双曲线的几何性质2(第二定义)
第三讲---双曲线的第二定义
第三讲 双曲线的第二定义知识梳理（一）双曲线的第二定义：平面内一动点 的比为常数 e 到一定点 F (c, 0) 的距离与到一定直线 L : x a2 的距离 cc (e>1) a定点 F (c, 0) 是双曲线的焦点，定直线 L 是双曲线的准线，常数 e 是双曲线的离心率。
（二）焦点三角形的面积公式。
S1 r1r2 sin b 2 tan 2 23.双曲线的方程，图形，渐进线方程，准线方程和焦半径公式： 标准方程 图像 渐进线方程x2 y 2 1(a 0.b 0) a 2 b2b x a a2 x c M 在右支上 r左 =|MF1 |=ex0 a yy 2 x2 1(a 0.b 0) a 2 b2a x b a2 y c y准线方程半径公式r右 =|MF2 |=ex 0 a M 在左支上 r左 =|MF|=-ex 1 0 a r右 =|MF2 |=-ex 0 a典例分析 题型一：与双曲线准线有关的问题 例 1.(1)若双曲线x2 y 2 1 上一点 P 到右焦点的距离等于 13 ，则点 P 到右准线的距离为______ 13 12x2 y 2 1 的离心率为 2，则该双曲线的两条准线间的距离为________ A.若双曲线 m 3练习：已知双曲线的渐进线方程为 3x 2 y 0 ，两条准线间的距离为 解：双曲线渐进线方程为 y 16 13 ，求双曲线的标准方程。
133 x 21所以双曲线方程为x2 y 2 （ 0 ）在分 0 时 4 和 0 时。
。
。
4 9题型二：双曲线第二定义及其运用 例 2：设一动点到 F(1,0)和直线 x=5 的距离之比为 3 。
求动点的轨迹方程。
练习：已知双曲线x2 y 2 1(a 0, b 0) 的左右焦点分别为 F1F2 ，点 P 是左支上的一点，P 到左准线的 a 2 b2距离为 d ，若 y 3x 是已知双曲线的一条渐进线，则是否存在这样的 P 点使得 d , | PF1 |,| PF2 | 成为等比 数列？若存在，求出 P 点坐标；若不存在，说明理由。
双曲线的第二定义(已修改)
P ={M|
由此可得：
= } d a
(x c)2 y 2 c 2 a a x c
令c a b
2 2
2
将上式两边平方，并化简，得 2 2 2 2 2 2 2 2 (c a ) x a y a (c a )
2Байду номын сангаас
2
x y 2 1(a 0, b 0) 2 a b
轨迹.
16 直线 l :x= 的距离的比是常数 5 求:点M的 5 4
x y =1 16 9
故点M的轨迹为实轴、虚轴长分别为8、6的双曲 线.
2
2
问题: 点M (x,y) 与定点F(c,0)的距离和它到定
2
c a 直线 l : x = 的距离的比是常数 (c>a>0), a c
求:点M的轨迹.
解：设d是点M到直线l的距离，根据题意，所求轨 迹就是集合 |MF| c
故点M的轨迹为实轴、虚轴长分别为2a、2b的双曲线.
实 例 演 示 : e=2
线 距 动 离 点 的 二到 定 倍 点 。 距 离 是 它 到 定 直
L
F
y
L
线 距 离动 的点 二到 倍定 。点 距 离 是 它 到 定 直
a2 准线x c
c e 2 a
焦点
o
F
x
2 2 x y 双曲线标准方程是： 1 a 2 b2
双曲线的第二定义
授课人：赵国生
（一）知识回顾：
一、椭圆的第二定义： 1、定义：平面内到一个
l1
d1
F1 O
M
d2
F2 F2(c,0)
l2
x
定点F和一条定直线 l 的距
双曲线的简单几何性质(第二课时)
0-2222222=++⇒⎩⎨⎧=+=r qx px ba y a xb m kx y y 消 2.3.2编写：夏亚勤【学习目标】1.理解直线与双曲线的位置关系，并掌握直线与双曲线的位置关系及其判定；2.掌握弦长公式的求法；3会用坐标法解决简单的直线与双曲线关系中有关“中点弦”的问题的处理技巧——“设点代点、设而不求”.【知识线索】1.掌握直线与双曲线的位置关系，通过对直线方程与双曲线方程组成的二元二次方程组的解来讨论它们的位置关系：(1)当0=p 时，直线与双曲线的渐近线平行，此时直线与双曲线相交，且有一个交点；①当Δ=0时，直线与双曲线相切；(2)当 0≠p 时， ②当Δ>0时，直线与双曲线相交；③当Δ<0时，直线与双曲线相离.2.弦长公式：|AB |=[]2122122124)()1(||1x x x x k x x k -+∙+=-∙+若AB ⊥x 轴，则|AB |=|y 1－y 2|.其中，弦AB 端点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的斜率为k.3.涉及直线与圆锥曲线相交弦的问题，主要有这样几个方面：（1）相交弦的长，有弦长公式|AB |=21k +|x 1－x 2|；（2）弦所在直线的方程（如中点弦、相交弦等）、弦的中点的轨迹等，这可以利用“设点代点、设而不求”的方法（设交点坐标，将交点坐标代入曲线方程，并不具体求出坐标，而是利用坐标应满足的关系直接导致问题的解决）.涉及弦的中点问题，除利用韦达定理外，也可以运用点差法，但必须以直线与圆锥曲线相交为前提，否则不宜用此法.【知识建构】高二选修2-1：第二章 圆锥曲线与方程课时目标呈现课前自主预习课中师生互动问题1 直线与双曲线的位置关系有几种，怎么判定它们之间的位置关系； 问题2 直线与双曲线相交时，如何求两交点及这两点之间的距离；问题3 直线与双曲线相交时，已知弦的中点坐标，如何求直线的斜率？ 【典例透析】例1 点(,)M x y 到定点(5,0)F 的距离和它到定直线l :165x =的距离的比是常数54，求点M 的轨迹．例2 过双曲线22136x y -=的右焦点，倾斜角为30 的直线交双曲线于,A B 两点， （1）求,A B 两点的坐标． （2）求AB ．（思考：1AF B ∆的周长？）【课堂检测】1.若直线2+=kx y 与双曲线622=-y x 的相交，那么k 的取值范围是 .2.经过点)2,2(M 作直线l 交双曲线1422=-y x 于B A ,两点，且M 为AB 中点. (1)求直线l 的方程； (2)求线段AB 的长.【课堂小结】课时训练A 组1．过双曲线的一个焦点2F 作垂直于实轴的直线，交双曲线于P 、Q ，1F 是另一焦点，若∠12PFQ π=，则双曲线的离心率e 等于 ． 2.双曲线1422=-y x 的两个焦点为F 1、F 2,点P 在双曲线上,△F 1PF 2的面积为3,则21PF PF ∙等于 .B 组3.过点)1,0(且斜率为1的直线交双曲线1422=-y x 于B A ,两点，则AB = . 4.双曲线的中点，恰为交双曲线于作直线过，PQ A Q P l A A y x .,),4,8(191622=-求直线l 的方程 .5．若椭圆2212516x y +=和双曲线22145x y -=的共同焦点为F 1，F 2，P 是两曲线的一个交点，则12PF PF ⋅的值为（ ）．A ．212B ．84C ．3D ．21C 组6.若直线2+=kx y 与双曲线622=-y x 的右支交于不同的两点，那么k 的取值范围是.7.已知21F F 、是双曲线1322=-y x 的左右焦点，)6,6(-M 是双曲线内部一点，P 为双曲线右支上一点，求1PF PM +的最小值课后训练提升【纠错·感悟】。
双曲线的第二定义
说明：|PF1|, |PF2|称为椭圆的焦半径，此公式称为焦半径公式
x2 y2 例4：已知双曲线 1右支上一点P到右焦点的距离等于 8， 64 36 求点P到双曲线左准线的距离 。
解： a 8 ， b 6， c a 2＋b2 10
l' y
| PF2 | a ex0 其中e为双曲线的离心率。 y l' 2
a c
l
P.
| PF1 | c 由双曲线的第二定义得 ： 2 a a x0 c
F1
.
O
.
F2
x
整理得:| PF 1 | a ex0
由双曲线的第一定义得 ： | PF2 || PF 1 | 2a a ex0
b 直线 y x叫做双曲线的渐进线 a
x2 y2 x2 y2 双曲线 2 2 1的渐进线为 2 2 0 a b a b
y
b y x a
等轴双曲线 e 2
O
x
b y x a
P 2 5题 113 : 练习：
x y 2(1) 1 16 9
2 2
y2 x2 (2) 1 36 28
F’
.
O
.
F
x
化简 (c 2 a 2 ) x 2 a 2 y 2 a 2 (c 2 a 2 ) .
2 2 x y 设 c 2 a 2 b2 ，则 方程化为 2 2 1 (a 0, b 0) a b
点 M 的轨迹是实轴、虚轴长 分别为2a、 2b的双曲线.
双曲线的第二定义：
2 2
l d .M
F’
.
O
.
F
高中数学教程双曲线的几何性质
高中数学教程双曲线的几何性质（1）目标：1．能用对比的方法分析双曲线的范围、对称性、顶点等几何性质，并熟记之；2．掌握双曲线的渐近线的概念和证明； 3．明确双曲线方程中,,a b c 的几何意义；4．能根据双曲线的几何性质，确定双曲线的方程并解决简单问题。
重、难点：双曲线的范围、对称性、顶点和渐近线。
（一）复习：1．双曲线的定义和标准方程； 2．椭圆的性质；（二）新课讲解：以双曲线标准方程12222=-by a x 为例进行说明。
1．范围：观察双曲线的草图，可以直观看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线a x ±= 的外侧。
注意：从双曲线的方程如何验证？从标准方程12222=-b y a x 可知22221b y a x ≥-，由此双曲线上点的坐标都适合不等式122≥ax即22a x ≥，a x ≥即双曲线在两条直线a x ±=的外侧。
2．对称性：双曲线12222=-by a x 关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线12222=-by a x 的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。
3．顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。
在双曲线12222=-by a x 的方程里，对称轴是,x y 轴，所以令0=y 得a x ±=，因此双曲线和x 轴有两个交点)0,()0,(2a A a A -，他们是双曲线12222=-by a x 的顶点。
令0=x ，没有实根，因此双曲线和y 轴没有交点。
1）注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点）， 双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。
2）实轴：线段2A A 叫做双曲线的实轴，它的长等于2,a a 叫做双曲线的实半轴长。
虚轴：线段2B B 叫做双曲线的虚轴，它的长等于2,b b 叫做双曲线的虚半轴长。
在作图时，我们常常把虚轴的两个端点画上（为要确定渐进线），但要注意他们并非是双曲线的顶点。
第10讲椭圆及双曲线的第二定义
第10讲 椭圆及双曲线的第二定义一． 椭圆1. 第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l （F 不在l 上）的距离之比等于常数e （0<e<1），则动点M的轨迹叫做椭圆。
定点F 是椭圆的焦点，定直线l 叫椭圆的准线（ca 2x :l ±=），常数e 是椭圆的离心率。
2. 焦半径：椭圆上任一点和焦点的连线段的长称为焦半径设椭圆焦点在x 轴上，F 1，F 2分别为椭圆的左右焦点，P(x 0,y 0)是椭圆上任一点，则0201a ,a ex PF ex PF -=+=。
（简记为：左+右-） 3. 焦点弦：过椭圆焦点的弦称为椭圆的焦点弦。
设过椭圆的焦点F 1(-c,0)的弦为AB ，其中A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，则)(2a AB 21x x e ++=4. 通径：过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆通径，其长a2212b H H = 例1. 椭圆16410022=+y x 上有一点P ，它到右焦点的距离为14，求点P 到左准线的距离。
例2. 若椭圆13422=+y x 内有一点P(1,-1)，F 为右焦点，在该椭圆上求一点M ，使得MF MP 2+最小，并且求最小值例3. 已知椭圆192522=+y x ，若椭圆上有一点P 到右焦点的距离是1，则点P 的坐标为多少二． 双曲线1. 第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l （F 不在l 上）的距离之比等于常数e （e>1），则动点M 的轨迹叫做双曲线。
定点F 是双曲线的焦点，定直线l 叫双曲线的准线（ca 2x :l ±=），常数e 是双曲线的离心率。
2. 焦半径：双曲线上任一点和焦点的连线段的长称为焦半径设双曲线焦点在x 轴上，F 1，F 2分别为双曲线的左右焦点，若P(x 0,y 0)是双曲线左支上任一点，则0201a ,--a ex PF ex PF -==。
双曲线第二定义内容
名称定义
我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于一个常数（常数为2a，小于|F1F2|）的轨迹称为双曲线;平面内到两定点的距离差的绝对值为定长的点的轨迹叫做双曲线。
即：||PF1|-|PF2||=2a
定义1：
平面内，到两个定点的距离之差的绝对值为常数2a（小于这两个定点间的距离）的点的轨迹称为双曲线。
定点叫双曲线的焦点，两焦点之间的距离称为焦距，用2c表示。
定义2：平面内，到给定一点及一直线的距离之比为常数e（e>1，即为双曲线的离心率；定点不在定直线上）的点的轨迹称为双曲线。
定点叫双曲线的焦点，定直线叫双曲线的准线。
定义3：一平面截一圆锥面，当截面与圆锥面的母线不平行也不通过圆锥面顶点，且与圆锥面的两个圆锥都相交时，交线称为双曲线。
定义4：在平面直角坐标系中，二元二次方程F(x,y)=Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0满足以下条件时，其图像为双曲线。
1、系数矩阵满秩，即
2、Δ=B2-AC>0
在高中的解析几何中，学到的是双曲线的中心在原点，图像关于x，y轴对称的情形。
这时双曲线的方程退化为：.Ax²+Cy²+F=0
上述的四个定义是等价的，并且根据负号的前后位置判断图像关于x，y轴对称。
【新教材精创】3.2.2 双曲线的简单几何性质(2) 教学设计-人教A版高中数学选择性必修第一册
3.2.2双曲线的简单几何性质 (2)本节课选自《2019人教A 版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》,本节课主要学习双曲线的简单几何性质学生在已掌握双曲线的定义及标准方程之后,反过来利用双曲线的标准方程研究其几何性质。
它是教学大纲要求学生必须掌握的内容,也是高考的一个考点,是深入研究双曲线,灵活运用双曲线的定细解析几何观念,提高学生的数学素质。
坐标法的教学贯穿了整个“圆锥曲线方程”一章, 运动变化和对立统一的思想观点在这节知识中得到了突出体现,重点:直线与双曲线的位置关系. 难点:直线与双曲线的位置关系.多媒体x≤-a或x≥a y∈R例4．如图,双曲线型冷却塔的外形,是双曲线的一部分,已知塔的总高度为137.5m ,塔顶直径为90m ,塔的最小直径(喉部直径)为60m ,喉部标高112.5m ,试建立适当的坐标系,求出此双曲线的标准方程（ 精确到1m ）解:设双曲线的标准方程为()222210,0x y a b a b -=>>,如图所示: AB 为喉部直径,故30a m =,故双曲线方程为2221900x y b -=. 而M 的横坐标为塔顶直径的一半即45m ,其纵坐标为塔的总高度与喉部标高的差即137.5112.525m -=, 故()45,25M , 故22245251900b-=,所以2500b =,故双曲线方程为221900500x y -=. 例5．已知点(,)M x y 到定点()5,0F 的距离和它到定直线l:165x =的距离的比是54,则点M 的轨迹方程为? 解:设点(,)M x y ,由题知45=MF d,22(5)41655x y x -+=-, 即222(5)161625()5x y x -+=-.整理得:221169x y -=.请你将例5与椭圆一节中的例最窄处即双曲线两顶点间221x y -=引导学生类比直线与椭圆位置关系的判断,让学生自主探究直线与双曲线的位置关系,凡是难度不大,经过学习学生自己能解决的问题,应该让学生自己解决,这样有利于调动学生学习的积极性,激发他们的学习积极性,同时也有利于学习建立信心,使他们的主动性得到充分发挥,从中提高学生的思维能力和解决问题的能力。
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F1
.
O
.
F2
A x
x2 y 2 练习：已知双曲线方程 为 1的右焦点为F2 , M是双 9 16 曲线右支上一点，定点 A(9,2), 求 | MA | | MF2 | 的最小值。
y
解：由双曲线第一定义 得：
| MF1 | | MF2 | 2a 6
F1
M .
.
O
.
F2
A x
| PF2 | a ex0 其中e为双曲线的离心率。 y l' 2
a c
l
P.
| PF1 | c 由双曲线的第二定义得： 2 a a x0 c
F1
.
O
.
F2
x
整理得:| PF 1 | a ex0
| PF2 || PF 由双曲线的第一定义得： 1 | 2a a ex0
双曲线的 简单几何性质(2)
双曲线的第二定义
2 2 x y 方程 2 1(a b 0) 2 性质 a b
x2 y2 2 1(a 0, b 0) 2 a b
图形
范围 对称性 顶点坐标
B1 (0,b), B2 (0, b) A1 A2叫长轴, B1B2叫短轴
c e , (0 e 1) a
解： a 8 ， b 6， c a 2＋b2 10
l' y
l
由双曲线的第一定义得：
| PF 1 | 2a＋ | PF 2 | 24
F1
P.
.
由双曲线的第二定义得：
PF 1 5 e d 4
2
O
.
F2
d
2
| PF1 | 96 e 5
x y 思考：已知双曲线 1上一点P到右焦点的距离等于 8， 64 36 求点P到双曲线左准线的距离 。
2 a 证明： 双曲线的左准线为 x c
由双曲线的第二定义得： 2 a a x0 c
F1
O
.
F2
x
整理得:| PF 1 | a ex0
| PF2 || PF 由双曲线的第一定义得： 1 | 2a a ex0
x2 y2 例2：已知双曲线 1右支上一点P到右焦点的距离等于 8， 64 36 求点P到双曲线左准线的距离 。
即 ( x c) 2 y 2 c . 2 a a | x | c
F’
.
O
.
F
x
化简 (c 2 a 2 ) x 2 a 2 y 2 a 2 (c 2 a 2 ) .
2 2 x y 设 c 2 a 2 b2 ，则 方程化为 2 2 1 (a 0, b 0) a b
x2 y2 例3：已知双曲线方程为 1的右焦点为F2 , M是双曲线 9 16 3 右支上一点，定点 A(9,2), 求 | MA | | MF2 | 的最小值 5 y M .
解：由双曲线第二定义 得：
| MF2 | e, (d为M到右准线的距离 ) d 5 即 | MF2 | d 3 3 | MA | | MF2 || MA | d 5 a2 9 36 (| MA | d ) min x A 9 c 5 5
点 M 的轨迹是实轴、虚轴长 分别为2a、 2b的双曲线.
双曲线的第二定义：
动点 M与一个定点F的距离和它到一条定直线l的距离的比 c 是常数 e (e 1)，则这个点的轨迹是双曲线 . y l' a 定点是双曲线的焦点， 定直线叫做双曲线的
准线，常数e是双曲线的离心率.
x y 对于双曲线 2 2 1， a b a2 右焦点F2 (c， 0)，对应的右准线方程是x . c a2 左焦点F1 (c， 0)对应的左准线方程是x . c a2 焦点在y轴上的双曲线的准线方 程是：y c
| PF 1 |min c a
| PF2 |min c a
说明：|PF1|, |PF2|称为椭圆的焦半径，此公式称为焦半径公式
x2 y 2 练习 已知双曲线 2 － 2 1(a 0, b 0)的焦点F （ ）F2 (c,0), 1 c,0 a b P( x0 , y0 )是双曲线左支上任意点 ，求 | PF1 |, | PF2 |
x2 y2 1 4 12 M的轨迹为以 (4,0)为焦点，实轴长为 4的椭圆 双曲线
a2 点 M ( x，y )与定点F (c， 0)的距离和它到定直线 l:x 的 c c 距离的比是常数 (c a 0)，求点M的轨迹 . a l 解： l' y 设 d是点M到直线l的距离，则 d .M | MF | 由题意知 c d a
练习：一动点 M到定点F (4,0)的距离与到直线 x 1的距离 之比为2, 求M的轨迹方程。
解：设M ( x, y),由题意得：
( x 4) 2 y 2 2 | x 1|
y
M
O
2
x 1
F
x
( x 4) y 4( x 1)
2 2
3x y 12
2 2
0 e 1
MF c M e d M l
时，是以F为一个焦点的椭圆，
常数e是它的离心率，定直线 l 是相应于焦点F的准 线。
y
椭圆 x +
a
2
2
y b
2 2
=1上的点P与其两焦点
N
P
M
F1、F2的连线段分别叫做椭圆的左 焦半径和右焦半径,统称“焦半径”。
即 | MF2 || MF1 | 6 | MA | | MF2 || MA | | MF1 | 6
(| MA | MF1 | 6) min | AF 1 | 6 14 2 6 10 2 6
2 2
焦点在X轴上时,
设 P(x0，y0) 是椭圆上的点，则:焦半径公式为: |PF1|=a+ex0, |PF2|=a-ex0
F1
o
F2
y=a2/c
F2
y
M
•
o
•P
x
焦点在y轴上时, 设 P(x0，y0) 是椭圆上的点，则:焦半径公式为: |PF1|=a +ey0， |PF2|=a-ey0 F1
•
N
y=-a2/c
2 2
l d .M
F’
.
O
.
F
x
x2 y 2 例1 已知双曲线 2 － 2 1(a 0, b 0)的焦点F （ ）F2 (c,0), 1 c,0 a b | PF P( x0 , y0 )是双曲线右支上任意点 ，求证： 1 | a ex0 ，
证明： 双曲线的左准线为 x
x a或x a, y R 关于x, y轴及原点对称 关于x, y轴及原点对称 A1 (a,0), A2 (a,0) A1 (a,0), A2 (a,0)
A1 A2叫实轴, B1B2叫虚轴
c e , (e 1) a
a x a,b y b
离心率
复习
椭圆的第二定义 ： 平面内到定点F的距离与到定 直线 l 的距离之比是一个常数e的点的轨迹 当