双曲线的 几何性质
双曲线的简单几何性质课件
1(λ≠0，－b2<λ<a2).
x2 y2
x2 y2
(4) 与 双 曲 线 a2 － b2 ＝ 1 具 有 相 同 渐 近 线 的 双 曲 线 方 程 可 设 为 a2 － b2 ＝
λ(λ≠0).
(5)渐近线为 ax±by＝0 的双曲线方程可设为 a2x2－b2y2＝λ(λ≠0).
求满足下列条件的双曲线的标准方程． (1)以直线 2x±3y＝0 为渐近线，过点(1，2)；
b
b
b2
程求解，另一种方法是消去 c 转化成含a 的方程，求出a 后利用 e＝ 1＋a2 求
离心率．
2．求离心率的范围技巧 (1)根据条件建立 a，b，c 的不等式． (2)通过解不等式得ca 或ba 的范围，求得离心率的范围．
(2)双曲线离心率对曲线形状有何影响？ x2 y2
提示：以双曲线a2 －b2 ＝1(a＞0，b＞0)为例．
c
a2＋b2
b2
b
b
e＝a ＝ a ＝ 1＋a2 ，故当a 的值越大，渐近线 y＝a x 的斜率越大，双
曲线的开口越大，e 也越大，所以 e 反映了双曲线开口的大小，即双曲线的离心
率越大，它的开口就越大．
巧设双曲线方程的方法与技巧
x2 y2 (1)焦点在 x 轴上的双曲线的标准方程可设为a2 －b2 ＝1(a>0，b>0).
y2 x2 (2)焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程可设为a2 －b2 ＝1(a>0，b>0).
x2
y2
x2
y2
(3) 与 双 曲 线 a2 － b2 ＝ 1 共 焦 点 的 双 曲 线 方 程 可 设 为 a2－λ － b2＋λ ＝
B．y＝±34 x
双曲线的简单几何性质(经典)
双曲线的简单几何性质【知识点1】双曲线22a x -22b y ＝1的简单几何性质(1)范围：｜x ｜≥a,y∈R.(2)对称性：双曲线的对称性与椭圆完全相同，关于x 轴、y 轴及原点中心对称.(3)顶点：两个顶点：A 1(-a,0),A 2(a,0)，两顶点间的线段为实轴长为2a ，虚轴长为2b ，且(4)＝1中的1(5)(6)e ＝2(7)注意：且λ（2）与椭圆2a +2b ＝1(a ＞b ＞0)共焦点的曲线系方程可表示为λ-2a -λ-2b ＝1(λ＜a 2,其中b 2-λ＞0时为椭圆，b 2＜λ＜a 2时为双曲线)（3）双曲线的第二定义：平面内到定点F(c,0)的距离和到定直线l :x ＝c a 2的距离之比等于常数e ＝a c(c ＞a ＞0)的点的轨迹是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，焦准距(焦参数)p ＝c b 2，与椭圆相同.1、写出双曲线方程1254922-=-y x 的实轴长、虚轴的长，顶点坐标，离心率和渐近线方程2、已知双曲线的渐近线方程为x y 43±=，求双曲线的离心率3、求以032=±y x 为渐近线，且过点p （1,2）的双曲线标准方程4、已知双曲线的中心在原点，焦点在y 轴上，焦距为16，离心率为43，求双曲线的标准方程。
5、求与双曲线221169x y -=共渐近线，且经过()23,3A -点的双曲线的标准方及离心率．【知识点2】弦长与中点弦问题（1）．直线和圆锥曲线相交时的一般弦长问题：一般地，若斜率为k 的直线被圆锥曲线所截得的弦为AB ，A 、B 两点分别为A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)，则弦长]4))[(1(1212212122x x x x k x x k AB -++=-⋅+=]4)[()11(11212212122y y y y ky y k -+⋅+=-⋅+=,这里体现了解析几何“设而不求”的（2）设A(x 1；对于y 2【变1变4】7、过双曲线2212y x -=的右焦点F 作直线l 交双曲线于A,B 两点,若|AB|=4,这样的直线有几条？【题型2】双曲线离心率的求法一、根据离心率的范围，估算e ：即利用圆锥的离心率的范围来解题，有时可用椭圆的离心率e ∈()01，，双曲线的离心率e >1，抛物线的离心率e =1来解决。
双曲线的几何性质
双曲线的几何性质
双曲线是几何学中非常有趣的一类曲线，它形状十分壮观，常被广泛应用到许多不同的领域，例如机械设计、工业设计和计算机图形学等。
双曲线之所以能受到人们的独特关注，是因为它具有着独特的几何性质，这些性质具体如下：
1、双曲线无论在何处取一点，边缘上总是相同的准则来决定它的方向，因此称之为曲线的确定性性质。
这种性质决定了双曲线的方向跟某一点的距离是固定的，任何时候对曲线做相同的位移等价于对某一点做相同的位移，因而看起来双曲线的每一段都是一模一样的。
2、双曲线的另一种性质是它的宽度性质。
在双曲线上确定一点，然后在此点向两方平行平移某一个距离，不可能让它离原点越来越远，如果再加上长度性质，可以发现双曲线不会变宽。
3、另外，双曲线是没有重复部分的，也就是说双曲线是一种不局限的曲线，具有无限性质，永远不会重复。
4、双曲线具有反射性，这就是说可以以一个定点作为基准点，以这个点左右对称地折叠，双曲线的两端点可以映射到另一条线上。
5、最后，双曲线的斜率具有渐变性质，斜率逐渐增加，直到极限是无穷大。
双曲线拥有非常独特的几何性质，而这些性质也使得双曲线在很多不同的领域有着重要的应用价值。
根据上述描述可以知道，双曲线不仅独特，而且还有多种优越的特性，有很大的实用价值。
《双曲线几何性质》课件
生活中的双曲线应用
总结词
双曲线在日常生活中也有很多应用，如建筑设计、工程制造和艺术创作等。
详细描述
在建筑设计中，双曲线用于构建优美的曲线形状，如桥梁、建筑物的外观和内部结构。在工程制造中 ，双曲线用于制造各种零部件和工具，如机械零件、光学仪器等。在艺术创作中，双曲线用于创作优 美的图案和造型，如绘画、雕塑和音乐作品等。
双曲线的轴对称性
总结词
双曲线的轴对称性是指以通过双曲线中心的直线为对称轴，双曲线上的任意一 点关于该对称轴的对称点也在双曲线上。
详细描述
对于双曲线上的任意一点P，关于通过双曲线中心的直线（称为对称轴）的对称 点P'也在双曲线上。这种对称性使得双曲线在对称轴两侧保持一致的形状和方 向。
04
双曲线的面积与周长
这两个定点称为双曲线的焦点，焦点之间的距离称为焦距。
双曲线的标准方程
焦点在x轴上
$frac{x^2}{a^2} - frac{y^2}{b^2} = 1$ ，其中$a > 0$，$b > 0$，$c = sqrt{a^2 + b^2}$。
VS
焦点在y轴上
$frac{y^2}{a^2} - frac{x^2}{b^2} = 1$ ，其中$a > 0$，$b > 0$，$c = sqrt{a^2 + b^2}$。
双曲线的面积
总结词
详细描述
总结词
详细描述
双曲线的面积可以通过特定 的公式进行计算，该公式基 于双曲线的参数方程和定义 域。
双曲线的面积计算公式为 (A = piab)，其中 (a) 和 (b) 分 别是双曲线的实半轴和虚半 轴长度。这个公式基于双曲 线的参数方程和定义域，通 过积分运算得出。
双曲线的简单几何性质课件
e c (e 1) a
y b x a
例3：
x2 y2 1 16 9
1、双曲线 9x2-16y2=144的实半轴长
等于 4 虚半轴长等于 3 顶点坐
标是 4,0 渐近线方是y
3 4
x (或 x
4
y
.3
0)
5
离心率e= 4 。
2、离充心要率e=条件2 是。双（曲用线“为充等分轴条双件曲”线“的必要 条件”“充要条件”填空。）
双曲线定义的简单几何性质
定义
图象
方程 范围 对称性 顶点 离心率 渐近线
| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
y
y
M
M
F2
F1
o
F2
x
x
F1
x2 a2
y2 b2
1
x≤－a或x≥a
y2 a2
x2 b2
1
y≤－a或y≥a
关于坐标轴、原点对称（实轴、虚轴、中心）
(－a, 0) (a, 0)
法二 由双曲线的渐近线方程为 y＝±12x， 可设双曲线方程为x222－y2＝λ(λ≠0)， ∵A(2，－3)在双曲线上， ∴2222－(－3)2＝λ，即 λ＝－8. ∴所求双曲线的标准方程为y82－3x22 ＝1.
5 离心率
与椭圆类似,双曲线的焦距与实轴长的比 c , a
叫做双曲线的离心率.因为c a 0,所以双
2 2
y2 b2
1
渐进线方程
k
b a
B2
b
k
y
(a,b)
b a
yb x a
可由双曲线
双曲线的标准方程及其几何性质
2 2
x y
解析：由题意，设双曲线方程为2—2=
a a
例2、根据以下条件，分别求出双曲线的标准方程.
(1)过点P(3,-.2)，离心率e5
2
⑵F1、F2是双曲线的左、右焦点，P是双曲线上一点，双曲线离心率为2且
F1PF260，SpRF212 3.
解：(1)依题意，双曲线的实轴可能在x轴上，也可能在y轴上，分别讨论如下.
A.4
2
x
m212
1表示双曲线，则
k的取值范围是
B.
C.
D.
2
y
2
4 mB.2双Fra bibliotek线学a1的焦距是
C.
D.
m有关
2
_
k b2k
1与双曲线笃
a
判定焦点在哪条坐标轴上，不像椭圆似的比较x2、y2的分母的大小，而是x2、y2的系数
的符号，焦点在系数正的那条轴上•
3.双曲线的简单几何性质:
标准方程
2 2
xy‘
——1(a0,b0)ab
yx2
—2-21(a 0, b 0)
ab
图象
9
I
a, b,c关系
2 . 2 2a b c
范围
|x| a,y R
| y | a, x R
个数来确定。
(1)通常消去方程组中变量y(或x)得到关于变量x(或y)的一元二次方程，考虑该一
元二次方程的判别式，则有：0直线与双曲线相交于两个点；0直线与
双曲线相交于一个点；0直线与双曲线无交点.
(2)若得到关于x(或y)的一元二次方程，则直线与双曲线相交于一个点，此时直线平 行于双曲线的一条渐近线.
双曲线的几何性质
x±
解：
的双曲线方程。 3 y = 0 的双曲线方程。 椭圆的焦点在x轴上， 椭圆的焦点在 轴上，且坐标为 轴上
∴ 双曲线的焦点在x轴上，且c = 2 2
3 ∵ 双曲线的渐近线方程为 y = ± x 3 b 3 ∴ = ， 解出 a 2 = 6， b 2 = 2 2 2
F1 ( − 2 2，)， F 2 2 2，） 0 （ 0
双曲线与渐近线无限接近，但永不相交。 双曲线与渐近线无限接近，但永不相交。
5、离心率 、 c 双曲线的焦距与实轴长 的比 e = ,叫做 （1）定义： ）定义： a 双曲线的 离心率。
（2）e的范围 ） 的范围：
∵ c>a>0 ∴
2
e >1
思考：离心率可以刻画椭圆的扁平程度，双曲线 思考：离心率可以刻画椭圆的扁平程度， 的离心率刻画双曲线的什么几何特征呢？ 的离心率刻画双曲线的什么几何特征呢？ e是用来刻画双曲线开口大小的一个量, e越大开口越大。
等轴双曲线的离心率为
2
，反之成立. 反之成立
焦点在y 焦点在y轴上的双曲线的几何性质口答
双曲线标准方程： 双曲线标准方程： 双曲线性质： 双曲线性质： 1.范围： 范围： 范围
y2 x2 − 2 =1 2 a b
y A2 B1 o A1 B2 x
y≥a或y≤-a 或
2.对称性： 关于坐标轴和原点对称 对称性： 对称性 3.顶点： 顶点： 顶点 A1(0，-a),A2(0,a) ， A1A2为实轴，B1B2为虚轴 为实轴，
M F2 x
F
O
1
F
2
x
O
F1
x y − 2 =1 2 a b
2
2
双曲线的标准方程及其几何性质
双曲线的标准方程及其几何性质一、双曲线的标准方程及其几何性质.1．双曲线的定义：平面内与两定点F 1、F 2的距离差的绝对值是常数(大于零，小于｜F 1F 2｜)的点的轨迹叫双曲线。
两定点F 1、F 2是焦点，两焦点间的距离｜F 1F 2｜是焦距，用2c 表示，常数用2a 表示。
(1)若｜MF 1｜-｜MF 2｜=2a 时，曲线只表示焦点F 2所对应的一支双曲线. (2)若｜MF 1｜-｜MF 2｜=-2a 时，曲线只表示焦点F 1所对应的一支双曲线.(3)若2a =2c 时，动点的轨迹不再是双曲线，而是以F 1、F 2为端点向外的两条射线. (4)若2a ＞2c 时，动点的轨迹不存在.2.双曲线的标准方程：22a x -22b y =1(a ＞0,b ＞0)表示焦点在x 轴上的双曲线；22a y -22b x =1(a＞0,b ＞0)表示焦点在y 轴上的双曲线.判定焦点在哪条坐标轴上，不像椭圆似的比较x 2、y 2的分母的大小，而是x 2、y 2的系数的符号，焦点在系数正的那条轴上. 3.双曲线的简单几何性质： 标准方程 22221x y a b -=（0,0a b >>） 22221y x a b -=（0,0a b >>） 图 象 ,,a b c 关系 范 围 顶 点对 称 性 关于,x y 轴成轴对称、关于原点成中心对称渐 近 线 离 心 率 焦 点等轴双曲线：x 2-y 2＝a 2(a ≠0),它的渐近线方程为y ＝±x,离心率e ＝2.4.直线与双曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与双曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定。
（1）通常消去方程组中变量y (或x )得到关于变量x (或y )的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式∆，则有：⇔>∆0直线与双曲线相交于两个点；⇔=∆0直线与双曲线相交于一个点；⇔<∆0 直线与双曲线无交点．（2）若得到关于x (或y )的一元二次方程，则直线与双曲线相交于一个点，此时直线平行于双曲线的一条渐近线．(3)直线l 被双曲线截得的弦长2212))(1(x x k AB -+=或2212))(11(y y k-+，其中k 是直线l 的斜率，),(11y x ，),(22y x 是直线与双曲线的两个交点A ，B 的坐标，且212212214)()(x x x x x x -+=-，21x x +，21x x 可由韦达定理整体给出．二、例题选讲例1、中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为2，则双曲线方程为 ( )A ．x 2－y 2＝1B ．x 2－y 2＝2C ．x 2－y 2＝ 2D ．x 2－y 2＝12解析：由题意，设双曲线方程为x 2a 2－y 2a 2＝1(a >0)，则c ＝2a ，渐近线y ＝x ，∴|2a |2＝2，∴a 2＝2.∴双曲线方程为x 2－y 2＝2. 答案：B 例2、根据以下条件，分别求出双曲线的标准方程．(1)过点)2,3(-P ，离心率25=e ． (2)1F 、2F 是双曲线的左、右焦点，P 是双曲线上一点，双曲线离心率为2且︒=∠6021PF F ，31221=∆F PF S ．解：(1)依题意，双曲线的实轴可能在x 轴上，也可能在y 轴上，分别讨论如下．如双曲线的实轴在x 轴上，设12222=-by a x 为所求． 由25=e ，得4522=a c ． ①由点)2,3(-P 在双曲线上，得12922=-ba ．②， 又222cb a =+，由①、②得12=a ，412=b ． ③ 若双曲线的实轴在y 轴上，设12222=-b y a x 为所求． 同理有4522=ac ，19222=-ba ，222c b a =+．解之，得2172-=b （不合，舍去）． ∴双曲线的实轴只能在x 轴上，所求双曲线方程为1422=-y x ．(2)设双曲线方程为12222=-b y a x ，因c F F 221=，而2==ace ，由双曲线的定义，得c a PF PF ==-221．由余弦，得212122212cos 2)2(PF F PF PF PF PF c ∠⋅⋅-+=)60cos 1(2)(21221︒-⋅⋅+-=PF PF PF PF ，∴21224PF PF c c ⋅+=．又31260sin 212121=︒⋅=∆PF PF S F PF ，∴4821=⋅PF PF ． ∴4832=c ，162=c ，得42=a ，122=b ．∴所求双曲线的方程为112422=-y x ． 三、巩固测试题1．到两定点()0,31-F 、()0,32F 的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹 （ D ）A ．椭圆B ．线段C ．双曲线D ．两条射线2．方程11122=-++k y k x 表示双曲线，则k 的取值范围是（ D ） A ．11<<-k B ．0>k C ．0≥k D ．1>k 或1-<k3． 双曲线14122222=--+m y m x 的焦距是（ C ） A ．4 B ．22 C ．8 D ．与m 有关4．若a k <<0，双曲线12222=+--k b y k a x 与双曲线12222=-bya x 有 （ D ）A ．相同的虚轴B ．相同的实轴C ．相同的渐近线D ． 相同的焦点5．过双曲线191622=-y x 左焦点F 1的弦AB 长为6，则2ABF ∆（F 2为右焦点）的周长是（ A ） A ．28 B ．22 C ．14 D ．126．双曲线x 24－y212＝1的焦点到渐近线的距离为 ( )A ．23B ．2 C. 3 D ．1解析：双曲线x 24－y 212＝1的焦点为(4,0)或(－4,0)．渐近线方程为y ＝3x 或y ＝－3x .由双曲线的对称性可知，任一焦点到任一渐近线的距离相等，d ＝|43＋0|3＋1＝2 3.7．以椭圆15822=+y x 的焦点为顶点，椭圆的顶点为焦点的曲线的方程为（ ）A A ．15322=-y x B ．13522=-y x C ．181322=-y x D ．151322=-y x 8．过点P (4,4)且与双曲线x 216－y 29＝1只有一个交点的直线有 ( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条 解析：如图所示，满足条件的直线共有3条．9．经过两点)3,72(),26,7(B A --的双曲线的方程为 （ ）CA ．1257522=-y x B ．1257522=-x y C ．1752522=-y x D ．1752522=-x y 10．已知双曲线的离心率为2，焦点是(40)-，，(40)，，则双曲线方程为（ ） A ．221412x y -= B ．221124x y -= C ．221106x y -= D ．221610x y -= 11．已知P 是双曲线191622=-y x 上的一点，21,F F 是双曲线的两个焦点，且 12021=∠PF F 则21F PF ∆的面积为 （ ）DA ．316B ．39C ．34D ．3312．双曲线222516400x y -=的实轴长等于 ，虚轴长等于 ，顶点坐标为 ，焦点坐标为 ，渐近线方程为 ，离心率等于 ．13．直线1+=x y 与双曲线13222=-y x 相交于B A ,两点，则AB =________ 12．6414．过点)1,3(-M 且被点M 平分的双曲线1422=-y x 的弦所在直线方程为 。
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2.双曲线虚轴的一个端点 为M，两个焦点为 F1 , F2，F1MF2 120 则双曲线的离心率 e为（）B A. 3 6 B. 2 6 C. 3 3 D. 3
b c 小结：这一类型题可以 从题目中获取 ， ，即a, b, c三个参数中， a b 其中两个的比值，此时 我们只需要利用公式 c 2 a 2 b 2 , 就能 求出e c a
b 2.公式变形：e 1 ( ) 2 a
3.椭圆的离心率可以刻画 椭圆的扁平程度，那么 双曲线的离心率 刻画双曲线的什么几何特征？
双曲线的离心率刻画的 是双曲线的开口大小 双曲线e越大，开口越宽阔
4.求双曲线的离心率
x2 y2 4 1.已知双曲线的 2 2 1的一条渐近线方程为 y x，则 a b 3 它的离心率e为（） A A. 5 3 B. 4 3 C. 5 4 D. 3 2
3.设双曲线的一个焦点为 F，虚轴的一个端点为 B，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近 线垂直，那么此双曲线 的离心率e为（）D A. 2 B. 3 C. 3 1 2 D. 5 1 2
小结：得到一个关于 a, c的一元二次方程， m a2 nac pc2 0, 此时我们在方程两边同 除a 2 , 把方程转化为关于 e的二次方程
特别注意，如果题中所 给曲线为双曲线， 小于1的根必须舍去 .
三、直线与双曲线的位 置关系
相交 相切
1个交点
有2个交点的相交
有1个交点的相交
相离
相交 0个交点 相离 1个交点 相点
例.直线y kx 1与双曲线3x 2 y 2 1 （ 1 ）k为何值时，直线与双曲 线有2个交点 （2）k为何值时，直线与双曲 线相切.
双曲线的几何性质（ 2）
一、等轴双曲线: 实轴和虚轴相等的双曲 线，即a b
1.x 2 y 2 m（m 0）
y x __ 2.等轴双曲线的渐近线为 __________
e 2 3.等轴双曲线的离心率 e为__________ __
二、双曲线的离心率
1.e c (e 1) a