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双曲线复习课件
y2 x 1 的焦点坐标是 (0, 4 k ) . 3. 双曲线 k 4
2
(0, 6 ) 、焦距是 y2-2x2=1的焦点为 2
6.
4. 方程(2+)x2+(1+)y2=1表示双曲线的充要条件 是 . -2<<-1
y2 x 1. 已知双曲线与椭圆 27 36 1 有共同的焦点，且与
双曲线定义与方程式的应用
一、巩固练习
x2 y 1 a 2 b2 1. 焦点在x轴上的双曲线的标准方程是 . y2 x2 2 1 2 焦点在y轴上的双曲线的标准方程是 a . b
其中 c2=a2+b2 .
2
焦点为(c, 0) 2
焦点为(0, c)
y2 x 1的焦点且垂直x轴的弦的长度 2. 过双曲线 3 4 4 3 为 . 3
；
因此，在应用定义时，首先要考查
2 2
a与c的大小
.
3. 双曲线的标准方程是 x y 1 其中b2=c2-a2 2 2
a
b
y2 x2 2 1 2 _______________. 焦点在y轴上的双曲线的方程是 a b
4. 小结
椭圆的焦点由_________________________ 决定， x2与y2的系数的大小 x2与y2的系数的正负 ______________________ 决定. 双曲线的焦点则由 在双曲线的标准方程中 、b、c的关系是_______ . c2=a2+b2 a 方程Ax 2 By 2 1表示双曲线的充要条件 _____ . 是 AB<0
－（ex0 +a） ；
y2 x 2 y2 x 2 4、 2 2 1与 2 2 1 是共轭双曲线，与有公共 a b a b
高考数学一轮专项复习ppt课件-双曲线(二)(通用版)
高考一轮总复习•数学
第9页
2．直线 y＝13x－72与双曲线x92－y2＝1 交点的个数是(
)
A．0
B．1
C．2
D．4
解析：直线与双曲线的一条渐近线平行，所以有一个交点．
解析 答案
高考一轮总复习•数学
第10页
3．双曲线 x2－y2＝a2 与直线 y＝ax(a>0)没有公共点，则 a 的取值范围是( )
高考一轮总复习•数学
第20页
题型 弦长问题 典例 2 (2021·新高考全国Ⅰ卷)在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 F1(－ 17，0)，F2( 17， 0)，点 M 满足|MF1|－|MF2|＝2. 注意点：①2＜|F1F2|＝2 17；②|MF1|－|MF2|＝2→双曲线右支．
记 M 的轨迹为 C．
第23页
高考一轮总复习•数学
第24页
求弦长的两种方法 (1)距离公式法：当弦的两端点坐标易求时，可直接求出交点坐标，再利用两点间距离 公式求弦长． (2)弦长公式法：当弦的两端点坐标不易求时，可利用弦长公式求解，即若直线 l：y＝kx＋ b(k≠0)与双曲线 C：ax22－by22＝1(a>0，b>0)交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝ 1＋k2|x1
当41－－3k2k≠2>00，，
即－2
3
32 <k<
3
3，且
k≠±1
时，方程(*)有两个不相等的实数解，即
直线 l 与双曲线有两个公共点．
高考一轮总复习•数学
第15页
当41－－3k2k≠2＝00，， 即 k＝±233时，方程(*)有两个相等的实数解，即直线 l 与双曲线有且只 有一个公共点．
双曲线-完整版PPT课件可编辑全文
∴x－32a2＋y2＝a22.
①
又 P 点在双曲线上，得ax22－by22＝1.
②
由①，②消去 y，得
(a2＋b2)x2－3a3x＋2a4－a2b2＝0，
即[(a2＋b2)x－(2a3－ab2)](x－a)＝0.
当 x＝a 时，P 与 A 重合，不符合题意，舍去．
当 x＝2aa32－＋abb2 2时，满足题意的 P 点存在， 需 x＝2aa32－＋abb2 2＞a， 化简得 a2＞2b2， 即 3a2＞2c2，ac＜ 26. 又 e＞1，∴离心率 e＝ac∈1， 26.
考向三 [149] 双曲线的几何性质
(1)(2014·天津高考)已知双曲线ax22－by22＝1(a>0，
b>0)的一条渐近线平行于直线 l：y＝2x＋10，双曲线的一个
焦点在直线 l 上，则双曲线的方程为( )
A.x52－2y02 ＝1
B.2x02 －y52＝1
C.32x52－130y02 ＝1
二、双曲线的标准方程和几何性质
标准方程 ax22－by22＝1(a>0，b>0)
ay22－bx22＝1(a>0， b>0)
图形
范围
x≥a或x≤－a
对称轴： 坐标轴
对称性
对称中心： 原点
y≤－a或y≥a 对称轴： 坐标轴 对称中心： 原点
性 顶点 顶点坐标：
顶点坐标：
质
A1 (－a,0)，A2 (a,0) A1 (0，－a，) A2 (0，a)
————————— [1 个对点练] ——————— 过点2，12能作几条与双曲线x42－y2＝1 有一个公共点的 直线．
【解】 (1)当斜率不存在时，直线方程为 x＝2，显然符 合题意．
高考数学双曲线全套复习课件
第九章 平面解析几何
23
解析：通解：设|PF1|＝m，|PF2|＝n，P 为双曲线右支上一点，则 S△PF1F2＝12 mn＝4，m－n＝2a，m2＋n2＝4c2，又 e＝ac＝ 5，所以 a＝1，选 A. 优解：由题意得，S△PF1F2＝tanb425°＝4，得 b2＝4，又ac22＝5，c2＝b2＋a2，所 以 a＝1.
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第九章 平面解析几何
6
性质
实、虚轴
线段 A1A2 叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a； 线段 B1B2 叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b； a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴
长
a，b，c 的关系
c2＝__a_2＋__b__2 _ (c＞a＞0，c＞b＞0)
3.等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为_y_＝__±__x__，离心
率为 e＝ 2.
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第九章 平面解析几何
7
常用结论 1．双曲线中的几个常用结论 (1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为 b. (2)若 P 是双曲线右支上一点，F1，F2 分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min ＝a＋c，|PF2|min＝c－a. (3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为2ab2，异 支的弦中最短的为实轴，其长为 2a.
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第九章 平面解析几何
22
1．(2020·高考全国卷Ⅲ)设双曲线 C：xa22－by22＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分
别为 F1，F2，离心率为 5.P 是 C 上一点，且 F1P⊥F2P.若△PF1F2 的面积为
高三一轮复习双曲线名师公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
研究双曲线几何性质时的两个注意点： (1)实半轴、虚半轴所构成的直角三角形是值得关注的一个重点; (2)由于 e＝ac是一个比值，故只需根据条件得到关于 a，b，c 的 一个关系式，利用 b2＝c2－a2 消去 b，然后变形即可求 e，并注 意 e>1.
栏目 导引
第八章 平面解析几何
3．(1)(2014·云南省昆明市高三调研测试)已知 F(c，0)是双曲线 C：xa22－by22＝1(a>0，b>0)的右焦点，若双曲线 C 的渐近线与圆 F： (x－c)2＋y2＝12c2 相切，则双曲线 C 的离心率为____2____； (2)(2012·高考天津卷)已知双曲线 C1：xa22－by22＝1(a>0，b>0)与双 曲线 C2：x42－1y62 ＝1 有相同的渐近线，且 C1 的右焦点为 F( 5， 0)，则 a＝____1____，b＝_____2___．
栏目 导引
第八章 平面解析几何
2．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)虚轴长为 12，离心率为54； (2)焦距为 26，且经过点 M(0，12)． 【解】(1)设双曲线的标准方程为 xa22－yb22＝1 或ay22－xb22＝1(a>0，b>0)．
栏目 导引
第八章 平面解析几何
由题意知，2b＝12，e＝ca＝54，∴b＝6，c＝10，a＝8.∴双曲 线的标准方程为6x42－3y62 ＝1 或6y42 －3x62＝1. (2)∵双曲线经过点 M(0，12)，∴M(0，12)为双曲线的一个 顶点， 故焦点在 y 轴上，且 a＝12.
则双曲线xa22－yb22＝1
的离心率
13 e＝____3____．
5．设 F1，F2 是双曲线 x2－2y42 ＝1 的两个焦点，P 是双曲线
栏目 导引
第八章 平面解析几何
3．(1)(2014·云南省昆明市高三调研测试)已知 F(c，0)是双曲线 C：xa22－by22＝1(a>0，b>0)的右焦点，若双曲线 C 的渐近线与圆 F： (x－c)2＋y2＝12c2 相切，则双曲线 C 的离心率为____2____； (2)(2012·高考天津卷)已知双曲线 C1：xa22－by22＝1(a>0，b>0)与双 曲线 C2：x42－1y62 ＝1 有相同的渐近线，且 C1 的右焦点为 F( 5， 0)，则 a＝____1____，b＝_____2___．
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第八章 平面解析几何
2．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)虚轴长为 12，离心率为54； (2)焦距为 26，且经过点 M(0，12)． 【解】(1)设双曲线的标准方程为 xa22－yb22＝1 或ay22－xb22＝1(a>0，b>0)．
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第八章 平面解析几何
由题意知，2b＝12，e＝ca＝54，∴b＝6，c＝10，a＝8.∴双曲 线的标准方程为6x42－3y62 ＝1 或6y42 －3x62＝1. (2)∵双曲线经过点 M(0，12)，∴M(0，12)为双曲线的一个 顶点， 故焦点在 y 轴上，且 a＝12.
则双曲线xa22－yb22＝1
的离心率
13 e＝____3____．
5．设 F1，F2 是双曲线 x2－2y42 ＝1 的两个焦点，P 是双曲线
双曲线课件-2025届高三数学一轮复习
9
｜PF1｜－｜PF2｜＝±2 a ＝±6，又｜PF 1｜＝5，则｜PF 2｜＝11.
6.
2
2
已知双曲线 C ： 2 － 2 ＝1( a ＞0， b ＞0)的焦距为4
线 C 的渐近线方程为
3 ，实轴长为4 2 ，则双曲
2 x ± y ＝0 .
[解析] 由题意知，2 c ＝4 3 ，2 a ＝4 2 ，则 b ＝ 2 − 2 ＝2，所以 C 的渐近线
C.
2 2
2
双曲线 － ＝1的渐近线方程是y＝± x
9
4
3
D. 等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2
2. [浙江高考]渐近线方程为 x ± y ＝0的双曲线的离心率是(
A.
2
2
B. 1
C. 2
C )
D. 2
[解析] 因为双曲线的渐近线方程为 x ± y ＝0，所以无论双曲线的焦点在 x 轴上还是
轴上.又离心率 e ＝
2 ，所以 ＝
2 ，所以 a ＝ 2 ，则 b 2＝ c 2－ a 2＝2，所以双曲
2
2
线 C 的标准方程为 － ＝1.
2
2
解法二
因为双曲线 C 的离心率 e ＝ 2 ，所以该双曲线为等轴双曲线，即 a ＝ b .又
双曲线 C 的焦点为(－2，0)和(2，0)，所以 c ＝2，且焦点在 x 轴上，所以 a 2＋ b 2＝
1
以｜ PF 1｜·｜ PF 2｜＝8，所以 △ ＝ ｜ PF 1｜·｜ PF 2｜·sin
2
1 2
解法二
60°＝2 3 .
2
2
由题意可得双曲线 C 的标准方程为 － ＝1，所以可得 b 2＝2，由双曲
｜PF1｜－｜PF2｜＝±2 a ＝±6，又｜PF 1｜＝5，则｜PF 2｜＝11.
6.
2
2
已知双曲线 C ： 2 － 2 ＝1( a ＞0， b ＞0)的焦距为4
线 C 的渐近线方程为
3 ，实轴长为4 2 ，则双曲
2 x ± y ＝0 .
[解析] 由题意知，2 c ＝4 3 ，2 a ＝4 2 ，则 b ＝ 2 − 2 ＝2，所以 C 的渐近线
C.
2 2
2
双曲线 － ＝1的渐近线方程是y＝± x
9
4
3
D. 等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2
2. [浙江高考]渐近线方程为 x ± y ＝0的双曲线的离心率是(
A.
2
2
B. 1
C. 2
C )
D. 2
[解析] 因为双曲线的渐近线方程为 x ± y ＝0，所以无论双曲线的焦点在 x 轴上还是
轴上.又离心率 e ＝
2 ，所以 ＝
2 ，所以 a ＝ 2 ，则 b 2＝ c 2－ a 2＝2，所以双曲
2
2
线 C 的标准方程为 － ＝1.
2
2
解法二
因为双曲线 C 的离心率 e ＝ 2 ，所以该双曲线为等轴双曲线，即 a ＝ b .又
双曲线 C 的焦点为(－2，0)和(2，0)，所以 c ＝2，且焦点在 x 轴上，所以 a 2＋ b 2＝
1
以｜ PF 1｜·｜ PF 2｜＝8，所以 △ ＝ ｜ PF 1｜·｜ PF 2｜·sin
2
1 2
解法二
60°＝2 3 .
2
2
由题意可得双曲线 C 的标准方程为 － ＝1，所以可得 b 2＝2，由双曲
双曲线及其标准方程ppt课件
C.(0,-5),(0,5)
D.(0,- 7),(0, 7)
双曲线的定义
2
1.设 F1,F2 分别是双曲线 x2-24=1 的左、右焦点,P 是双曲线上的一点,且 3|PF1|=4|PF2|, 则△PF1F2 的面积等于 ( )
A.4 2
B.8 3
C.24
D.48
2.已知动点 P(x,y)满足 ( + 2)2 + 2- ( -2)2 + 2=2,则动点 P 的轨迹是 ( )
这两个定点叫做双曲线的焦点. 两焦点的距离叫做双曲线的焦距.
y
M
F1 o F2 x
如何理解绝对值？若去掉绝对值则图像有何变化？
03 双曲线的标准方程
1. 建系：如图建立直角坐标系xOy，使x轴经 过点F1，F2，并且点O与线段F1F2中点重合.
y M
F1 O F2
x
2.设点:设M（x , y）,双曲线的焦距为2c（c>0）,F1(-c,0),F2(c,0) 常数=2a
利用定义求轨迹方程
P P127 习题3.2 第5题
如图,圆O的半径为定长 ,A是圆O外一定点,P是圆上任
意一点,线段AP的垂直平分线l和直线OP相交于点Q,当
O
点P在圆O上运动时,点Q的轨迹是什么?为什么?
A Q
P115 习题3.1 第6题 如图,圆O的半径为定长 ,A是圆O内一定点,P是圆上 任意一点,线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点 Q,当点P在圆O上运动时,点Q的轨迹是什么?为什么?
A.椭圆 C.双曲线的左支
B.双曲线 D.双曲线的右支
双曲线的定义
22
【变式练习】
已知
P
是双曲线
高考数学复习：双曲线的有关问题课件(共19张ppt)
3
于点 M ，由 OMN 为直角三角形，不妨设 OMN 90o， 则 MFO 60o ，又直线 MN 过点 F (2, 0) ，所以
| OM | 2 cos 60 3 ，所以| MN | 3 | OM | 3 。
20:51
布置作业
完成专题八作业2
20:51
3.双曲线的几何性质:求离心率:建立 a, b, c 的齐次方程
(不等式)； 4.求最值：（1）建立方程（不等式），（2）直线的斜率与渐
近线的斜率比较。
20:51
思考一
已知双曲线
C： 的左、右焦点 x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0)
分别为 F1，F2，过 F1 的直线与 C 的两条渐
近线分别交于
PQ
OF
，得 2
a2 c2 4
c ，即 2a2
c2
，所以
c2 a2
2，
解得 e c 2 .故选 A． a
20:51
题型二 求双曲线的离心率
例 3：设直线 x 3y m 0(m 0) 与双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0) 的两条渐近线分别交于点
A ， B ，若点 P(m,0) 满足| PA|| PB |，则该
解法一：因为 PO = PF ，所以 P 在 OF 的垂直平分线上，
则 P 点横坐标为
6 ，代入 y
2
2 x 得 P( 2
6, 2
3 ) ，所以△PFO 的面积 2
为： 1 6 3 3 2 ．故选 A．
2
24
解法二： 双曲线 C : x2 y2 1的右焦点为 F ( 6, 0) ，渐近线方程为：
于点 M ，由 OMN 为直角三角形，不妨设 OMN 90o， 则 MFO 60o ，又直线 MN 过点 F (2, 0) ，所以
| OM | 2 cos 60 3 ，所以| MN | 3 | OM | 3 。
20:51
布置作业
完成专题八作业2
20:51
3.双曲线的几何性质:求离心率:建立 a, b, c 的齐次方程
(不等式)； 4.求最值：（1）建立方程（不等式），（2）直线的斜率与渐
近线的斜率比较。
20:51
思考一
已知双曲线
C： 的左、右焦点 x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0)
分别为 F1，F2，过 F1 的直线与 C 的两条渐
近线分别交于
PQ
OF
，得 2
a2 c2 4
c ，即 2a2
c2
，所以
c2 a2
2，
解得 e c 2 .故选 A． a
20:51
题型二 求双曲线的离心率
例 3：设直线 x 3y m 0(m 0) 与双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0) 的两条渐近线分别交于点
A ， B ，若点 P(m,0) 满足| PA|| PB |，则该
解法一：因为 PO = PF ，所以 P 在 OF 的垂直平分线上，
则 P 点横坐标为
6 ，代入 y
2
2 x 得 P( 2
6, 2
3 ) ，所以△PFO 的面积 2
为： 1 6 3 3 2 ．故选 A．
2
24
解法二： 双曲线 C : x2 y2 1的右焦点为 F ( 6, 0) ，渐近线方程为：
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15
【温馨提示】 双曲线定义的应用有两个方面：(1)判断 轨迹方程；(2)解决双曲线上的点与焦点距离有关的问题，在 圆锥曲线的问题中，充分应用定义来解决问题可以使解答过 程简化．
16
【跟踪训练 1】 如果方程m＋x2 2＋m＋y2 1＝1 表示双曲线，则
m 的取值范围是( )
A．(2，＋∞)
B．(－2，－1)
10
5.过点(2，－2)，且与双曲线x22－y2＝1 有公共渐近线的双
曲线方程为
.
11
解析：依题意设待求的双曲线方程为x22－y2＝λ(λ≠0)， 将(2，－2)代入得 λ＝222－(－2)2＝－2， 从而得所1.
12
13
一 双曲线的定义及应用
.
27
解析：椭圆2x52 ＋1y62 ＝1 的长轴端点为(±5,0)，焦点为(±3,0)． 由题意可得，对双曲线 C，焦点(±5,0)，实轴端点为(±3,0)， 所以 a＝3，c＝5，b＝4， 故双曲线 C 的方程为x92－1y62 ＝1.
P 到它的一个焦点的距离等于 1， 设 PF1＝1，因为|PF1－PF2|＝2a＝16， 所以 PF2＝PF1±16＝17 或－15(舍去)．
20
二 求双曲线的标准方程
【例 2】 已知三点 P(5,2)、F1(－6,0)、F2(6,0)． (1)求以 F1、F2 为焦点且过点 P 的椭圆标准方程； (2)设点 P、F1、F2 关于直线 y＝x 的对称点分别为 P′、F1′、 F2′，求以 F1′、F2′为焦点且过点 P′的双曲线的标准方程．
解析：由题意可知，双曲线的焦点在 x 轴上， 且 c＝ 2，a＝1，则 b2＝c2－a2＝1， 所以双曲线 C 的方程为 x2－y2＝1.
26
【跟踪训练 4】(2014·广东梅州一模)已知双曲线 C 的焦点、
实轴端点恰好是椭圆2x52 ＋1y62 ＝1 的长轴的端点、焦点，则双曲
线 C 的方程是
C．(－∞，－1)
D．(1,2)
17
解析：由题意知(2＋m)(1＋m)＜0，解得－2＜m＜－1.
18
【跟踪训练 2】 双曲线 y2－4x2＝64 上一点 P 到它的一个
焦点的距离等于 1，则 P 到它的另一个焦点的距离等于
为
.
19
解析：将双曲线 4x2－y2＋64＝0 化成标准形式：6y42 －1x62 ＝ 1，所以 a2＝64，b2＝16.
离是 8，则点 P 到左焦点的距离是( A )
A．18
B．3
C．18 或 3
D．13 或 3
7
解析：由已知及双曲线的定义可知|PF 左|－|PF 右|＝ 10，则|PF 左|＝10＋8＝18，故选 A.
8
4.已知双曲线 C：ax22－by22＝1 的焦距为 10，点 P(2,1)在 C
的渐近线上，则 C 的方程为( A )
A.2x02 －y52＝1
B.x52－2y02 ＝1
C.8x02 －2y02 ＝1
D.2x02 －8y02 ＝1
9
解析：设双曲线 C：ax22－by22的半焦距为 c， 则 2c＝10，c＝5. 又因为 C 的渐近线为 y＝±abx，点 P(2,1)在 C 的渐近线上， 所以 1＝ba·2，即 a＝2b. 又 c2＝a2＋b2，所以 a＝2 5，b＝ 5， 所以 C 的方程为2x02 －y52＝1.
设所求双曲线的标准方程为ay221－bx221＝1(a1＞0，b1＞0)， 由 题 意 知 ， 半 焦 距 c1 ＝ 6,2a1 ＝ ||P′F1′| － |P′F2′|| ＝ | 112＋22－ 12＋22|＝4 5，a1＝2 5，b21＝c21－a21＝36－20＝16. 所以所求双曲线的标准方程为2y02 －1x62 ＝1.
【例 1】(1)动点 P 到点 M(1,0)及点 N(3,0)的距离之差为 2，
则点 P 的轨迹是( )
A．双曲线
B．双曲线的一支
C．两条射线
D．一条射线
(2)若 k∈R，则“k＞3”是“方程k－x23－k＋y23＝1 表示双曲
线”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件 14
23
【温馨提示】 求双曲线的标准方程时应首先考虑焦点 的位置，若不确定焦点的位置时，需进行讨论，或可直接设 双曲线的方程为 Ax2＋By2＝1(AB<0)．
24
【跟踪训练 3】 (2014·北京)设双曲线 C 的两个焦点为 (－ 2，0)，( 2，0)，一个顶点是(1,0)，则 C 的方程为
.
25
模拟
)
若双
曲线
x2 a2
－by22＝
1
的离心率为
3，则其渐近线的斜率为( B )
A．±2
B．± 2
C．±12
D．±
2 2
5
解析：因为双曲线ax22－by22＝1 的离心率为 3， 所以 e＝ac＝ 1＋ab2＝ 3， 解得ab＝ 2. 所以其渐近线的斜率为± 2.
6
3.已知双曲线2x52 －1y62 ＝1 的右支上一点 P 到其右焦点的距
双曲线复习课件
2
1.(2014·全国
Ⅰ
)已知双曲线ax22－
y2 3
＝1(a>0)
的
离
心
率
为 2，则 a＝( D )
A．2
6 B. 2
C.
5 2
D．1
3
解析：由题意得 e＝ a2a＋3＝2， 所以 a2＋3＝2a，所以 a2＋3＝4a2， 所以 a2＝1，所以 a＝1.
4
2.(2015·广
东惠州
21
【解答过程】 (1)由题意可设所求椭圆的标准方程为ax22＋by22 ＝1(a＞b＞0)，其半焦距 c＝6,
2a＝|PF1|＋|PF2|＝ 112＋22＋ 12＋22＝6 5， 所以 a＝3 5，b2＝a2－c2＝9. 所以所求椭圆的标准方程为4x52 ＋y92＝1.
22
(2)点 P(5,2)、F1(－6,0)、F2(6,0)，关于直线 y＝x 的对称点 分别为点 P′(2,5)、F1′(0，－6)、F2′(0,6)．
【解答过程】 (1)|PM|－|PN|＝2＝|MN|，点 P 的轨迹为一 条射线，故选 D.
(2)依题意：“方程k－x23－k＋y23＝1 表示双曲线”可知(k－ 3)(k＋3)＞0，求得 k＞3 或 k＜－3，则“k＞3”是“方程k－x23－ k＋y23＝1 表示双曲线”的充分不必要条件．
答案：(1)D (2)A
【温馨提示】 双曲线定义的应用有两个方面：(1)判断 轨迹方程；(2)解决双曲线上的点与焦点距离有关的问题，在 圆锥曲线的问题中，充分应用定义来解决问题可以使解答过 程简化．
16
【跟踪训练 1】 如果方程m＋x2 2＋m＋y2 1＝1 表示双曲线，则
m 的取值范围是( )
A．(2，＋∞)
B．(－2，－1)
10
5.过点(2，－2)，且与双曲线x22－y2＝1 有公共渐近线的双
曲线方程为
.
11
解析：依题意设待求的双曲线方程为x22－y2＝λ(λ≠0)， 将(2，－2)代入得 λ＝222－(－2)2＝－2， 从而得所1.
12
13
一 双曲线的定义及应用
.
27
解析：椭圆2x52 ＋1y62 ＝1 的长轴端点为(±5,0)，焦点为(±3,0)． 由题意可得，对双曲线 C，焦点(±5,0)，实轴端点为(±3,0)， 所以 a＝3，c＝5，b＝4， 故双曲线 C 的方程为x92－1y62 ＝1.
P 到它的一个焦点的距离等于 1， 设 PF1＝1，因为|PF1－PF2|＝2a＝16， 所以 PF2＝PF1±16＝17 或－15(舍去)．
20
二 求双曲线的标准方程
【例 2】 已知三点 P(5,2)、F1(－6,0)、F2(6,0)． (1)求以 F1、F2 为焦点且过点 P 的椭圆标准方程； (2)设点 P、F1、F2 关于直线 y＝x 的对称点分别为 P′、F1′、 F2′，求以 F1′、F2′为焦点且过点 P′的双曲线的标准方程．
解析：由题意可知，双曲线的焦点在 x 轴上， 且 c＝ 2，a＝1，则 b2＝c2－a2＝1， 所以双曲线 C 的方程为 x2－y2＝1.
26
【跟踪训练 4】(2014·广东梅州一模)已知双曲线 C 的焦点、
实轴端点恰好是椭圆2x52 ＋1y62 ＝1 的长轴的端点、焦点，则双曲
线 C 的方程是
C．(－∞，－1)
D．(1,2)
17
解析：由题意知(2＋m)(1＋m)＜0，解得－2＜m＜－1.
18
【跟踪训练 2】 双曲线 y2－4x2＝64 上一点 P 到它的一个
焦点的距离等于 1，则 P 到它的另一个焦点的距离等于
为
.
19
解析：将双曲线 4x2－y2＋64＝0 化成标准形式：6y42 －1x62 ＝ 1，所以 a2＝64，b2＝16.
离是 8，则点 P 到左焦点的距离是( A )
A．18
B．3
C．18 或 3
D．13 或 3
7
解析：由已知及双曲线的定义可知|PF 左|－|PF 右|＝ 10，则|PF 左|＝10＋8＝18，故选 A.
8
4.已知双曲线 C：ax22－by22＝1 的焦距为 10，点 P(2,1)在 C
的渐近线上，则 C 的方程为( A )
A.2x02 －y52＝1
B.x52－2y02 ＝1
C.8x02 －2y02 ＝1
D.2x02 －8y02 ＝1
9
解析：设双曲线 C：ax22－by22的半焦距为 c， 则 2c＝10，c＝5. 又因为 C 的渐近线为 y＝±abx，点 P(2,1)在 C 的渐近线上， 所以 1＝ba·2，即 a＝2b. 又 c2＝a2＋b2，所以 a＝2 5，b＝ 5， 所以 C 的方程为2x02 －y52＝1.
设所求双曲线的标准方程为ay221－bx221＝1(a1＞0，b1＞0)， 由 题 意 知 ， 半 焦 距 c1 ＝ 6,2a1 ＝ ||P′F1′| － |P′F2′|| ＝ | 112＋22－ 12＋22|＝4 5，a1＝2 5，b21＝c21－a21＝36－20＝16. 所以所求双曲线的标准方程为2y02 －1x62 ＝1.
【例 1】(1)动点 P 到点 M(1,0)及点 N(3,0)的距离之差为 2，
则点 P 的轨迹是( )
A．双曲线
B．双曲线的一支
C．两条射线
D．一条射线
(2)若 k∈R，则“k＞3”是“方程k－x23－k＋y23＝1 表示双曲
线”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件 14
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【温馨提示】 求双曲线的标准方程时应首先考虑焦点 的位置，若不确定焦点的位置时，需进行讨论，或可直接设 双曲线的方程为 Ax2＋By2＝1(AB<0)．
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【跟踪训练 3】 (2014·北京)设双曲线 C 的两个焦点为 (－ 2，0)，( 2，0)，一个顶点是(1,0)，则 C 的方程为
.
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模拟
)
若双
曲线
x2 a2
－by22＝
1
的离心率为
3，则其渐近线的斜率为( B )
A．±2
B．± 2
C．±12
D．±
2 2
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解析：因为双曲线ax22－by22＝1 的离心率为 3， 所以 e＝ac＝ 1＋ab2＝ 3， 解得ab＝ 2. 所以其渐近线的斜率为± 2.
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3.已知双曲线2x52 －1y62 ＝1 的右支上一点 P 到其右焦点的距
双曲线复习课件
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1.(2014·全国
Ⅰ
)已知双曲线ax22－
y2 3
＝1(a>0)
的
离
心
率
为 2，则 a＝( D )
A．2
6 B. 2
C.
5 2
D．1
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解析：由题意得 e＝ a2a＋3＝2， 所以 a2＋3＝2a，所以 a2＋3＝4a2， 所以 a2＝1，所以 a＝1.
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2.(2015·广
东惠州
21
【解答过程】 (1)由题意可设所求椭圆的标准方程为ax22＋by22 ＝1(a＞b＞0)，其半焦距 c＝6,
2a＝|PF1|＋|PF2|＝ 112＋22＋ 12＋22＝6 5， 所以 a＝3 5，b2＝a2－c2＝9. 所以所求椭圆的标准方程为4x52 ＋y92＝1.
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(2)点 P(5,2)、F1(－6,0)、F2(6,0)，关于直线 y＝x 的对称点 分别为点 P′(2,5)、F1′(0，－6)、F2′(0,6)．
【解答过程】 (1)|PM|－|PN|＝2＝|MN|，点 P 的轨迹为一 条射线，故选 D.
(2)依题意：“方程k－x23－k＋y23＝1 表示双曲线”可知(k－ 3)(k＋3)＞0，求得 k＞3 或 k＜－3，则“k＞3”是“方程k－x23－ k＋y23＝1 表示双曲线”的充分不必要条件．
答案：(1)D (2)A