经典的双曲线复习课件(修改)
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3.2.1双曲线及其标准方程课件(人教版)PPT
【练习】“n>1”是“方程 x2+ny2=1 表示焦点在 x 轴上的圆锥曲线”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
双曲线的标准方程
【典例】根据下列条件,求双曲线的标准方程 (1)a=2 5,经过点 A(2,-5),焦点在 y 轴上; (2)焦点为(0,-6),(0,6),经过点 A(-5,6); (3)过点 P 3,145 ,Q -136,5 且焦点在坐标轴上.
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
利用定义求轨迹方程
1．已知动圆 E 与圆 A：(x＋4)2＋y2＝2 外切，与圆 B：(x－4)2＋y2＝2 内切，则动 圆圆心 E 的轨迹方程为________．
类比：一个动圆与圆Q1:(x+3)2+y2=1外切，与圆Q2:(x-3)2+y2=81内切，求 这个动圆圆心的轨迹方程。
这两个定点叫做双曲线的焦点. 两焦点的距离叫做双曲线的焦距.
y
M
F1 o F2 x
如何理解绝对值？若去掉绝对值则图像有何变化？
03 双曲线的标准方程
1. 建系：如图建立直角坐标系xOy，使x轴经 过点F1，F2，并且点O与线段F1F2中点重合.
y M
F1 O F2
x
2.设点:设M（x , y）,双曲线的焦距为2c（c>0）,F1(-c,0),F2(c,0) 常数=2a
变式训练 2:已知两定点 F1(5,0) , F2(5, 0) ,动点 P 满足 | PF1 PF2 |=66,求动点 P 的轨迹方程.
变式训练 3:已知两定点 F1(5,0) , F2(5, 0) ,动点 P 满足 PF1 PF2 6 ,求动点 P 的轨迹方程.
双曲线复习精品PPT教学课件
2020/12/6
3
双曲线第二定义 到定点 F(c,0) 的距离与到定直线
x a2 (c a) 的比是常数 c 的点的轨迹
c
a
2020/12/6
4
1:已知圆Ｃ1： (x3)2y2 1 圆Ｃ2
(x3)2y2 9动圆Ｍ同时与这两个
圆相外切，那么动圆圆心Ｍ的轨迹方程 为
x 2 y 2 1 (x 0)
的两个焦点，P为椭圆上一点，已知
P、F1、F2是一个直角三角形的三个
顶点，且|PF1|>|PF2|，求
| PF 1 | | PF 2 |
的值。
2020/12/6
15
解：当∠PF2F1=900时，
| PF1 | | PF2 | 6
由
|
PF1
|2
|c2 5Fra bibliotekPF2
|2
(2c)
2
得：| PF1
|
14 3
令x=-3，y=±4，因
2 34
3
故点（-3， 2
3
）在射线y 4 x
(x 0)
及x轴负半轴之间，
3
∴ 双曲线焦点在x轴上
设双曲线方程为
x2 y2 1 a2 b2
(a0,b0)
b a
4 3
(
3
)
2
a 2
(2 3)2 b2
解之得： 1
a
2
b 2
9 4 4
2020/12/6
11
∴ 双曲线方程为 x 2 y 2 1 94
4
x
2
（2）设双曲线方程为
y2
1（a>0，b>0）
a2 b2
a 2 b 2 20
2025高考数学总复习双曲线精品课件
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第二部分
探究核心题型
题型一 双曲线的定义
例1 (1)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与
圆C1和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为
A.x2－y82＝1
B.x82－y2＝1
√C.x2－y82＝1(x≤－1)
D.x2－y82＝1(x≥1)
设动圆M的半径为r，由动圆M同时与圆C1和圆C2相外切， 得|MC1|＝1＋r，|MC2|＝3＋r， |MC2|－|MC1|＝2<6， 所以动圆圆心M的轨迹是以点C1(－3,0)和C2(3,0)为焦点的双曲线的左支， 且2a＝2，解得a＝1，又c＝3，
自主诊断
3.(选择性必修第一册P127T3改编)双曲线9y2－16x2＝144的渐近线方程是 _y_＝__±_43_x__.
依题意知，双曲线1y62 －x92＝1 的焦点在 y 轴上，实半轴长 a＝4，虚半 轴长 b＝3， 所以双曲线 9y2－16x2＝144 的渐近线方程是 y＝±43x.
自主诊断
知识梳理
注意：(1)若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余条件不变，此时 动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)；若将其改为“大 于|F1F2|”，其余条件不变，此时动点轨迹不存在. (2)若将绝对值去掉，其余条件不变，则动点的轨迹是双曲线的一支. (3)若将“等于非零常数”改为“等于零”，则此时动点的轨迹是线段 F1F2的垂直平分线.
自主诊断
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹
是双曲线.( × ) (2)方程xm2－yn2＝1(mn>0)表示焦点在 x 轴上的双曲线.( × ) (3)双曲线mx22－ny22＝1(m>0，n>0)的渐近线方程是mx ±ny＝0.( √ ) (4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( √ )
第二部分
探究核心题型
题型一 双曲线的定义
例1 (1)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与
圆C1和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为
A.x2－y82＝1
B.x82－y2＝1
√C.x2－y82＝1(x≤－1)
D.x2－y82＝1(x≥1)
设动圆M的半径为r，由动圆M同时与圆C1和圆C2相外切， 得|MC1|＝1＋r，|MC2|＝3＋r， |MC2|－|MC1|＝2<6， 所以动圆圆心M的轨迹是以点C1(－3,0)和C2(3,0)为焦点的双曲线的左支， 且2a＝2，解得a＝1，又c＝3，
自主诊断
3.(选择性必修第一册P127T3改编)双曲线9y2－16x2＝144的渐近线方程是 _y_＝__±_43_x__.
依题意知，双曲线1y62 －x92＝1 的焦点在 y 轴上，实半轴长 a＝4，虚半 轴长 b＝3， 所以双曲线 9y2－16x2＝144 的渐近线方程是 y＝±43x.
自主诊断
知识梳理
注意：(1)若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余条件不变，此时 动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)；若将其改为“大 于|F1F2|”，其余条件不变，此时动点轨迹不存在. (2)若将绝对值去掉，其余条件不变，则动点的轨迹是双曲线的一支. (3)若将“等于非零常数”改为“等于零”，则此时动点的轨迹是线段 F1F2的垂直平分线.
自主诊断
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹
是双曲线.( × ) (2)方程xm2－yn2＝1(mn>0)表示焦点在 x 轴上的双曲线.( × ) (3)双曲线mx22－ny22＝1(m>0，n>0)的渐近线方程是mx ±ny＝0.( √ ) (4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( √ )
高三一轮复习双曲线名师公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
研究双曲线几何性质时的两个注意点： (1)实半轴、虚半轴所构成的直角三角形是值得关注的一个重点; (2)由于 e＝ac是一个比值，故只需根据条件得到关于 a，b，c 的 一个关系式，利用 b2＝c2－a2 消去 b，然后变形即可求 e，并注 意 e>1.
栏目 导引
第八章 平面解析几何
3．(1)(2014·云南省昆明市高三调研测试)已知 F(c，0)是双曲线 C：xa22－by22＝1(a>0，b>0)的右焦点，若双曲线 C 的渐近线与圆 F： (x－c)2＋y2＝12c2 相切，则双曲线 C 的离心率为____2____； (2)(2012·高考天津卷)已知双曲线 C1：xa22－by22＝1(a>0，b>0)与双 曲线 C2：x42－1y62 ＝1 有相同的渐近线，且 C1 的右焦点为 F( 5， 0)，则 a＝____1____，b＝_____2___．
栏目 导引
第八章 平面解析几何
2．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)虚轴长为 12，离心率为54； (2)焦距为 26，且经过点 M(0，12)． 【解】(1)设双曲线的标准方程为 xa22－yb22＝1 或ay22－xb22＝1(a>0，b>0)．
栏目 导引
第八章 平面解析几何
由题意知，2b＝12，e＝ca＝54，∴b＝6，c＝10，a＝8.∴双曲 线的标准方程为6x42－3y62 ＝1 或6y42 －3x62＝1. (2)∵双曲线经过点 M(0，12)，∴M(0，12)为双曲线的一个 顶点， 故焦点在 y 轴上，且 a＝12.
则双曲线xa22－yb22＝1
的离心率
13 e＝____3____．
5．设 F1，F2 是双曲线 x2－2y42 ＝1 的两个焦点，P 是双曲线
栏目 导引
第八章 平面解析几何
3．(1)(2014·云南省昆明市高三调研测试)已知 F(c，0)是双曲线 C：xa22－by22＝1(a>0，b>0)的右焦点，若双曲线 C 的渐近线与圆 F： (x－c)2＋y2＝12c2 相切，则双曲线 C 的离心率为____2____； (2)(2012·高考天津卷)已知双曲线 C1：xa22－by22＝1(a>0，b>0)与双 曲线 C2：x42－1y62 ＝1 有相同的渐近线，且 C1 的右焦点为 F( 5， 0)，则 a＝____1____，b＝_____2___．
栏目 导引
第八章 平面解析几何
2．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)虚轴长为 12，离心率为54； (2)焦距为 26，且经过点 M(0，12)． 【解】(1)设双曲线的标准方程为 xa22－yb22＝1 或ay22－xb22＝1(a>0，b>0)．
栏目 导引
第八章 平面解析几何
由题意知，2b＝12，e＝ca＝54，∴b＝6，c＝10，a＝8.∴双曲 线的标准方程为6x42－3y62 ＝1 或6y42 －3x62＝1. (2)∵双曲线经过点 M(0，12)，∴M(0，12)为双曲线的一个 顶点， 故焦点在 y 轴上，且 a＝12.
则双曲线xa22－yb22＝1
的离心率
13 e＝____3____．
5．设 F1，F2 是双曲线 x2－2y42 ＝1 的两个焦点，P 是双曲线
双曲线课件-2025届高三数学一轮复习
9
｜PF1｜－｜PF2｜＝±2 a ＝±6，又｜PF 1｜＝5，则｜PF 2｜＝11.
6.
2
2
已知双曲线 C ： 2 － 2 ＝1( a ＞0， b ＞0)的焦距为4
线 C 的渐近线方程为
3 ，实轴长为4 2 ，则双曲
2 x ± y ＝0 .
[解析] 由题意知，2 c ＝4 3 ，2 a ＝4 2 ，则 b ＝ 2 − 2 ＝2，所以 C 的渐近线
C.
2 2
2
双曲线 － ＝1的渐近线方程是y＝± x
9
4
3
D. 等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2
2. [浙江高考]渐近线方程为 x ± y ＝0的双曲线的离心率是(
A.
2
2
B. 1
C. 2
C )
D. 2
[解析] 因为双曲线的渐近线方程为 x ± y ＝0，所以无论双曲线的焦点在 x 轴上还是
轴上.又离心率 e ＝
2 ，所以 ＝
2 ，所以 a ＝ 2 ，则 b 2＝ c 2－ a 2＝2，所以双曲
2
2
线 C 的标准方程为 － ＝1.
2
2
解法二
因为双曲线 C 的离心率 e ＝ 2 ，所以该双曲线为等轴双曲线，即 a ＝ b .又
双曲线 C 的焦点为(－2，0)和(2，0)，所以 c ＝2，且焦点在 x 轴上，所以 a 2＋ b 2＝
1
以｜ PF 1｜·｜ PF 2｜＝8，所以 △ ＝ ｜ PF 1｜·｜ PF 2｜·sin
2
1 2
解法二
60°＝2 3 .
2
2
由题意可得双曲线 C 的标准方程为 － ＝1，所以可得 b 2＝2，由双曲
｜PF1｜－｜PF2｜＝±2 a ＝±6，又｜PF 1｜＝5，则｜PF 2｜＝11.
6.
2
2
已知双曲线 C ： 2 － 2 ＝1( a ＞0， b ＞0)的焦距为4
线 C 的渐近线方程为
3 ，实轴长为4 2 ，则双曲
2 x ± y ＝0 .
[解析] 由题意知，2 c ＝4 3 ，2 a ＝4 2 ，则 b ＝ 2 − 2 ＝2，所以 C 的渐近线
C.
2 2
2
双曲线 － ＝1的渐近线方程是y＝± x
9
4
3
D. 等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2
2. [浙江高考]渐近线方程为 x ± y ＝0的双曲线的离心率是(
A.
2
2
B. 1
C. 2
C )
D. 2
[解析] 因为双曲线的渐近线方程为 x ± y ＝0，所以无论双曲线的焦点在 x 轴上还是
轴上.又离心率 e ＝
2 ，所以 ＝
2 ，所以 a ＝ 2 ，则 b 2＝ c 2－ a 2＝2，所以双曲
2
2
线 C 的标准方程为 － ＝1.
2
2
解法二
因为双曲线 C 的离心率 e ＝ 2 ，所以该双曲线为等轴双曲线，即 a ＝ b .又
双曲线 C 的焦点为(－2，0)和(2，0)，所以 c ＝2，且焦点在 x 轴上，所以 a 2＋ b 2＝
1
以｜ PF 1｜·｜ PF 2｜＝8，所以 △ ＝ ｜ PF 1｜·｜ PF 2｜·sin
2
1 2
解法二
60°＝2 3 .
2
2
由题意可得双曲线 C 的标准方程为 － ＝1，所以可得 b 2＝2，由双曲
经典的双曲线复习课件修改
x2 a2
－
y2 b2
＝1(a>0，b>0)，由PF1
的中点为(0,2)知，PF2⊥x轴，P(
5
，4)，即
b2 a
＝4，b2＝
4a，∴5－a2＝4a，a＝1，b＝2，∴双曲线方程为x2－y42＝1.
答案 B
抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
5．(2012·江苏)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线xm2－ m2y＋2 4＝1的离心率为 5，则m的值为________．
解题时更简便．
(2)当已知双曲线的渐近线方程bx±ay＝0，求双曲线方程
时，可设双曲线方程为b2x2－a2y2＝λ(λ≠0)，据其他条件确
定λ的值．
抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
【训练2】 已知双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)和椭圆1x62 ＋y92＝ 1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两 倍，则双曲线的方程为________．
双曲线的标准方程
求曲线方程的步骤： 1. 建系.
以F1,F2所在的直线为x轴，线段 F1F2的中点为原点建立直角坐标系 2.设点．
设M（x , y）,则F1(-c,0),F2(c,0)
3.列式 |MF1| - |MF2|=±2a
y
M
F1 O F2 x
即 (x c)2y2(x c)2y2 2 a
4.化简
抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
解析 法一 ∵双曲线的渐近线方程为y＝±12x，
若焦点在x轴上，设所求双曲线的标准方程为
ax22－by22＝1(a>0，b>0)，则ba＝12.
双曲线复习ppt课件
设所求双曲线的标准方程为ay221－bx221＝1(a1＞0，b1＞0)， 由 题 意 知 ， 半 焦 距 c1 ＝ 6,2a1 ＝ ||P′F1′| － |P′F2′|| ＝ | 112＋22－ 12＋22|＝4 5，a1＝2 5，b21＝c21－a21＝36－20＝16. 所以所求双曲线的标准方程为2y02 －1x62 ＝1.
27
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
三 双曲线的几何性质及其应用
【例 3】 已知双曲线 C：x42－y2＝1，P 为 C 上的任意点． (1)求证：点 P 到双曲线 C 的两条渐近线的距离的乘积是一 个常数； (2)设点 A 的坐标为(3,0)，求|PA|的最小值．
28
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
【思路点拨】 (1)先设 P(x1，y1)是双曲线上任意一点，再 求出双曲线的渐近线方程，根据点到线的距离公式分别表示 出点 P(x1，y1)到两条渐近线的距离，然后两距离再相乘整理 即可得到答案．
【跟踪训练 2】 双曲线 y2－4x2＝64 上一点 P 到它的一个
焦点的距离等于 1，则 P 到它的另一个焦点的距离等于
为
.
18
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
解析：将双曲线 4x2－y2＋64＝0 化成标准形式：6y42 －1x62 ＝ 1，所以 a2＝64，b2＝16.
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资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
三 双曲线的几何性质及其应用
【例 3】 已知双曲线 C：x42－y2＝1，P 为 C 上的任意点． (1)求证：点 P 到双曲线 C 的两条渐近线的距离的乘积是一 个常数； (2)设点 A 的坐标为(3,0)，求|PA|的最小值．
28
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
【思路点拨】 (1)先设 P(x1，y1)是双曲线上任意一点，再 求出双曲线的渐近线方程，根据点到线的距离公式分别表示 出点 P(x1，y1)到两条渐近线的距离，然后两距离再相乘整理 即可得到答案．
【跟踪训练 2】 双曲线 y2－4x2＝64 上一点 P 到它的一个
焦点的距离等于 1，则 P 到它的另一个焦点的距离等于
为
.
18
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
解析：将双曲线 4x2－y2＋64＝0 化成标准形式：6y42 －1x62 ＝ 1，所以 a2＝64，b2＝16.
2025高考数学一轮复习8.6双曲线【课件】
6．坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的倾斜角为π3，则 双曲线的离心率为_____2_或__2_3_3______．
【解析】 ∵双曲线的渐近线的倾斜角为π3，当双曲线焦点在 x 轴上时，ba＝tanπ3＝ 3；
当双曲线的焦点在 y 轴上时，ab＝tanπ3＝ 3.当ba＝ 3时，e2＝ac22＝a2＋a2b2＝1＋3＝4，∴e＝2；
【解析】 由|PF2|＝|F1F2|＝2c 及双曲线的定义，得|PF1|＝|PF2|＋2a＝2c＋2a.如图，过 点 F2 作 F2Q⊥PF1 于点 Q，则|F2Q|＝2a，等腰三角形 PF1F2 中，|PQ|＝12|PF1|＝c＋a，∴|PF2|2 ＝|PQ|2＋|QF2|2，即(2c)2＝(c＋a)2＋(2a)2，解得 a＝35c，则 b＝ c2－a2＝45c，∴ba＝43，该双 曲线的渐近线方程为 y＝±43x，即 4x±3y＝0.故选 B．
a，b，c 的关系 c2＝ a2＋b2
提醒：(1)在双曲线的标准方程中，看 x2 项与 y2 项的系数的正负，若 x2 项的系数为正， 则焦点在 x 轴上；若 y2 项的系数为正，则焦点在 y 轴上，即“焦点位置看正负，焦点随着 正的跑”．
(2)离心率 e＝ac＝ a2a＋b2＝ 1＋ba22，e 越大开口越大． (3)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦(也叫通径)的长为2ab2. (4)双曲线的焦点到其渐近线的距离为 b.
当ab＝
3时，e2＝ac22＝a2＋a2 b2＝1＋13＝43，∴e＝2
3
3.∴e＝2
或2 3
3 .
易错点睛：(1)到两定点的距离之差为常数，而不是差的绝对值，那么其轨迹是双曲线 的一支．
(2)当焦点位置不确定时，需分类讨论．
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双曲线的标准方程
求曲线方程的步骤： 1. 建系.
以F1,F2所在的直线为x轴，线段 F1F2的中点为原点建立直角坐标系
2.设点．
y
M
F1 O F2 x
设M（x , y）,则F1(-c,0),F2(c,0)
3.列式 |MF1| - |MF2|=±2a
即 (x c)2y2(x c)2y2 2 a
4.化简
②如图(B)，
|MF2|-|MF1|=|F1F|=2a 由①②可得：
| |MF1|-|MF2| | = 2a
（差的绝对值）
上面 两条合起来叫做双曲线
抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
双曲线定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值 等于常数（小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线.
| |MF1| - |MF2| | = 2a
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点;
② |F1F2|=2c ——焦距.
M
说明
（1）2a<2c ；
思考：
（2）2a >0 ；
F1 o F2
（1）若2a=2c,则轨迹是什么？ (1)两条射线
（2）若2a>2c,则轨迹是什么？ (2)不表示任何轨迹 （3）若2a=0,则轨迹是什么？ 抓(住32)个考线点 段F1突F破23的个考垂向 直平揭秘分3年高线考
抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
两种方法 求双曲线方程的两种方法： (1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲 线定义，确定2a,2b或2c，从而求出a2，b2，写出双曲线方 程； (2)待定系数法：先确定焦点是在x轴上还是在y轴上，设出 标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定 量”；如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为mx22－ny22 ＝λ(λ≠0)，再根据条件求λ的值．
抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
y
F1 O
若建系时,焦点在y轴上呢?
y
M
M
F2 x
F2 x
O
F1
x2 a2
y2 b2
1
y2 a2
x2 b2
1
(a0， b0)
抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
双曲线定义及标准方程
定义 | |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
y
y
2、双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有何区 别与联系?
抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
双曲线与椭圆之间的区别与联系
定义 方程
焦点 a.b.c的关
系
椭圆
双曲线
|MF1|+|MF2|=2a
||MF1|－|MF2||=2a
x2 a2
by22
1(ab0)
x2 a2
y2 b2
1(a0,b0)
y2 a2
x2 b2
第6讲 双曲线
【高考会这样考】 1．考查利用双曲线的定义求动点的轨迹方程或某些最值问
题． 2．考查双曲线的离心率与渐近线问题．
抓住2个考点
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揭秘3年高考
抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
抓住2个考点
突破3个考向
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复习
1. 椭圆的定义
平面内与两定点F1、F2的距离的 和 等于常数
M M
F2
图象
F1 o F2 x
x
F1
方程
焦点
a.b.c 的关系
x2 a2
y2 b2
1
y2 x2 a2 b2 1
F ( ±c, 0)
F(0, ± c)
c2 a2b2
抓住2个考点
突破3个考向
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问题
1、如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？
看 x2 , y 2 前的系数，哪一个为正，
则在哪一个轴上
平面内与两 定点F1，F2的 距离的差为 非零常数的 点的轨迹是 什么？
定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等 于非零常数（小于︱F1F2︱）的点的轨迹叫双曲线。
这两个定点叫双曲线的焦点,两焦点的距离叫双曲线的
焦距.
抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
①如图(A)， |MF1|-|MF2|=|F2F|=2a
1(ab0)
y2 a2
bx22
1(a0,b0)
F（±c，0） F（0，±c）
F（±c，0） F（0，±c）
a>b>0，a2=b2+c2 a>0，b>0，但a不一
定大于b，c2=a2+b2
2、渐近线：
-
13
2、渐近线：
y
b
P(a,b)
o
-a
a
x
-b
-
14
考点梳理
1．双曲线的定义
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数 (小于|F1F2|)的点的轨迹叫做 双曲线 ． 这 两 个 定 点 叫 双 曲 线的 焦点 ，两焦点间的距离叫做双曲线的 焦距 ．
2a ( 2a>|F1F2|>0) 的点的轨迹.
|MF1|+|MF2|=2a( 2a>|F1F2|>0)
Y Mx,y
2. 引入问题：
O
F 1c,0
F 2 c,0 X
平面内与两定点F1、F2的距离的 差 等于常数 的点的轨迹是什么呢？
双曲线图象
抓住2个考点
拉链画双曲线
突破3个考向
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思 考：
(2)集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c 为常数且a>0，c>0；
①当 a<c 时，P点的轨迹是双曲线； ②当 a＝c 时，P点的轨迹是 两条射线 ； ③当 a>c 时，P点不存在．
抓住2个考点
突破3个考向
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2．双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 ax22－by22＝1(a>0，b>0)
抓住2个考点
突破3个考向
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考点自测
1．(课本改编题)双曲线2x2－y2＝8的实轴长是
( )．
A．2
B．2 2
C．4
Dy82＝1，
则a2＝4，所以实轴长2a＝4.
ay22－bx22＝1(a>0，b>0)
图形
范围 x≥ a 或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a
性
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
质
顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a)
抓住2个考点
突破3个考向
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渐近线
y＝±bax
y＝±abx
离心率 e＝ac，e∈ (1，＋∞) ，其中c＝ a2＋b2 性
质
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝
实虚轴 2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长
|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的半实轴长，b叫做
双曲线的半虚轴长
a，b，c的 关系
c2＝ a2＋b2 (c＞a＞0，c＞b＞0)
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突破3个考向
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【助学·微博】 一条规律 双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e＝ 2 ⇔双曲线 的两条渐近线互相垂直(位置关系)．