2.3.2双曲线的几何性质
2.3.2双曲线的简单几何性质(1)
等轴双曲线方程：
或
渐进线方程：
即
离心率：
123444
例2 曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚 轴旋转所成的曲面如图，它的最小半径为12 m，上口 半径为13 m，下口半径为25 m，高55 m.选择适当的坐 标系，求出此双曲线的方程（精确到1m）.
123444
解:如图，建立冷却塔的轴截面所在平面的直 角坐标系xOy，使小圆的直径AA`在x轴上，圆 心与圆点重合.这时，上、下口的直径CC`， BB`都平行于x轴，且|CC`|=13×2, |BB`|=25×2. 设双曲线的方程为（a>0,b>0）,令点C的坐标 为（13，y）,则点B的坐标为（25，y-55）.
123444
123444
(1) 范围
x2 a2
y2 b2
1
(a b 0)
x2 a2
y2 b2
1
(a 0, b 0)
123444
(2) 对称性
x2 y2 a2 b2 1 (a b 0)
x2 y2 a2 b2 1 (a 0, b 0)
对称轴： x轴、y轴. 对称中心: 原点
用用--对对yx代代称称替替轴中yx,：心,方方: 程程x原轴不不点、变变y轴. 用-x、-y代替x、y, 方程不变
4、离心率：
B2
F1 A1 O
A2 F2
x
B1
5 、 渐近线:
123444
焦点在y轴上的双曲线的几何性质来自双曲线标准方程：Y
1、范围： y≥a或y≤-a
F2
2 、 对称性：关于x轴，y轴，原点对称。
A2
3、顶点: A1(0,-a), A2(0,a) 实轴 A1A2 虚轴 B1B2
2.3.2双曲线的简单几何性质(2)
§2.3.2双曲线的简单几何性质（2）编写：英德市第二中学，叶加修；审核：英西中学，刘东【学习目标】理解渐进线的概念，能根据双曲线的几何性质确定双曲线的标准方程【知识回顾】1、已知双曲线的焦点在x 轴上，方程为 ，两顶点的距离为8，一渐近线上有点A(8,6)，试求此双曲线的方程。
2.小结：【新知构建】双曲线的渐近线方程．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b a x ，双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±a bx ，一般情况下，先求a 、b ，再写方程．两者容易混淆，可将双曲线方程中右边的“1”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程，这样就不至于记错了．(1) 若已知渐近线方程为mx ±ny ＝0，求双曲线方程．双曲线的焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上，可用下面的方法来解决．方法一 分两种情况设出方程进行讨论；方法二 依据渐近线方程，设出双曲线为m 2x 2－n 2y 2＝λ(λ≠0)，求出λ即可． (2)与x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)． 例1 求双曲线9y 2－4x 2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程．例2 根据以下条件，分别求出双曲线的标准方程．(1)过点P (3，－2)，离心率e ＝52； (2)焦距为10，渐近线方程为y ＝±12x ； 小结：1by a x 2222=-【当堂练习】1．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率为( ) A ．2 B. 3 C. 2 D.322．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为( ) A ．y ＝±12x B ．y ＝±22x C ．y ＝±2x D ．y ＝±2x 3．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为x ＋2y ＝0，则双曲线的离心率e 的值为( ) A.52 B.62C. 2 D ．2 4.已知双曲线的渐近线方程为y ＝±34x ，求双曲线的离心率．小结：【课后作业】1．设F 1和F 2为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，若F 1，F 2，P (0，2b )是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为( ) A.32 B ．2 C.52D ．3 2．已知双曲线x 22－y 2b2＝1(b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，其中一条渐近线方程为y ＝x ，点P (3，y 0)在该双曲线上，则PF 1→·PF 2→＝( )A ．－12B ．－2C ．0D ．4 3．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的实轴长、虚轴长、焦距长成等差数列，则双曲线的离心率e 为( )A ．2B ．3 C.43 D.534.双曲线的渐近线方程为2x ±y ＝0，两顶点间的距离为4，求双曲线的方程？。
高中数学人教A版选修2-1第二章2.3.2双曲线的简单几何性质课件
（的1）各支的 双向渐 曲外近 线延线ax22为 伸y时by22 ， b1与(xa 直a02线, b
b
2
0)
y
b a
x
a
逐渐接近，我们把这两条直线
（2）等轴双曲线x2 y2 m
叫做双(m曲线0的)的渐渐近近线线 。 为
y
b B2
A1
o
y x
双曲线与渐近线无限接近，但永不相交。 B1
（3）利用渐近线可以较准确的 画出双曲线的草图
x2 y2 1(a 0,b 0) a2 b2
y
Y的范 围呢？
-a a
F1 O
F2 x
2、对称性
视察双曲线你能看出它具有怎样的 对称性吗？
x2 y2 1(a 0,b 0) a2 b2
(-x,y)
y （x,y）)
关于x轴、y轴和原点都是对称.
x轴、y轴是双曲线的对称轴，
(-x,-y)
原点是对称中心,又叫做双曲线的中心.
o
x
(x,-y)
3、顶点
视察双曲线你能发现哪些点比较特殊？
x2 y2 1(a 0,b 0) a2 b2
（1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点
y
顶点是 A1(a, 0)、A2(a, 0)
b B2
A1 -a o a A2
x
-b B1
(3)实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线。
4、渐近线
可以看出，双曲线 x2 y2 1
y
1.范围： y≥a或y≤-a
A2
2.对称性： 关于坐标轴和原点对称
3.顶点： A1(0，-a),A2(0,a)
A1A2为实轴，B1B2为虚轴
4.渐近线方程： y a x
第二章 2.3.2 双曲线的简单几何性质【教师版】
2 由弦长公式得|AB|＝ 1＋k2|x1－x2| ＝ 1＋k2 x1＋x22－4x1x2＝6.
存在性问题需验证
典例 已知双曲线 2x2－y2＝2，过点 B(1,1)能否作直线 l，使 l 与所给双曲线交于点 Q1，Q2，且点 B 是弦 Q1Q2 的中点，若存在这样的直线 l，求出它的方程；若不存在，请说明理由．
－ 2k 即 1－k2 2＋
8
＝8，解得 k＝0 或 k＝± 6.
1－k2
2
由(1)，知上述 k 的值符合题意，所以 k＝0 或 k＝± 6. 2
反思感悟
(1)直线与双曲线位置关系的判定方法 通常把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为 ax2＋bx＋c＝0 的形式，在 a≠0 的情况下考查
2．3.2 双曲线的简单几何性质
学习目标 1.掌握双曲线的简单几何性质. 2.理解双曲线离心率的定义、取值范围和渐近线方程. 3.了解直线与双曲线相交的相关问题．
知识点一 双曲线的性质 标准方程
ax22－by22＝1(a>0，b>0)
ay22－bx22＝1(a>0，b>0)
图形
范围
对称性
性 顶点坐标
4
题型三 直线与双曲线的位置关系
例 3 已知双曲线 C：x2－y2＝1 及直线 l：y＝kx－1.
(1)若直线 l 与双曲线 C 有两个不同的交点，求实数 k 的取值范围；
(2)若直线 l 与双曲线 C 交于 A，B 两点，O 是坐标原点，且△AOB 的面积为 2，求实数 k 的值．
2.3.2《双曲线的简单几何性质》(人教版选修2-1)
（2）如图，线段 A1A2 叫做双曲线 的实轴，它的长为2a,a叫做
实半轴长；线段 B1B2 叫做双
曲线的虚轴，它的长为2b,b
y
叫做双曲线的虚半轴长.
（见教材P.56)
b B2
（3）实轴与虚轴等长的双曲线 叫等轴双曲线
x2 y 2 m(m 0)
A1 -a o a A2
x
-b B1
第6页，共69页。
2.3.2 双曲线简单的几何性质 (一)
第1页，共69页。
定义 图象
| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
y
M
y
M F2
F1 o F2 x
x
F1
方程
焦点
a.b.c 的关系
x2 a2
y2 b2
1
y2 x2 a2 b2 1
F ( ±c, 0)
F(0, ± c)
c2 a2 b2
(x,-y)
x以轴-x、代yx轴方是程不双变曲，线故的图对像称关轴于，原轴y点对是称对；称中心，
又 以-叫y代做y方双程曲不线变的，中故心图像。关于 轴对x 称；。
以-x代x且以-y代y方程不变，故图像关于 原点对称
第5页，共69页。
3、顶点
（1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点
顶点是A1(a,0)、A2 (a,0)
P( 1,－3 ) 且离心率为 的2双曲线标准方程.
y2 x2 1 88
第34页，共69页。
学习小结:
渐近线方程为 y b x 的双曲线的方程可写 a
成
x2 a2
y2 b2
y b x a
第26页，共69页。
2.3.2双曲线的简单几何性质(二))
方程(2)的焦距___;虚轴长__;渐近线方程是
4x y 3 ________________
x2 y2 根据上述双曲线渐近线方程, 你能发现形如 2 2 1 a b 的双曲线渐近线方程是什么?有什么规律?
x y 0 a b
x2 y2 形如 2 2 l 的双曲线渐近线方程是 a b
双曲线的简单几何性质(二)
复习与回顾
方程 图形
o x
x2 y2 2 1(a , b 0) 2 a b
y
x2 y2 2 2 1(a , b 0) b a
y o x
顶点
对称 范围 焦点 离心率 渐近线
(±a , 0 ) ( 0, ±a ) x 轴、y 轴、原点 （ 原点是双曲线的中心 ） |x|≥a |y|≥a (±c , 0 )
( x c )2 y 2 a2 x c
a a2 解:∵点 M ( x, y) 到定直线 : x 的距离 d x , c c
MF ( x c ) y ,
2 2
MF c ∴ , a 2 b2 ,方程②化为
x2 y2 1② 方程①两边平方化简整理得 2 2 2 c a a 2 2
8 3 ，则该双曲线的方程为（ D ） 3 x2 y2 y2 x2 1 (C) x 2 1 (D) y 2 1 (A) y 2 1 (B) x 2 2 4 2 4
a2 直线 : x 是对应于焦点 F (c,0) 的一条准线, c
2
作业:课本 P B 组第 4 题
62
x2 y2 1 的左焦点 F1 作倾角为 的直线与双曲线 1.过双曲线 9 16 4
192 交于 A、B 两点，则|AB|= . 7
2.3.2双曲线的简单几何性质(二)
示为
x2 y2 1(b2 a 2 ). a 2 b2
x2 y 2 （2）与双曲线 2 2 1(a 0, b 0)有共同焦点的双曲线方 a b 2 x y2 程表示为 2 2
a
2
b
2
1(b a )
例1 :求下列双曲线的标准方程：
PF F2 300，求双曲线的渐进线的方程。 1
切点三角形
x y 1 上的一点P与左、右 例3、由双曲线 9 4 两焦点 F1、F2构成 PF F2 ，求 PF F2 的内切圆与 1 1
边 F F2 的切点坐标。 1
说明：双曲线上一点P与双曲线的两个焦点 F1、F2 构成 的三角形称之为焦点三角形，其中 | PF | 、PF2 |和 | F1F2 | | 1 为三角形的三边。解决与这个三角形有关的问题，要充分 利用双曲线的定义和三角形的边角关系、正弦定理、余弦 定理。
B2
. .
A2 B2
2 2 2 2
图形
. .
F1
y
y
F2
F2(0,c)
B1
A1 A2
O
F2
x
F1(-c,0)
2 2
B1 F2(c,0)
A1 O F1
x F1(0,-c)
方程 范围 对称性 顶点 离心率 渐进线
x y 1 (a b 0) a b
2 2
y x 1 (a 0,b 0 ) a b
x x2 2 y 1 和 （ y2 对于方程 4 4
2
0 且 1),
x2 y 2 1，a 2，b 1，c 5 4
显然a
倍，因此 这两条双曲线的离心率相同，渐近线也相同。
2.3.2双曲线的简单几何性质(1)
§2.3.2双曲线的简单几何性质(1) 【使用说明】1、课前完成预习学案，掌握基本题型；2、认真限时规范书写，课上小组合作探讨，答疑解惑。
3、A、B层全部掌握，C层选做。
【学习目标】1．理解并掌握双曲线的几何性质．2．能够利用双曲线的几何性质解决有关问题。
【问题导学】（预习教材理P56~ P58，文P49~ P51找出疑惑之处）复习1：写出满足下列条件的双曲线的标准方程：①3,4a b==，焦点在x轴上；②焦点在y轴上，焦距为8，2a=．复习2：前面我们学习了椭圆的哪些几何性质？【合作探究】问题1：由椭圆的哪些几何性质出发，类比探究双曲线22221x ya b-=的几何性质?范围：x：y：对称性：双曲线关于轴、轴及都对称．顶点：（），（）．实轴，其长为；虚轴，其长为．离心率：1cea=>．渐近线：双曲线22221x ya b-=的渐近线方程为：0x ya b±=．问题2：双曲线22221y xa b-=的几何性质?图形：范围：x：y：对称性：双曲线关于轴、轴及都对称．顶点：（），（）实轴，其长为；虚轴，其长为．离心率：1cea=>．渐近线：双曲线22221y xa b-=的渐近线方程为：．新知：实轴与虚轴等长的双曲线叫双曲线．我的疑惑：记录下你的疑惑，让我们在课堂上共同解决。
我的疑惑：记录下你的疑惑，让我们在课堂上共同解决。
【深化提高】例1求双曲线2214925x y-=的实半轴长、虚半轴的长、焦点坐标、离心率及渐近线的方程．变式：求双曲线22916144y x-=的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．学案编号：B51 第1 页共3 页成功的秘诀公式是A x y z =++其中A 代表成功，x 代表艰苦的劳动，y 代表正确的方法，z 代表少说空话. ——爱因斯坦第 2 页 共 3 页例2求双曲线的标准方程：⑴实轴的长是10，虚轴长是8，焦点在x 轴上；⑵离心率2e =，经过点(5,3)M -；⑶渐近线方程为23y x =±，经过点9(,1)2M -．※ 动手试试练1．求以椭圆22185x y +=的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程．练2．对称轴都在坐标轴上的等到轴双曲线的一个焦点是1(6,0)F -，求它的标准方程和渐近线方程．【当堂检测】1． 双曲线221168x y -=实轴和虚轴长分别是（ ）． A ．8、42 B ．8、22C ．4、42D ．4、222．双曲线224x y -=-的顶点坐标是（ ）． A ．(0,1)± B ．(0,2)± C ．(1,0)± D ．（2,0±）3． 双曲线22148x y -=的离心率为（ ）． A ．1 B ．2 C ．3 D ．24．双曲线2241x y -=的渐近线方程是 ．5．经过点(3,1)A -，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程是 ．【小结】（1）知识与方法方面 。
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百度文库 - 让每个人平等地提升自我
1
2.3.2 双曲线的几何性质
学习目标
1.
使学生理解并掌握双曲线的几何性质，并能从双曲线的标准方程出发，推导范围、顶点、
对称性、离心率、渐近线，并能具体估计双曲线的形状特征．
2.在与椭圆的性质的类比中获得双曲线的性质，培养学生分析、归纳、推理等能力。
3.使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线与方程
的关系概念的理解，这样才能解决双曲线中的弦、最值等问题．
学习重点
双曲线的几何性质及初步运用；
学习难点
双曲线的渐近线方程的导出和论证.
学生活动 学法指导
自主预习
（一）复习：1．双曲线的定义？
两种标准方程是什么？
基本量a,b,c之间的关系是什么？
2．椭圆有哪些几何性质，是如何探讨的？
（二）类比椭圆的几何性质来研究它的几何性质：
1．类比椭圆联想导出性质性质：以)0,0(12222babyax为例：
（1）范围：_______________________________________
（2）顶点：_______________________________________
（3）轴：_________________________________________
（4）对称性：_____________________________________
（5）离心率：_____________________________________
思考：①如何用a,b来表示离心率？
②离心率怎样刻画双曲线的开口程度？
（6）渐近线：
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2
思考：根据)0,0(12222babyax，你能发现双曲线的范围还受到
怎样的限制？
2.通过类比，你能推出)0,0(12222babxay几何性质吗？
3.小结：
4.等轴双曲线：
知识应用
【例1】
求双曲线22143xy的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、
离心率及渐近线方程。
标准方程
)0,0(12222babyax )0,0(12222ba
bxa
y
图形
性
质
焦点
焦距
范围
对称性
顶点
轴
实轴长 ，虚轴长 。
______:a______:b______:c
离心率
渐近线
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3
变式：04222yx的实轴长 虚轴长 焦点坐标
顶点坐标 离心率 渐近线方程
小结：
_________________________________________________________
【例2】
已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在y轴上，焦距为16，离
心率为34，求双曲线的标准方程。
【例3】
分别求满足下列条件的双曲线的标准方程：
（1） 双曲线的渐近线方程是xy，两顶点间距离2.
（2） 与双曲线13922yx有共同渐近线，并且经过点4,3
（3） 离心率是2，且经过（2，-3）点
课堂小结
本节课主要内容：
本节课主要思想方法：
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4
课堂检测
1、双曲线17922yx的实轴长为 ；虚轴长为 ；焦
点坐标是 ；顶点坐标是 ；离心率是 ；渐近
线方程为 .
2、若双曲线上经过点6,3，且它的两条渐近线方程是xy3，则
双曲线的方程是 .
3、已知双曲线的对称轴为坐标轴，两个顶点间的距离为2，焦点到渐近
线的距离为2，求双曲线的方程.
4、已知等轴双曲线的中心在原点，它的一个焦点为)22,0(F，求双曲
线的方程.
5填表
标
准
方
程
32822yx 81922yx 422yx
1254922
xy
实
轴
长
虚
轴
长
焦
点
坐
标
顶
点
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5
坐
标
离
心
率
渐
近
线
方
程
课后作业
双基达标
限时15分钟
1．若双曲线x2a2－y2b2＝1的两条渐近线垂直，则双曲线的离心率e为_____．
2．双曲线与椭圆x216＋y264＝1有相同的焦点，它的一条渐近线方程为y＝
－x，则双曲线方程为__________．
3．双曲线的两渐近线的夹角为60°，则双曲线的离心率为__________．
4．中心在坐标原点，离心率为53的圆锥曲线的焦点在y轴上，则它的渐
近线方程为____________．
5．焦点为(0，6)且与双曲线x22－y2＝1有相同渐近线的双曲线方程是____．
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6
6．(1)求双曲线x24－y23＝－1的焦点坐标、离心率和渐近线方程；
(2)已知双曲线x29－y216＝1与双曲线－x29＋y216＝1，它们的离心率e1，e
2
是否满足等式e1－2＋e2－2＝1?
综合提高 限时30分钟
7．双曲线x24－y212＝1的焦点到渐近线的距离为________．
8．双曲线的焦点在y轴上，且它的一个焦点在直线5x－2y＋20＝0上，
两焦点关于原点对称，离心率e＝53，则此双曲线的方程是__________．
9．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，P是双
曲线上一点，且PF1⊥PF2，PF1·PF2＝4ab，则双曲线的离心率是____．
10．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)、
F2(c，0)．若双曲线上存在点P使sin ∠PF1F2sin ∠PF2F1＝ac，则该双曲线的离心
率的取值范围是________．
百度文库 - 让每个人平等地提升自我
7
11．双曲线过点P(3，－2)，离心率e＝52，求其标准方程．
12．过双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的右焦点F作双曲线斜率大于零的渐
近线的垂线l，垂足为P，设l与双曲线的左、右两支相交于点A、B.
(1)求证：点P在直线x＝a2c上； (2)求双曲线的离心率e的范围．
13．(创新拓展)已知双曲线关于两坐标轴对称，且与圆x2＋y2＝10相交
于点P(3，－1)，若此圆过点P的切线与双曲线的渐近线平行，求此
双曲线的方程．
教学反思