双曲线经典例题讲解
高中数学《双曲线》大题50道及答案解析
1．在①m＞0，且C的左支上任意一点到右焦点的距离的最小值为3+，②C的焦距为6，③C上一点到两焦点距离之差的绝对值为4．这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中．问题：已知双曲线C：﹣＝1，_____，求C的方程．2．已知双曲线C的右焦点F，半焦距c＝2，点F到直线的距离为，过点F作双曲线C的两条互相垂直的弦AB，CD，设AB，CD的中点分别为M，N．（1）求双曲线C的标准方程；（2）证明：直线MN必过定点，并求出此定点的坐标．3．设双曲线Γ的方程为：x2﹣＝1．（1）设1是经过点M（1，1）的直线，且和Γ有且仅有一个公共点，求l的方程；（2）设11是Γ的一条渐近线，A、B是11上相异的两点．若点P是Γ上的一点，P关于点A的对称点记为Q，Q关于点B的对称点记为R．试判断点R是否可能在Γ上，并说明理由．4．在平面直角坐标系中，已知双曲线I：，A，B分别为I的左，右顶点．（1）以A为圆心的圆与I恰有三个不同的公共点，写出此圆的方程；（2）直线L过点A，与I在第一象限有公共点P，线段AP的垂直平分线过点B，求直线L的方程；（3）I上是否存在异于A、B点M、N，使+2＝成立，若存在，求出所有M、N的坐标，若不存在说明理由．5．（Ⅰ）已知中心在原点的双曲线C的焦点坐标为，，且渐近线方程为，求双曲线C的标准方程；（Ⅱ）在圆x2+y2＝3上任取一点P，过点P作y轴的垂线段PD，D为垂足，当点P在该圆上运动时，求线段PD的中点M的轨迹方程．6．设离心率为3，实轴长为1的双曲线E：（a＞b＞0）的左焦点为F，顶点在原点的抛物线C的准线经过点F，且抛物线C的焦点在x轴上．（I）求抛物线C的方程；（Ⅱ）若直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，且满足OM⊥ON，求|MN|的最小值．7．2018年世界人工智能大会已于2018年9月在上海徐汇西岸举行，某高校的志愿者服务小组受大会展示项目的启发，会后决定开发一款“猫捉老鼠”的游戏，如图：A、B两个信号源相距10米，O是AB的中点，过O点的直线l 与直线AB的夹角为45°，机器猫在直线l上运动，机器鼠的运动轨迹始终满足：接收到A点的信号比接收到B点的信号晚秒（注：信号每秒传播v0米）．在时刻t0时，测得机器鼠距离O点为4米．（1）以O为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系（如图），求时刻t0时机器鼠所在位置的坐标；（2）游戏设定：机器鼠在距离直线l不超过1.5米的区域运动时，有“被抓”的风险．如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变，是否有“被抓”风险？8．已知离心率为2的双曲线C的一个焦点F（c，0）到一条渐近线的距离为（1）求双曲线C的方程；（2）设A1，A2分别为C的左右顶点，P为C异于A1，A2一点，直线A1P与A2P 分别交y轴于M，N两点，求证：以线段MN为直径的圆D经过两个定点．9．已知F1，F2为双曲线的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的垂线，在x轴上方交双曲线C于点M，且∠MF1F2＝30°．（1）求双曲线C的两条渐近线的夹角θ；（2）过点F2的直线l和双曲线C的右支交于A，B两点，求△AF1B的面积最小值；（3）过双曲线C上任意一点Q分别作该双曲线两条渐近线的平行线，它们分别交两条渐近线于Q1，Q2两点，求平行四边形OQ1QQ2的面积．10．已知双曲线的一条渐近线方程为，点在双曲线上，抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F与双曲线的右焦点重合．（Ⅰ）求双曲线和抛物线的标准方程；（Ⅱ）过点F做互相垂直的直线l1，l2，设l1与抛物线的交点为A，B，l2与抛物线的交点为D，E，求|AB|+|DE|的最小值．高中数学资料共享群734924357每天都有更新！11．已知椭圆＝1（a＞b＞0}），点A、点B分别是椭圆上关于原点对称的两点，点P是椭圆上不同于点A和点B的任意一点．（1）求证：直线PA的斜率与直线PB的斜率之积为定值，并求出定值；（2）试对双曲线＝1写出具有类似特点的正确结论，并加以证明．12．如图，若F1，F2是双曲线﹣＝1的两个焦点．（1）若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；（2）若P是双曲线左支上的点，且|PF1|•|PF2|＝32，试求△F1PF2的面积．13．已知双曲线过点（3，﹣2）且与椭圆4x2+9y2＝36有相同的焦点．（1）求双曲线标准方程；（2）若点M在双曲线上，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，且|MF1|＝2|MF2|，求△MF1F2的面积．14．设双曲线＝1，其虚轴长为2，且离心率为．（1）求双曲线C的方程；（2）过点P（3，1）的动直线与双曲线的左右两只曲线分别交于点A、B，在线段AB上取点M使得＝，证明：点M落在某一定直线上；（3）在（2）的条件下，且点M不在直线OP上，求△OPM面积的取值范围．15．在平面直角坐标系中，点F1、F2分别为双曲线C：的左、右焦点，双曲线C的离心率为2，点（1，）在双曲线C上．不在x轴上的动点P与动点Q关于原点O对称，且四边形PF1QF2的周长为．（1）求动点P的轨迹方程；高中数学资料共享群734924357每天都有更新！（2）在动点P的轨迹上有两个不同的点M（x1，y1）、N（x2，y2），线段MN的中点为G，已知点（x1，x2）在圆x2+y2＝2上，求|OG|•|MN|的最大值，并判断此时△OMN的形状．16．已知双曲线＝1（b＞a＞0）渐近线方程为y＝±x，O为坐标原点，点在双曲线上．（Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）已知P，Q为双曲线上不同两点，点O在以PQ为直径的圆上，求的值．17．设双曲线﹣＝1的两个焦点分别为F1、F2，离心率为2．（1）若A、B分别为此双曲线的渐近线l1、l2上的动点，且2|AB|＝5|F1F2|，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；（2）过点N（1，0）能否作出直线l，使l交双曲线于P、Q两点，且•＝0，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．18．已知双曲线，（1）求以双曲线的顶点为焦点，焦点为顶点的椭圆E的方程．（2）点P在椭圆E上，点C（2，1）关于坐标原点的对称点为D，直线CP和DP的斜率都存在且不为0，试问直线CP和DP的斜率之积是否为定值？若是，求此定值；若不是，请说明理由．19．已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的两个焦点分别为（﹣2，0）和（2，0），点P（3，）在双曲线C上．（Ⅰ）求双曲线C的方程；高中数学资料共享群734924357每天都有更新！（Ⅱ）过点A（0，2）的直线与双曲线C交于不同的两点E、F，若坐标原点O 与E、F构成的三角形面积为2，求直线l的方程．20．已知双曲线的左右两个顶点是A1，A2，曲线C上的动点P，Q 关于x轴对称，直线A1P与A2Q交于点M，（1）求动点M的轨迹D的方程；（2）点E（0，2），轨迹D上的点A，B满足，求实数λ的取值范围．21．已知圆M：（x+1）2+y2＝，圆N：（x﹣1）2+y2＝，动圆D与圆M外切并与圆N内切，圆心D的轨迹为曲线E．（1）求曲线E的方程；（2）若双曲线C的右焦点即为曲线E的右顶点，直线y＝x为C的一条渐近线．①求双曲线C的方程；②过点P（0，4）的直线l，交双曲线C于A，B两点，交x轴于Q点（Q点与C的顶点不重合），当，且λ1+λ2＝﹣时，求Q点的坐标．22．已知双曲线的离心率为e，经过第一、三象限的渐近线的斜率为k，且e≥k．（1）求m的取值范围；高中数学资料共享群734924357每天都有更新！（2）设条件p：e≥k；条件q：m2﹣（2a+2）m+a（a+2）≤0．若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围．23．已知F1，F2分别是双曲线的左右焦点，点P是双曲线上任一点，且||PF1|﹣|PF2||＝2，顶点在原点且以双曲线的右顶点为焦点的抛物线为L．（Ⅰ）求双曲线C的渐近线方程和抛物线L的标准方程；（Ⅱ）过抛物线L的准线与x轴的交点作直线，交抛物线于M、N两点，问直线的斜率等于多少时，以线段MN为直径的圆经过抛物线L的焦点？24．若抛物线的顶点是双曲线x2﹣y2＝1的中心，焦点是双曲线的右顶点（1）求抛物线的标准方程；（2）若直线l过点C（2，1）交抛物线于M，N两点，是否存在直线l，使得C恰为弦MN的中点？若存在，求出直线l方程；若不存在，请说明理由．25．已知双曲线过点A（1，1），它的焦点F在其渐近线上的射影记为M，且△OFM（O为原点）的面积为．（Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）过点A作双曲线的两条动弦AB，AC，设直线AB，直线AC的斜率分别为k1，k2，且（k1+1）（k2+1）＝﹣1恒成立，证明：直线BC的斜率为定值．26．已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线x＝交于点M，双曲线C的离心率e＝，F是其右焦点，且|MF|＝1．（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）过点A（0，1）的直线l与双曲线C的右支交于不同两点P、Q，且P 在A、Q之间，若＝λ且，求直线l斜率k的取值范围．27．已知双曲线C：﹣＝1的离心率是，其一条准线方程为x＝（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）设双曲线C的左右焦点分别为A，B，点D为该双曲线右支上一点，直线AD与其左支交于点E，若＝λ，求实数λ的取值范围．28．双曲线＝1（a＞0，b＞0）的离心率为2，坐标原点到直线AB的距离为，其中A（a，0），B（0，﹣b）．（1）求双曲线的方程；高中数学资料共享群734924357每天都有更新！（2）若B1是双曲线虚轴在y轴正半轴上的端点，过B作直线与双曲线交于M，N两点，求B1M⊥B1N时，直线MN的方程．29．已知椭圆C与双曲线﹣＝1有公共焦点，且离心率e＝，（1）求椭圆的标准方程；（2）已知点P是椭圆C上的一动点，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，当点P在椭圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？30．已知两点A（0，﹣1），B（0，1），P（x，y）是曲线C上一动点，直线PA、PB斜率的平方差为1．（1）求曲线C的方程；（2）E（x1，y1），F（x2，y2）是曲线C上不同的两点，Q（2，3）是线段EF 的中点，线段EF的垂直平分线交曲线C于G，H两点，问E，F，G，H是否共圆？若共圆，求圆的标准方程；若不共圆，说明理由．31．双曲线S的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e＝，直线x﹣3y+5＝0上的点与双曲线S的右焦点的距离的最小值等于．（1）求双曲线S的方程；（2）设经过点（﹣2，0），斜率等于k的直线与双曲线S交于A，B两点，且以A，B，P（0，1）为顶点的三角形ABP是以AB为底的等腰三角形，求k的值．32．已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线C：y2＝2px（p＞0）的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为（1）求抛物线C的方程；（2）过点D（﹣1，0）的直线l与抛物线C交于不同的两点E，F，若在x轴上存在一点P（x0，0）使得△PEF是等边三角形，求x0的值．33．在平面直角坐标系xoy中，已知双曲线﹣y2＝1的左、右顶点分别为A1，A2，点P（x0，y0），Q（x0，﹣y0）是双曲线上不同的两个动点．（1）求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程；（2）过坐标原点O作一条直线交轨迹E于A，B两点，过点B作x轴的垂线，垂足为点C，连AC交轨迹E于点D，求证：AB⊥BD．34．已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，实轴长为2（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）设直线l是圆O：x2+y2＝2上动点P（x0，y0）（x0y0≠0）处的切线，l 与双曲线C交于不同的两点A，B，证明∠AOB的大小为定值．35．已知曲线Γ上的点到F（1，0）的距离比它到直线x＝﹣3的距离小2，过F 的直线交曲线Γ于A，B两点．（1）求曲线Γ的方程；（2）若，求直线AB的斜率；（3）设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB 面积的最小值．36．已知点在双曲线上，且双曲线的一条渐近线的方程是．（1）求双曲线C的方程；（2）过点（0，1）且斜率为k的直线l与双曲线C交于A、B两个不同点，若以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点，求实数k的值．37．已知点是椭圆C：的一个顶点，椭圆C的离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知点P（x0，y0）是定点，直线交椭圆C于不同的两点A、B，记直线PA、PB的斜率分别为k1、k2，求点P的坐标，使得k1+k2＝0恒成立．38．已知双曲线C：的离心率为，点（4，2）在C上．（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，且直线l与双曲线C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．39．已知命题P“双曲线﹣＝1上任意一点Q到直线l1：bx+ay＝0，l2：bx﹣ay＝0的距离分别记作d1，d2则d1，d2为定值”是真命题（1）求出d1•d2的值（2）已知直线l1，l2关于y轴对称且使得椭圆C：+＝1上任意点到l1，l2的距离d1，d2满足为定值，求l1，l2的方程（3）已知直线m与（2）中某一条直线平行（或重合）且与椭圆C交于M，N 两点，求|OM|+|ON|的最大值．40．椭圆与双曲线有许多优美的对称性质．对于椭圆+＝1（a＞b＞0）有如下命题：AB是椭圆+＝1（a＞b＞0）的不平行于对称轴且不过原点的弦，M为AB的中点，则k OM•k AB＝﹣，为定值．那么对于双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）则有命题：AB是双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的不平行于对称轴且不过原点的弦，M为AB的中点，则k OM•k AB＝定值．（在横线上填上正确的结论）并证明你的结论．41．如图，已知双曲线，过点P（0，﹣1）的直线l分别交双曲线C的左、右两支于点A，B，交双曲线C的两条渐近线于点D，E（点D在y轴的左侧）．（1）若，求直线l的方程；（2）求的取值范围．42．已知双曲线C1：x2﹣＝1（b＞0），A（x A，b2）是C1上位于第二象限内的一点，曲线C2是以点C（0，b2+1）为圆心过点A的圆上满足y＞b2的部分．曲线Γ由C1上满足y≤b2的部分和C2组成．记F1，F2为C1的左、右焦点．（1）若△CF1F2为等边三角形，求x A；（2）若直线AC与Γ恰有两个公共点，求b的最小值；（3）设b＝1，过A的直线l与Γ相交于另外两点P、Q，求l的倾斜角的取值范围．43．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知等轴双曲线E：（a＞0，b＞0）的左顶点A，过右焦点F且垂直于x轴的直线与E交于B，C两点，若△ABC的面积为．（1）求双曲线E的方程；（2）若直线l：y＝kx﹣1与双曲线E的左，右两支分别交于M，N两点，与双曲线E的两条渐近线分别交于P，Q两点，求的取值范围．44．已知曲线，Q为曲线C上一动点，过Q作两条渐近线的垂线，垂足分别是P1和P2．（1）当Q运动到时，求的值；（2）设直线l（不与x轴垂直）与曲线C交于M、N两点，与x轴正半轴交于T点，与y轴交于S点，若，，且λ+μ＝1，求证T为定点．45．设双曲线的左顶点为D，且以点D为圆心的圆D：（x+2）2+y2＝r2（r＞0）与双曲线C分别相交于点A，B，如图所示．（1）求双曲线C的方程；（2）求的最小值，并求出此时圆D的方程；（3）设点P为双曲线C上异于点A，B的任意一点，且直线PA，PB分别与x轴相交于点M，N，求证：|OM|•|ON|为定值（其中O为坐标原点）．46．设双曲线Γ的方程为：x2﹣＝1．（1）设1是经过点M（1，1）的直线，且和Γ有且仅有一个公共点，求l的方程；（2）设11是Γ的一条渐近线，A、B是11上相异的两点．若点P是Γ上的一点，P关于点A的对称点记为Q，Q关于点B的对称点记为R．试判断点R是否可能在Γ上，并说明理由．47．已知双曲线C的一个焦点为，且过点．如图，F1，F2为双曲线的左、右焦点，动点P（x0，y0）（y0≥1）在C的右支上，且∠F1PF2的平分线与x轴、y轴分别交于点M（m，0）（﹣＜m＜）、N，设过点F1，N的直线l与C交于D，E两点．（Ⅰ）求C的标准方程；（Ⅱ）求△F2DE的面积最大值．48．直线上的动点P到点T 1（9，0）的距离是它到点T（1，0）的距离的3倍．（1）求点P的坐标；（2）设双曲线的右焦点是F，双曲线经过动点P，且，求双曲线的方程；（3）点T（1，0）关于直线x+y＝0的对称点为Q，试问能否找到一条斜率为k（k≠0）的直线L与（2）中的双曲线交于不同的两点M、N，且满足|QM|＝|QN|，若存在，求出斜率k的取值范围，若不存在，请说明理由．49．已知双曲线C1：的渐近线方程为y＝±x，且过点，其离心率为e，抛物线C2的顶点为坐标原点，焦点为（I）求抛物线C2的方程；（II）O为坐标原点，设A，B是抛物线上分别位于x轴两侧的两个动点，且＝12．（i）求证：直线AB必过定点，并求出该定点P的坐标；（ii）过点P作AB 的垂线与抛物线交于C，D两点，求四边形ACBD面积的最小值．50．火电厂、核电站的循环水自然通风冷却塔是一种大型薄壳型建筑物．建在水源不十分充分的地区的电厂，为了节约用水，需建造一个循环冷却水系统，以使得冷却器中排出的热水在其中冷却后可重复使用，大型电厂采用的冷却构筑物多为双曲线型冷却塔．此类冷却塔多用于内陆缺水电站，其高度一般为75～150米，底边直径65～120米．双曲线型冷却塔比水池式冷却构筑物占地面积小，布置紧凑，水量损失小，且冷却效果不受风力影响；它比机力通风冷却塔维护简便，节约电能；但体形高大，施工复杂，造价较高（以上知识来自百度，下面题设条件只是为了适合高中知识水平，其中不符合实际处请忽略．图1）（1）图2为一座高100米的双曲线冷却塔外壳的简化三视图（忽略壁厚），其底面直径大于上底直径．已知其外壳主视图与左视图中的曲线均为双曲线，高度为100m，俯视图为三个同心圆，其半径分别为40m，m，30m，试根据上述尺寸计算主视图中该双曲线的标准方程（m 为长度单位米）．（2）试利用课本中推导球体积的方法，利用圆柱和一个倒放的圆锥，计算封闭曲线：，y＝0，y＝h，绕y轴旋转形成的旋转体的体积为（用a，b，h表示）（用积分计算不得分，图3、图4）现已知双曲线冷却塔是一个薄壳结构，为计算方便设其内壁所在曲线也为双曲线，其壁最厚为0.4m（底部），最薄处厚度为0.3m（喉部，即左右顶点处）．试计算该冷却塔内壳所在的双曲线标准方程是，并计算本题中的双曲线冷却塔的建筑体积（内外壳之间）大约是m3（计算时π取3.14159，保留到个位即可）（3）冷却塔体型巨大，造价相应高昂，本题只考虑地面以上部分的施工费用（建筑人工和辅助机械）的计算，钢筋土石等建筑材料费用和和其它设备等施工费用不在本题计算范围内．超高建筑的施工（含人工辅助机械等）费用随着高度的增加而增加．现已知：距离地面高度30米（含30米）内的建筑，每立方米的施工费用平均为：400元/立方米；30米到40米（含40米）每立方米的施工费用为800元/立方米；40米以上，平均高度每增加1米，每立方米的施工费用增加100元．试计算建造本题中冷却塔的施工费用（精确到万元）高中数学《双曲线》大题50题答案解析1．在①m＞0，且C的左支上任意一点到右焦点的距离的最小值为3+，②C的焦距为6，③C上一点到两焦点距离之差的绝对值为4．这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中．问题：已知双曲线C：﹣＝1，_____，求C的方程．【解析】选①．因为m＞0，所以a2＝m，b2＝2m，c2＝3m，所以a＝，c＝，因为C的左支上任意一点到右焦点的距离的最小值为a+c，所以a+c＝+＝3+，解得m＝3，故C的方程为﹣＝1；选②．若m＞0，则a2＝m，b2＝2m，c2＝3m，所以a＝，c＝，所以C的焦距为2c＝2＝6，解得m＝3，则故C的方程为﹣＝1；若m＜0，则a2＝﹣2m，b2＝﹣m，c2＝﹣3m，所以c＝，所以C的焦距为2c＝2＝6，解得m＝﹣3，则C的方程为﹣＝1；选③．若m＞0，则a2＝m，所以a＝，因为C上一点到两个焦点的距离之差的绝对值为4，所以2a＝2＝4，解得m＝4，则C的方程为﹣＝1；若m＜0，则a2＝﹣2m，所以a＝，因为C上一点到两个焦点的距离之差的绝对值为4，所以2a＝2＝4，解得m＝﹣2，则C的方程为﹣＝1．2．已知双曲线C的右焦点F，半焦距c＝2，点F到直线的距离为，过点F作双曲线C的两条互相垂直的弦AB，CD，设AB，CD的中点分别为M，N．（1）求双曲线C的标准方程；（2）证明：直线MN必过定点，并求出此定点的坐标．【解析】（1）由题意可得c＝2，c﹣＝，b2＝c2﹣a2，解得：a2＝3，b2＝1，所以双曲线的方程为：﹣y2＝1；（2）证明：设F（2，0）设过F的弦AB所在的直线方程为：x＝ky+2，A（x1，y1），B（x2，y2），则有中点M（+2，），联立直线AB与双曲线的方程：整理可得：（k2﹣3）y2+4ky+1＝0，因为弦AB与双曲线有两个交点，所以k2﹣3≠0，y1+y2＝，所以x1+x2＝k（y1+y2）+4＝，所以M（，）；（i）当k＝0时，M点即是F，此时直线MN为x轴；（ii）当k≠0时，将M的坐标中的k换成﹣，同理可得N的坐标（，﹣），①当直线MN不垂直于x轴时，直线MN的斜率k MN＝＝，将M代入方程可得直线MN：y﹣＝（x﹣），化简可得y＝（x﹣3），所以直线MN恒过定点P（3，0）；②当直线MN垂直于x轴时，＝可得k＝±1，直线也过定点P（3，0）；综上所述直线MN恒过定点P（3，0）．3．设双曲线Γ的方程为：x2﹣＝1．（1）设1是经过点M（1，1）的直线，且和Γ有且仅有一个公共点，求l的方程；（2）设11是Γ的一条渐近线，A、B是11上相异的两点．若点P是Γ上的一点，P关于点A的对称点记为Q，Q关于点B的对称点记为R．试判断点R是否可能在Γ上，并说明理由．【解析】（1）①当直线l斜率不存在时，方程为x＝1，显然与双曲线Γ相切，只有一个交点，符合题意，②当直线l的斜率存在且与双曲线Γ相切时，设斜率为k，则直线l的方程为y﹣1＝k（x﹣1），即y＝kx﹣k+1联立方程，消去y得：（4﹣k2）x2﹣2k（1﹣k）x﹣[（1﹣k）2+4]＝0，∵直线l和双曲线Γ有且仅有一个公共点，∴△＝4k2（1﹣k）2+4（4﹣k2）[（1﹣k）2+4]＝0，化简得：80﹣32k＝0，∴，∴直线l的方程为：y＝，即5x﹣2y﹣3＝0，③当直线l与双曲线Γ的渐近线平行时，也与双曲线Γ有且仅有一个公共点，∵双曲线Γ的渐近线方程为：y＝±2x，∴直线l的斜率为±2，∴直线l的方程为y﹣1＝2（x﹣1）或y﹣1＝﹣2（x﹣1），即2x﹣y﹣1＝0或2x+y﹣3＝0，综上所述，直线l的方程为：x＝1或5x﹣2y﹣3＝0或2x﹣y﹣1＝0或2x+y﹣3＝0；（2）假设点R在双曲线Γ上，不妨设直线l1方程为：y＝2x，设点A（x1，2x1），B（x2，2x2），点P（x0，y0），∵P关于点A的对称点记为Q，∴点Q（2x1﹣x0，4x1﹣y0），∵Q关于点B的对称点记为R．∴点R（2x2﹣2x1+x0，4x2﹣4x1+y0），∵点R在双曲线Γ上，∴，∴﹣＝1，∴，又∵点P（x0，y0）在双曲线Γ：x2﹣＝1上，∴x02﹣＝1，∴上式化为：4（x2﹣x1）•x0﹣2（x2﹣x1）•y0＝0，又∵x1≠x2，∴4x0＝2y0，∴y0＝2x0，又∵x02﹣＝1，∴，∴0＝1，此式显然不成立，故假设不成立，所以点R不可能在双曲线Γ上．4．在平面直角坐标系中，已知双曲线I：，A，B分别为I的左，右顶点．（1）以A为圆心的圆与I恰有三个不同的公共点，写出此圆的方程；（2）直线L过点A，与I在第一象限有公共点P，线段AP的垂直平分线过点B，求直线L的方程；（3）I上是否存在异于A、B点M、N，使+2＝成立，若存在，求出所有M、N的坐标，若不存在说明理由．【解析】（1）双曲线I：，A（﹣2，0），B（2，0），由题意可得以A为圆心的圆经过B，则圆的半径r＝4，圆的方程为（x+2）2+y2＝16；（2）直线L过点A（﹣2，0），且直线的斜率存在，设直线L的方程为y＝k（x+2），（k＞0），联立双曲线方程消去y，可得（5﹣4k2）x2﹣16k2x﹣16k2﹣20＝0，可得x A+x P＝，可得x P＝，y P＝k（x+2）＝，可得AP的中点T坐标为（，），由题意可得k TB＝﹣，即为＝﹣，解得k＝（负的舍去），则直线L的方程为y＝（x+2）；（3）假设I上存在异于A、B点M、N，使+2＝成立．设M（x1，y1），N（x2，y2），由+2＝，可得x2＝2﹣2x1，y2＝﹣2y1，将M，N的坐标代入双曲线的方程可得﹣＝1，即﹣＝1，又﹣＝1，解得x1＝2，y1＝0，与B重合，故不存在．5．（Ⅰ）已知中心在原点的双曲线C的焦点坐标为，，且渐近线方程为，求双曲线C的标准方程；（Ⅱ）在圆x2+y2＝3上任取一点P，过点P作y轴的垂线段PD，D为垂足，当点P在该圆上运动时，求线段PD的中点M的轨迹方程．【解析】（Ⅰ）依题可知双曲线的焦点在y轴上，设其方程为：，且①，双曲线的渐近线方程为，即②．又∵a2+b2＝c2…③，由①②③可得．得双曲线方程为：；（Ⅱ）设轨迹上任一点M的坐标为（x，y），点P的坐标为（x0，y0），则依题意可知D点坐标为（0，y0），∵PD的中点为M，∴，即，∵点P在圆x2+y2＝3上运动，，得4x2+y2＝3，经检验所求方程符合题意，∴点M的轨迹方程为．6．设离心率为3，实轴长为1的双曲线E：（a＞b＞0）的左焦点为F，顶点在原点的抛物线C的准线经过点F，且抛物线C的焦点在x轴上．（I）求抛物线C的方程；（Ⅱ）若直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，且满足OM⊥ON，求|MN|的最小值．【解析】（I）离心率为3，实轴长为1，即e＝＝3，a＝，可得c＝，F（﹣，0），可设抛物线的方程为y2＝2px，p＞0，可得＝，即p＝3，可得抛物线的方程为y2＝6x；（Ⅱ）设直线l的方程为x＝my+t，设点M（x1，y1）、N（x2，y2），则x1＝，x2＝，将直线l的方程与抛物线C的方程联立，得y2﹣6my﹣6t＝0，由韦达定理得y1+y2＝6m，y1y2＝﹣6t，∵OM⊥ON，∴k OM•k ON＝•＝﹣＝﹣1，即t＝6，由△＝36m2+24×6＞0恒成立，则|MN|＝＝•＝6≥12，当且仅当m＝0时，|MN|取得最小值12．7．2018年世界人工智能大会已于2018年9月在上海徐汇西岸举行，某高校的志愿者服务小组受大会展示项目的启发，会后决定开发一款“猫捉老鼠”的游戏，如图：A、B两个信号源相距10米，O是AB的中点，过O点的直线l 与直线AB的夹角为45°，机器猫在直线l上运动，机器鼠的运动轨迹始终满足：接收到A点的信号比接收到B点的信号晚秒（注：信号每秒传播v0米）．在时刻t0时，测得机器鼠距离O点为4米．（1）以O为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系（如图），求时刻t0时机器鼠所在位置的坐标；（2）游戏设定：机器鼠在距离直线l不超过1.5米的区域运动时，有“被抓”的风险．如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变，是否有“被抓”风险？【解析】（1）设机器鼠位置为点P，由题意可得﹣＝，即|PA|﹣|PB|＝8＜10，可得P的轨迹为双曲线的右支，且2c＝10，2a＝8，即有c＝5，a＝4，b＝3，则P的轨迹方程为﹣＝1（x≥4），时刻t0时，|OP|＝4，即P（4，0），可得机器鼠所在位置的坐标为（4，0）；（2）设直线l的平行线l1的方程为y＝x+m，联立双曲线方程﹣＝1（x≥4），可得7x2+32mx+16m2+144＝0，即有△＝（32m）2﹣28（16m2+144）＝0，且x1+x2＝﹣＞0，可得m＝﹣即l1：y＝x﹣与双曲线的右支相切，切点即为双曲线右支上距离l最近的点，此时l与l1的距离为d＝＝，即机器鼠距离l最小的距离为＞1.5，则机器鼠保持目前运动轨迹不变，没有“被抓”的风险．8．已知离心率为2的双曲线C的一个焦点F（c，0）到一条渐近线的距离为（1）求双曲线C的方程；（2）设A1，A2分别为C的左右顶点，P为C异于A1，A2一点，直线A1P与A2P 分别交y轴于M，N两点，求证：以线段MN为直径的圆D经过两个定点．【解析】（1）设C：，因为离心率为2，所以c＝2a，．所以C的渐近线为，由，得c＝2．于是a＝1，，故C的方程为．（2）方法一、设P（x0，y0）（x0≠±1），因为A1（﹣1，0），A2（1，0），可得直线A1P与A2P方程为，．由题设，所以，，，MN中点坐标，于是圆D的方程为．因为，所以圆D的方程可化为．当y＝0时，，因此D经过两个定点和．方法二、设P（x0，y0）（x0≠±1），因为A1（﹣1，0），A2（1，0），可得直线A1P与A2P方程为，，由题设，所以，．设P（x，y）是圆D上点，则，即于是圆D的方程为．因为，所以圆D的方程可化为．当y＝0时，，因此D经过两个定点和．9．已知F1，F2为双曲线的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的垂线，在x轴上方交双曲线C于点M，且∠MF1F2＝30°．（1）求双曲线C的两条渐近线的夹角θ；（2）过点F2的直线l和双曲线C的右支交于A，B两点，求△AF1B的面积最小值；（3）过双曲线C上任意一点Q分别作该双曲线两条渐近线的平行线，它们分别交两条渐近线于Q1，Q2两点，求平行四边形OQ1QQ2的面积．【解析】（1）双曲线的a＝1，c＝，可令x＝c，解得y＝b＝b2，设M（c，b2），由∠MF1F2＝30°，可得b2＝2c tan30°＝，解得b＝，则双曲线的方程为x2﹣＝1，可得双曲线的方程为y＝±x，即有tanθ＝||＝2，可得夹角θ＝arctan2；（2）当直线AB的斜率不存在，可得A（，2），B（，﹣2），可得△AF1B的面积为×2×4＝4；直线AB的斜率存在，设过点F2的直线l设为y＝k（x﹣），联立双曲线方程2x2﹣y2＝2，可得（2﹣k2）x2+2k2x﹣3k2﹣2＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），又x1+x2＝﹣＞0，x1x2＝﹣＞0，可得k2＞2，可得△AF1B的面积为S＝•2c•|y1﹣y2|＝•|k（x1﹣x2）|＝•|k|•＝|k|•，设t＝k2﹣2（t＞0），可得S＝4•＝4•＞4，综上可得△AF1B的面积的最小值为4；（3）设Q（m，n），可得2m2﹣n2＝2，双曲线的渐近线方程为y＝±x，Q到直线y＝x的距离为d＝，由平行于直线y＝﹣x的直线y＝﹣（x﹣m）+n，联立直线y＝x，可得Q2（，），|OQ2|＝|n+m|，即有行四边形OQ1QQ2的面积为d•|OQ2|＝|n+m|•＝•|2m2﹣n2|＝•2＝．10．已知双曲线的一条渐近线方程为，点在双曲线上，抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F与双曲线的右焦点重合．（Ⅰ）求双曲线和抛物线的标准方程；（Ⅱ）过点F做互相垂直的直线l1，l2，设l1与抛物线的交点为A，B，l2与抛物线的交点为D，E，求|AB|+|DE|的最小值．【解析】（Ⅰ）由题意可得，即，所以双曲线方程为x2﹣3y2＝3b2，将点（2，1）代入双曲线方程，可得b2＝3，所以双曲线的标准方程为，c2＝a2+b2＝12，所以，所以抛物线的方程为．（Ⅱ）由题意知，l1，l2与坐标轴不平行，设直线l1的方程为，。
八年级-双曲线
专题11 双曲线例题与求解【例1】（1）如图，已知双曲线(0)ky x x=>经过矩形OABC 边AB 的中点F 且交BC 于点E ，四边形OEBF 的面积为2，则k = .（兰州市中考试题）（2）如图，△P 1OA 1，△P 2A 1A 2都是等腰直角三角形，点P 1，P 2在函数4(0)y x x=>的图象上，斜边OA 1，A 1A 2都在x 轴上，则点A 2的坐标是 .（南通市中考试题）解题思路：对于（1），通过连线，把相关图形的面积用k 表示；对于（2），设1OA a =，12A A b =，把A ，C 两点坐标用a ，b 表示.【例2】如图，P 是函数1(0)2y x x=>图象上一点，直线1y x =-+交x轴于点A ，交y 轴于点B ，PM ⊥x 轴于M ，交AB 于E ，PN ⊥y 轴于N ，交AB 于F ，则AF BE ⋅的值为 .（北京市竞赛试题）解题思路：设(,)P a b ，把AF ，BE 用a ，b 的式子表示.【例3】如图，已知直线12y x =与双曲线(0)ky x x=>交于A 、B 两点，且点A 的横坐标为4. （1）求k 的值；（2）若双曲线(0)ky x x=>上一点C 的纵坐标为8，求△AOC 的面积；（3）过原点O 的另一条直线l 交(0)ky x x=>于P 、Q 两点（P 点在第一象限），若由点A 、B 、P 、Q 为顶点组成的四边形面积为24，求点P 的坐标.xx（福州市中考试题）解题思路：对于（2），有下列不同的解法：图1 图2 图3对于（3），需要思考的是，四边形APBQ 的形状，P 点与A 点有怎样的位置关系. 【例4】已知反比例函数2ky x=和一次函数21y x =-，其中一次函数的图象经过(,)a b ，(1,)a b k ++两点.（1）求反比例函数的解析式；（2）如图，已知A 点在第一象限且同时在上述两个函数的图象上，求A 点坐标；（3）利用（2）的结果，请问：在x 轴上是否存在点P ，使△AOP 为等腰三角形？若存在，把符合条件的P 点坐标都求出来；若不存在，请说明理由.解题思路：对于（3），应分类讨论，并注意A 点坐标隐含的信息.【例5】一次函数y ax b =+的图象分别与x 轴、y 轴交于点M 、N ，与反比例函数ky x=的图象相交于点A 、B ，过点A 分别作AC ⊥x 轴，AE ⊥y 轴，垂足分别为C ，E ；过点B 分别作BF ⊥x 轴，BD ⊥y 轴，垂足分别为F ，D ，AC 与BD 交于点K ，连接CD .（威海市中考试题）解题思路：对于（1），通过连线证明面积相等，进而可证AB∥DC，则四边形ANDC，DCMB为平行四边形；（2）方法同（1）.（沈阳市中考试题）。
高考数学专题复习：双曲线(含解析)
高考数学专题复习：双曲线(含解析)本文存在大量的格式错误和段落问题，需要进行修正和删减。
修正后的文章如下：研究目标：1.理解双曲线的定义、几何图形、标准方程以及简单几何性质。
2.理解数形结合的思想。
3.了解双曲线的实际背景及其简单应用。
一、单选题1.设 $F_1,F_2$ 分别是双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的左右焦点，点 $P$ 在双曲线 $C$ 的右支上，且 $F_1P=F_2P=c$，则 $\frac{c^2}{a^2-b^2}$ 的值为：A。
$1$B。
$\frac{1}{2}$C。
$\frac{1}{3}$D。
$\frac{1}{4}$答案】B解析】根据双曲线的性质求出 $c$ 的值，结合向量垂直和向量和的几何意义进行转化求解即可。
点睛】本题主要考查双曲线性质的意义，根据向量垂直和向量和的几何意义是解决本题的关键。
2.设 $F_1(-1,0),F_2(1,0)$ 是双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的左右焦点，$A(0,b)$ 为左顶点，点$P$ 为双曲线右支上一点，且 $AP=\frac{a}{2}$，则$\frac{b^2}{a^2}$ 的值为：A。
$1$B。
$\frac{1}{2}$C。
$\frac{1}{3}$D。
$\frac{1}{4}$答案】D解析】先求出双曲线的方程为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，再求出点 $P$ 的坐标，最后求$\frac{b^2}{a^2}$。
点睛】本题主要考查双曲线的几何性质和向量的数量积运算，考查双曲线方程的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力。
双曲线的通径为 $2a$。
3.已知直线$l$ 的倾斜角为$\theta$，且$l: y=x\tan\theta$，直线 $l$ 与双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的左、右两支分别交于 $A,B$ 两点，$OA\perp$轴，$OB\perp$轴（其中 $O$、$F_1,F_2$ 分别为双曲线的坐标原点、左、右焦点），则该双曲线的离心率为：A。
高中数学双曲线习题及答案解析
双曲线习题练习及答案解析1、已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一条渐近线方程为y x =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点.则C 的方程为（ ）A ．221810x y -=B ．22145x y -=C ．22154x y -=D ．22143x y -=【答案】B 因为双曲线的一条渐近线方程为2y x =，则b a =.① 又因为椭圆221123x y +=与双曲线有公共焦点，双曲线的焦距26c =，即c ＝3，则a 2＋b 2＝c 2＝9.②.由①②解得a ＝2，b ＝，则双曲线C 的方程为22145x y -=.故选：B.2已知双曲线22221x y a b-=（a 、b 均为正数）的两条渐近线与直线1x =-围成的三）A.B. C. D. 2【答案】D解：双曲线的渐近线为by x a=±，令1x =-，可得b y a=，不妨令1,b A a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,b B a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以2b AB a =，所以12AOBA S AB x =⋅=AB ∴=，即2b a =b a =2c e a ===；故选：D3已知双曲线C 的中心为坐标原点，一条渐近线方程为2y x =，点()22,2P -在C 上，则C 的方程为A. 22124x y -=B. 221714x y -=C. 22142x y -=D. 221147y x -=【答案】B由于C 选项的中双曲线的渐近线方程为22y x =±，不符合题意，排除C 选项.将点()22,2P -代入A,B,D 三个选项，只有B 选项符合，故本题选B.4已知双曲线C ：2218y x -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，O 为坐标原点，点P在C 的一条渐近线上，若2OP PF =，则12PF F △的面积为 （ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C双曲线C ：2218y x -=中，1(3,0)F -，2(3,0)F ，渐近线方程：y =±，因2OP PF =，则点P 在线段2OF 的中垂线：32x =上，则P 点纵坐标y 0有0||y =所以12PF F △面积121201||||2PF F SF F y =⋅=故选：C 5已知双曲线C ：()22102y x m m m -=>+，则C 的离心率的取值范围为（ ）A ．(B ．()1,2C ．)+∞D ．()2,+∞【答案】C双曲线()22102y x m m m -=>+的离心率为e ===，因为0m >，所以e =>C的离心率的取值范围为)+∞.故选：C.6若双曲线2288ky x -=的焦距为6，则该双曲线的离心率为（ ）A.4B.32C. 3D.103因为2288ky x -=为双曲线，所以0k ≠，化为标准方程为：22181y x k -=. 由焦距为6可得：3c ==，解得：k =1.所以双曲线为22181y x -=.所以双曲线的离心率为4c e a ===.故选：A7已知1F ，2F 分别是双曲线22124y x -=的左，右焦点，若P 是双曲线左支上的点，且1248PF PF ⋅=．则12F PF △的面积为（ ） A. 8B. 16C. 24D. 【答案】C 因为P 是双曲线左支上的点，所以2122PF PF a -==，22124100F F c ==． 在12F PF △中，()22221212121212121212cos 22cos F F PF PF PF PF F PF PF PF PF PF PF PF F PF=+-∠=-+-∠，即110049696cos F PF=+-∠，所以1cos 0F PF ∠=，12in 1s P F F =∠，故12F PF △的面积为121242PF PF ⋅=．故选：C ．8已知双曲线()222:1016x y C a a -=>的一条渐近线方程为20x y -=，1F ，2F 分别是双曲线C 的左、右焦点，P 为双曲线C 上一点，若15PF =，则2PF = A.1B.9C.1或9D.3或93.B 由题意知42a=，所以2a =，所以c ==，所以152PF a c =<+=+，所以点Р在双曲线C 的左支上，所以214PF PF -=，所以29PF =.故选B9如图，F 1，F 2分别是双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，以坐标原点O为圆心，|OF 1|为半径的圆与该双曲线左支交于A ，B 两点，若△F 2AB 是等边三角形，则双曲线的离心率为( )B. 211【答案】D 连接1AF ，依题意知：21AF =，12122c F F AF ＝＝，所以21121)a AF AF AF =-=1c e a ===. 10已知双曲线22214x y b-=()0b >的左右焦点分别为1F 、2F ，过点2F 的直线交双曲线右支于A 、B 两点，若1ABF ∆是等腰三角形，且120A ∠=︒．则1ABF ∆的周长为（ ） A．83+ B．)41C．83+ D．)22【答案】A双曲线的焦点在x 轴上，则2,24a a ==；设2||AF m =，由双曲线的定义可知：12||||24AF AF a m =+=+， 由题意可得：1222||||||||||AF AB AF BF m BF ==+=+， 据此可得：2||4BF =，又 ，∴12||2||8BF a BF =+=，1ABF 由正弦定理有:11||||sin120sin 30BF AF =︒︒,即11|||BF AF =所以8)m =+，解得：m =1ABF ∆的周长为： 11||||||AF BF AB ++=122(4)8162833m ++=+⨯=+故选：A11已知双曲线C ：2218y x -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，O 为坐标原点，点P在C 的一条渐近线上，若2OP PF =，则12PF F △的面积为 （ ） A．B．C． D．【答案】C双曲线C ：2218y x -=中，1(3,0)F -，2(3,0)F，渐近线方程：y =±，因2OP PF =，则点P 在线段2OF 的中垂线：32x =上，则P 点纵坐标y 0有0||y = 所以12PF F △面积121201||||2PF F S F F y =⋅=故选：C12双曲线22221x y a b-=与22221x y a b -=-的离心率分别为12,e e ，则必有（ ）A. 12e e =B. 121e e ⋅=C.12111e e += D. 2212111e e += 【答案】D13多选以已知双曲线的虚轴为实轴、实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线，则以下说法，正确的有（ ） A. 双曲线与它的共轭双曲线有相同的准线 B. 双曲线与它的共轭双曲线的焦距相等 C. 双曲线与它的共轭双曲线的离心率相等 D. 双曲线与它的共轭双曲线有相同的渐近线 【答案】BD由双曲线对称性不妨令双曲线C 的方程为：22221(0,0)x y a b a b-=>>，则其共轭双曲线C '的方程为22221y x b a-=，对于A ，双曲线C 的准线垂直于x 轴，双曲线C '的准线垂直于y 轴，A 不正确；对于B ，双曲线C 和双曲线C '的半焦距均为：c =，所以焦距相同，B 正确；对于C ，由B 选项知，双曲线C 的离心率为1ce a=，而双曲线C '的离心率为2c e b =，而a ，b 不一定等，C 不正确；对于D ，双曲线C 和双曲线C '的渐近线均为by x a=±，D 正确. 故选：BD13多选已知双曲线C ：()222104x y b b-=>的离心率为72，1F ，2F 分别为C 的左右焦点，点P 在C 上，且26PF =，则（ ）A ．7b =B ．110PF =C ．OP =D ．122π3F PF ∠=【答案】BCD72=，可得b =A 不正确，而7c ==，因为27||6c PF =>=，所以点P 在C 的右支上，由双曲线的定义有：121||||||624PF PF PF a -=-==，解得1||10PF =，故选项B 正确，在12PF F △中，有2222221271076cos cos 02727OP OP POF POF OP OP +-+-∠+∠=+=⨯⨯⨯⨯，解得||OP =，22212106141cos 21062F PF +-∠==-⨯⨯，所以1223F PF π∠=，故选项C ，D 正确. 故选：BCD.多选若方程22151x y t t +=--所表示的曲线为C ，则下面四个命题中正确的是A ．若1＜t ＜5，则C 为椭图B ．若t ＜1．则C 为双曲线 C ．若C 为双曲线，则焦距为4D ．若C 为焦点在y 轴上的椭圆，则3＜t ＜5 【答案】BD 14多选已知双曲线C 1：)0,0(12222>>=-b a b y a x 的实轴长是2，右焦点与抛物线C 2：y 2＝8x 的焦点F 重合，双曲线C 1与抛物线C 2交于A 、B 两点，则下列结论正确的是 ( ▲ )A ．双曲线C 1的离心率为2 3B ．抛物线C 2的准线方程是x ＝－2 C ．双曲线C 1的渐近线方程为y ＝±3x D. |AF |＋|BF |＝320 【答案】BC【解析】由题意可知对于C 1：()0012222>>=-b a by a x ，，实轴长为2a =2，即a =1，而C 2：y 2＝8x 的焦点F 为（2，0），所以c =2，则双曲线C 1的方程为1322=-yx ，则对于选项A ，双曲线C 1的离心率为212==a c ，所以选项A 错误；对于选项B ，抛物线C 2的准线方程是x ＝－2，所以选项B 正确；对于选项C ，双曲线C 1的渐近线方程为y ＝±abx ＝±3x ，所以选项C 正确；对于选项D ，由y 2＝8x 与1322=-y x 联立可得A （3，62），B （3，62-），所以由抛物线的定义可得 |AF |＋|BF |＝10433=++=++p x x B A ，所以选项D 错误，综上答案选BC.14多选12,F F 分别是双曲线2221(0)y x b b-=>的左右焦点，过2F 作x 轴的垂线与双曲线交于,A B 两点，若1ABF 为正三角形，则（ ）A.b = B.C. 双曲线的焦距为D.1ABF 的面积为【答案】ABD在正三角形1ABF 中，由双曲线的对称性知，12F F AB ⊥，12||2||AF AF =， 由双曲线定义有：12||||2AF AF -=，因此，1||4AF =，2||2AF =，12||F F ==即半焦距c =b =，A 正确；双曲线的离心率1ce ==B 正确；双曲线的焦距12F F =C 不正确；1ABF 的面积为21||4AF =D 正确.故选：ABD15多选已知双曲线C 的左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F 的直线与双曲线的右支交于A 、B 两点，若122||||2||AF BF AF ==，则( )A. 11AF B F AB ∠=∠B. 双曲线的离心率e =C. 直线的AB 斜率为±D. 原点O 在以2F 为圆心，2AF 为半径的圆上 【答案】ABC 如图：设122||||2||2(0)AF BF AF m m ===>，则22||||||3AB AF BF m =+=，由双曲线的定义知，12||||22AF AF m m a -=-=，即2m a =；12||||2BF BF a -=， 即1||22BF m a -=，∴1||3||BF m AB ==，即有11AF B F AB ∠=∠，故选项A 正确；由余弦定理知，在1ABF 中，22222211111||||||4991cos 2||||2233AF BF AB m m m AF B AF BF m m +-+-∠===⋅⋅，在△12AF F 中，22222212121112||||||441cos cos 2||||223AF AF F F m m c F AB AF B AF AF m m +-+-∠===∠=⋅⋅， 化简整理得，222121144c m a ==，∴离心率ce a ==，故选项B 正确； 在△21AF F中，2222222211134443cos 224m m c m m c m AF F c m cm -+--∠===⋅⋅，21sin AF F ∠==，∴212121sin tan cos AF F AF F AF F ∠∠==∠ ∴根据双曲线的对称性可知，直线AB的斜率为±，故选项C 正确； 若原点O 在以2F 为圆心，2AF 为半径的圆上，则2c m a ==，与3c a =不符，故选项D 错误．故选：ABC ．16多选已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F，一条渐近线过点(，则下列结论正确的是（ ）A. 双曲线CB. 双曲线C 与双曲线22124y x -=有相同的渐近线C. 若F 到渐近线的距离为2，则双曲线C 的方程为22184x y -=D. 若直线2:a l x c=与渐近线围成的三角形面积为则焦距为【答案】BCD 渐近线的方程为by x a=±，因为一条渐近线过点(，故b a ⨯=a ===，故A 错误.又渐近线的方程为2y x =±，而双曲线22124y x -=的渐近线的方程为2y x =±， 故B 正确.若F 到渐近线的距离为2，则2b =，故a =C 的方程为22184x y -=，故C 正确. 直线2:a l x c =与渐近线的两个交点的坐标分别为：2,a ab c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭及2,a ab cc ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故2122a ab c c =⨯⨯⨯即23a b =，而a =，故b =，a =，所以23=，所以c =，故焦距为D 正确.故选：B CD.16多选已知点P 在双曲线221169x y -=上，1F ，2F 分别是左、右焦点，若12PF F △的面积为20，则下列判断正确的有（ ） A. 点P 到x 轴的距离为203B. 12503PF PF += C. 12PF F △为钝角三角形 D. 123F PF π∠=【答案】BC由双曲线方程得4a =，3b =，则5c =，由△12PF F 的面积为20，得112||10||2022P P c y y ⨯⨯=⨯=，得||4P y =，即点P 到x 轴的距离为4，故A 错误， 将||4P y =代入双曲线方程得20||3P x =，根据对称性不妨设20(3P ，4)，则213||3PF =， 由双曲线的定义知12||||28PF PF a -==，则11337||833PF =+=， 则12133750||||333PF PF +=+=，故B 正确，在△12PF F 中，113713||210||33PF c PF =>=>=， 则24012020553PF k -==>-，21PF F ∠为钝角，则△12PF F 为钝角三角形，故C 正确， 2222121212121212121337641002||||||(||||)2||||10033cos 13372||||2||||233PF PF F F PF PF PF PF F PF PF PF PF PF -+⨯⨯+--+-∠===⨯⨯3618911121337133729⨯=-=-≠⨯⨯⨯，则123F PF π∠=错误，故正确的是BC ，故选16双曲线:C 2214x y -=的渐近线方程为__________，设双曲线1:C 22221(0,0)x y a b a b -=>>经过点(4，1)，且与双曲线C 具有相同渐近线，则双曲线1C 的标准方程为__________．【答案】12y x =± 221123y x -=【解析】(1)双曲线:C 2214x y -=的焦点在y 轴上，且1,2a b ==，渐近线方程为ay x b=±， 故渐近线方程为12y x =±；(2)由双曲线1C 与双曲线C 具有相同渐近线，可设221:4y C x λ-=，代入(4,1)有224134λλ-=⇒=-，故212:34x C y -=-，化简得221123y x -=.17已知O 为坐标原点，抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，若6FQ =，则PF =______. 【答案】3抛物线C ：22y px = (0p >)的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，∵P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，所以P 的横坐标为2p ，代入抛物线方程求得P 的纵坐标为p ±，不妨设(,)2pP p ， 因为Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，所以Q 在F 的右侧， 又||6FQ =，(6,0)2pQ +，(6,)PQ p =-，因为PQ OP ⊥，所以2602pPQ OP p ⋅=⨯-=， 0,3p p >∴=，所以PF =3故答案为△3.若双曲线1C ：()2230y x λλ-=≠的右焦点与抛物线2C ：28y x =的焦点重合，则实数λ=（ ） A. 3±B.C. 3D. -3【答案】D双曲线1C 的右焦点与抛物线的焦点(2,0)重合，所以双曲线1C 方程化：()22103y x λλλ-=≠，再转化为：()22103x y λλλ-=<--，所以23a λ=-， 2b λ=-，所以222433c a b λλλ=+=--=-，所以c =2=平方得 3.λ=-故选：D.17设双曲线：的右焦点为，点，已知点在双曲线的左支上，若的周长的最小值是，则双曲线的标准方程是__________，此时，点的坐标为__________．【答案】【解析】如下图，设为双曲线的左焦点，连接，，则，，故的周长， 因为，所以的周长， 因为的周长的最小值是，，，所以，的方程为， 当的周长取最小值时，点在直线上，因为，，所以直线的方程为，联立，解得，或（舍去）， 故的坐标为．故答案为：，．C 2221(0)y x b b-=>F ()0,Q b P CPQF △8C P 2214y x -=⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D C PD QD QD QF =2PFPD =+PQF△2l PQ PF QF PQ PD QD =++=+++PQ PD QD +≥=PQF△2l ≥PQF △82228,9c b +=+=22221cbab2b =c =C 2214y x -=PQF △P QD ()0,2Q ()D QD 25y x =+222514y x y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩1x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩4x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩P 2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭2214y x -=,12⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭18已知双曲线()221112211:10,0x y C a b a b -=>>与()222222222:10,0y x C a b a b -=>>有相同的渐近线，若1C 的离心率为2，则2C 的离心率为__________.双曲线()221112211:10,0x y C a b a b -=>>的渐近线方程为11b y x a =± ，()222222222:10,0y x C a b a b -=>>的渐近线方程为22a y x b =±，由题意可得1212b a a b =，由1C 的离心率为2得：22211121()b e a ==+ ，则222()3a b = ， 所以设2C 的离心率为2e ，则22222141()133b e a =+=+=，故2=e ，故答案为：19知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，焦点()()()12,0,00F c F c c ->，，左顶点(),0A a -，若过左顶点A 的直线和圆22224a a x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭相切，与双曲线在第一象限交于点P ，且2PF x ⊥轴，则直线的斜率是 _____， 双曲线的离心率是 _________. 【答案】如图，设圆22224a a x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭的圆心为B ，则圆心坐标(,0)2a B ，半径为2a ，则32a AB =，设过左顶点A 的直线和圆22224a a x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭相切于点C ，连接BC ，则2a BC =，所以AC ==，得tan aBC BAC AC ∠===；2PF x ⊥轴，由双曲线的通径可得，22b PF a=，又2AF a c =+，所以222tan PF AF b a BAC a c ∠===+，化简得24(40e -=，求解得e =.已知双曲线C ：﹣y 2＝1．（Ⅰ）求以C 的焦点为顶点、以C 的顶点为焦点的椭圆的标准方程； （Ⅱ）求与C 有公共的焦点，且过点（2，﹣）的双曲线的标准方程，并且求出这条双曲线的实轴长、焦距、离心率以及渐近线方程．解：（Ⅰ）双曲线C ：﹣y 2＝1的焦点为（±，0），顶点为（±2，0），设椭圆的标准方程为+＝1（a ＞b ＞0），可得c ＝2，a ＝，b ＝＝1，则椭圆的方程为+y 2＝1；（Ⅱ）设所求双曲线的方程为﹣＝1（m ．n＞0），由题意可得m 2+n 2＝5，﹣＝1，解得m ＝，n ＝，即所求双曲线的方程为﹣＝1，则这条双曲线的实轴长为2、焦距为2、离心率为以及渐近线方程为y＝±x ．20已知双曲线C ：﹣＝1（a ＞0，b ＞0）与双曲线﹣＝1有相同的渐近线，且经过点M （，﹣）．（Ⅰ）求双曲线C 的方程；（Ⅱ）求双曲线C 的实轴长，离心率，焦点到渐近线的距离．：（Ⅰ）∵双曲线C 与双曲线﹣＝1有相同的渐近线，∴设双曲线的方程为（λ≠0），代入M （，﹣）．得λ＝，故双曲线的方程为：．（Ⅱ）由方程得a ＝1，b ＝，c ＝，故离心率e ＝． 其渐近线方程为y ＝±x ；实轴长为2， 焦点坐标F （，0），解得到渐近线的距离为：＝．21已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>，点)是双曲线的一个顶点．（1）求双曲线的方程；（2）经过双曲线右焦点2F 作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点A ，B ，求AB ．（1）由题可得c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩3c =，b =，所以双曲线的方程为22136x y-=；（2）双曲线22136x y -=的右焦点为()23,0F所以经过双曲线右焦点2F 且倾斜角为30°的直线的方程为3)y x =-．联立221363)x y y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得256270x x +-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则1265x x +=-，12275x x =-．所以5AB ==． 22已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>与双曲线22162y x -=的渐近线相同，且经过点()2,3．（1）求双曲线C 的方程；（2）已知双曲线C 的左右焦点分别为12,F F ，直线l 经过2F ，倾斜角为3,4l π与双曲线C 交于,A B 两点，求1F AB 的面积．（1）设所求双曲线C 方程为2262y x λ-=，代入点()2,3得：223262λ-=，即12λ=-， 所以双曲线C 方程为221622y x -=-，即2213y x -=．（2）由（1）知：()()122,0,2,0F F -，即直线AB 的方程为()2y x =--．设()()1122,,,A x y B x y ，联立()22213y x y x ⎧=--⎪⎨-=⎪⎩得22470x x +-=，满足>0∆且122x x +=-，1272x x =-，由弦长公式得12||AB x x =-=6==，点()12,0F -到直线:20AB x y +-=的距离d ===所以111622F ABS AB d =⋅=⋅⋅=。
双曲线知识点总结例题
Ａ． B. C. Ｄ.【例3】已知双曲线与点M(5，3），F为右焦点，若双曲线上有一点Ｐ，使最小，则P点的坐标为考点2、求双曲线的方程求双曲线标准方程的方法１。
定义法，根据题目的条件，若满足定义,求出相应a、b、c即可求得方程. 2．待定系数法（２)待定系数法求双曲线方程的常用方法①与双曲线错误!－错误!=1有共同渐近线的双曲线方程可表示为错误!—错误!=ｔ（t≠０）；②若双曲线的渐近线方程是ｙ＝±错误!x，则双曲线的方程可表示为错误!－错误!＝t（ｔ≠0）；③与双曲线错误!—错误!＝1共焦点的方程可表示为错误!-错误!＝1（－b2＜k＜a2）;④过两个已知点的双曲线的标准方程可表示为错误!+错误!=1（mn＜0)；⑤与椭圆错误!＋错误!=1(a〉ｂ＞0)有共同焦点的双曲线方程可表示为错误!＋错误!=1(ｂ２<λ〈a2).例4、求下列条件下的双曲线的标准方程．（1）与双曲线错误!-错误!＝1有共同的渐近线，且过点(－3，2）;(2)与双曲线错误!—错误!=１有公共焦点，且过点（3，2）。
1。
在双曲线的标准方程中，若x２的系数是正的,那么焦点在x轴上；如果y2的系数是正的，那么焦点在y轴上,且对于双曲线，a不一定大于b。
2。
若不能确定双曲线的焦点在哪条坐标轴上，可设双曲线方程为:mx2+ny2＝1（mn<0），以避免分类讨论。
考点３、双曲线的几何性质双曲线的几何性质与代数中的方程、平面几何的知识联系密切，解题时要深刻理解确定双曲线的形状、大小的几个主要特征量,如a、ｂ、c、ｅ的几何意义及它们的相互关系，充分利用双曲线的渐近线方程,简化解题过程例5、（12分)双曲线Ｃ：错误!—错误!＝１（a＞0，b＞０）的右顶点为Ａ，x轴上有一点Q(2a，0)，若C上存在一点P,使错误!·错误!=0,求此双曲线离心率的取值范围。
例6、【活学活用】3。
（2012北京期末检测)若双曲线错误!—错误!＝１（a〉0,b>0）的两个焦点分别为F１、F2，P为双曲线上一点，且｜PＦ1|＝３｜PＦ2|,则该双曲线的离心率ｅ的取值范围是______＿＿。
双曲线专题复习考点技巧归纳+经典例题+变式训练+综合练习
双曲线专题复习讲义题型一 双曲线定义的应用例题1已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点M 在双曲线的右支上，点N 为2F M的中点，O 为坐标原点，2||||2ON NF b -=，则该双曲线的离心率为( )A B ．2 C D 【答案】C【解析】由N 为2F M 的中点，所以1//ON MF ，且11||||2ON MF =，故01260F MF ∠=， 2121||||(||||)2ON NF MF MF a ∴-=-=，故2a b =，设双曲线的焦距为2c ，由224a b =可得222244()a b c a ==-，即c =，故双曲线的离心率为e =，故选C ． 例题2已知点P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>右支上一点，1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点，I 为△12PF F 的内心，若121213IPF IPF IF F S S S =+成立，则双曲线的离心率为( )A ．3BCD ．4【答案】A【解析】设△12PF F 的内切圆的半径为r ．I 为△12PF F 的内心，由121213IPF IPF IF F SS S =+成立，可得121111||||22232PF r PF r c r ⋅=⋅+⨯⨯⋅．∴又12||||2PF PF a -=，1223a c ∴=⋅．232ce a∴==．故选A ． 【解题技巧提炼】双曲线上的点P 与其两个焦点F 1，F 2连接而成的三角形PF 1F 2称为焦点三角形.令|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，∠F 1PF 2＝θ，因|F 1F 2|＝2c ，所以有(1)定义：|r 1－r 2|＝2a . (2)余弦公式：.(3)面积公式：一般地，在△PF 1F 2中，通过以上三个等式，所求问题就会顺利解决.题型二 与双曲线有关的轨迹问题例题1（2021•重庆质检）在平面直角坐标系中，一动圆C 与x 轴切于点(4,0)A ，分别过点(5,0)M -、(5,0)N 作圆C 的切线并交于点P （点P 不在x 轴上），则点P 的轨迹方程为( )A ．221(4)169x y x -=>B ．221(4)169x y x -=<-C ．221(4)2516x y x +=>D ．221(4)2516x y x +=<-【答案】A【解析】由题意，在平面直角坐标系中，一动圆C 与x 轴切于点(4,0)A ，圆的圆心在4x =上，分别过点(5,0)M -、(5,0)N 作圆C 的切线并交于点P （点P 不在x 轴上），与圆交于S ，T ，所以||||MA MS =，||||NA NT =，||||PS PT =，所以||||||||54(54)8PM PN AM AN -=-=+--=，P 满足双曲线的定义， 是双曲线的右支，除去A 点，故选A ．【解题技巧提炼】求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种：(1)列出等量关系，化简得到方程；(2)寻找几何关系，双曲线的定义，得出对应的方程．求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：(1)双曲线的焦点所在的坐标轴；(2)检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支；(3)求出方程后要注意满足方程的解的坐标的点，是否都在所求曲线上．题型三 由双曲线的标准方程求其简单的几何性质例题1（2021秋•温州期中）已知双曲线222:19x y C b-=的焦距为10，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．916y x =±B ．169y x =±C ．43y x =±D ．34y x =±【答案】C【解析】双曲线222:19x y C b-=的焦距为10，210c ∴=，5c =，3a =，22925916b c ∴=-=-=，4b ∴=，∴双曲线C 的浙近线方程为43b y x x a =±=±． 故选C ．【解题技巧提炼】由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤1把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键. 2由标准方程确定焦点位置，确定a 、b 的值.3由c 2＝a 2＋b 2求出c 值，从而写出双曲线的几何性质.题型四 利用几何性质求双曲线的标准方程例题1（2020•新疆模拟）已知双曲线的一条渐近线方程为2y x =，且经过点(4,43)，则该双曲线的标准方程为( )A ．221416x y -=B ．221164y x -=C ．22128x y -=D ．22144176y x -=【答案】A【解析】1：根据题意知，2443⨯>(4,3)在渐近线方程2y x =的右下方，所以该双曲线的焦点在x 轴上，设标准方程为22221x y a b-=，且0a >，0b >；又2ba=，所以2b a =； 又2216481a b -=，即2221648414a a a -==，解得24a =，216b =，所以双曲线的标准方程是221416x y -=．解法2：根据渐近线方程设双曲线的标准方程是22(0)4y x k k -=≠，代入点(4，43)，计算得481644k =-=，所以双曲线的标准方程为2244y x -=，即221416x y -=．故选A ． 例题2 （2020秋•胶州市期末）与双曲线22:12x C y -=共渐近线，且经过10)点的双曲线的标准方程是()A ．22142x y -=B ．22124x y -=C ．22142y x -=D ．22124y x -=【答案】A【解析】根据题意，要求双曲线与双曲线22:12x C y -=共渐近线，设要求的双曲线为222x y t -=，(0)t ≠，又由双曲线经过点10，则有91024t -=， 解可得2t =，则要求双曲线的标准方程为22142x y -=；故选A ． 【解题技巧提炼】求双曲线的标准方程的方法与技巧(1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式．(2)利用渐近线与双曲线的位置关系，设有公共渐近线的双曲线方程x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)，这样可避免分类讨论，从而减少运算量，提高解题速度与准确性．拓展延伸：巧设双曲线的六种方法与技巧(1)焦点在x 轴上的双曲线的标准方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．(2)焦点在y 轴上的双曲线的标准方程可设为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)．(3)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共焦点的双曲线方程可设为x 2a 2－λ－y 2b 2＋λ＝1(λ≠0，－b 2＜λ＜a 2)．(4)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．(5)渐近线为y ＝kx 的双曲线方程可设为k 2x 2－y 2＝λ(λ≠0)． (6)渐近线为ax ±by ＝0的双曲线方程可设为a 2x 2－b 2y 2＝λ(λ≠0)．题型五 求双曲线的离心率例题1（2021秋•镇海区校级期中）双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为1e ，22221(0,0)x y a b a b-=->>的离心率为2e ，则221211e e +的值为( )A ．1B ．2C ．12D ．4【解析】双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为1e ，22221(0,0)x y a b a b -=->>的离心率为2e =2222222222122211111a b a b a b e e a b a b ++=+==+++．故选A ． 例题2 （2021秋•遵义月考）已知曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>其中一条渐近线与直线:22l x y +=平行，则此双曲线的离心率是( ) ABC ．32D【解析】根据题意，双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>，则其渐近线方程为by x a=±，又由其一条渐近线与直线:22l x y +=平行，有12b a =，即12b a =，则c =，则其离心率c e a =B ．【解题技巧提炼】 求离心率的方法与技巧(1)求双曲线离心率的常见方法：一是依据条件求出a ，c ，再计算e ＝ca ；二是依据条件建立参数a ，b ，c 的关系式，一种方法是消去b 转化成离心率e 的方程求解，另一种方法是消去c 转化成含b a 的方程，求出ba 后利用e ＝1＋b 2a2求离心率． (2)求离心率的范围一般是根据条件建立a ，b ，c 的不等式，通过解不等式得c a 或ba 的范围，再求得离心率的范围．题型六 与渐进线有关的问题例题1（2021秋•洛阳期中）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，若点(,0)A a -，(,0)B a ，C ，)b 是等腰三角形的三个顶点，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．3y x =±B ．y =C ．13y x =±D ．y = 【答案】B【解析】依题意，要使点(,0)A a -，(,0)B a ，C ，)b 是等腰三角形的三个顶点，则必有2AB BC a ==，2a ，整理可得2220c ac a --=，解得2c a =，即可得2224a a b =+，ba=所以双曲线的渐近线方程为by x a=±=，故选B ．例题2 （2021秋•南湖区月考）已知双曲线221169x y -=的右支上一点P 到其渐近线的距离为d ，F 为双曲线的左焦点，则||PF d +的最小值为( ) A ．9B ．10C ．11D ．12【解析】由双曲线的方程可得216a =，29b =，所以22225c a b =+=，可得5c =， 设双曲线的右焦点(5,0)F '，渐近线的方程为：043x y±=，即340x y ±=， 所以右焦点F '到渐近线的距离||3DF '==，由双曲线的性质可得右支上的点P 到右焦点的距离||||2PF PF a '=-，||||2||2PF d PF a d DF a ''+=+++，当且仅当F '，P ，垂足三点共线，其值最小，所以||PF d +的最小值为：2324311a +=⨯+=，故选C ．【解题技巧提炼】1．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线为y ＝±b a x ，双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1的渐近线为y ＝±ab x ，两者容易记混，可将双曲线方程中的“1”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程．2．若已知渐近线方程为mx ±ny ＝0，求双曲线方程，双曲线的焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上，可用下面的方法来解决．方法一：分两种情况设出方程进行讨论．方法二：依据渐近线方程，设出双曲线方程m 2x 2－n 2y 2＝λ(λ≠0)，求出λ即可． 显然方法二较好，避免了讨论． 3．有共同渐近线的双曲线的方程．与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有共同渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．若λ＞0，则实轴在x 轴上；若λ＜0，则实轴在y 轴上，再依据题设条件可确定λ．题型一 双曲线定义的应用1．已知1F 、2F 分别是双曲线22124y x -=的左、右焦点，若P 是双曲线左支上的点，且12||||48PF PF ⋅=．则△12F PF 的面积为( )A ．8B ．16C ．24 D．【答案】C 【解析】P 是双曲线左支上的点，21||||2PF PF ∴-=，12||10F F =，在△12PF F 中，由余弦定理得222221212211212121212||||||(||||)2||||||4248100cos 02||||2||||248PF PF F F PF PF PF PF F F F PF PF PF PF PF +--+-+⨯-∠====⨯，1290F PF ∴∠=︒，即12PF PF ⊥，∴△12F PF 的面积为1211||||482422PF PF ⋅=⨯=，故选C ． 2．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别为1F 、2F ，过点2F 作倾斜角为θ的直线l 交双曲线C 的右支于A ，B 两点，其中点A 在第一象限，若1||||AB AF =，且双曲线C 的离心率为2．则cos (θ=) A ．14B ．13C ．23D ．12【答案】A【解析】由双曲线的定义知，12||||2AF AF a -=，1||||AB AF =，221||||||AF BF AF ∴+=，即122||||||2AF AF BF a -==，12||||24BF BF a a ∴=+=，在△12BF F 中，由余弦定理知，2222121212||||||cos 2||||BF F F BF BF F F θ+-=⋅，∴2222244163cos 2222a c a c a a c ac θ+--==⋅⋅，2c e a ==，∴431cos 44θ-==，故选A ．题型二 与双曲线有关的轨迹问题1．（2021秋•海曙区校级期中）与圆22(2)2x y ++=外切，且与圆2240x y x +-=内切的圆的圆心在( ) A ．抛物线上 B ．圆上C ．双曲线的一支上D ．椭圆上【答案】C【解析】由题设，22(2)2x y ++=的圆心为(2,0)A -2240x y x +-=的圆心为(2,0)B ，半径为2，∴若所求圆的圆心为C ，半径为r ，由图及已知条件易得2r >，∴|||2AC r BC r =+=-，则||||2AC BC -=，由双曲线定义知：圆心C 在以A ，B 为焦点的双曲线的右支上． 故选C ．题型三 由双曲线的标准方程求其简单的几何性质1．（2021秋•福建期中）双曲线2214y x -=的右顶点到渐近线的距离为( )ABC ．1D ．2【答案】B【解析】由双曲线2214y x -=，得1a =，2b =，可得右顶点为(1,0)，一条渐近线方程为2y x =，即为20x y -=，可得右顶点到该双曲线一条渐近线的距离为d =．故选B ．2．（2021秋•沙坪坝区校级期中）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点，点P 为双曲线C 中第一象限上的一点，12F PF ∠的平分线与x 轴交于Q ，若214OQ OF =，则双曲线的离心率取值范围为( ) A ．(1,2) B ．(1,4) C． D．【答案】B【解析】由214OQ OF =，知Q 在线段2OF 上，且234QF c =，又12F PF ∠的平分线与x 轴交于Q ，所以1122554334c PF QF PF QF c ===， 所以1253PF PF =，又122PF PF a -=， 所以2223PF a =，又点P 为双曲线C 中第一象限上的一点，所以2PF c a >-， 所以226c a a -<，所以4ce a=<，又1e >，故14e <<．故选B ．题型四 利用几何性质求双曲线的标准方程1．（2019秋•荔湾区期末）已知双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为8，离心率为2，则该双曲线的方程为( )A ．221204x y -= B ．221412x y -= C ．2211648x y -=D ．2216416x y -=【答案】B【解析】由题意可设双曲线的标准方程为22221x y a b-=，因为双曲线的焦距为8，则28c =，所以4c =， 又双曲线的离心率为2ca=，所以2a =，则22216412b c a =-=-=， 所以双曲线的标准方程为221412x y -=，故选B ．2．（2020•梅州二模）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的渐近线方程为34y x =±，且其一个焦点为(5,0)，则双曲线C 的方程为( )A ．221916x y -=B ．221169x y -=C ．22134x y -=D ．22143x y -=【答案】B【解析】由双曲线的方程及渐近线的方程可得：34b a =，即34a b =，又由题意可得5c =，且222c a b =+， 所以解得216a =，29b =，所以双曲线的方程为：221169x y -=，故选B ．题型五 求双曲线的离心率1．（2021秋•河北期中）已知双曲线22:14x y C m -=(m = )A ．2B ．4C ．8D ．12【答案】B【解析】双曲线22:14x y C m -=，∴c a ==4m =．故选B ．题型六 与渐进线有关的问题1．（2021秋•温州期中）已知双曲线222:19x y C b-=的焦距为10，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．916y x =±B ．169y x =±C ．43y x =±D ．34y x =±【答案】C【解析】双曲线222:19x y C b-=的焦距为10，210c ∴=，5c =，3a =，22925916b c ∴=-=-=，4b ∴=，∴双曲线C 的浙近线方程为43b y x x a =±=±．故选C ．2．（2021秋•福州期中）已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴．若AB 的斜率为3，则C 的渐近线方程为( )A ．y =B ．y x =C ．2y x =±D ．12y x =±【答案】A【解析】F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x轴．若AB 的斜率为3，可得23b a c a =-，可得223()c a c a a-=-，解得2c a =，即2224a b a +=，所以ba=C 的渐近线方程为：y =．故选A ．1．（2021秋•福州期中）已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴．若AB 的斜率为3，则C 的渐近线方程为( )A ．y =B ．y x =C ．2y x =±D ．12y x =±【答案】A【解析】F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x轴．若AB 的斜率为3，可得23b a c a =-，可得223()c a c a a-=-，解得2c a =，即2224a b a +=，所以ba=C 的渐近线方程为：y =．故选A ．2．（2021秋•沙坪坝区校级期中）若双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>率的取值范围是( )A ．)+∞B ．C ．)+∞D ． 【答案】D【解析】依题意双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>经过一、三象限的渐近线斜率为k ，当k >时，可知a b >，则离心率c e a ==．故选D ．3．（2021秋•北海月考）已知双曲线22:1412x y C -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点，点P 在C 的一条渐近线上，若2||||OP PF =，则△12PF F 的面积为( ) A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意知1(4,0)F -，2(4,0)F，渐近线的方程为y =， 因为2||||OP PF =，故点P 在线段2OF 的中垂线2x =上，故0||y = 所以△12PF F的面积为1201||||2F F y ⋅=．故选D ．4．（2021秋•河南期中）如图，已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 作直线l 交双曲线C 的右支于A ，B 两点．若1||||AB AF =，且△1~F AB △21F F B ，则双曲线C 的离心率为()A ．2 BC ．32D ．4【答案】A【解析】由过点2F 作直线l 交双曲线C 的右支于A ，B 两点．所以12||||2AF AF a -=，1||||AB AF =， 所以，2||||2AB AF a -=，所以2||2BF a =，又12||||2BF BF a -=，所以1||4BF a =， 因为△1~F AB △21F F B ，所以1121AF F F ABF B=，又1||||AB AF =，所以112||||BF F F =，所以42a c =，所以离心率2ce a==，故选A ． 5．（2021秋•福建期中）双曲线2222:1(0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别是1F 、2F ，直线y kx =与曲线C交于A ，B 两点，11||3||AF BF =，且1260F AF ∠=︒，则双曲线C 的离心率是 ．【解析】设1||BF t =，因为11||3||AF BF =，则1||3AF t =，2||AF t =，所以212||||32a BF BF t t t =-=-=，2||AF a =，1||3AF a =，在三角形12AF F 中，由余弦定理可得：22212941cos 232a a c AF F a a +-∠==⨯⨯，整理可得：2c =，所以离心率e =．6．（2021秋•沙坪坝区校级期中）已知点P 在双曲线22:1169x y C -=左支上，1F ，2F 是其左、右焦点，若1260F PF ∠=︒，1211||||PF PF -= ． 【答案】29【解析】设1||PF m =，2||PF n =，由双曲线的定义可知8n m -=，在△12PF F 中，由余弦定理可得22100cos602m n mn+-︒=，22100m n mn ∴+-=，2()2100n m mn mn ∴-+-=，即36mn =， ∴211212||||1182||||||||369PF PF n m PF PF PF PF mn ---====，故答案为：29．。
双曲线经典例题讲解
第一部分 双曲线相关知识点讲解一．双曲线的定义及双曲线的标准方程：1 双曲线定义：到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨迹（21212F F a PF PF <=-（a 为常数））这两个定点叫双曲线的焦点．要注意两点：（1）距离之差的绝对值.（2）2a ＜|F 1F 2|，这两点与椭圆的定义有本质的不同.当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支； 当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支；当2a =|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线； 当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在.2.双曲线的标准方程：12222=-b y a x 和12222=-bx a y （a ＞0，b ＞0）.这里222a c b -=，其中|1F 2F |=2c.要注意这里的a 、b 、c 及它们之间的关系与椭圆中的异同.3.双曲线的标准方程判别方法是：如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上.对于双曲线，a 不一定大于b ，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.4.求双曲线的标准方程，应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解. 二．双曲线的内外部：(1)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的内部2200221x y a b ⇔->.(2)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的外部2200221x y a b ⇔-<.三.双曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为12222=-by a x ⇒渐近线方程：22220x y a b -=⇔x a by ±=.(2)若渐近线方程为x a by ±=⇔0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222by a x .(3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222by a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）. 四．双曲线的简单几何性质22a x －22by =1（a ＞0，b ＞0）⑴范围：|x |≥a ，y ∈R⑵对称性：关于x 、y 轴均对称，关于原点中心对称 ⑶顶点：轴端点A 1（－a ，0），A 2（a ，0） ⑷渐近线：①若双曲线方程为12222=-b y a x ⇒渐近线方程⇒=-02222by a x x a by ±=②若渐近线方程为x a by ±=⇒0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222by a x③若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222by a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）④与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程是λ=-2222by a x 0(≠λ⑤ 与双曲线12222=-by a x 共焦点的双曲线系方程是12222=--+k b y k a x 六.弦长公式：若直线y kx b =+与圆锥曲线相交于两点A 、B ，且12,x x 分别为A 、B 的横坐标，则AB 12x -，若12,y y 分别为A 、B 的纵坐标，则AB ＝21211y y k -+。
高中数学双曲线经典考点及例题讲解
双曲线考纲解读 1.根据双曲线的定义和性质求标准方程；2.根据双曲线的标准方程求双曲线的性质：离心率、渐近线等；3.利用双曲线定义及性质解决简单的直线与双曲线的关系问题．[基础梳理]1．双曲线的定义(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之差的绝对值(|F1F2|＝2c>0)为非零常数2a(2a<2c)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作焦距．(2)集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.①当2a<|F1F2|时，M点的轨迹是双曲线；②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是两条射线；③当2a>|F1F2|时，M点不存在．2．双曲线的标准方程与几何性质x2y2y2x2[三基自测]1．双曲线x 23－y 22＝1的焦距为( )A ．32 B.5 C ．2 5 D ．45答案：C2．若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( )A ．11B ．9C ．5D ．3 答案：B3.x 22＋m －y 2m ＋1＝－1表示双曲线，则m 的范围为________． 答案：(－∞，－2)∪(－1，＋∞) 4．(2017·高考全国卷Ⅰ改编)双曲线x 2－y 23＝1的渐近线方程为________． 答案：y ＝±3x考点一 双曲线定义及应用|易错突破[例1] (1)已知两圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝2，C 2：(x －4)2＋y 2＝2，动圆M 与两圆C 1，C 2都相切，则动圆圆心M 的轨迹方程是( )A ．x ＝0 B.x 22－y 214＝1(x ≥2) C.x 22－y 214＝1 D.x 22－y 214＝1或x ＝0 (2)已知双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点为F 1，F 2，P 为双曲线右支上一点．若|PF 1|＝43|PF 2|，求△F 1PF 2的面积．[解析] (1)动圆M 与两圆C 1，C 2都相切，有四种情况：①动圆M 与两圆都外切；②动圆M 与两圆都内切；③动圆M 与圆C 1外切、与圆C 2内切；④动圆M 与圆C 1内切、与圆C 2外切．在①②情况下，显然，动圆圆心M 的轨迹方程为x ＝0；在③的情况下，设动圆M 的半径为r ，则|MC 1|＝r ＋2，|MC 2|＝r － 2.故得|MC 1|－|MC 2|＝22；在④的情况下，同理得|MC 2|－|MC 1|＝2 2. 由③④得|MC 1|－|MC 2|＝±2 2.已知|C 1C 2|＝8，根据双曲线定义，可知点M 的轨迹是以C 1(－4,0)，C 2(4,0)为焦点的双曲线，且a ＝2，c ＝4，b 2＝c 2－a 2＝14，其方程为x 22－y 214＝1.(2)由双曲线的定义可得|PF 1|－|PF 2|＝13|PF 2|＝2a ＝2，解得|PF 2|＝6，故|PF 1|＝8，又|F 1F 2|＝10，故三角形PF 1F 2为直角三角形，因此S △PF 1F 2＝12|PF 1|×|PF 2|＝24.[答案] (1)D[易错提醒][纠错训练]1．(2018·陕西师大附中模拟)设过双曲线x 2－y 2＝9右焦点F 2的直线交双曲线的左支于点P ，Q ，F 2为双曲线的右焦点．若|PQ |＝7，则△F 2PQ 的周长为( )A ．19B ．26C ．43D ．50解析：如图，由双曲线的定义可得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 2|－|PF 1|＝2a ， ①|QF 2|－|QF 1|＝2a ， ②①＋②得|PF 2|＋|QF 2|－|PQ |＝4a ， ∴△F 2PQ 的周长为|PF 2|＋|QF 2|＋|PQ | ＝4a ＋|PQ |＋|PQ |＝4×3＋2×7＝26.答案：B2．已知F 1，F 2为双曲线x 25－y 24＝1的左，右焦点，P (3,1)为双曲线内一点，点A 在双曲线上，求|AP |＋|AF 2|的最小值．解析：由题意知，|AP |＋|AF 2|＝|AP |＋|AF 1|－2a ，要求|AP |＋|AF 2|的最小值，只需求|AP |＋|AF 1|的最小值，当A ，P ，F 1三点共线时，取得最小值，则|AP |＋|AF 1|＝|PF 1|＝37，∴|AP |＋|AF 2|＝|AP |＋|AF 1|－2a ＝37－2 5.考点二 双曲线的方程及性质|方法突破命题点1 求双曲线的方程[例2] (1)已知焦点在y 轴上的双曲线C 的一条渐近线与直线l ：x ＋3y ＝0垂直，且C 的一个焦点到l 的距离为3，则双曲线C 的标准方程为( )A.y 29－x 23＝1 B.x 29－y 23＝1 C.y 24－x 26＝1 D.x 24－y 26＝1 (2)若双曲线经过点(3，2)，且渐近线方程是y ＝±13x ，则双曲线的方程是________。
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第一部分 双曲线相关知识点讲解一．双曲线的定义及双曲线的标准方程：1 双曲线定义：到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨迹（21212F F a PF PF <=-（a 为常数））这两个定点叫双曲线的焦点．要注意两点：（1）距离之差的绝对值.（2）2a ＜|F 1F 2|，这两点与椭圆的定义有本质的不同.当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支； 当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支； 当2a =|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线； 当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在.2.双曲线的标准方程：12222=-b y a x 和12222=-bx a y （a ＞0，b ＞0）.这里222a c b -=，其中|1F 2F |=2c.要注意这里的a 、b 、c 及它们之间的关系与椭圆中的异同.3.双曲线的标准方程判别方法是：如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上.对于双曲线，a 不一定大于b ，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.4.求双曲线的标准方程，应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.二．双曲线的外部：(1)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的部2200221x y a b ⇔->.(2)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的外部2200221x y a b ⇔-<.三.双曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为12222=-b y a x ⇒渐近线方程：22220x y a b -=⇔x aby ±=.(2)若渐近线方程为x aby ±=⇔0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222b y a x .(3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222by a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）.四．双曲线的简单几何性质22a x －22by =1（a ＞0，b ＞0） ⑴围：|x |≥a ，y ∈R⑵对称性：关于x 、y 轴均对称，关于原点中心对称 ⑶顶点：轴端点A 1（－a ，0），A 2（a ，0） ⑷渐近线：①若双曲线方程为12222=-b y a x ⇒渐近线方程⇒=-02222b y a x x aby ±=②若渐近线方程为x aby ±=⇒0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222b y a x③若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222by a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）④与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程是λ=-2222by a x )0(≠λ⑤ 与双曲线12222=-by a x 共焦点的双曲线系方程是12222=--+k b y k a x 六.弦长公式：若直线y kx b =+与圆锥曲线相交于两点A 、B ，且12,x x 分别为A 、B 的横坐标，则AB 2121k x +-，若12,y y 分别为A 、B 的纵坐标，则AB ＝21211y y k-+。
第二部分 典型例题分析题型1：运用双曲线的定义例1. 如图所示，F 为双曲线1169:22=-y x C 的左 焦点，双曲线C 上的点i P 与()3,2,17=-i P i 关于y 轴对称，则F P F P F P F P F P F P 654321---++的值是（ ） A ．9 B ．16 C ．18 D ．27[解析] =-F P F P 61=-F P F P 52643=-F P F P ，选C练习：设P 为双曲线11222=-y x 上的一点F 1、F 2是该双曲线的两个焦点，若|PF 1|：|PF 2|=3：2，则△PF 1F 2的面积为 （ ）A ．36B ．12C ．312D ．24解析：2:3||:||,13,12,121====PF PF c b a 由 ①又,22||||21==-a PF PF ② 由①、②解得.4||,6||21==PF PF,52||,52||||2212221==+F F PF PF为21F PF ∴直角三角形，.124621||||212121=⨯⨯=⋅=∴∆PF PF S F PF 故选B 。
题型2 求双曲线的标准方程例2 已知双曲线C 与双曲线162x －42y =1有公共焦点，且过点（32，2）.求双曲线C的方程．解：设双曲线方程为22a x －22by =1.由题意易求c =25.又双曲线过点（32，2），∴22)23(a －24b =1.又∵a 2+b 2=（25）2，∴a 2=12，b 2=8.故所求双曲线的方程为122x －82y =1.练习：1已知双曲线的渐近线方程是2x y ±=，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程为 ； 解：设双曲线方程为λ=-224y x ， 当0>λ时，化为1422=-λλy x ，2010452=∴=∴λλ， 当0<λ时，化为1422=---λλy y ，2010452-=∴=-∴λλ， 综上，双曲线方程为221205x y -=或120522=-x y 2.已知点(3,0)M -，(3,0)N ，(1,0)B ，动圆C 与直线MN 切于点B ，过M 、N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，则P 点的轨迹方程为A ．221(1)8y x x -=<- B ．221(1)8y x x -=> C ．1822=+y x （x > 0） D ．221(1)10y x x -=> [解析]2=-=-BN BM PN PM ，P 点的轨迹是以M 、N 为焦点，实轴长为2的双曲线的右支，选B题型3 与渐近线有关的问题 例3.焦点为（0，6），且与双曲线1222=-y x 有相同的渐近线的双曲线方程是A ．1241222=-y xB ．1241222=-x y C ．1122422=-x y D ．1122422=-y x [解析]从焦点位置和具有相同的渐近线的双曲线系两方面考虑，选B练习：过点（1，3）且渐近线为x y 21±=的双曲线方程是解：设所求双曲线为()2214x y k-= 点（1，3）代入：135944k =-=-.代入（1）：22223541443535x y x y -=-⇒-=即为所求. 题型4 弦中点问题——设而不求法例4. 双曲线122=-y x 的一弦中点为（2，1），则此弦所在的直线方程为 （ ） A. 12-=x y B. 22-=x y C. 32-=x y D. 32+=x y解:设弦的两端分别为()()1,12,2,A x y B x y .则有：()()222222111212121222121222101x y y y x x x x y y x x y y x y ⎧-=-+⇒---=⇒=⎨-+-=⎩. ∵弦中点为（2，1），∴121242x x y y +=⎧⎨+=⎩.故直线的斜率121212122y y x xk x x y y -+===-+.则所求直线方程为：()12223y x y x -=-⇒=-，故选C.练习：1.在双曲线1222=-y x 上，是否存在被点M （1，1）平分的弦？如果存在，求弦所在的直线方程；如不存在，请说明理由.【错解】假定存在符合条件的弦AB ，其两端分别为：A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）.那么：()()()()()22111212121222221112011212x y x x x x y y y y x y ⎧-=⎪⎪⇒-+--+=⎨⎪-=⎪⎩.∵M （1，1）为弦AB 的中点，∴()()()1212121212122022AB x x y y x x y y k y y x x +=⎧----=∴==⎨+=-⎩代入1：2， 故存在符合条件的直线AB ，其方程为：()12121y x y x -=-=-，即. 这个结论对不对呢？我们只须注意如下两点就够了：其一：将点M （1，1）代入方程1222=-y x ，发现左式=1-1122=＜1，故点M （1，1）在双曲线的外部；其二：所求直线AB 的斜率2AB k =，而双曲线的渐近线为y =.这里2，说明所求直线不可能与双曲线相交，当然所得结论也是荒唐的.问题出在解题过程中忽视了直线与双曲线有公共点的条件. 【正解】在上述解法的基础上应当加以验证.由()()222221221224302221y x x x x x y x ⎧-=⎪⇒--=⇒-+=⎨⎪=-⎩这里16240∆=-，故方程（2）无实根，也就是所求直线不合条件. 结论；不存在符合题设条件的直线.2. 已知双曲线1222=-y x ,问过点A （1，1）能否作直线l ,使l 与双曲线交于P 、Q 两点，并且A 为线段PQ 的中点？若存在，求出直线l 的方程，若不存在，说明理由。
解：设符合题意的直线l 存在，并设),(21x x P 、),(22y x Q则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-)2(12)1(1222222121y x y x ﹙1﹚)2(-得))((2121x x x x +- )3())((212121y y y y +-=因为A （1，1）为线段PQ 的中点，所以⎩⎨⎧=+=+)5(2)4(22121y y x x 将(4)、(5)代入（3）得)(212121y y x x -=- 若21x x ≠，则直线l 的斜率22121=--=x x y y k ，其方程为012=--y x⎪⎩⎪⎨⎧=--=121222y x x y 得03422=+-x x 根据08<-=∆,说明所求直线不存在。
3.已知中心在原点，顶点A 1、A 2在x 轴上，离心率e =321的双曲线过点P (6，6) (1)求双曲线方程 (2)动直线l 经过△A 1PA 2的重心G ，与双曲线交于不同的两点M 、N ，问 是否存在直线l ,使G 平分线段MN ，证明你的结论解 (1)如图，设双曲线方程为2222b y a x -=1 由已知得321,16622222222=+==-a b a e b a ,解得a 2=9,b 2=12 所以所求双曲线方程为12922y x -=1(2)P 、A 1、A 2的坐标依次为(6,6)、(3，0)、(－3，0），∴其重心G 的坐标为(2，2） 假设存在直线l ，使G (2，2)平分线段MN ，设M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2) 则有22121112221212224129108124,493129108x x x y y y y y x x x y ⎧+=-=⎧-⎪⇒==⎨⎨+=--=⎪⎩⎩，∴k l =34∴l 的方程为 y =34 (x －2)+2,由⎪⎩⎪⎨⎧-==-)2(3410891222x y y x ,消去y ,整理得x 2－4x +28=0 ∵Δ=16－4×28＜0,∴所求直线l 不存在题型5 综合问题1.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()2,0，右顶点为).（Ⅰ）求双曲线C 的方程（Ⅱ）若直线:=l y kx A 和B 且2•>OA OB （其中O 为原点），求k 的取值围解（1）设双曲线方程为22221-=x y a b由已知得2=a c ，再由2222+=a b ，得21=b故双曲线C 的方程为2213-=x y . （2）将=y kx 2213-=x y得22(13)90---=k x 由直线l与双曲线交与不同的两点得()222213036(13)36(1)0⎧-≠⎪⎨∆=+-=->⎪⎩k k 即213≠k 且21<k . ① 设(),,(,),A A A B A x y B x y ，则229,1313-+==--A B A Bx y x y k k ，由2•>OA OB 得2+>A B A B x x y y ，而2((1)()2+=+=+++A B A B A B A b A B A B x x y y x x kx kx k x x x x2222937(1)21331-+=+++=--k k k k k . 于是2237231+>-k k ，即2239031-+>-k k 解此不等式得21 3.3<<k ② 由①+②得2113<<k故的取值围为3(1,,1⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭2.已知两定点1(F 2F 满足条件212PF PF -=的点P 的轨迹是曲线E ，直线ｙ＝kx －1与曲线E 交于A 、B 两点。