第三讲---双曲线的第二定义
双曲线的第二定义(已修改)
P ={M|
由此可得：
= } d a
(x c)2 y 2 c 2 a a x c
令c a b
2 2
2
将上式两边平方，并化简，得 2 2 2 2 2 2 2 2 (c a ) x a y a (c a )
2Байду номын сангаас
2
x y 2 1(a 0, b 0) 2 a b
轨迹.
16 直线 l :x= 的距离的比是常数 5 求:点M的 5 4
x y =1 16 9
故点M的轨迹为实轴、虚轴长分别为8、6的双曲 线.
2
2
问题: 点M (x,y) 与定点F(c,0)的距离和它到定
2
c a 直线 l : x = 的距离的比是常数 (c>a>0), a c
求:点M的轨迹.
解：设d是点M到直线l的距离，根据题意，所求轨 迹就是集合 |MF| c
故点M的轨迹为实轴、虚轴长分别为2a、2b的双曲线.
实 例 演 示 : e=2
线 距 动 离 点 的 二到 定 倍 点 。 距 离 是 它 到 定 直
L
F
y
L
线 距 离动 的点 二到 倍定 。点 距 离 是 它 到 定 直
a2 准线x c
c e 2 a
焦点
o
F
x
2 2 x y 双曲线标准方程是： 1 a 2 b2
双曲线的第二定义
授课人：赵国生
（一）知识回顾：
一、椭圆的第二定义： 1、定义：平面内到一个
l1
d1
F1 O
M
d2
F2 F2(c,0)
l2
x
定点F和一条定直线 l 的距
双曲线第二定义课件
离心率e反映了双曲线的离心率与椭圆的离心率之间的区别。
双曲线的标准方程
01
双曲线的一般方程为：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 (a>0, b>0)
焦点性质
双曲线的焦点位置决定了 双曲线的开口方向和大小 ，同时影响着双曲线的几 何形状和性质。
03
CATALOGUE
双曲线的几何性质
面积与周长
面积
双曲线的面积可以通过其与两条直线的交点以及原点来计算。具体公式为：$S = frac{1}{2} times |AB| times d$，其中$AB$是双曲线的弦，$d$是原点到直 线的距离。
切线性质
切线方程
对于双曲线上的任意一点，其切线方程可以通过求导得到。对于一般的双曲线方 程$frac{x^2}{a^2} - frac{y^2}{b^2} = 1$，其切线方程为：$y = mx pm frac{b^2}{a}$。
切线斜率
对于双曲线上的任意一点，其切线的斜率等于该点处的导数。
04
粒子加速器和核聚变研究
双曲线在粒子加速器和核聚变研究中也有应用，例如在粒子加速器中，双曲线结构可以用来控制粒子的运动轨迹 。
在工程学中的应用
建筑设计
双曲线结构在建筑设计中被广泛应用 ，如穹顶、桥梁等，因为其具有优异 的力学性能和美学价值。
航空航天工程
在航空航天工程中，双曲线结构被用 于制造飞机和火箭的机身和发动机部 件，因为其具有轻质、高强度的特点 。
双曲线第二定义课 件
目录
• 双曲线的定义 • 双曲线的性质 • 双曲线的几何性质 • 双曲线的应用 • 双曲线的扩展知识
双曲线的第二定义课件
MF 1
x 0
a2 c
e
M Faex
1
0
x a2 c
x a2
同理 MF aex
2
0
c
左加右减，下加上减（带绝对值号）
双曲线的第二定义
焦半径公式：
（一）M1位于双曲线右支
y
M2(x2,y2)
|M1F1|ae
x
1
M1(x1,y1) |M1F2|ae1x
F1
O
（二）M2位于双曲线左支
F2 x |M2F1|ae2x
直线 轨迹.
l:x= 1
6 5
的距离的比是常数 5 4
求:点M的
x2 - y2 = 1 16 9
故点M的轨迹为实轴、虚轴长分别为8、6的双曲 线.
双曲线的第二定义
问题: 点M (x,y) 与定点F(c,0)的距离和它到定
直线l: x = a 2
c
的距离的比是常数 c
a
(c>a>0),
求:点M的轨迹.
+3 5
MF
的值最小,并求这个最小值
d min
36 5
M（3 5 ,2) 2
双曲线的第二定义
练习
已 知 点 A(3,2)， F(2,0)， 在 双 曲 线 x2y 32=1?
上 求 一 点 P， 使 ｜ PA ｜ ＋ 2 1｜ PF｜ 的 值 最 小 .
d min
=
3 2
p ( 2 1 ,2 ) 3
双曲线的第二定义
解：设d是点M到直线l的距离，根据题意，所求轨
迹就是集合 P ={M||MF|= c}
da
由此可得： (x c)2 y2 c
双曲线的第二定义
a2 x c
同理 MF2 a ex0
左加右减，下加上减（带绝对值号）
焦半径公式：
（一）M1位于双曲线右支
y
M 2 ( x2 , y2 )
M1 ( x1 , y1 )
（二）M2位于双曲线左支 F1
O
F2
x
|M 2 F1 | a ex2
焦半径的应用
26
16
到左、右焦点的距离之比为1:2,求P
双曲线的第二定义
（一）知识回顾：
一、椭圆的第二定义： 1、定义：平面内到一个
l1
d1
F1 O
M
d2
F2 F2(c,0)
l2
x
定点F和一条定直线 l 的距
离的比为常数e(0<e<1)的点 M的轨迹，叫椭圆。 定点F叫焦点，定直线 l 叫准线。 椭圆有两个焦点F1，F2，两条准线 l1 , l2
2、定义式：
d min
3 = 2
21 p( ,2) 3
x2 y2 例1：如图，已知F，F2为双曲线 2 2 1(a 0,b 0)的焦 思考 1 a b
1 点，过F2作垂直与x轴的直线交双曲线于点P，且sinPF1F2 . 3 求此双曲线的离心率。
x
P
解:由题意x c P
焦半径 PF1 | ec a, PF2 | ec a | |
轨迹.
16 的距离的比是常数 5 求:点M的 直线 l :x= 5 4
x y =1 16 9
故点M的轨迹为实轴、虚轴长分别为8、6的双曲 线.
2
2
问题: 点M (x,y) 与定点F(c,0)的距离和它到定
2
c a 直线 l : x = 的距离的比是常数 (c>a>0), a c
双曲线的第二定义(含解析)
课题：双曲线的第二定义【学习目标】1、掌握双曲线的第二定义；2、能应用双曲线的第二定义解决相关问题；一、双曲线中的基本元素（1）.基本量: a 、b 、c 、e几何意义： a-实半轴、b-虚半轴、c-半焦距，e-离心率；相互关系： )0(,222>>=+=a c ac e b a c （2）.基本点：顶点、焦点、中心（3）.基本线: 对称轴二．双曲线的第二定义的推导例1 点()M x y ，与定点(0)F c ，的距离和它到定直线2:a l x c =的距离的比是常数(0)c c a a>>，求点M 的轨迹． 解：设d 是点M 到直线l 的距离．根据题意，所求轨迹就是集合MF c P M d a ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭|，c a =．化简，得22222222()()c a x a y a c a --=-． 设222c a b -=，就可化为22221(00)x y a b a b -=>>，，这是双曲线的标准方程，所以点M 的轨迹是实轴长、虚轴长分别为22a b ，的双曲线（如图）．由例1可知，当点M 到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数(1)c e e a=>时，这个点的轨迹是双曲线．定点是双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数e 是双曲线的离心率．对于双曲线22221x y a b -=，相应于焦点(0)F c ，的准线方程是2a x c=，根据双曲线的对称性，相应于焦点(0)F c '-，的准线方程是2a x c=-，所以双曲线有两条准线． 例2 一动点到定直线3x =的距离是它到定点(40)F ，的距离的12，求这个动点的轨迹方程． 解：由题设知离心率2e =，又定点(40)F ，与定直线3x =是双曲线相应的右焦点与右准线，所以2c a =，21a c c -=，解得2433a c ==，． 所以双曲线中心为803O ⎛⎫' ⎪⎝⎭，． 又243b =，故双曲线方程为22(38)3144x y --=． 评注：在应用第二定义时，应先确定定点不在定直线上，否则轨迹将是两条相交的直线，同时还应明确曲线中心的位置，因为中心不同的曲线有其不同的方程．三．第二定义的应用1、已知双曲线的焦点是()0,26±，渐近线方程是x y 23±=，则它的两条准线间的距离是___________； 2、若双曲线1366422=-y x 上点p 到右焦点的距离为8，则点p 到右准线的距离为___________； 3、设双曲线1242522=-y x 上一点的横坐标为15，则该点与左、右焦点的距离分别为________和________； 4、已知双曲线1366422=-y x 上点p 到右焦点的距离为14，则其到左准线的距离是__________； 5．双曲线16x 2―9y 2=―144的实轴长、虚轴长、离心率分别为（C ）（A ）4, 3, 417 （B ）8, 6, 417 （C ）8, 6, 45 （D ）4, 3, 45 6．顶点在x 轴上，两顶点间的距离为8， e =45的双曲线的标准方程为（A ） （A ）221169x y -= （B ）2211625x y -= （C ）221916x y -= （D ）2212516x y -= 7．双曲线22134x y -=的两条准线间的距离等于（A ） （A ）767 （B ）737 （C ）185 （D ）1658．若双曲线2216436y x -=上一点P 到双曲线上焦点的距离是8，那么点P 到上准线的距离是（D ）（A ）10 （B ）7 （C ）27 （D ）3259．经过点M (3, ―1)，且对称轴在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程是（D ）（A ）y 2―x 2=8 （B ）x 2―y 2=±8 （C ）x 2―y 2=4 （D ）x 2―y 2=810．以y =±32x 为渐近线的双曲线的方程是（D ） （A ）3y 2―2x 2=6 （B ）9y 2―8x 2=1 （C ）3y 2―2x 2=1 （D ）9y 2―4x 2=3611．等轴双曲线的离心率为 ；等轴双曲线的两条渐近线的夹角是 （090,2）12．从双曲线)0,0( 12222>>=-b a by a x 的一个焦点到一条渐近线的距离是 .(b) 13．与2214924x y +=有公共焦点，且离心率e =45的双曲线方程是 (191622=-y x ) 14．以5x 2+8y 2=40的焦点为顶点，且以5x 2+8y 2=40的顶点为焦点的双曲线的方程是 . (15322=-y x )15．已知双曲线1366422=-x y 上一点到其右焦点距离为8，求其到左准线的距离（答案：596） 四、课后作业1．下列各对双曲线中，既有相同的离心率，又有相同的渐近线的是（B ）（A ）23x ―y 2=1与y 2―23x =1 （B ）23x ―y 2=1与22193x y -= （C ）y 2―23x =1与x 2―23y （D ）23x ―y 2=1与22139y x -= 2．若共轭双曲线的离心率分别为e 1和e 2，则必有（D ）（A ）e 1= e 2 （B ）e 1 e 2=1 （C ）1211e e +=1 （D ）221211e e +=1 3．若双曲线经过点(6, 3)，且渐近线方程是y =±31x ，则这条双曲线的方程是（C ） （A ）221369x y -= （B ）221819x y -= （C ）2219x y -= （D ）221183x y -= 4．双曲线的渐近线为y =±43x ，则双曲线的离心率为（C ） （A ）45 （B ）2 （C ）45或35 （D ）215或35．如果双曲线221169x y -=右支上一点P 到它的右焦点的距离等于2，则P 到左准线的距离为（C ） （A ）245 （B ）6910（C ）8 （D ）10 6．已知双曲线4222=-ky kx 的一条准线是y =1，则实数k 的值是（B ）（A ）32 （B ）―32 （C ）1 （D ）―1 7．双曲线2214x y k+=的离心率e ∈(1, 2)，则k 的取值范围是 .)0,12(- 8．若双曲线221169x y -=上的点M 到左准线的距离为25，则M 到右焦点的距离是 .(889) 9．双曲线的离心率e =2，则它的一个顶点把焦点之间的线段分成长、短两段的比是 .(1:3)10．在双曲线2211213y x -=的一支上有不同的三点A (x 1, y 1), B, 6), C (x 3, y 3)与焦点F 间的距离成等差数列，则y 1+y 3等于 .(12)。
双曲线第二定义及应用
( x 5) 2 y 2 5 16 4 x 5
x2 y2 化简得 1 16 9
引例：求与定点 A(c,0) 及定直线 的距 离的比是定值 的动点M的轨迹方程。 解：设M(x,y),
| MA | 5 则 d 4
( x 5) 2 y 2 5 16 4 x 5
2
2
和离心率，并用第二定义描述该双曲线。
16 焦点坐标F (5,0) 准线方程x 5
2 2
5 离心率e 4
y x 1的两准线间的距离等于( B ) 2、双曲线 4 3
6 （A） 7 7
8 （B） 7 7
8 （C） 5
16 （D） 5
3、
D
y
8 10 32 d d 8 5
双曲线第二定义
平果县第二中学 黄晶
双曲线第二定义
复习：双曲线的几何性质：
焦点在x轴上
定 义
图 形
焦点在y轴上
||MF1||MF2||=2a(2a<|F1F2 |) (M是动点，F1，F2是定点)
标准 方程 |x| a，y R 范围 (x，y都可) 顶点 焦点 (±a，0)
|y| a，x R (x，y都可)
2
2
PF
1 d 2 | PF | d 2
A F
Pd P d
解：由题意得e 2，设点P到右准线
2 y 例如：已知点A（3， 1 ）、F（2， 0） , 在双曲线x 2 1 3 1 上求一点P，使得 PA PF 的值最小，并求出最小值。 2 分析：本题的关键是利用双曲线的第 1 1 y d P 二定义将 PA PF 中的 PF 转化。 2 2 p
双曲线第二定义学习纲要
双曲线第二定义学习纲要1. 双曲线的第二定义：到一定点的距离和它到定直线的距离之比是常数(1)ce e a=> 的动点的轨迹。
定点——焦点；定直线——准线说明：①22221x y a b -=的22122(,0),(,0)a F c x a c x c a F c x c ⎫-=-⎪⎪=±⎬⎪=⎪⎭左准线准线:，右准线左焦点是右焦点是 22221x y a b -=的下焦点1(0,)F c -，下准线：2a y c =-上焦点1(0,)F c ，上准线：2a y c=②双曲线的e 是双曲线上一点到焦点的距离与它到相应准线距离之比，它反映双曲线开口的窄阔程度。
，虚半轴b ； 12a e <⇔<<；b a >，中心到实轴端点的距离是a ，中心到虚轴端点的距离是2a ，焦点到相应准线的距离是12F MF =对称轴是两焦点的连线及其垂直平分线，对称中心是焦点连线的中点。
0 00 03. 方法①涉及双曲线上一点到一焦点的距离时，想到双曲线第二定义或焦半径公式；当转化为几何图形求解时，考虑第二定义即||MF de =，MFd e=；当转化为代数方程求坐标时，考虑焦半径公式。
②涉及双曲线上一点到两焦点的距离的和差积时，考虑用第一定义求解。
③不知元素a ，b ，c 时，过两点的椭圆设为：221(0,0)mx ny m n +=>>，过两点的双曲线设为：221(0)mx ny mn +=<，知a ，b ，c 部分元素时，设曲线为标准方程。
④22221x y a b-=的斩近线：22220x y a b -=；22221y x a b -=的渐近线：22220y x a b -=所以，以0Ax By ±=为渐近线的双曲线设为：2222(0)A x B y m m -=≠与22221x y a b-=共渐近线的双曲线设为：2222(0)x y m m a b -=≠[称之为：共轭双曲线]⑤与22221(0)x y a b a b +=>>共焦点的双曲线：2222221()x y b k a a k k b -=<<-- 与22221(0)x y a b a b +=>>共焦点的椭圆：222221()x y k a a k b k +=<-++ 与22221x y a b-=共焦点的双曲线：2222221()x y a k b a k b k -=-<<+-例1. 已知双曲线2241x y -=-，求它的焦点、顶点坐标、准线方程和渐近线方程，并作图。
双曲线的第二定义
“三定”： 定点是焦点；定直线是准线；
l' y
l d .M
定值是离心率.
x2 y 2 双曲线 2 2 1中 : a b a2 右焦点F2 (c， 0)，对应的右准线方程是 x ; c a2 左焦点F1 (c， 0)对应的左准线方程是x . c
| PF 1 |min c a
说明：|PF1|, |PF2|称为双曲线的焦半径.
x2 y 2 例2、已知双曲线 1右支上一点P到右焦点的距离等于8， 64 36 求点P到双曲线左准线的距离。
法1：
l' y
l
法2：
P.
l' y
l
P.
F1
.
O
.
F2
x
F1
.
O
.
F2
练习1
设双曲线的一条准线方程是x 2，相应的焦点是 3 F 8,0 ,离心率是 ，求双曲线方程 2
.
O
.
F
x
化简 (c 2 a 2 ) x 2 a 2 y 2 a 2 (c 2 a 2 ) .
2 2 x y 设 c 2 a 2 b2 ，则 方程化为 2 2 1 (a 0, b 0) a b
点 M 的轨迹是实轴、虚轴长 分别为2a、 2b的双曲线.
双曲线的第二定义：
5
分析：与 程可设为
有共同渐近线的方 （ ）
练习：
1、求中心在原点，坐标轴为对称轴，一条渐进 线的倾斜角为 ，一条准线方程为x=6的双曲
6
线的标准方程。
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第三讲 双曲线的第二定义
知识梳理
（一）双曲线的第二定义：平面内一动点 的比为常数 e 到一定点 F (c, 0) 的距离与到一定直线 L : x
a2 的距离 c
c (e>1) a
定点 F (c, 0) 是双曲线的焦点，定直线 L 是双曲线的准线，常数 e 是双曲线的离心率。
（二）焦点三角形的面积公式。
S
1 r1r2 sin b 2 tan 2 2
3.双曲线的方程，图形，渐进线方程，准线方程和焦半径公式： 标准方程 图像 渐进线方程
x2 y 2 1(a 0.b 0) a 2 b2
b x a a2 x c M 在右支上 r左 =|MF1 |=ex0 a y
y 2 x2 1(a 0.b 0) a 2 b2
a x b a2 y c y
准线方程
半径公式
r右 =|MF2 |=ex 0 a M 在左支上 r左 =|MF|=-ex 1 0 a r右 =|MF2 |=-ex 0 a
典例分析 题型一：与双曲线准线有关的问题 例 1.(1)若双曲线
x2 y 2 1 上一点 P 到右焦点的距离等于 13 ，则点 P 到右准线的距离为______ 13 12
x2 y 2 1 的离心率为 2，则该双曲线的两条准线间的距离为________ A.若双曲线 m 3
练习：已知双曲线的渐进线方程为 3x 2 y 0 ，两条准线间的距离为 解：双曲线渐进线方程为 y
16 13 ，求双曲线的标准方程。
13
3 x 2
1
所以双曲线方程为
x2 y 2 （ 0 ）在分 0 时 4 和 0 时。
。
。
4 9
题型二：双曲线第二定义及其运用 例 2：设一动点到 F(1,0)和直线 x=5 的距离之比为 3 。
求动点的轨迹方程。
练习：已知双曲线
x2 y 2 1(a 0, b 0) 的左右焦点分别为 F1F2 ，点 P 是左支上的一点，P 到左准线的 a 2 b2
距离为 d ，若 y 3x 是已知双曲线的一条渐进线，则是否存在这样的 P 点使得 d , | PF1 |,| PF2 | 成为等比 数列？若存在，求出 P 点坐标；若不存在，说明理由。
题型三：离心率的计算
x2 y2 例 3.若双曲线 2 2 1 的两个焦点到一条准线的距离之比为 3：2,则双曲线的离心率是 a b
（A）3 （B）5 （C） 3 （D） 5
练习： （ 2007 ，湖南）若双曲线
x2 y 2 1(a 0, b 0) 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,P 是准线上一点，且 a 2 b2
DF1 PF2 , | PF1 | | PF2 | 4ab ，则该双曲线的离心率为_____________
例 4.（2008 湖南）双曲线
x2 a2
y2 1(a 0, b 0) 的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相 b2
) D． [ 2 1, )
2
等，则双曲线离心率的取值范围是( 1、 (1, 2]
B． [ 2, ) C． (1, 2 1]
题型四：双曲线焦点三角形面积问题 例 5.已知双曲线 x
2
y2 1 的左右焦点为 F1、F2，点 M 在双曲线上且 F1MF2 120。
，求 S F1MF2 . 2
x2 y 2 1 的左右焦点为 F1、F2，点 M 在双曲线上且 MF1 MF 2 0, 求 S F1MF2 . 练习：已知双曲线 9 16
题型五：最值问题
y2 1 1 上求一点 P 使得 | PA | | PF | 的最小值。
例 6.已知点 A(3,2),F(2,0)在双曲线 x 2 3
2
练 习 ： 已 知 点 A(9,2), 双 曲 线 16 x 9 y 144 的 右 焦 点 为 F ， P 为 双 曲 线 上 任 意 一 点 ， 则
2 2
| PA | | PF | 的最值为。
课后习题 1.已知双曲线
x2 3 y 2 1 (a 0) 的一条准线为 x ，则该双曲线的离心率为 2 2 a
（B）
（1）
3 2
3 2
（C）
6 2
（D）
2 3 3
3
（1）已知双曲线
x2 y 2 1 (a 0) 的一条渐进线与直线 2 x y 3 0 垂直。
则该双曲线的标准方程是 2 a
___________________. （2）若双曲线 2 x2 y 2 k (k 0) 的焦点到它相应的准线的距离是 2，则 k 等于____________
（3）与椭圆
x2 y 2 10 1 共焦点。
两准线间的距离为 的双曲线的方程为______________ 3 16 25
（4）已知双曲线
x2 y2 － ＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为 F，右准线与一条渐近线交于点 A，△OAF 的 a2 b2
（ D．90º ）
面积为
a2 （O 为原点） ，则两条渐近线的夹角为 2
B．45º C．60º
A．30º （5）设双曲线
x2 y 2 1(a 0, b 0) 的右焦点为 F ，右准线 l 与两条渐近线交于 P 、 Q 两点，如果 a 2 b2
PQF 是直角三角形，则双曲线的离心率 e ___________ .
（6）过双曲线 C :
x2 y 2 1(a 0, b 0) 的右焦点 F 作双曲线的斜率为正的渐进线的的垂线 l，垂足为 a 2 b2
P，设 l 与双曲线的左右两支均相交， （1）证明 P 在双曲线 C 的右准线上： （2）求 C 的离心率 e 的取值范围。
4
。