双曲线一PPT课件
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双曲线的简单性质课件
焦点与准线的关系
焦点到准线的距离相等
双曲线的焦点到任意一条准线的距离相等，这是双曲线的基本性质之一。
焦点和准线共同确定双曲线的形状和大小
通过焦点和准线可以确定双曲线的形状和大小，因为它们决定了双曲线的离心率 和实轴、虚轴的长度。
03
双曲线的离心率
离心率的定义
• 离心率：双曲线的一个重要参数，定义为双曲线的焦点到其顶点的距离与双曲线的实轴长度的比值。
05
双曲线的对称性
双曲线的对称轴
总结词
双曲线的对称轴是垂直平分双曲线两 焦点的直线。
详细描述
双曲线的对称轴是垂直平分双曲线两 焦点的直线，也称为主轴。它与双曲 线的渐近线垂直，并且将双曲线划分 为两个对称的部分。
双曲线的对称中心
总结词
双曲线的对称中心是双曲线与对称轴的交点。
详细描述
双曲线的对称中心是双曲线与对称轴的交点，也称为顶点。它位于双曲线的渐近线上， 并且是双曲线与x轴的交点。
详细描述
双曲线的标准方程是 (x/a)^2 (y/b)^2 = 1，其中a和b分别是双曲线 的实半轴和虚半轴长度。当a=b时， 双曲线为等轴双曲线；当a≠b时，双 曲线为非等轴双曲线。
双曲线的几何性质
总结词
双曲线具有离心率、渐近线、焦点等几何性质。
详细描述
离心率是双曲线的一个重要几何性质，它表示双曲线与坐标轴之间的相对位置关系。渐近线是双曲线上的直线， 它们与坐标轴平行。焦点是双曲线上的点，它们到原点的距离相等。这些性质在解决与双曲线相关的问题中具有 重要的作用。
感谢聆听
离心率决定双曲线的形状
离心率的变化会导致双曲线形状的变化，从而影响双曲线的形状和开口方向。
04
双曲线-完整版PPT课件可编辑全文
∴x－32a2＋y2＝a22.
①
又 P 点在双曲线上，得ax22－by22＝1.
②
由①，②消去 y，得
(a2＋b2)x2－3a3x＋2a4－a2b2＝0，
即[(a2＋b2)x－(2a3－ab2)](x－a)＝0.
当 x＝a 时，P 与 A 重合，不符合题意，舍去．
当 x＝2aa32－＋abb2 2时，满足题意的 P 点存在， 需 x＝2aa32－＋abb2 2＞a， 化简得 a2＞2b2， 即 3a2＞2c2，ac＜ 26. 又 e＞1，∴离心率 e＝ac∈1， 26.
考向三 [149] 双曲线的几何性质
(1)(2014·天津高考)已知双曲线ax22－by22＝1(a>0，
b>0)的一条渐近线平行于直线 l：y＝2x＋10，双曲线的一个
焦点在直线 l 上，则双曲线的方程为( )
A.x52－2y02 ＝1
B.2x02 －y52＝1
C.32x52－130y02 ＝1
二、双曲线的标准方程和几何性质
标准方程 ax22－by22＝1(a>0，b>0)
ay22－bx22＝1(a>0， b>0)
图形
范围
x≥a或x≤－a
对称轴： 坐标轴
对称性
对称中心： 原点
y≤－a或y≥a 对称轴： 坐标轴 对称中心： 原点
性 顶点 顶点坐标：
顶点坐标：
质
A1 (－a,0)，A2 (a,0) A1 (0，－a，) A2 (0，a)
————————— [1 个对点练] ——————— 过点2，12能作几条与双曲线x42－y2＝1 有一个公共点的 直线．
【解】 (1)当斜率不存在时，直线方程为 x＝2，显然符 合题意．
选修1-1_双曲线的简单几何性质(一)_ppt
• P54 习题A组 3 4 6
小结
椭圆
双曲线
方程 a b c关系
x2 a2
y2 b2
1（ a＞ b ＞0）
x2 a2
y2 b2
1
(
a＞
0
b＞0)
c 2 a 2 b 2 (a＞ b＞0) c 2 a 2 b 2 (a＞ 0 b＞0)
图象
y
M
Y p
F1 0
F2 X
F1 0
F2 X
范围 对称性 顶点
b
（5）离心率: e c a
-b o b x -a
例题讲解
例1 :求双曲线 9y2 16x2 144 的实半轴长,虚半轴长,
焦点坐标,离心率.渐近线方程。
解：把方程化为标准方程
y2 42
x2 32
1
可得:实半轴长a=4
虚半轴长b=3
半焦距c= 42 32 5
焦点坐标是(0,-5),(0,5)
离心率: e c 5
一、研究双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0)
的简单几何性质
1、范围
y
x2 a2
1,即x2
a2
x a, x a
(-x,y)
(x,y)
-a o a
x
2、对称性
(-x,-y)
(x,-y)
关于x轴、y轴和原点都是对称。
x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心， 又叫做双曲线的中心。
3、顶点
（3）e的含义：
b c2 a2 (c )2 1 e2 1
a
a
a
当e (1,)时，b (0,),且e增大, b 也增大
小结
椭圆
双曲线
方程 a b c关系
x2 a2
y2 b2
1（ a＞ b ＞0）
x2 a2
y2 b2
1
(
a＞
0
b＞0)
c 2 a 2 b 2 (a＞ b＞0) c 2 a 2 b 2 (a＞ 0 b＞0)
图象
y
M
Y p
F1 0
F2 X
F1 0
F2 X
范围 对称性 顶点
b
（5）离心率: e c a
-b o b x -a
例题讲解
例1 :求双曲线 9y2 16x2 144 的实半轴长,虚半轴长,
焦点坐标,离心率.渐近线方程。
解：把方程化为标准方程
y2 42
x2 32
1
可得:实半轴长a=4
虚半轴长b=3
半焦距c= 42 32 5
焦点坐标是(0,-5),(0,5)
离心率: e c 5
一、研究双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0)
的简单几何性质
1、范围
y
x2 a2
1,即x2
a2
x a, x a
(-x,y)
(x,y)
-a o a
x
2、对称性
(-x,-y)
(x,-y)
关于x轴、y轴和原点都是对称。
x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心， 又叫做双曲线的中心。
3、顶点
（3）e的含义：
b c2 a2 (c )2 1 e2 1
a
a
a
当e (1,)时，b (0,),且e增大, b 也增大
双曲线及其标准方程课件
音乐艺术
双曲线在音乐艺术中用于 创作优美的音乐旋律和和 声，特别是在处理音高和 音程时。
交通工程
双曲线在交通工程中用于 设计道路和轨道，特别是 在处理弯道和交叉口时。
04
双曲线的图像绘制
使用数学软件绘制双曲线
使用Ge双曲 线。用户只需在软件中输入双曲线的标准方程，即可自动生 成对应的双曲线图像。
05
双曲线的性质与方程 的关联
双曲线的性质与标准方程的关系
焦点距离
双曲线的标准方程中的系数与焦 点距离有关，决定了双曲线的开
口大小和方向。
渐近线
双曲线的标准方程中的系数决定了 渐近线的斜率和截距，反映了双曲 线的形状和位置。
离心率
双曲线的标准方程中的系数与离心 率有关，离心率决定了双曲线的开 口程度和形状。
推导结果
01
双曲线的标准方程为
$frac{x^2}{a^2}
-
frac{y^2}{b^2} = 1$。
02
其中$a > 0, b > 0$，且满足 $c^2 = a^2 + b^2$。
推导结论
双曲线是一种特殊的二次曲线，其标 准方程反映了双曲线的几何特性。
双曲线的焦点到曲线上任意一点的距 离之差为常数，这个常数等于两焦点 之间的距离的一半。
绘制双曲线
在工具箱中选择“双曲线”工具，然 后在绘图区域单击并拖动鼠标，即可 绘制出双曲线。用户可以根据需要调 整双曲线的参数和位置。
使用手工绘制双曲线
准备工具
准备一张纸、一支笔和一把直尺。
绘制过程
首先在纸上确定双曲线的中心和焦点，然后使用直尺和笔绘制出双曲线的渐近线。接着，使用笔和直尺在纸上绘 制出双曲线的上半部分。最后，使用对称性画出双曲线的下半部分。这种方法虽然比较传统，但对于理解双曲线 的几何意义非常有帮助。
双曲线的简单性质课件ppt课件
04 双曲线的标准方程的推导
推导过程
设双曲线上任意一点为$P(x,y)$， 根据双曲线的定义，点$P$到两 个焦点的距离之差为常数，即 $2a$。
利用距离公式和双曲线的定义， 可以得到点$P$到两个焦点的距 离分别为$sqrt{(x+a)^2+y^2}$ 和$sqrt{(x-a)^2+y^2}$。
对称性
01
02
03
对称性
双曲线关于其对称轴对称， 即关于x轴和y轴都对称。
总结词
双曲线关于其对称轴对称， 即关于x轴和y轴都对称。
详细描述
双曲线上的任意一点关于 x轴和y轴的对称点都在双 曲线上。
顶点
顶点
双曲线与对称轴的交点称 为顶点。
总结词
双曲线与对称轴的交点称 为顶点。
详细描述
顶点是双曲线与对称轴的 交点，也是双曲线离准线 最远的点。
比例常数。
性质
双曲线的焦点到任意一点的距离之 差等于常数2a，即|PF1| - |PF2| = 2a。
应用
通过焦点可以计算出双曲线的离心 率和准线方程。
焦距
定义
双曲线的两个焦点之间的距离称 为焦距，记作2c。
性质
焦距与半主轴长a和半次轴长b有 关，关系为c^2 = a^2 + b^2。
应用
通过焦距可以计算出双曲线的离 心率和准线方程。
双曲线的简单性质课件ppt课件
目录
• 双曲线的定义与标准方程 • 双曲线的几何性质 • 双曲线的焦点与焦距 • 双曲线的标准方程的推导 • 双曲线的应用
01 双曲线的定义与标准方程
定义
总结词
双曲线是由两个无限延伸的分支组成的，其形状类似于开口 的抛物线。
《双曲线几何性质》课件
生活中的双曲线应用
总结词
双曲线在日常生活中也有很多应用，如建筑设计、工程制造和艺术创作等。
详细描述
在建筑设计中，双曲线用于构建优美的曲线形状，如桥梁、建筑物的外观和内部结构。在工程制造中 ，双曲线用于制造各种零部件和工具，如机械零件、光学仪器等。在艺术创作中，双曲线用于创作优 美的图案和造型，如绘画、雕塑和音乐作品等。
双曲线的轴对称性
总结词
双曲线的轴对称性是指以通过双曲线中心的直线为对称轴，双曲线上的任意一 点关于该对称轴的对称点也在双曲线上。
详细描述
对于双曲线上的任意一点P，关于通过双曲线中心的直线（称为对称轴）的对称 点P'也在双曲线上。这种对称性使得双曲线在对称轴两侧保持一致的形状和方 向。
04
双曲线的面积与周长
这两个定点称为双曲线的焦点，焦点之间的距离称为焦距。
双曲线的标准方程
焦点在x轴上
$frac{x^2}{a^2} - frac{y^2}{b^2} = 1$ ，其中$a > 0$，$b > 0$，$c = sqrt{a^2 + b^2}$。
VS
焦点在y轴上
$frac{y^2}{a^2} - frac{x^2}{b^2} = 1$ ，其中$a > 0$，$b > 0$，$c = sqrt{a^2 + b^2}$。
双曲线的面积
总结词
详细描述
总结词
详细描述
双曲线的面积可以通过特定 的公式进行计算，该公式基 于双曲线的参数方程和定义 域。
双曲线的面积计算公式为 (A = piab)，其中 (a) 和 (b) 分 别是双曲线的实半轴和虚半 轴长度。这个公式基于双曲 线的参数方程和定义域，通 过积分运算得出。
双曲线的基本知识点PPT
按方程形式分类
双曲线方程的对称性 双曲线的标准方程是(x-a)²/b² - (y-b)²/a² = 1，其具有中心对称性，即点 (a, b)为中心。 双曲线的焦距与实轴长度的关系 在双曲线中，焦距c与实轴长度2a有固定的数学关系：c² = a² + b²，此 式被称为双曲线的基本性质之一。
T 双曲线关于其轴和中心点均具有对称性，这是由其定义决定的。 双曲线的渐近线性质 双曲线的渐近线是一条直线，该直线与双曲线交于两个无穷远点，这是双 曲线的重要特性之一。
05 双曲线的实际应用
双曲线的实际应用:物理中的应 用
双曲线的几何特性 双曲线是二次曲线的一种，其 双曲线的几何特性 双曲线是二次曲线的一种，其几何特性包括焦点在两个固定点，且所有到两 焦点距离之和为定长的点的集合。 双曲线的方程式 双曲线的标准方程是(x^2)/a^2 - (y^2)/b^2 = 1，其中a, b > 0, a^2 + b^2 = c^2 双曲线在物理中的应用 双曲线广泛应用于物理学中，如电磁场理论、光学、量子力学等，例如，双 曲线的焦散线就是光学中的一条重要概念。 双曲线与实际问题的联系 双曲线的许多性质，如离心率、焦点等，可以用于解决实际问题，如测量物 体的距离、角度等。
双曲线的图形特征:焦点和准线
双曲线定义 双曲线是平面内到两个定点的距离之差的绝对值等于常数的点的轨迹。 焦点性质 双曲线的两个焦点位于实轴两端，距离实轴相等。 准线特征 双曲线有两条互相垂直的准线，分别交坐标轴于原点和渐近线点。
04 双曲线的性质解析
双曲线的性质解析:主要性质
双曲线的焦点特性 双曲线有两焦点位于其对称轴上，距离中心等距。 双曲线的对称性 双曲线具有旋转对称性和平移对称性。 双曲线的渐近线 双曲线有两个渐近线，分别代表双曲线在x轴和y轴上的极限状态。 实数双曲线的面积 实数双曲线的面积是πab/4。
双曲线ppt课件
题型二 双曲线的标准方程
【例2】已知双曲线的渐近线方程为2x±3y=0.
（1）若双曲线经过P（ 6 ,2）,求双曲线方程； （2）若双曲线的焦距是2 13 ，求双曲线方程； （3）若双曲线顶点间的距离是6，求双曲线方程.
思维启迪 用定义法或待定系数法求方程.
解
方法一
由双曲线的渐近线方程y=±
2 3
解得ba
23或ba
3 9. 2
故所求双曲线方程为 x2 y2 1或 y2 4x2 1.
94
9 81
探究提高 待定系数法是求曲线方程最常用的方
法之一.
（1）与双曲线
x2 a2
y2 b2
1有共同渐近线的双曲
线方程可表示为
x2 a2
y2 b2
t(t 0).
（2）若双曲线的渐近线方程是y=±
2
，2）,∴
(3 2)2 a2
4 b2
1.
又∵a2+b2=（2 5）2，∴a2=12，b2=8.
故所求双曲线的方程为 x2 y2 1. 12 8
题型三 双曲线的性质 【例3】中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一
双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|=2 13 ， 椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率 之比为3∶7. （1）求这两曲线方程； （2）若P为这两曲线的一个交点,求cos∠F1PF2 的值.
5.若m＞0,点
P
m,
5 2
在双曲线
x2 y2 1 上，则 45 13
点P到该双曲线左焦点的距离为 2 .
解析
P
m,
5 2
在双曲线 x2 y2 1上,且m＞0, 45
代入双曲线方程解得m=3,双曲线左焦点F1(-3,0),
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两点P1、P2的坐标分别为（3，-4 求双曲线的标准方程。
2 ）,(
9 4
,5 ) ，
2020年10月2日
12
例2：求适合下列条曲 件线 的的 双标准方程 (1)a3,b4,焦点在 x轴上；
（2）a2 5,经过点 A(2,5),焦点在 y轴上；
解 (1)由 ：题 a3,b 意 4且焦 x轴 点 ,上 在
a>0，b>0，但a不一 定大于b，c2=a2+b2
14
练习3.双曲线的标准方程为：x 2 y 2 1 9 16
焦点为F1 , F2。 如果双曲线上有一点Ｐ，
(1)若|ＰF1|=10, 则|ＰF2|=_4__或__1_6_
P
| |PF1| - |PF2| | = 6
(2)若|ＰF1|=4, 则|ＰF2|=_1_0_____
汇报人：XXX 汇报日期：20XX年10月10日
17
• F1,F2 -----焦点
• |F1F2| -----焦距
F1
| |MF1| - |MF2| | = 2a .
M F2
2020年10月2日
6
双曲线标准方程的推导
y
M
建立坐标系xOy，
使x轴经过点F1、F2 ，并且点O 与线段F1F2的中点重合，如图。
F1
O
x
设M(x,y)是双曲线上任意一点，双 曲线的焦距为2c（c > 0),那么，焦
焦点 a、b、c 的关系
椭圆
|MF1|+|MF2|=2a
x2 a2
+
y2 b2
=
1
y2 a2
+
x2 b2
=1
F（±c，0） F（0，±c）
a>b>0，a2=b2+c2
2020年10月2日
双曲线
||MF1|－|MF2||=2a
x2 a2
-
y2 b2
=
1
y2 a2
-
x2 b2
=
1
F（±c，0） F（0，±c）
所以双曲线的方程为：
x2 y2 1
(2)焦点y轴 在上 .
9 16
可
设
所
a
求
2
双
5
曲
线ay22方bx程 22 为 1
由题意得：
25 4 a 2 b 2 1
解得b2 16
所 2020年10月2日 求 双 曲 线y方 2 程 x2 为 1 13 20 16
双曲线与椭圆之间的区别与联系：
定义 方程
y
F2
ox
F1
F1( 0, -c), F2( 0, c) 由方程定焦点：
c2 a2b2
,
椭圆看大小 双曲线看符号
2020年10月2日
9
巩固、 如果方程
x2 m
y2 +n
=1
满足什么条件时方程表示椭圆？
表示双曲线？表示圆？
2020年10月2日
10
例1 已知双曲线的焦点为F1(-5,0),F2(5,0)，双曲线上 一点P到F1、F2的距离的差的绝对值等于6，求双曲线
。 两边再平方后整理得：c 2 a 2 x 2 a 2 y 2 a 2 c 2 a 2
由双曲线定义知：2c2a 即 cac2a20
设 c2a2b2b0， 双曲线的标准方程
代入上式整理得：
x2 y2
1a0， b0
2020年10月2日
a2 b2
8
• 想一想
焦点在y轴上的双曲线 的标准方程
2020年10月2日
15
• 练习1、如果方程 mx-21+2y-m2 = 1 表示双曲线，
则m的范围是什么？
• 解：（m-1)(2-m)<0， ∴m>2或m<1
• 练习2、如果方程 mx-21+2y-m2 = 1 表示椭圆，
则m的范围是什么？
1<m<2
且m
3 2
/
2020年10月2日
16
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的点的轨迹. F1, F2 (2a< F1F2 )
2a (a>0)
2a= F1F2 两段射线 2a> F1F2 无轨迹
M
F1
F2
2020年10月2日
3
2020年10月2日
4
2020年10月2日
5
双曲线的定义
平 面与内 两定点F1，F2的距离的差的绝对等于常数２a
的点(的小轨于迹F1,F叫2 做) 双曲线.
M
F1
F2
2020年10月2日
1
定义 |MF1|+|MF2|=2a（2a>|F1F2|）
y
曲线
·· F1 o F2
y
·F2
·o
x
F1
方程
·
x2 a2
by22
1(ab0)
焦点
F ( ±c, 0)
F(0, ± c)
a.b.c的 关系 2020年10月2日
a2=b2+c2
2
双曲线: 到两定点距离之差的绝对值等于定长
的标准方程.
解: 根据双曲线的焦点在 x 轴上，设它的标准方程为：
x2 y2 a2b2 1 (a0,b0) ∵ 2a = 6, 2c=10 ∴ a = 3, c = 5
∴ b2 = 52 - 32 =16
所以所求双曲线的标准方程为： x2 y2 1 9 16
2020年10，并且双曲线上的
F2 点F1，F2的坐标分别是（-c,o)、 （c,o) 。又设点M与F1F2的距离的 差的绝对值等于常数2a。
2020年10月2日
| |MF1| - |MF2| | = 2a
7
， 代入化简：xc2y2xc2y22a 将上述方程化为：x c 2 y 2x c 2 y 2 2 a，
移项两边平方后整理得：c xa2axc2y2，