双曲线课件
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双曲线的简单性质课件
焦点与准线的关系
焦点到准线的距离相等
双曲线的焦点到任意一条准线的距离相等，这是双曲线的基本性质之一。
焦点和准线共同确定双曲线的形状和大小
通过焦点和准线可以确定双曲线的形状和大小，因为它们决定了双曲线的离心率 和实轴、虚轴的长度。
03
双曲线的离心率
离心率的定义
• 离心率：双曲线的一个重要参数，定义为双曲线的焦点到其顶点的距离与双曲线的实轴长度的比值。
05
双曲线的对称性
双曲线的对称轴
总结词
双曲线的对称轴是垂直平分双曲线两 焦点的直线。
详细描述
双曲线的对称轴是垂直平分双曲线两 焦点的直线，也称为主轴。它与双曲 线的渐近线垂直，并且将双曲线划分 为两个对称的部分。
双曲线的对称中心
总结词
双曲线的对称中心是双曲线与对称轴的交点。
详细描述
双曲线的对称中心是双曲线与对称轴的交点，也称为顶点。它位于双曲线的渐近线上， 并且是双曲线与x轴的交点。
详细描述
双曲线的标准方程是 (x/a)^2 (y/b)^2 = 1，其中a和b分别是双曲线 的实半轴和虚半轴长度。当a=b时， 双曲线为等轴双曲线；当a≠b时，双 曲线为非等轴双曲线。
双曲线的几何性质
总结词
双曲线具有离心率、渐近线、焦点等几何性质。
详细描述
离心率是双曲线的一个重要几何性质，它表示双曲线与坐标轴之间的相对位置关系。渐近线是双曲线上的直线， 它们与坐标轴平行。焦点是双曲线上的点，它们到原点的距离相等。这些性质在解决与双曲线相关的问题中具有 重要的作用。
感谢聆听
离心率决定双曲线的形状
离心率的变化会导致双曲线形状的变化，从而影响双曲线的形状和开口方向。
04
《双曲线的简单几何性质》ppt课件
对称性 关于x轴、y轴、原点对称
顶点 离心率 渐进线
A1（- a，0），A2（a，0） B1（0，-b），B2（0，b）
e c (0 e 1) a
无
关于x轴、y轴、原点对称
A1（- a，0），A2（a，0）
e c (e 1) a
y b x a
用“类比学习法”和“数形结合法”
导出双曲线 y2 a2
焦点坐标,离心率.渐近线方程。并画出它的草图。
解：把方程化为标准方程
y2 42
x2 32
1
y
可得:实半轴长a=4
虚半轴长b=3
4
半焦距c= 42 32 5
焦点坐标是(0,-5),(0,5)
-3 o 3 x
离心率: e c 5
-4
渐近线方程:
y
a
4
4
x
(或
y
x
0)
3
43
小结： 一、双曲线的简单几何性质
x2 b2
1(a 0,b 0)
y
的简单几何性质
a
（1）范围: y a, y a
（2）对称性: 关于x轴、y轴、原点都对称 -b （3）顶点: (0,-a)、(0,a)
o bx -a
（4）渐近线:
yax b
或y x 0 ab
（5）离心率:
e
c a
练一练： 求双曲线 9y2 16x2 144的实半轴长,虚半轴长,
2 2
y2 b2
1
k
b a
B2
k
y
(a,b)
b a
b
yb x a
b
A1
a
o
A2
x
xy
3-2-1双曲线及其标准方程 课件(共67张PPT)
【解析】 距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支．若 F1，F2 表示双曲线的左、右焦点，且点 P 满足|PF1|－|PF2|＝2a，则点 P 在右支上；若点 P 满足|PF2|－|PF1|＝2a，则点 P 在左支上．
互动 2 在双曲线的定义中，必须要求“常数小于|F1F2|”， 那么“常数等于|F1F2|”“常数大于|F1F2|”或“常数为 0”时，动 点的轨迹是什么？
【解析】 (1)若“常数等于|F1F2|”时，此时动点的轨迹是以 F1，F2 为端点的两条射线 F1A，F2B(包括端点)，如图所示．
(2)若“常数大于|F1F2|”，此时动点轨迹不存在． (3)若“常数为 0”，此时动点轨迹为线段 F1F2 的垂直平分线．
互动 3 已知点 P(x，y)的坐标满足下列条件，试判断下列各 条件下点 P 的轨迹是什么图形？
2．关于双曲线应注意的几个问题 (1)双曲线的标准方程与选择的坐标系有关，当且仅当双曲线 的中心在原点，焦点在坐标轴上时，双曲线的方程才具有标准形 式．
(2)如图，设 M(x，y)为双曲线上任意一点，若 M 点在双曲线 的右支上，则|MF1|＞|MF2|，|MF1|－|MF2|＝2a(0＜2a＜|F1F2|)；若 M 在双曲线的左支上，则|MF1|＜|MF2|，|MF1|－|MF2|＝－2a，因 此得|MF1|－|MF2|＝±2a，这与椭圆不同．
(3)列式：由|MF1|－|MF2|＝±2a， 可得 （x＋c）2＋y2－ （x－c）2＋y2＝±2a.①
(4)化简：移项，平方后可得 (c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)． 令 c2－a2＝b2，得双曲线的标准方程为xa22－yb22＝1(a>0，b>0)．② (5)从上述过程可以看到，双曲线上任意一点的坐标都满足方 程②；以方程②的解(x，y)为坐标的点到双曲线两个焦点(－c， 0)，(c，0)的距离之差的绝对值为 2a，即以方程②的解为坐标的 点都在双曲线上．这样，就把方程②叫作双曲线的标准方程．
互动 2 在双曲线的定义中，必须要求“常数小于|F1F2|”， 那么“常数等于|F1F2|”“常数大于|F1F2|”或“常数为 0”时，动 点的轨迹是什么？
【解析】 (1)若“常数等于|F1F2|”时，此时动点的轨迹是以 F1，F2 为端点的两条射线 F1A，F2B(包括端点)，如图所示．
(2)若“常数大于|F1F2|”，此时动点轨迹不存在． (3)若“常数为 0”，此时动点轨迹为线段 F1F2 的垂直平分线．
互动 3 已知点 P(x，y)的坐标满足下列条件，试判断下列各 条件下点 P 的轨迹是什么图形？
2．关于双曲线应注意的几个问题 (1)双曲线的标准方程与选择的坐标系有关，当且仅当双曲线 的中心在原点，焦点在坐标轴上时，双曲线的方程才具有标准形 式．
(2)如图，设 M(x，y)为双曲线上任意一点，若 M 点在双曲线 的右支上，则|MF1|＞|MF2|，|MF1|－|MF2|＝2a(0＜2a＜|F1F2|)；若 M 在双曲线的左支上，则|MF1|＜|MF2|，|MF1|－|MF2|＝－2a，因 此得|MF1|－|MF2|＝±2a，这与椭圆不同．
(3)列式：由|MF1|－|MF2|＝±2a， 可得 （x＋c）2＋y2－ （x－c）2＋y2＝±2a.①
(4)化简：移项，平方后可得 (c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)． 令 c2－a2＝b2，得双曲线的标准方程为xa22－yb22＝1(a>0，b>0)．② (5)从上述过程可以看到，双曲线上任意一点的坐标都满足方 程②；以方程②的解(x，y)为坐标的点到双曲线两个焦点(－c， 0)，(c，0)的距离之差的绝对值为 2a，即以方程②的解为坐标的 点都在双曲线上．这样，就把方程②叫作双曲线的标准方程．
双曲线及其标准方程课件
(3)当 k<0 时，方程为y42－－x24k＝1，表示焦点在 y 轴上的双曲线；
(4)当 0<k<1 时，方程为x42＋y42＝1，表示焦点在 x 轴上的椭圆； k
(5)当 k>1 时，方程为x42＋y42＝1，表示焦点在 y 轴上的椭圆． k
[一点通] 解决这类题的基本方法是分类讨论，在分
类讨论的过程中应做到不重不漏，选择适当的分界点．在
(3)若|F1F2|<2a，动点的轨迹不存在．
2．通过双曲线方程xa22－by22＝1(焦点在 x 轴上)和ay22－xb22 ＝1(焦点在 y 轴上)(a>0，b>0)可以看出：如果 x2 项的系 数是正的，那么焦点在 x 轴上；如果 y2 项的系数是正的， 那么焦点在 y 轴上.对于双曲线，a 不一定大于 b，但是无 论双曲线的焦点在哪个轴上，方程中的三个量都满足 c2 ＝a2＋b2.
[例3] 已知方程kx2＋y2＝4，其中k为实数，对于不同 范围的k值分别指出方程所表示的曲线类型．
[思路点拨] 解答本题可依据所学的各种曲线的标准形 式的系数应满足的条件进行分类讨论．
[精解详析] (1)当 k＝0 时，y＝±2，表示两条与 x 轴平行 的直线；
(2)当 k＝1 时，方程为 x2＋y2＝4，表示圆心在原点，半径 为 2 的圆；
72 b2 ＝1，
解得a12＝19， b12＝116，
即 a2＝9，b2＝16.
∴所求双曲线的标准方程为y92－1x62 ＝1.
法二：∵双曲线的焦点位置不确定，
∴设双曲线方程为 mx2＋ny2＝1(mn<0)． ∵P1，P2 在双曲线上，所以
4m＋445n＝1， 196×7m＋16n＝1，
双曲线-完整版PPT课件可编辑全文
∴x－32a2＋y2＝a22.
①
又 P 点在双曲线上，得ax22－by22＝1.
②
由①，②消去 y，得
(a2＋b2)x2－3a3x＋2a4－a2b2＝0，
即[(a2＋b2)x－(2a3－ab2)](x－a)＝0.
当 x＝a 时，P 与 A 重合，不符合题意，舍去．
当 x＝2aa32－＋abb2 2时，满足题意的 P 点存在， 需 x＝2aa32－＋abb2 2＞a， 化简得 a2＞2b2， 即 3a2＞2c2，ac＜ 26. 又 e＞1，∴离心率 e＝ac∈1， 26.
考向三 [149] 双曲线的几何性质
(1)(2014·天津高考)已知双曲线ax22－by22＝1(a>0，
b>0)的一条渐近线平行于直线 l：y＝2x＋10，双曲线的一个
焦点在直线 l 上，则双曲线的方程为( )
A.x52－2y02 ＝1
B.2x02 －y52＝1
C.32x52－130y02 ＝1
二、双曲线的标准方程和几何性质
标准方程 ax22－by22＝1(a>0，b>0)
ay22－bx22＝1(a>0， b>0)
图形
范围
x≥a或x≤－a
对称轴： 坐标轴
对称性
对称中心： 原点
y≤－a或y≥a 对称轴： 坐标轴 对称中心： 原点
性 顶点 顶点坐标：
顶点坐标：
质
A1 (－a,0)，A2 (a,0) A1 (0，－a，) A2 (0，a)
————————— [1 个对点练] ——————— 过点2，12能作几条与双曲线x42－y2＝1 有一个公共点的 直线．
【解】 (1)当斜率不存在时，直线方程为 x＝2，显然符 合题意．
双曲线的定义及标准方程课件
迹叫做双曲线。
F1,F2 -----焦点
|F1F2| -----焦距=2c
||MF1| - |MF2|| = 2a
.
F1
M
o
.
F2
1、|MF1 | － |MF2 | =2a
M
(2a< |F1F2| )
2、|MF2 | － | MF1| =2a
F1
F2
(2a< |F1F2| )
3、若常数2a = | F1F2 |
双曲线的定义及其标准方程
1、椭圆是如何定义的?
平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数
2a ( 2a>|F1F2|>0) 的点的轨迹
2a与2c的大小关 系
2a 2c时是椭圆 2a 2c时是线段 F1F 2 2a 2c时轨迹不存在
2.椭圆的标准方程？
b2 a2 c2
焦点在x轴上:
x2 y2 a2 b2 1
方程为 :
x2 32
y2 42
1或
y2 32
x2 42
1
双曲线及标准方程
课堂练习
(3)与双曲线
x2 y2 1 有相同焦距，双
13 3
曲线上一点P到F1、F2的距离之差的绝对
值为4。
x2 y2 1 或 y2 x2 1
4 12
4 12
(4)与双曲线 3y2 2x2 30
b=3.
y2 x2 42 32 1
解：8〈10，由定义，所求的轨迹是焦点在x 轴双曲线，设它的标准方程为：
x2 y2 a2 b2 1 (a 0, b 0)
C=5,a=4所,以所b求2=方c2-程a2=为5：2-42=3x22 42
y2 32
1
F1,F2 -----焦点
|F1F2| -----焦距=2c
||MF1| - |MF2|| = 2a
.
F1
M
o
.
F2
1、|MF1 | － |MF2 | =2a
M
(2a< |F1F2| )
2、|MF2 | － | MF1| =2a
F1
F2
(2a< |F1F2| )
3、若常数2a = | F1F2 |
双曲线的定义及其标准方程
1、椭圆是如何定义的?
平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数
2a ( 2a>|F1F2|>0) 的点的轨迹
2a与2c的大小关 系
2a 2c时是椭圆 2a 2c时是线段 F1F 2 2a 2c时轨迹不存在
2.椭圆的标准方程？
b2 a2 c2
焦点在x轴上:
x2 y2 a2 b2 1
方程为 :
x2 32
y2 42
1或
y2 32
x2 42
1
双曲线及标准方程
课堂练习
(3)与双曲线
x2 y2 1 有相同焦距，双
13 3
曲线上一点P到F1、F2的距离之差的绝对
值为4。
x2 y2 1 或 y2 x2 1
4 12
4 12
(4)与双曲线 3y2 2x2 30
b=3.
y2 x2 42 32 1
解：8〈10，由定义，所求的轨迹是焦点在x 轴双曲线，设它的标准方程为：
x2 y2 a2 b2 1 (a 0, b 0)
C=5,a=4所,以所b求2=方c2-程a2=为5：2-42=3x22 42
y2 32
1
3.2.2双曲线的简单几何性质 课件(共24张PPT)
2
2
=λ(λ≠0).
(5)渐近线为y=±kx的双曲线方程可设为k2x2-y2=λ(λ≠0).
(6)渐近线为ax±by=0的双曲线方程可设为a2x2-b2y2=λ(λ≠0).
跟踪训练 求适合下列条件的双曲线的标准方程：
5
（1）焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为3 ；ห้องสมุดไป่ตู้
跟踪训练
A.
1
4
双曲线x2-my2＝1的实轴长是虚轴长的2倍，则m等于
B.
1
2
C.2
D.4
（D）
二、求双曲线方程
例2
根据下列条件，求双曲线方程:
（1）双曲线 x
2
9
y2
1 有共同渐近线，且过点 ( 3, 2 3) ；
16
（2）与双曲线 x
2
16
解
y2
1 有公共焦点，且过点 (3 2 , 2) .
第三章
3.2
双曲线
3.2.2 双曲线的简单几何性质
学习目标
1.理解双曲线的简单几何性质（范围、对称性、顶点、渐近线、离心率）.
2.能用双曲线的简单性质解决一些简单的问题
核心素养：数学运算、数学建模
新知学习
复习引入
定义
| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
y
y
M
M
F2
(2)焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程可设为
2
(3)与双曲线
2
2 +
2
−
2
2
2
−
=1(a>0,b>0).
2
2
=1 共焦点的双曲线方程可设为
2
=λ(λ≠0).
(5)渐近线为y=±kx的双曲线方程可设为k2x2-y2=λ(λ≠0).
(6)渐近线为ax±by=0的双曲线方程可设为a2x2-b2y2=λ(λ≠0).
跟踪训练 求适合下列条件的双曲线的标准方程：
5
（1）焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为3 ；ห้องสมุดไป่ตู้
跟踪训练
A.
1
4
双曲线x2-my2＝1的实轴长是虚轴长的2倍，则m等于
B.
1
2
C.2
D.4
（D）
二、求双曲线方程
例2
根据下列条件，求双曲线方程:
（1）双曲线 x
2
9
y2
1 有共同渐近线，且过点 ( 3, 2 3) ；
16
（2）与双曲线 x
2
16
解
y2
1 有公共焦点，且过点 (3 2 , 2) .
第三章
3.2
双曲线
3.2.2 双曲线的简单几何性质
学习目标
1.理解双曲线的简单几何性质（范围、对称性、顶点、渐近线、离心率）.
2.能用双曲线的简单性质解决一些简单的问题
核心素养：数学运算、数学建模
新知学习
复习引入
定义
| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
y
y
M
M
F2
(2)焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程可设为
2
(3)与双曲线
2
2 +
2
−
2
2
2
−
=1(a>0,b>0).
2
2
=1 共焦点的双曲线方程可设为
双曲线及其标准方程课件
音乐艺术
双曲线在音乐艺术中用于 创作优美的音乐旋律和和 声，特别是在处理音高和 音程时。
交通工程
双曲线在交通工程中用于 设计道路和轨道，特别是 在处理弯道和交叉口时。
04
双曲线的图像绘制
使用数学软件绘制双曲线
使用Ge双曲 线。用户只需在软件中输入双曲线的标准方程，即可自动生 成对应的双曲线图像。
05
双曲线的性质与方程 的关联
双曲线的性质与标准方程的关系
焦点距离
双曲线的标准方程中的系数与焦 点距离有关，决定了双曲线的开
口大小和方向。
渐近线
双曲线的标准方程中的系数决定了 渐近线的斜率和截距，反映了双曲 线的形状和位置。
离心率
双曲线的标准方程中的系数与离心 率有关，离心率决定了双曲线的开 口程度和形状。
推导结果
01
双曲线的标准方程为
$frac{x^2}{a^2}
-
frac{y^2}{b^2} = 1$。
02
其中$a > 0, b > 0$，且满足 $c^2 = a^2 + b^2$。
推导结论
双曲线是一种特殊的二次曲线，其标 准方程反映了双曲线的几何特性。
双曲线的焦点到曲线上任意一点的距 离之差为常数，这个常数等于两焦点 之间的距离的一半。
绘制双曲线
在工具箱中选择“双曲线”工具，然 后在绘图区域单击并拖动鼠标，即可 绘制出双曲线。用户可以根据需要调 整双曲线的参数和位置。
使用手工绘制双曲线
准备工具
准备一张纸、一支笔和一把直尺。
绘制过程
首先在纸上确定双曲线的中心和焦点，然后使用直尺和笔绘制出双曲线的渐近线。接着，使用笔和直尺在纸上绘 制出双曲线的上半部分。最后，使用对称性画出双曲线的下半部分。这种方法虽然比较传统，但对于理解双曲线 的几何意义非常有帮助。
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8.3 双曲线及其标准方程
复习椭圆
新课探究
例题分析
作业
小结
课后测试
1.椭圆概念
平面内与两个定点 F、F2 的距离的和等于常数 1 （大于 F1 F2 ）的点的轨迹叫做双曲线．
2.椭圆标准方程
x 2 y2 焦点在x轴上，标准方程为： 2 + 2 = 1(a > b > 0) a b y2 x 2 焦点在y轴上，标准方程为： 2 + 2 = 1(a > b > 0) a b
F1 (0， c ) −
F2 (0，c )
a, b, c
关系
c 2 = a 2 + b 2 (c > a > 0，c > b > 0 )
2．求适合下列条件的双曲线的标准方程． （1）a = 4
b=3
（2）焦点（0，－6），（0，6），经过点（2，－ 5）． x2 y2 − = 1表示双曲线，求的取值范围． 3．已知方程
焦点的判断方法： 焦点的判断方法：
椭圆要看分母， 椭圆要看分母，焦点跟着大的走 双曲线看正负， 双曲线看正负，焦点跟着正的走
定义与方程对照理解
定义中关键词 名称 定点F 定点 1、F2 焦点 |F1F2| 焦距2c 距离 实轴长2a
a,b,c的关系： a,b,c的关系： c2－a2＝b2(b 0) 的关系 a b (b＞0)
1.填写下表
双曲线定义
小篇测试
{m MF − MF
1
2
= 2a (2a < F1F2 )
}
a （ F、F2 为定点， 为常数） 1
图形
标准方程 焦点坐标
x2 y2 − 2 = 1(a > 0，b > 0 ) 2 a b
y2 x2 − 2 = 1(a > 0，b > 0) 2 a b
0 F1 (− c，) F2 (c，) 0
例题分析： 例题分析： 已知双 曲线两 个焦点 的坐标 为F1(－5，0)、 F2(5，0)，双曲线上一点P到F1、F2 的距离的 差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程。 变式一：如果把上面的6改为 ，其他条件不变， 改为12，其他条件不变， 变式一：如果把上面的 改为 会出现什么情况？ 会出现什么情况？ 变式2：如果两个焦点的坐标为 变式 ：如果两个焦点的坐标为F1(0，-5)、 ， 、 F2(0，5)，其它条件不变，结果又如何 ， ，其它条件不变，结果又如何?
{
2c > 2a
（3）带入化简： 将上述方程化为：
(x + c )2 + y 2 − (x − c )2 + y 2
(x + c )2 + y 2 − (x − c )2 + y 2
= 2a
= ±2a
cx − a 2 = ± a 移项两边平方后整理得：
2 2 2 2 2 2 2 2 两边再平方后整理得： c − a x − a y = a c − a
2+m m +1
小结： 小结：
1.本节课学习了双曲线定义及标准方程。 1.本节课学习了双曲线定义及标准方程。 本节课学习了双曲线定义及标准方程 2.双曲线的学习要和椭圆类比研究。 2.双曲线的学习要和椭圆类比研究。 双曲线的学习要和椭圆类比研究 3.本节课体现了数形结合的思想。 3.本节课体现了数形结合的思想。 本节课体现了数形结合的思想
2 2 2c > 2a 即：c > a ∴ c − a > 0 由双曲线定义知：
(
)
(x − c )2 + y 2
(
)
设 c 2 − a 2 = b 2 (b > 0) 代入上式整理得：
x2 y 2 − 2 = 1(a > 0，b > 0) 2 a b
x2 y 2 焦点在x轴上，标准方程为： 2 − 2 = 1(a > 0，b > 0) a b y2 x 2 焦点在y轴上，标准方程为： 2 − 2 = 1(a > 0，b > 0) a b
作业： 作业： 阅读教材中双曲线的几何性质， 1．阅读教材中双曲线的几何性质， 重点看4(渐近线)与性质5(离心率) 4(渐近线 5(离心率 重点看4(渐近线)与性质5(离心率)． 2．推出双曲线上任一点到渐近线 的距离，（见教材)的表达式， ，（见教材 的距离，（见教材)的表达式，以此再 重新研究双曲线与渐近线的关系． 重新研究双曲线与渐近线的关系．
演示（4）
回看曲线
双曲线的定义
平面内与两个定点 F、F2的距离的差的绝对值 1 等于常数（小于 F1 F2 且大于零）的点的轨迹叫做 双曲线． 这两个定点 F、F2 叫做双曲线的焦点，两 1 焦点的距离 F1 F2 叫做双曲线的焦距．
双曲线的标准方程的推导
（1）建系设点
（2）列关系式 P = M | MF1 − MF2 } = 2a}
复习椭圆
新课探究
例题分析
作业
小结
课后测试引入Fra bibliotek马鞍面
发电场的烟囱
发电场的烟囱
y
o
X
双曲线 取其轴截面
曲线的形成过程
问题： (1)定点F1、F2与动点M不在一个平面上， 能不能得出双曲线？ (2)观察图形，|MF1|、|MF2|哪个大？ (3)点M与点F1、F2距离差是否就是 |MF1|－|MF2|？ (4)点M与点F1、F2 的距离之差是否会大 于|F1F2|？
复习椭圆
新课探究
例题分析
作业
小结
课后测试
1.椭圆概念
平面内与两个定点 F、F2 的距离的和等于常数 1 （大于 F1 F2 ）的点的轨迹叫做双曲线．
2.椭圆标准方程
x 2 y2 焦点在x轴上，标准方程为： 2 + 2 = 1(a > b > 0) a b y2 x 2 焦点在y轴上，标准方程为： 2 + 2 = 1(a > b > 0) a b
F1 (0， c ) −
F2 (0，c )
a, b, c
关系
c 2 = a 2 + b 2 (c > a > 0，c > b > 0 )
2．求适合下列条件的双曲线的标准方程． （1）a = 4
b=3
（2）焦点（0，－6），（0，6），经过点（2，－ 5）． x2 y2 − = 1表示双曲线，求的取值范围． 3．已知方程
焦点的判断方法： 焦点的判断方法：
椭圆要看分母， 椭圆要看分母，焦点跟着大的走 双曲线看正负， 双曲线看正负，焦点跟着正的走
定义与方程对照理解
定义中关键词 名称 定点F 定点 1、F2 焦点 |F1F2| 焦距2c 距离 实轴长2a
a,b,c的关系： a,b,c的关系： c2－a2＝b2(b 0) 的关系 a b (b＞0)
1.填写下表
双曲线定义
小篇测试
{m MF − MF
1
2
= 2a (2a < F1F2 )
}
a （ F、F2 为定点， 为常数） 1
图形
标准方程 焦点坐标
x2 y2 − 2 = 1(a > 0，b > 0 ) 2 a b
y2 x2 − 2 = 1(a > 0，b > 0) 2 a b
0 F1 (− c，) F2 (c，) 0
例题分析： 例题分析： 已知双 曲线两 个焦点 的坐标 为F1(－5，0)、 F2(5，0)，双曲线上一点P到F1、F2 的距离的 差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程。 变式一：如果把上面的6改为 ，其他条件不变， 改为12，其他条件不变， 变式一：如果把上面的 改为 会出现什么情况？ 会出现什么情况？ 变式2：如果两个焦点的坐标为 变式 ：如果两个焦点的坐标为F1(0，-5)、 ， 、 F2(0，5)，其它条件不变，结果又如何 ， ，其它条件不变，结果又如何?
{
2c > 2a
（3）带入化简： 将上述方程化为：
(x + c )2 + y 2 − (x − c )2 + y 2
(x + c )2 + y 2 − (x − c )2 + y 2
= 2a
= ±2a
cx − a 2 = ± a 移项两边平方后整理得：
2 2 2 2 2 2 2 2 两边再平方后整理得： c − a x − a y = a c − a
2+m m +1
小结： 小结：
1.本节课学习了双曲线定义及标准方程。 1.本节课学习了双曲线定义及标准方程。 本节课学习了双曲线定义及标准方程 2.双曲线的学习要和椭圆类比研究。 2.双曲线的学习要和椭圆类比研究。 双曲线的学习要和椭圆类比研究 3.本节课体现了数形结合的思想。 3.本节课体现了数形结合的思想。 本节课体现了数形结合的思想
2 2 2c > 2a 即：c > a ∴ c − a > 0 由双曲线定义知：
(
)
(x − c )2 + y 2
(
)
设 c 2 − a 2 = b 2 (b > 0) 代入上式整理得：
x2 y 2 − 2 = 1(a > 0，b > 0) 2 a b
x2 y 2 焦点在x轴上，标准方程为： 2 − 2 = 1(a > 0，b > 0) a b y2 x 2 焦点在y轴上，标准方程为： 2 − 2 = 1(a > 0，b > 0) a b
作业： 作业： 阅读教材中双曲线的几何性质， 1．阅读教材中双曲线的几何性质， 重点看4(渐近线)与性质5(离心率) 4(渐近线 5(离心率 重点看4(渐近线)与性质5(离心率)． 2．推出双曲线上任一点到渐近线 的距离，（见教材)的表达式， ，（见教材 的距离，（见教材)的表达式，以此再 重新研究双曲线与渐近线的关系． 重新研究双曲线与渐近线的关系．
演示（4）
回看曲线
双曲线的定义
平面内与两个定点 F、F2的距离的差的绝对值 1 等于常数（小于 F1 F2 且大于零）的点的轨迹叫做 双曲线． 这两个定点 F、F2 叫做双曲线的焦点，两 1 焦点的距离 F1 F2 叫做双曲线的焦距．
双曲线的标准方程的推导
（1）建系设点
（2）列关系式 P = M | MF1 − MF2 } = 2a}
复习椭圆
新课探究
例题分析
作业
小结
课后测试引入Fra bibliotek马鞍面
发电场的烟囱
发电场的烟囱
y
o
X
双曲线 取其轴截面
曲线的形成过程
问题： (1)定点F1、F2与动点M不在一个平面上， 能不能得出双曲线？ (2)观察图形，|MF1|、|MF2|哪个大？ (3)点M与点F1、F2距离差是否就是 |MF1|－|MF2|？ (4)点M与点F1、F2 的距离之差是否会大 于|F1F2|？