双曲线PPT讲稿
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双曲线及其标准方程ppt课件
x2
y2
变式．给出曲线方程
＋
＝1.
4＋k 1－k
(1)若该方程表示双曲线，求实数k的取值范围；
(2)若该方程表示焦点在y轴上的双曲线，求实数k的取值范围.
y2 x2
例 5．已知双曲线 C 的方程是 － ＝1，其上下焦点分别是 F2，
16 20
F1，点 M 在双曲线 C 上，且|MF1|＝9，则|MF2|＝________.
归纳总结
y
图形
y
P
P
x
O
F1
F1 O F2
方程
焦点
a,b,c之间的关系
F2
x
x2 y2
2 1(a 0, b 0)
2
a
b
y2 x2
2 1(a 0, b 0)
2
a
b
F1(-c,0),F2(c,0)
F1(0,-c)，F2(0,c)
c2=a2+b2
a，b大小不定
椭圆与双曲线的区别
O
焦点在对应轴上
x2 y2
2 1(a 0, b 0)
2
a
b
① 方程用“－”号连接；
y
F2
F1
y2 x2
2 1(a 0, b 0)
2
a
b
② c2=a2+b2 ；
③分母是a2, b2, 且a>0, b>0，但a, b大小不定；
④ 如果x2的系数是正的，则焦点在x轴上；
如果y2的系数是正的，则焦点在y轴上.
x
F1 O
F2
结论：已知F1，F2分别是双曲线C：
《双曲线的简单几何性质》ppt课件
x
(-x,-y)
(x,-y)
x轴、y轴你是能双从双曲曲线的线方对程称轴：，原点是对称中心，
3、又顶叫点做(双得与曲到对线双ax称22 的曲轴 by中线的22 心这交1(些。点a 的) 0几,b 何 0性) 质吗？
A1(a,0)、A2 (a,0)
第4页/共18页
3、顶点
1, A1A2 实轴； B1B2 虚轴；
实轴长 2a，实半轴长 a 虚轴长 2b，虚半轴长 b
（2）实轴与虚轴等长的双曲线 叫等轴双曲线
y
b B2
A1 -a o a A2
x
-b B1
第5页/共18页
4、渐近线
观察这两条直线与双曲 线有何关系？
动画演示
y
B2
b
A1
A2
oa
x
B1
双曲线
x2 y2 a2 b2
1 的各支向外延伸
时，与这两条直线逐渐接近！故把
o
F2
x
x
F1
x2 a2
y2 b2
1
x≤－a或x≥a
y2 a2
x2 b2
1
y≤－a或y≥a
关于坐标轴、原点对称（实轴、虚轴、中心）
(－a, 0) (a, 0)
(0,－a) (0, a)
e c 1 a
y b x( x y 0) y a x或 y x 0 a a 第b15页/共18页 b a b
这两条直线叫做双曲线的渐近线！
第6页/共18页
4、渐近线
思考（1）双曲线 x 的渐近线方程是？a
2 2
y2 b2
1
k
b a
B2
k
y
(a,b)
b a
3.2.1双曲线及其标准方程 课件(共19张PPT).ppt
相交于点M，且他们的斜率之积是
4 9
，求M点轨迹方程
课堂小结
1、双曲线的定义：平面内到两个定点F1,F2的距离差的绝对 值等于非零常数（小于丨F1F2丨）的点的轨迹为双曲线
标准方程：
x2 － y2 a2 b2
=1
(焦点在x轴)
y2 － x2 a2 b2
=1
(焦点在y轴)
a>0，b>0
2、求双曲线标准方程的方法：
x F2
(c,0)
双曲线标准方程的推导
x2 － y2 a2 c2－a2
=1
a, c均为常数，因此，令 b2 = c2－a2
F1
(a>0，b>0) x2 － y2 双曲线标准方程：a2 b2
=1
焦点在
x
轴
(-c,0)
(a>0，b>0)
y2 a2
－ x2 b2
=1
焦点在
y
轴
y
M (x, y)
x F2
(c,0)
•定点 F1、F2 叫做双曲线的焦点，
两焦点间的距离叫做双曲线的焦距。
M
F1
F2
双曲线的定义
•平面内到两个定点 F1、F2 的距离的差的绝对值等于非零常数 （小于 F1F2 ）的点的轨迹叫做双曲线。
(1)平面内到两个定点 F1、F2 的距离的差等于非零常数 （小于 F1F2 ）的点的轨迹是什么？
双曲线的一支
方法二： 设双曲线方程为 mx 2 + ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱy2 = 1
分别代入M,N两点坐标
9m 4m
4n 1 n 1
m
3 7
n
5 7
得标准方程：
双曲线及其标准方程 课件
(3)设双曲线的方程为 Ax2＋By2＝1，AB<0. ∵点 P，Q 在双曲线上，
∴92A956＋A2＋12652B5B＝＝1，1，
解得AB＝＝－19. 116，
∴双曲线的标准方程为y92－1x62 ＝1.
[规律方法] 1.求双曲线标准方程的步骤 (1)确定双曲线的类型，并设出标准方程； (2)求出 a2，b2 的值． 2．当双曲线的焦点所在坐标轴不确定时，需分焦点在 x 轴上和 y 轴上两 种情况讨论，特别地，当已知双曲线经过两个点时，可设双曲线方程为 Ax2 ＋By2＝1(AB<0)来求解．
图 2-3-1
[思路探究]
建立平面直 角坐标系
→
由已知条件得 到边长的关系
→
判断轨迹 的形状
→
写出轨迹方程
[解] 以 AB 边所在的直线为 x 轴，AB 的垂直平分线为 y 轴，建立平面直
角坐标系，如图所示，则 A(－2 2，0)，B(2 2，0)．由正弦定理，得 sin A＝|B2CR|，
sin B＝|A2CR|，sin C＝|A2RB|(R 为△ABC 的外接圆半径)．
求双曲线的标准方程
例 2、根据下列条件，求双曲线的标准方程：
(1)a＝4，经过点
A1，－4
310；
(2)与双曲线1x62 －y42＝1 有相同的焦点，且经过点(6，5且焦点在坐标轴上．
[思路探究] (1)结合 a 的值设出标准方程的两种形式，将点 A 的坐标代 入求解．
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°， 所以102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|， 所以|PF1|·|PF2|＝64， ∴S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|·sin ∠F1PF2 ＝12×64× 23＝16 3.
3-2-1双曲线及其标准方程 课件(共67张PPT)
【解析】 距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支．若 F1，F2 表示双曲线的左、右焦点，且点 P 满足|PF1|－|PF2|＝2a，则点 P 在右支上；若点 P 满足|PF2|－|PF1|＝2a，则点 P 在左支上．
互动 2 在双曲线的定义中，必须要求“常数小于|F1F2|”， 那么“常数等于|F1F2|”“常数大于|F1F2|”或“常数为 0”时，动 点的轨迹是什么？
【解析】 (1)若“常数等于|F1F2|”时，此时动点的轨迹是以 F1，F2 为端点的两条射线 F1A，F2B(包括端点)，如图所示．
(2)若“常数大于|F1F2|”，此时动点轨迹不存在． (3)若“常数为 0”，此时动点轨迹为线段 F1F2 的垂直平分线．
互动 3 已知点 P(x，y)的坐标满足下列条件，试判断下列各 条件下点 P 的轨迹是什么图形？
2．关于双曲线应注意的几个问题 (1)双曲线的标准方程与选择的坐标系有关，当且仅当双曲线 的中心在原点，焦点在坐标轴上时，双曲线的方程才具有标准形 式．
(2)如图，设 M(x，y)为双曲线上任意一点，若 M 点在双曲线 的右支上，则|MF1|＞|MF2|，|MF1|－|MF2|＝2a(0＜2a＜|F1F2|)；若 M 在双曲线的左支上，则|MF1|＜|MF2|，|MF1|－|MF2|＝－2a，因 此得|MF1|－|MF2|＝±2a，这与椭圆不同．
(3)列式：由|MF1|－|MF2|＝±2a， 可得 （x＋c）2＋y2－ （x－c）2＋y2＝±2a.①
(4)化简：移项，平方后可得 (c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)． 令 c2－a2＝b2，得双曲线的标准方程为xa22－yb22＝1(a>0，b>0)．② (5)从上述过程可以看到，双曲线上任意一点的坐标都满足方 程②；以方程②的解(x，y)为坐标的点到双曲线两个焦点(－c， 0)，(c，0)的距离之差的绝对值为 2a，即以方程②的解为坐标的 点都在双曲线上．这样，就把方程②叫作双曲线的标准方程．
互动 2 在双曲线的定义中，必须要求“常数小于|F1F2|”， 那么“常数等于|F1F2|”“常数大于|F1F2|”或“常数为 0”时，动 点的轨迹是什么？
【解析】 (1)若“常数等于|F1F2|”时，此时动点的轨迹是以 F1，F2 为端点的两条射线 F1A，F2B(包括端点)，如图所示．
(2)若“常数大于|F1F2|”，此时动点轨迹不存在． (3)若“常数为 0”，此时动点轨迹为线段 F1F2 的垂直平分线．
互动 3 已知点 P(x，y)的坐标满足下列条件，试判断下列各 条件下点 P 的轨迹是什么图形？
2．关于双曲线应注意的几个问题 (1)双曲线的标准方程与选择的坐标系有关，当且仅当双曲线 的中心在原点，焦点在坐标轴上时，双曲线的方程才具有标准形 式．
(2)如图，设 M(x，y)为双曲线上任意一点，若 M 点在双曲线 的右支上，则|MF1|＞|MF2|，|MF1|－|MF2|＝2a(0＜2a＜|F1F2|)；若 M 在双曲线的左支上，则|MF1|＜|MF2|，|MF1|－|MF2|＝－2a，因 此得|MF1|－|MF2|＝±2a，这与椭圆不同．
(3)列式：由|MF1|－|MF2|＝±2a， 可得 （x＋c）2＋y2－ （x－c）2＋y2＝±2a.①
(4)化简：移项，平方后可得 (c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)． 令 c2－a2＝b2，得双曲线的标准方程为xa22－yb22＝1(a>0，b>0)．② (5)从上述过程可以看到，双曲线上任意一点的坐标都满足方 程②；以方程②的解(x，y)为坐标的点到双曲线两个焦点(－c， 0)，(c，0)的距离之差的绝对值为 2a，即以方程②的解为坐标的 点都在双曲线上．这样，就把方程②叫作双曲线的标准方程．
双曲线及其标准方程课件
(3)当 k<0 时，方程为y42－－x24k＝1，表示焦点在 y 轴上的双曲线；
(4)当 0<k<1 时，方程为x42＋y42＝1，表示焦点在 x 轴上的椭圆； k
(5)当 k>1 时，方程为x42＋y42＝1，表示焦点在 y 轴上的椭圆． k
[一点通] 解决这类题的基本方法是分类讨论，在分
类讨论的过程中应做到不重不漏，选择适当的分界点．在
(3)若|F1F2|<2a，动点的轨迹不存在．
2．通过双曲线方程xa22－by22＝1(焦点在 x 轴上)和ay22－xb22 ＝1(焦点在 y 轴上)(a>0，b>0)可以看出：如果 x2 项的系 数是正的，那么焦点在 x 轴上；如果 y2 项的系数是正的， 那么焦点在 y 轴上.对于双曲线，a 不一定大于 b，但是无 论双曲线的焦点在哪个轴上，方程中的三个量都满足 c2 ＝a2＋b2.
[例3] 已知方程kx2＋y2＝4，其中k为实数，对于不同 范围的k值分别指出方程所表示的曲线类型．
[思路点拨] 解答本题可依据所学的各种曲线的标准形 式的系数应满足的条件进行分类讨论．
[精解详析] (1)当 k＝0 时，y＝±2，表示两条与 x 轴平行 的直线；
(2)当 k＝1 时，方程为 x2＋y2＝4，表示圆心在原点，半径 为 2 的圆；
72 b2 ＝1，
解得a12＝19， b12＝116，
即 a2＝9，b2＝16.
∴所求双曲线的标准方程为y92－1x62 ＝1.
法二：∵双曲线的焦点位置不确定，
∴设双曲线方程为 mx2＋ny2＝1(mn<0)． ∵P1，P2 在双曲线上，所以
4m＋445n＝1， 196×7m＋16n＝1，
《双曲线方程》课件
解决与双曲线相关的几何问题
双曲线方程在解决与双曲线相关的几何问题中发挥了重要作用，如求双曲线的交点、判断点是否在双曲线上等。
在物理学中的应用
描述光和声的传播路径
在物理学中，双曲线方程可以用来描述光和声波的传播路径，特别是在处理折 射和反射等问题时。
研究行星和卫星的运动轨迹
在天文学中，双曲线方程可以用来描述行星和卫星的逃逸轨道，即它们的运动 轨迹在离开引力场时的轨迹。
几何法
通过几何图形，利用双曲线的性质和定义，求解出未知数。
参数法
引入参数，将双曲线方程化为参数方程，从而求解出未知数。
双曲线方程在实际问题中的应用案例
光学问题
双曲线方程可以用于描述光的反射和折射规律，解决 光学问题。
物理问题
双曲线方程可以用于描述物体的运动轨迹，解决物理 问题。
工程问题
双曲线方程可以用于描述机械运动、振动等现象，解 决工程问题。
与双曲线几何意义的联系与区别
联系
双曲线方程描述了双曲线的几何形状，包括 其分支、焦点和渐近线等。
区别
双曲线方程是代数形式，而双曲线的几何意 义则是直观表现。通过对方程的分析可以得 出双曲线的几何性质，如离心率、实轴和虚 轴等。
05
双曲线方程的扩展知识
双曲线方程的变形与转化
参数方程与直角坐标方程的转换
双曲线方程
• 双曲线方程的概述 • 双曲线方程的推导 • 双曲线方程的应用 • 双曲线方程与其他知识点的联系 • 双曲线方程的扩展知识
01
双曲线方程的概述
双曲线的定义
定义
双曲线是一种特殊的二次曲线，它由 一个固定的点（称为焦点）和一条固 定的直线（称为准线）的距离限制形 成。
描述
双曲线方程在解决与双曲线相关的几何问题中发挥了重要作用，如求双曲线的交点、判断点是否在双曲线上等。
在物理学中的应用
描述光和声的传播路径
在物理学中，双曲线方程可以用来描述光和声波的传播路径，特别是在处理折 射和反射等问题时。
研究行星和卫星的运动轨迹
在天文学中，双曲线方程可以用来描述行星和卫星的逃逸轨道，即它们的运动 轨迹在离开引力场时的轨迹。
几何法
通过几何图形，利用双曲线的性质和定义，求解出未知数。
参数法
引入参数，将双曲线方程化为参数方程，从而求解出未知数。
双曲线方程在实际问题中的应用案例
光学问题
双曲线方程可以用于描述光的反射和折射规律，解决 光学问题。
物理问题
双曲线方程可以用于描述物体的运动轨迹，解决物理 问题。
工程问题
双曲线方程可以用于描述机械运动、振动等现象，解 决工程问题。
与双曲线几何意义的联系与区别
联系
双曲线方程描述了双曲线的几何形状，包括 其分支、焦点和渐近线等。
区别
双曲线方程是代数形式，而双曲线的几何意 义则是直观表现。通过对方程的分析可以得 出双曲线的几何性质，如离心率、实轴和虚 轴等。
05
双曲线方程的扩展知识
双曲线方程的变形与转化
参数方程与直角坐标方程的转换
双曲线方程
• 双曲线方程的概述 • 双曲线方程的推导 • 双曲线方程的应用 • 双曲线方程与其他知识点的联系 • 双曲线方程的扩展知识
01
双曲线方程的概述
双曲线的定义
定义
双曲线是一种特殊的二次曲线，它由 一个固定的点（称为焦点）和一条固 定的直线（称为准线）的距离限制形 成。
描述
双曲线-完整版PPT课件可编辑全文
∴x－32a2＋y2＝a22.
①
又 P 点在双曲线上，得ax22－by22＝1.
②
由①，②消去 y，得
(a2＋b2)x2－3a3x＋2a4－a2b2＝0，
即[(a2＋b2)x－(2a3－ab2)](x－a)＝0.
当 x＝a 时，P 与 A 重合，不符合题意，舍去．
当 x＝2aa32－＋abb2 2时，满足题意的 P 点存在， 需 x＝2aa32－＋abb2 2＞a， 化简得 a2＞2b2， 即 3a2＞2c2，ac＜ 26. 又 e＞1，∴离心率 e＝ac∈1， 26.
考向三 [149] 双曲线的几何性质
(1)(2014·天津高考)已知双曲线ax22－by22＝1(a>0，
b>0)的一条渐近线平行于直线 l：y＝2x＋10，双曲线的一个
焦点在直线 l 上，则双曲线的方程为( )
A.x52－2y02 ＝1
B.2x02 －y52＝1
C.32x52－130y02 ＝1
二、双曲线的标准方程和几何性质
标准方程 ax22－by22＝1(a>0，b>0)
ay22－bx22＝1(a>0， b>0)
图形
范围
x≥a或x≤－a
对称轴： 坐标轴
对称性
对称中心： 原点
y≤－a或y≥a 对称轴： 坐标轴 对称中心： 原点
性 顶点 顶点坐标：
顶点坐标：
质
A1 (－a,0)，A2 (a,0) A1 (0，－a，) A2 (0，a)
————————— [1 个对点练] ——————— 过点2，12能作几条与双曲线x42－y2＝1 有一个公共点的 直线．
【解】 (1)当斜率不存在时，直线方程为 x＝2，显然符 合题意．
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双曲线的定义：
y M
平面内与两定点F1，F2的距离的差的
绝对值等于常数2a（小于F1F2 且不等
于零）的点的轨迹叫做双曲线.
F1 O F2 x
这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做 双曲线的焦距，用2c来表示
若|| MF1|－ |MF2||＝2a(0＜2a＜ |F1F2| )，则P的轨迹 是双曲线
设所求双曲线方程为x2 - y 2 1(其中0 6) 6
mn P、Q两点在双曲线上，
双曲线经过点（- 5,2）， 25 - 4 1， 6
9 225 1且 256 25 1
m 16n
9m n
解得m -16，n 9
5或 3（0 舍去） 所求双曲线方程是x2 - y 2 1.
双曲线课件课件
复习回顾
• 椭圆的定义 • 平 常面数内（与大两于个|F定1F2点|）F1的，点F2轨的迹距叫离做之椭和圆等。于
椭圆的标准方程
x2 a2
y2 b2
1a
b
0
y2 a2
x2 b2
1a
b
引入
马鞍面
发电场的烟囱
发电场的烟囱
取其轴截面
y
o
X
双曲线
曲线的形成过程
①若2a＝0，则轨迹是F1F2的中垂线 ②若2a＝ |F1F2|，则轨迹是以F1、F2为端点的两射线 ③若2a＞ |F1F2|，则轨迹不存在
注：去掉“绝对值”，只有双曲线的一支。
数学 实验
• [1]取一条拉链， • [2]如图把它固定在板上
的两点F1、F2 • [3] 拉动拉链（M）思考
拉链运动的轨迹
1
例2
双曲线定义的直接应用
设F1、F2是曲线1x62
-
y2 20
1的左右焦点，点P在曲线上，
若点P到焦点F1的距离等于9，求点P到焦点F2 的距离。
解
PF1 - PF2 8，又 PF1 9， 故可得PF2 1或17. 由a 4，c 6可知右支的顶点到F1的距离为10， 已知PF1 9,说明点P在左支上； 此时，PF2 10， 点P到焦点F2的距离为17.
求双曲线标准方程的常用方法
• 1.待定系数法：先确定方程类型，设出标准
形式，确定a,b的值，注意若是两种皆可， 就要分类讨论。
• 2.定义法：如能事先判断曲线是双曲线，可
以直接根据定义确定方程，减少计算量。
双曲线定义的直接应用
例1 若一个P（x, y）到两个定点A（-1,0）、A（1 1,0）的距 离之差的绝对值为定值a(a 0)，讨论点P的轨迹。
（3）如果x2的系数是正的，则焦点在x轴上； 如果y2的系数是正的，则焦点在y轴上；
（4）双曲线标准方程中，a，b，c的关系是c2=a2+b2；
（5）双曲线的标准方程可统一写成Ax2-By2=1（AB>0)
双曲线与椭圆之间的区别与联系
定义 方程
椭圆
双曲线
|MF1|+|MF2|=2a ||MF1|－|MF2||=2a
x2 a2
y2 b2
1(a b 0)
x2 y2 1(a 0,b 0) a2 b2
y2 x2 1(a b 0) a2 b2
y2 a2
x2 b2
1(a
0,b
0)
焦点
a.b.c的 关系
F（±c，0） F（0，±c）
a>b>0，a2=b2+c2
F（±c，0） F（0，±c）
a>0，b>0，但a不 一定大于b， c2=a2+b2
设 c2 a2 b2 b 0 代入上式整理得：
x2 a2
y2 b2
1a
0，b
0
x2 y2 a2 b2 1
F ( ±c, 0)
y
M
F1 o F2 x
y
M F2
F1
y2 x2 x a2 b2 1
F(0, ± c)
说明： （1）双曲线的标准方程用减号 “-” 连接；
（2）双曲线方程中a>0,b>0,但a不一定大于b，因此不能 像椭圆那样通过比较分母大小来判断焦点在哪一条轴上。
①如图(A)，
|MF1|-|MF2|=|F2F|=2a
②如图(B)，
|MF2|-|MF1|=2a
由①②可得：
| |MF1|-|MF2| | = 2a
（差的绝对值）
平面内与两定点F1、F2的距离的 差 等于常数
的点的轨迹是什么呢？
动画演示
双曲线的标准方程的推导
（1）建系设点
（2）列关系式 P M | MF1 MF2 } 2a
解 求动圆圆心M的轨迹方程。
圆F1：(x 5)2 y2 1，圆心F（1 5,0）, 半径r1 1. 圆F2：(x 5)2 y2 42 ,圆心F（2 5,0），半径r2 4. 设动圆M的半径为R，则有MF1 R 1，
MF2 R 4
MF1 - MF2 3 F1F2
M点轨迹是以F1、F2为焦点的双曲线（左支），且a
5
所求双曲线方程为y2 - x2 1
9 16
（3）设所求双曲线方程是
x2
-
y2
1(0 16)
16 - 4
双曲线过点（3 2，2）, 18 - 4 1，
16 - 4 4或 -1（4 舍去）
所求双曲线方程为x2 - y2 1 12 8
利用定义求轨迹
例4
如图，已知定圆F1：x2+y2+10x+24=0，定圆F2： x2+y2-10x+9=0,动圆M与定圆F1、F2都外切，
3 2
,c
5
双曲线方程为4 x2 4 y2 1(x 3)
9 91
2
综合应用
例5
若F1、F2是双曲线
x2 9
-
y2 16
1的两个焦点，P在双曲线上，
解 且 PF1 PF2 32，求F1PF2的大小.
待定系数法求双曲线方程
例3 根据下列条件，求双曲线的标准方程。
（1）过点P（3，15），Q（- 16，5）且焦点在坐标轴上。
4
3
（2）c 6，经过点（- 5,2），焦点在x轴上。
（3）与双曲线 x2 y2 1有相同焦点，且经过点（3 2，2）. 16 4
（2） 焦点在x轴上，c 6，
解 （1）设双曲线方程为x 2 y 2 1.
（3）带入化简：
x c2 y2 x c2 y2 2a
将上述方程化为： 移项两边平方后整理得： 两边再平方后整理得：
x c2 y2 x c2 y2 2a
cx a2 a x c2 y2
c2 a2 x2 a2 y2 a2 c2 a2
由双曲线定义知： 2c 2a 即： c a c2 a2 0