，就可得出函数不同的解释，我们从物理和经济两个角度出发给出实例。