双曲线第二定义及应用PPT课件
第三讲---双曲线的第二定义
第三讲 双曲线的第二定义知识梳理（一）双曲线的第二定义：平面内一动点 的比为常数 e 到一定点 F (c, 0) 的距离与到一定直线 L : x a2 的距离 cc (e>1) a定点 F (c, 0) 是双曲线的焦点，定直线 L 是双曲线的准线，常数 e 是双曲线的离心率。
（二）焦点三角形的面积公式。
S1 r1r2 sin b 2 tan 2 23.双曲线的方程，图形，渐进线方程，准线方程和焦半径公式： 标准方程 图像 渐进线方程x2 y 2 1(a 0.b 0) a 2 b2b x a a2 x c M 在右支上 r左 =|MF1 |=ex0 a yy 2 x2 1(a 0.b 0) a 2 b2a x b a2 y c y准线方程半径公式r右 =|MF2 |=ex 0 a M 在左支上 r左 =|MF|=-ex 1 0 a r右 =|MF2 |=-ex 0 a典例分析 题型一：与双曲线准线有关的问题 例 1.(1)若双曲线x2 y 2 1 上一点 P 到右焦点的距离等于 13 ，则点 P 到右准线的距离为______ 13 12x2 y 2 1 的离心率为 2，则该双曲线的两条准线间的距离为________ A.若双曲线 m 3练习：已知双曲线的渐进线方程为 3x 2 y 0 ，两条准线间的距离为 解：双曲线渐进线方程为 y 16 13 ，求双曲线的标准方程。
133 x 21所以双曲线方程为x2 y 2 （ 0 ）在分 0 时 4 和 0 时。
。
。
4 9题型二：双曲线第二定义及其运用 例 2：设一动点到 F(1,0)和直线 x=5 的距离之比为 3 。
求动点的轨迹方程。
练习：已知双曲线x2 y 2 1(a 0, b 0) 的左右焦点分别为 F1F2 ，点 P 是左支上的一点，P 到左准线的 a 2 b2距离为 d ，若 y 3x 是已知双曲线的一条渐进线，则是否存在这样的 P 点使得 d , | PF1 |,| PF2 | 成为等比 数列？若存在，求出 P 点坐标；若不存在，说明理由。
双曲线课件人教版2
复习：椭圆的定义： 平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数 (大于|F1F2|) 的点的轨迹是椭圆．
|M 1 | |M F 2 | 2 a F ,( 2 a |F 1 F 2 |)
问题1：平面内与两个定点F1、F2的距离之差等于 常数的点轨迹是什么？
探究一：
在直线l上取两个定点A, B, P是直线l上的动点。在 平面内，取定点F1, F2,
x
F1
方程
x2 a2
by22
1(a0,b0)
y2 a2
bx22
1(a0,b0)
焦点
a.b.c 的关系
双曲线课 件人教 版2（精 品课件 ）
F ( ±c, 0)
F(0, ± c)
c2a2b2
双曲线课 件人教 版2（精 品课件 ）
双曲线与椭圆之间的区别与联系
定义 方程
椭圆
|MF1|+|MF2|=2a
x2 a2
F1
F2
此时轨迹为线段F1F2的垂直平分线
双曲线课 件人教 版2（精 品课件 ）
双曲线课 件人教 版2（精 品课件 ）
二.双曲线的标准方程
类比椭圆的方程，如何求
1. 段建F系1F.2的以中F1点,F2为所原在点的建直立线直为角x轴坐这，标优线美的曲线y 的方程？ 系
M
2.设点．设M（x , y）,双曲线的焦
② |F1F2|=2c ——焦距.
双曲线课 件人教 版2（精 品课件 ）
双曲线课 件人教 版2（精 品课件 ）
思考1:定义中为什么这个常数要小于|F1F2|？
①若常数=2c,则轨迹是什么？
F1
F2
此时轨迹为以F1或F2为端点的两条射线
人教A版高中数学选修1-1课件双曲线的第二定义
(a,0) y b x
a
e c a
原点
(其中
都对 称
(0,a) y a x c2 a2 b2)
b
例1 点 M (x，y)与定点F (c，0)的距离和它到定直线l : x a2 的 c
距离的比是常数 c (c a 0)，求点M的轨迹 .
a
解：设 d是点M到直线 l的距离，则
点 M 的轨迹是实轴、虚轴长分别为 2a、2b的双曲线 .
双曲线的第二定义：
动点 M与一个定点F的距离和它到一条定直线l的距离的比
是常数 e c (e 1)，则这个点的轨迹是椭圆 . a
l'
y
定点是双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的
l
d .M
准线，常数e是双曲线的离心率 .
对于双曲线
x2 a2
y2 b2
1，
.
.
F’ O
F
x
右焦点F2 (c，0)，对应的右准线方程是
x
a2 c
.
左焦点F1(c，0)对应的左准线方程是
x
a2 c
.
焦点在y轴上的双曲线的准线方程是：y a2 c
例2 已知双曲线 x2 － y2 a2 b2
1(a
0,b
0)的焦点F（1 c,0）F2 (c,0),
P(x0, y0 )是双曲线右支上任意点，求证：| PF1 | a ex0 ，
| PF2
| a ex0
其中e为双曲线的离心率。 l'
y
l
证明：双曲线的左准线为x a2
P.
c
由整双理曲得线:的| P第F1二|定ex义0 得a：x|0PF1ac|2
3-2-1双曲线及其标准方程 课件(共67张PPT)
互动 2 在双曲线的定义中，必须要求“常数小于|F1F2|”， 那么“常数等于|F1F2|”“常数大于|F1F2|”或“常数为 0”时，动 点的轨迹是什么？
【解析】 (1)若“常数等于|F1F2|”时，此时动点的轨迹是以 F1，F2 为端点的两条射线 F1A，F2B(包括端点)，如图所示．
(2)若“常数大于|F1F2|”，此时动点轨迹不存在． (3)若“常数为 0”，此时动点轨迹为线段 F1F2 的垂直平分线．
互动 3 已知点 P(x，y)的坐标满足下列条件，试判断下列各 条件下点 P 的轨迹是什么图形？
2．关于双曲线应注意的几个问题 (1)双曲线的标准方程与选择的坐标系有关，当且仅当双曲线 的中心在原点，焦点在坐标轴上时，双曲线的方程才具有标准形 式．
(2)如图，设 M(x，y)为双曲线上任意一点，若 M 点在双曲线 的右支上，则|MF1|＞|MF2|，|MF1|－|MF2|＝2a(0＜2a＜|F1F2|)；若 M 在双曲线的左支上，则|MF1|＜|MF2|，|MF1|－|MF2|＝－2a，因 此得|MF1|－|MF2|＝±2a，这与椭圆不同．
(3)列式：由|MF1|－|MF2|＝±2a， 可得 （x＋c）2＋y2－ （x－c）2＋y2＝±2a.①
(4)化简：移项，平方后可得 (c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)． 令 c2－a2＝b2，得双曲线的标准方程为xa22－yb22＝1(a>0，b>0)．② (5)从上述过程可以看到，双曲线上任意一点的坐标都满足方 程②；以方程②的解(x，y)为坐标的点到双曲线两个焦点(－c， 0)，(c，0)的距离之差的绝对值为 2a，即以方程②的解为坐标的 点都在双曲线上．这样，就把方程②叫作双曲线的标准方程．
双曲线-完整版PPT课件可编辑全文
∴x－32a2＋y2＝a22.
①
又 P 点在双曲线上，得ax22－by22＝1.
②
由①，②消去 y，得
(a2＋b2)x2－3a3x＋2a4－a2b2＝0，
即[(a2＋b2)x－(2a3－ab2)](x－a)＝0.
当 x＝a 时，P 与 A 重合，不符合题意，舍去．
当 x＝2aa32－＋abb2 2时，满足题意的 P 点存在， 需 x＝2aa32－＋abb2 2＞a， 化简得 a2＞2b2， 即 3a2＞2c2，ac＜ 26. 又 e＞1，∴离心率 e＝ac∈1， 26.
考向三 [149] 双曲线的几何性质
(1)(2014·天津高考)已知双曲线ax22－by22＝1(a>0，
b>0)的一条渐近线平行于直线 l：y＝2x＋10，双曲线的一个
焦点在直线 l 上，则双曲线的方程为( )
A.x52－2y02 ＝1
B.2x02 －y52＝1
C.32x52－130y02 ＝1
二、双曲线的标准方程和几何性质
标准方程 ax22－by22＝1(a>0，b>0)
ay22－bx22＝1(a>0， b>0)
图形
范围
x≥a或x≤－a
对称轴： 坐标轴
对称性
对称中心： 原点
y≤－a或y≥a 对称轴： 坐标轴 对称中心： 原点
性 顶点 顶点坐标：
顶点坐标：
质
A1 (－a,0)，A2 (a,0) A1 (0，－a，) A2 (0，a)
————————— [1 个对点练] ——————— 过点2，12能作几条与双曲线x42－y2＝1 有一个公共点的 直线．
【解】 (1)当斜率不存在时，直线方程为 x＝2，显然符 合题意．
第2讲双曲线课件理课件.ppt
【互动探究】
1．设双曲线1x62－9y2＝1 上的点 P 到点(5,0)的距离为 15，则 P 点到(－5,0)的距离是( D )
A．7 B．23 C．5 或 23 D．7 或 23 解析：容易知道(5,0)与(－5,0)是给出双曲线的焦点，P 是双 曲线上的点，直接从定义入手．设所求的距离为 d，则由双曲线 的定义可得：|d－15|＝2a＝8⇒d＝7 或 23.
AB 的方程为 y＝x＋1，
因此 M 点的坐标为12，23， F→M＝－32，32. 同理可得F→N＝－32，－32. 因此F→M·F→N＝－322＋32×－32＝0 综上F→M·F→N＝0，即 FM⊥FN. 故以线段 MN 为直径的圆经过点 F.
的范围变化值需探究；
(3)运用不等式知识转化为 a、b、c 的齐次式是关键．
错源：没有考虑根的判别式 例 5：已知双曲线 x2－y22＝1，问过点 A(1,1)是否存在直线 l 与双曲线交于 P、Q 两点，并且 A 为线段 PQ 的中点？若存在求 出直线 l 的方程，若不存在请说明理由．
误解分析：没有考虑根的判别式，导致出错．
y2 9
Hale Waihona Puke －2x72 ＝1D．以上都不对
3．已知双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的离心率为 26，则双曲 线的渐近线方程为( C )
A．y＝±2x B．y＝± 2x
C．y＝±
2 2x
D．y＝±12x
4．已知双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为 x
＋2y＝0，则双曲线的离心率 e 的值为( A )
正解：设符合题意的直线 l 存在，并设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
双曲线的第二定义
双曲线的第二定义：到定点F 的距离与到定直线l 的距离之比为常数()0ce c a a=>>的点的轨迹是双曲线，其中，定点F 叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线，常数e 是双曲线的离心率。
1、离心率：（1）定义：双曲线的焦距与实轴长的比aca c e ==22，叫做双曲线的离心率； （2）范围：1>e ；（3）双曲线形状与e 的关系：1122222-=-=-==e ac a a c a b k ； 因此e 的形状就从扁狭逐渐变得开阔。
由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔； （1）双曲线的形状张口随着渐近线的位置变化而变化； （2）渐近线的位置(倾斜)情况又受到其斜率制约； 2、准线方程：对于12222=-by a x 来说，相对于左焦点)0,(1c F -对应着左准线c a x l 21:-=，相对于右焦点)0,(2c F 对应着右准线ca x l 22:=；位置关系：02>>≥c a a x ，焦点到准线的距离cb p 2=（也叫焦参数）； 对于12222=-bx a y 来说，相对于下焦点),0(1c F -对应着下准线c a y l 21:-=；相对于上焦点),0(2c F 对应着上准线ca y l 22:=。
3双曲线上任意一点M 与双曲线焦点12F F 、的连线段，叫做双曲线的焦半径。
设双曲线)0,0( 12222>>=-b a by a x ，21,F F 是其左右焦点，e d MF =11， ∴e cax MF =+201，∴10MF a ex =+；同理 20MF a ex =-； 即：焦点在x 轴上的双曲线的焦半径公式：1020MF a ex MF a ex ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩同理：焦点在y 轴上的双曲线的焦半径公式：1020MF a ey MF a ey ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩（ 其中12F F 、分别是双曲线的下、上焦点）点评：双曲线焦半径公式与椭圆的焦半径公式的区别在于其带绝对值符号，如果要去绝对值，需要对点的位置进行讨论。
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A(5,0)
5
及定直线
l
:
x
16 5
的
的动点M的轨迹方程。
解：设M(x,y), 4
则| MA| 5 d4
(x 5)2 y2 5
x 16
4
5
化简x2得 y2 1 16 9
练习1：求与定点 距离的比是定值
A(c,0)
5
及定直线
l
:
x
16 5
的
的动点M的轨迹方程。
x
解法 3： xP c,(c2 a2 b2)
P
代入双曲线方 yP程 得 ba2
又 s iP n 1 F 2 F 1 3 得 ta P n 1 F 2 F 2 1 2
F1
0
F2
y |P2F| b2 1
|F1F2| 2ac 2 2
将 b2c2a2代入 ec 得 2 a
Thank you
感谢聆听 批评指导
x a2 c
x a2 c
|M 2 | |M F 1 | 2 a F e 1 a x
焦半径公式：
y
M2(x2,y2)
（一）M1位于双曲线右支
M1(x1,y1)
|M 1F 1|e1x a
|M 1F 2|e1x a
F1
O
F2 x （二）M2位于双曲线左支
|M 2F 1| e2x a
|M 2F 2| e2x a
F A2
22
x
x a2 c
x a2 c
x a 2 a a a
c
c
准线方程 x： a2 c
两条准线比双曲线 的顶点更接近中心
x2 y2 a2 b2 1
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a
a2 x
c
焦半径公式：
y
（一）M1位于双曲线右支
M 2 (x2, y2 )
F1
O
M1(x1, y1)
x （二）M2位于双曲线左支
F2
| M 2F1 | ex2 a
例1：如图，已知F1，F2为双曲线
1
x a
2 2
y2 b2
1(a
0, b
0)的焦点，
过F2作垂直与x轴的直线交双曲线于点P，且 sin
解法3： xP c, (c2 a2 b2 )
P
代入双曲线方程得yP
b2 a
又
sin
PF1F2
1 得 tan 3
PF1F2
1 22
F1
0
F2
y
| PF2 | b2 1
| F1F2 | 2ac 2 2
将b2 c2 a2代入得e c 2 a
小结
y
F1
练习1：求与定点 A(5,0)
的距离的比是定值
解：设M(x,y),
则 | MA | 5
d
4
( x 5)2 y 2 5
x 16
4
5
化简得 x2 y2 1 16 9
及定直线 的动点M的轨迹方程。
练习1：求与定点 A(c,0)
的距离的比是定值
解：设M(x,y),
则 | MA | 5
o
F2
x
（二）准线方程：x
a2
,
(a
c)
c
（三）焦半径公式的推导及其应用
思考：（1）双曲线
y a
2 2
x2 b2
1的准线方程及焦半径公式？
（2）如何求中心不在原点的双曲线的准线方程？
d
4
( x 5)2 y 2 5
x 16
4
5
化简得 x2 y2 1 16 9
及定直线 的动点M的轨迹方程。
练习1：求与定点 A(c,0)
的距离的比是定值
解：设M(x,y),
则 | MA | 5
d
4
( x 5)2 y 2 5
x 16
4
5
化简得 x2 y2 1
a2
例1：如图，已知F1，F2为双曲线
x a
2 2
y2 b2
1(a
0,b
0)的焦点，
过F2作垂直与x轴的直线交双曲线于点P，且 sin
PF1F2
1. 3
求此双曲线的离心率。
x
P
解法2：由题意xP c
焦半径 | PF1 | ec a,| PF2 | ec a
F1
0
F2
16 9
及定直线 的动点M的轨迹方程。
练习1：求与定点 A(c,0)
的距离的比是定值
及定直线l : x a2 的动点M的轨迹c方程。
解：设M(x,y),
解：设M(x,y),
则 | MA | 5
d
4
则 | MA | c
d
a
( x 5)2 y 2 5
x 16
4
5
化简得 x2 y2 1
1
上的点P到双曲线的
右焦点的距离是8，
那么P到右准线的距
离是 6.4 , P到左
准线的距离是19.2
N1
F1
x a2 c
练习2：求焦半径公式
y
设M（x1, y1),
M(x1,y1)
又|
MN1
|
x1
(
a2 c
)
x1
a2 c
O
x
F2
|
MF1
|
c a
( x1
a2 c
)
ex1
y
sin
PF1F2
| PF2 | PF1
| |
ec ec
a a
1 3
则e c 2 a
3
例1：如图，已知F1，F2为双曲线
x a
2 2
y2 b2
1(a
0, b
0)的焦点，
过F2作垂直与x轴的直线交双曲线于点P，且 sin
PF1F2
1. 3
求此双曲线的离心率。
x
PF1F2
1. 3
求此双曲线的离心率。
x
解法1：| PF1 | | PFቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ | 2a 2 | PF2 |
P
又
e
c a
| F1F2 | 2 | PF2 |
1 2
cot
PF1F2
F1
0
F2
y
又
sin
PF1F2
1 3
得 cot
PF1F2
2
2
则e c 1 2 2 2
16 9
(x c)2 y2 c
x a2
a
c
y
F A1 1
O
F A2
x
2
2
x a2 c
a2 x
c
x a2 a a a
c
c
准线方程：x a2 c
两条准线比双曲线的顶点 更接近中心
F1
x a2 c
y
O
F2 x
a2 x
c
练习1：
如果双曲线
x2 y2 64 36