双曲线(一等奖课件)

x y ∴可设双曲线方程为: 2 2 1 (a>0,b>0). a b 2 2 2 ∵2a=6,2c=10,∴a=3,c=5.∴b =5 －3 =16.
x2 y2 1 ( x ≥ 3) . 所以点 P 的轨迹方程为 9 16
2 2
练习
写出适合下列条件的双曲线的标准方程
1.a=4,b=3,焦点在x轴上;
如图所示，建立直角坐标系xOy, 使A、B两点在x轴上，并 且点O与线段AB的中点重合 y P 设爆炸点P的坐标为(x,y)， 则 PA PB 340 2 680 A o B x 即 2a=680，a=340 AB 800 2c 800, c 400, b2 c 2 a 2 44400 800 PA PB 680 0 , x 0 x 2 y2 1( x 0) 因此炮弹爆炸点的轨迹方程为 115600 44400
答:再增设一个观测点C，利用B、C（或A、C）两 处测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的 方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点 的准确位置.这是双曲线的一个重要应用.
思考 3: (2004 年高考题)某中心接到其正东、正西、正 北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时 听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测 点晚 4s. 已知各观测点到该中心的距离都是 1020m. 试 确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为 340m/s,相关各点均在同一平面上)
变式训练 2:已知两定点 F1 (5,0) , F2 (5,0) ,动点 P 满足
PF1 PF2 6 ,求动点 P 的轨迹方程. 解： ∵ F1F2 10 >6, PF1 PF2 6
∴ 由双曲线的定义可知， 点 P 的轨迹是双曲线的一支 (右支), ∵焦点为 F1 (5,0), F2 (5,0)
2.3.1双曲线及其标准方程 （第二课时）
学习目标
1、熟练掌握双曲线的定义、标准方 程。 2、了解双曲线在生活中的应用。 重点、难点：双曲线的应用。
复习引入
说出椭圆定义的内涵和外延
平面内与两定点F1、F2的距离的 和 等于常数 2a ( 2a>|F1F2|=2c>0) 的点的轨迹叫做椭圆.即 |MF1|+|MF2|=2a( 2a>2c>0) 点M的轨迹是椭圆 Y 若2a=2c,点M的轨迹是线段F1F2； M x, y O 若2a＜2c，点M的轨迹不存在。 c, 0 c, 0 X F
( x c) y ( x c) y 2a
2 2 2 2
( x c)
2
y
2
2a
2
( x c) y
2
2

2
cx a 2 a ( x c) 2 y 2
(c a ) x a y a (c a )
2 2 2 2 2 2 2 2
2.课本 P 62 习题 2.3 A 组第 5 题 如图,圆 O 的半径为定长 r ,A 是圆 O 外一定点,P 是圆上任意一点, 线段 AP 的垂直平分线 l 和直线 OP 相交于点 Q,当点 P 在圆 O 上运动时, 点 Q 的轨迹是什么?为什么?
x y 1( x 3) 9 16
P62组第5题.gsp演示第2题的轨迹
讨论： （2）若2a=2c,则轨迹是什么？(2)两条射线
F1 o F2
（1） 若|MF1| - |MF2| = 2a或-2a，则轨迹是什么？ (1)双曲线的一支
（3）若2a>2c,则轨迹是什么？(3)不表示任何轨迹 （4）若2a=0,则轨迹是什么？ (4)线段F1F2的垂直平分线
2.按照求曲线方程的步骤建立双曲线的标准方程 y
（1）建系设点. 以F1,F2所在的直线为x轴，线 段F1F2的中点为原点建立直角坐标 系，设M（x , y）,则F1(c,0),F2(c,0) （2）列式代换
O
M
F1
F2
x
|MF1| - |MF2|=±2a
即
( x c) y ( x c) y 2a
2 2 2 2
（3）化简证明
（1）双曲线的焦点位置和方程形式
有什么对应关系？ 看X2 、Y2前的系数，哪一个为正，焦点 就在那根轴上。椭圆呢？
（2）双曲线的标准方程与椭圆的标准 方程有何区别与联系?
双曲线与椭圆之间的区别与联系 椭
定义
圆
双曲线
||MF1|－|MF2||=2a
|MF1|+|MF2|=2a
方程
x2 y 2 x2 y 2 2 1(a b 0) 2 1(a 0, b 0) 2 2 a b a b y 2 x2 y 2 x2 2 1(a b 0) 2 1(a 0, b 0) 2 2 a b a b
2.焦点为(0,-6),(0,6),过点(2,5)
例2.已知A,B两地相距800m,在A地听到炮弹爆炸声比在B 地晚2s,且声速为340m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程.
解: 由声速及在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,可知A地与爆炸点
的距离比B地与爆炸点的距离远680m.因为|AB|>680m,所以爆炸点 的轨迹是以A、B为焦点的双曲线在靠近B处的一支上.
因 B 点比 A 点晚 4s 听到爆炸声，故|PB|－|PA|=340×4=1360, x2 y2 由双曲线定义知 P 点在以 A、B 为焦点的双曲线 2 2 1 的一支上， a b 依题意得 a = 680, c = 1020， b2 c 2 a 2 10202 6802 5 3402 x2 y2 1 ∴双曲线的方程为 2 2 680 5 340
思考 1:若在 A,B 两地同时听到炮弹爆炸声,则炮弹爆 炸点的轨迹是什么?
答: 爆炸点的轨迹是线段 AB 的垂直平分线.
思考 2:根据两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的 时间差，可以确定爆炸点在某条曲线上，但不能确定 爆炸点的准确位置. 而现实生活中为了安全，我们最 关心的是炮弹爆炸点的准确位置，怎样才能确定爆炸 点的准确位置呢?
用 y=－x 代入上式，得 x 680 5 ，∵|PB|>|PA|, x 680 5, y 680 5, 即P(680 5,680 5), 故PO 680 10 答:巨响发生在接报中心的西偏北 450 距中心 680 10m 处.
课堂练习
1.已 知在 △ ABC 中 , B(5, 0) , C(5, 0) ,点 A 运 动时满足 3 sin B sin C sin A ,求点 A 的轨迹方程. 5 2 2
分析:依题意画出图形(如图)
直觉巨响点的位置情况.
只要能把巨响点满足的两个曲线 方程求出来.那么解方程组就可以确 定巨响点的位置.
P
yC

A
o
B
x
要求曲线的方程,恰当的建立坐 标系是一个关键.
解：如图，以接报中心为原点 O，正东、正北方向为 x 轴、y 轴正向，建立直角坐标系. 设 A、B、C 分别是西、东、北观测点， 则 A(－1020,0） B(1020,0） ， ，C(0,1020）. 设 P（x,y）为巨响点， 由 A、C 同时听到巨响声，得|PA|=|PC|, 故 P 在 AC 的垂直平分线 PO 上,PO 的方程为 y =－x，
PF1 PF2 6
变式训练 1:已知两定点 F1 (5,0) , F2 (5,0) ,动点 P 满足
PF1 PF2 10 ,求动点 P 的轨迹方程.
解： ∵ F1F2 10 ,
PF1 PF2 10
∴ 点 P 的轨迹是两条射线,
轨迹方程为 y 0( x ≥ 5 或x ≤ 5) .
焦点
F（±c，0）
F（±c，0）
F（0，±c）
a.b.c的关 系
F（0，±c）
a>0，b>0，但a不一 定大于b，c2=a2+b2
a>b>0，a2=b2+c2
典型应用
例 1(参考课本 P54 例 ) 已 知 两 定 点 F1 (5, 0) , F2 (5, 0) , 动 点 P 满 足
PF1 PF2 6 , 求动点 P 的轨迹方程.
课外作业
P61 A组2、5、B组2
：
c2 a 2 b2
x2 a2
b 2 1(a 0, b 0)
y2
此即为 焦点在x 轴上的 双曲线 的标准 方程
若建系时,焦点在y轴上呢?
y
M
y
M F2 x
F1
O
F2
x
O百度文库
F1
x y 2 1 2 a b
2
2
y x 2 1 2 a b
2
2
(a 0，b 0)
思考：
课时小结: 本节课主要是进一步了解双曲线的定义 及其标准方程,并运用双曲线的定义及其标 准方程解决问题, 体会双曲线在实际生活中 的一个重要应用. 其实全球定位系统就是根 据例 2 这个原理来定位的. 运用定义及现成的模型思考,这是一个 相当不错的思考方向.即把不熟悉的问题往 熟悉的方向转化,定义模型是最原始,也是最 容易想到的地方.
∴ 由双曲线的定义可知，点 P 的轨迹是一条双曲线,
∵焦点为 F1 (5,0), F2 (5,0)
x2 y2 ∴可设所求方程为: 2 2 1 (a>0,b>0). a b ∵2a=6,2c=10,∴a=3,c=5. x2 y2 1. 所以点 P 的轨迹方程为 9 16
解：∵ F1F2 10 >6,
双曲线定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值 等于常数（小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线.
| |MF1| - |MF2| | = 2a ( 0<2a< |F1F2|) 点M的轨迹是双曲线
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点; ② |F1F2|=2c ——焦距.
M
注意： 0<2a<2c ；
1
F2
1. 类比椭圆探究出双曲线定义： 平面内与两定点F1、F2的距离的 差 等于常数 的点的轨迹是什么呢？ 拉链画双曲线
①如图(A)，
|MF1|-|MF2|=|F2F|=2a
②如图(B)， |MF2|-|MF1|=|F1F|=2a 由①②可得： | |MF1|-|MF2| | = 2a （差的绝对值） 上面 两条合起来叫做双曲线 用几何画板演示双曲线.gsp