第一次阶段性测试

∴lg1.5=lg3−lg2=3a−b+c−1,∴表中lg1.5是错的。
又易知lg7是错的，∵2(a+c)=2lg5=lg25≠lg7,事实上lg7=lg14−lg2=2b+c
18. (14分)解：（1） , 可能的取值为 , , , ， ，
，且当 或 时， ．因此，随机变量 的最大值为 ．
有放回抽两张卡片的所有情况有 种， ．
又2x+2>2·+2=+2,∴f(x)<2x+2
则当0≤x≤1时，f(0)≤f(x)≤f(1)，
在③中，令x1=x2=0,得f(0)≤2，由②得f(0)≥2，∴f(0)=2当x=1时，f(1)=3，
∴当x=0时，f(x)取得最小值2，当x=1时，f(x)取得最大值3…………………10分
（3）对x∈(0，1]，总存在n∈N，<x≤,由(2)及该同学的结论，得f(x)≤f()≤+2,
函数g(x)=f(x)−kx−k−1有4个零点，则实数 得取值范围是▲_______.
14．在实数集R中定义一种运算“*”，具有性质：①对任意 ；
②对任意 ；
③对任意 ，
则函数 的最小值为▲
二、解答题（共6题，满分90分）
15．(14分)已知集合 ，
．
(Ⅰ)若 ，求实数 的值；
(Ⅱ)若ACRB，求实数 的取值范围．
即g(x1+x2)≥g(x1)+g(x2)−2成立，故为理想函数。………………4分
（2）设x1,x2∈[0, 1],x1<x2,则x2−x1∈(0, 1]
∴f(x2)=f[(x2−x1)+x1]≥f(x2−x1)+f(x1)−2
∴f(x2)－f(x1)≥f(x2−x1)－2≥0,∴f(x1)≤f(x2)
19．(14分) (1)已知某圆的极坐标方程为：ρ2－4ρcos(θ－)＋6=0．将极坐标方程化为普通方程；并选择恰当的参数写出它的参数方程。
(2)已知二阶矩阵M有特征值 及对应的一个特征向量 ,且矩阵M对应的变换将点(−1, 2)变换成(−2, 4)。求矩阵M的另一个特征值及对应的一特征向量e2的坐标之间的关系。
设M的另一个特征向量是e2 ，则Me2= ，解得 。……14分
20．(16分)（1）显然g(x) =2x+1 (0≤x≤1)满足①x∈[0, 1]，f(x)≥2；②f(1)=3；
若x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1，则g(x1+x2)－[g(x1)+g(x2)]=2x1+x2－2x1－2x2－1=(2x1－1)(2x2－1)－2≥－2
⑵求定义域为[0, 1]的理想函数f(x)的最大值和最小值；
⑶某同学发现：当x=(n∈N)时，有f()≤+2，由此他提出猜想：对一切x∈(0，1]，
都有f(x)<2x+2 ,请你根据该同学发现的结论(或其它方法)来判断此猜想是否正确，并说明理由。
答案
一、填空题（每题5分，共30分，请将答案填在答案卷题号相应处）
20．对于定义域为[0, 1]的函数f(x)如果满足以下三个条件：①对任意的x∈[0, 1]，总有f(x)≥2；②f(1)=3；③若x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1，都有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)−2成立。则称函数f(x)为理想函数。
⑴判断函数g(x) =2x+1 (0≤x≤1)是否为理想函数，并予以证明；
(Ⅱ) CRB={x|x<m−2或x>m+2}……………………………………………10分
∵ACRB,
∴ ,或 ，……………………………………………12分
∴ 或 ．……………………………………………14分
16.（16分）（1）设投入t（t百万元）的广告费后增加的收益为f(t)（百万元），则有
f(t)＝(－t2＋5t)－t＝－t2＋4t＝－(t－2)2＋4(0＜t≤3)，
3．设P和Q是两个集合，定义集合P−Q={x|x∈P,且xQ},如果P={x| log2x<1}，Q={x| |x−2|<1}，
那么P−Q等于_____▲______
4．已知命题：“任意x∈[1, 2]，都有x2+2x+a≥0”为真命题，则a的取值范围是▲
5．条件p：“m<−2”和条件q：“方程x2−2x−m=0无实根”，则p是q的__▲_____条件.
所以g(x)＝－x2＋4．令g(x)＝0，解得x＝2，或x＝－2(舍去）．
又当0≤x＜2时，g(x)＞0，当2＜x≤3时，g(x)＜0．
故g(x)在[0，2]上是增函数，在[2，3]上是减函数．所以当x＝2时，g(x)取最大值，
即将2百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销，该公司由此获得的收益最大．……16分
答：随机变量 的最大值为 ，事件“ 取得最大值”的概率为 ．……………………6分
（2） 的所有取值为 ．
时，只有 这一种情况，
时，有 或 或 或 四种情况，
时，有 或 两种情况．
， ， ．
则随机变量 的分布列为：
因此，数学期望 ………………14分
19. (14分)（1）∵ρ2－4ρ(cosθ+sinθ)＋6=0,∴x2＋y2－4(x+y)＋6＝0；
∴lg3的对数值是正确的。………………………8分
(3) lg1.5是错误的，正确值应为3a−b+c−1……………………12分
lg7是错误的，正确值应为2b+c……………………16分
理由：由(2)知lg3一定对，则lg9, lg27都对。
若lg5错，则lg6, lg8均错（不符），所以lg5对的，可得lg2=1−a−c,即有lg6, lg8均对的。
江苏省南菁高级中学2009届高三第一次阶段性测试
数学
09.28
一、填空题（每题5分，14小题，共70分，请将答案填在答案卷题号相应处）
1．已知集合M＝{，8}，N＝{ab，1}，f:x→x表示把集合M中的元素x映射到集合N中仍为x，则a＋b的值为____▲____
2.已知复数z1=3+4i, z2=t+i(t∈R),且z1·是实数,则实数t等于▲
(2)求证lg3的对数值是正确的;
(3)试将两个错误的对数值均指出来,并加以改正(不要求证明)
18．(14分)在一个盒子中，放有标号分别为 ， ， 的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为 ， ，记 ．
（1）求随机变量 的最大值，并求事件“ 取得最大值”的概率；
（2）求随机变量 的分布列和数学期望．
17．(16分）已知下表中的对数值有且只有两个是错误的。
x
1.5
3
5
6
7
8
9
14
27
lgx
3a−b+c
2a−b
a+c
1+a−b−c
2(a+c)
3(1−a−c)
2(2a−b)
1−a+2b
3(2a−b)
(1)假设上表中lg3=2a−b与lg5=a+c都是正确的，试判断lg6=1+a−b−c是否正确，给出判断过程;
即x2＋y2－4x－4y＋6＝0………………………4分
圆的标准方程为：(x－2)2＋(y－2)2＝2,∴参数方程为 (α为参数)……6分
(2）设M= ，则 =8 = ，故
= ，故
联立以上两方程组解得a=6，b=2，c=4，d=4，故M= ．…………………………10分
∴M的特征多项式为 ，∴另一个特征值为 ……12分
6．对某种电子元件使用寿命跟踪调查，抽取容量为1000的样本，
其频率分布直方图如图所示，根据此图可知这批样本中电子
元件的寿命在300~500小时的数量是____▲_____个．
7．函数 的图象关于直线 对称，
则b=___▲____
8．现有2008年奥运会福娃卡片5张,卡片正面分别是贝贝、
晶晶、欢欢、迎迎、妮妮，每张卡片大小、质地和背面图
所以当t＝2百万元时，f(t)取得最大值4百万元．
即投入2百万元时的广告费时，该公司由此获得的收益最大．…………………6分
（2）设用技术改造的资金为x(百万元)，则用于广告促销的资金为(3－x)(百万元)，
则增加的收益为g(x)＝(－x3＋x2＋3x)＋[－(3－x)2＋5(3－x)]－3＝－x3＋4x＋3 (0≤x≤3)，
11.对大于1的自然数 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”:233343…仿此,若m3的“分裂数”中有一个是59,则 的值为▲.
12．已知 都是定义在 上的函数，对任意的 ，存在常数 在A上的最大值为___▲___
13．已知f(x)是以2为周期的偶函数，当x∈[0, 1]时，f(x)=x，且在[−1,3]内，
案均相同，将卡片正面朝下反扣在桌子上，从中一次随机抽出两张，抽到贝贝的概率是___▲____
9．矩阵A=的一个特征值为λ,是A的属于特征值λ的一个特征向量，则A−1=__▲__
10．在平面直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为(t∈R),圆C的参数方程为(θ∈[0,2π]),则直线l截圆C所得的弦长为______▲____
17. (16分)(1)由lg5=a+c，得lg2=1−a−c∴lg6=lg2+lg3=1+a−b−c满足表中数值，
也就是lg6在假设下是正确的。………………………4分
(2)假设lg3=2a-b是错误的，即lg3≠2a-b，∴lg9=2 lg3≠2(2a-b)，lg27=3 lg3≠3(2a-b)
于是lg9，lg27也均是错误的，这与“有且只有两个是错误的”矛盾，故假设不成立，
1、5；2、；3、（0，1]；4、a≥－3；5、充分不必要；6、650；7、2；8、 ；