北师大版九年级下册数学勾股定理的16种证明方法
数学北师大版九年级下册30.45.60度三角函数值
《30°、45°、60°角的三角函数值》教学设计及教后反思阳山县青莲中学叶兰香设计理念自主学习，作为一种学习能力，不仅有利于提高学生的学习成绩，而且是个体终身学习和毕生发展的基础。
但我们山区农村学校学生自主学习意识不强，自主学习能力不高，为此，我们进行了《山区农村初中数学教学引导学生自主学习的策略研究》，希望能结合学生的实际情况，对现有的课堂教学模式进行改进，探索出适合我们山区农村学校的自主学习有效课堂教学模式。
本课的设计以在课堂教学中渗透自主学习的理念为目的，通过设计恰当的问题，引导学生自主探究获取新知，积累数学活动经验，逐步养成自主学习的习惯，并提高自主学习的能力。
教学内容分析《30°、45°、60°角的三角函数值》是新北师大版九年级数学下册第一章《直角三角形的边角关系》第二节的内容。
本节课主要是在学生已有的直角三角形有关知识的基础上，根据三角函数的定义，探究30°，45°，60°三个特殊角的三角函数值，并要求能利用特殊角的三角函数值进行基本运算及简单应用。
学好本节课内容，可为学生灵活运用锐角三角函数解决实际生活中的问题打下坚实的基础。
学情分析学生认知基础方面，在本节课的学习之前，学生学习了三角函数定义、勾股定理、等腰直角三角形和30°所在的直角三角形三边之间的关系等知识，已具备了探究30°，45°，60°三个特殊角的三角函数值所需的相关知识；学生自主学习能力方面，由于我校地处山区农村，学生的学习自主性相对较差，学习有依赖性，学习自信心有待提高。
教学目标1、让学生经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，能够进行有关推理，进一步体会三角函数的意义，发展学生自主观察、分析、发现问题的能力；2、能够利用30°、45°、60°角的三角函数值进行计算，并能利用三角函数值解决简单的实际问题；3、通过引导学生积极参与数学活动，在数学活动中获得成功的体验，逐步养成自主学习的习惯并提高学生自主学习的能力。
北师大版九年级下册第一章直角三角形的边角关系说课稿.4直角三角形公开课
3.使用多媒体工具展示生动的几何图形和动画，帮助学生直观理解直角三角形的边角关系。
4.给予学生成功的体验，通过设计难度适中的练习题，让学生在解决问题中获得成就感，增强学习信心。
5.鼓励学生提出问题和自己的想法，培养他们的探究精神和批判性思维。
4.最后介绍直角三角形的判定与证明方法，通过一系列例题，让学生掌握如何运用这些方法解决实际问题。
（三）巩固练习
为了帮助学生巩固所学知识并提升应用能力，我计划设计以下巩固练习或实践活动：
1.设计一些填空题和选择题，让学生独立完成，以检验他们对基本概念和定理的理解。
2.安排一些证明题，要求学生在小组内合作完成，培养他们的合作能力和逻辑推理能力。
（二）教学反思
在教学过程中，可能遇到的问题包括学生对直角三角形性质的误解、对勾股定理证明过程的困惑以及实际问题解决能力的不足。为应对这些问题，我将采取以下措施：及时澄清误解，通过实例和图示解释概念；分步骤讲解勾股定理的证明，强调每一步的逻辑；设计更多实际问题练习，培养学生的应用能力。课后，我将通过学生的课堂表现、作业完成情况和测验成绩来评估教学效果。具体的反思和改进措施包括：根据学生反馈调整教学方法和进度，针对学生的弱点提供额外的辅导，以及不断更新教学资源，以提高教学质量和学生的学习效果。
2.提供一个自我评价表，让学生根据自己在课堂上的表现和作业完成情况进行自我评价。
3.对学生的表现给予积极的反馈，针对他们的不足提出建设性的建议，帮助他们改进学习方法。
4.鼓励学生相互评价，通过同伴互助，共同提高。
（五）作业布置
课后作业的布置如下：
1.设计一些与直角三角形相关的练习题，包括基本概念的理解题、定理的证明题以及实际问题的应用题。
勾股定理的十六种的证明方法
勾股定理的十六种的证明方法【证法1】（课本的证明）做g 个全等的宜角三角形，设它们的两条直角边长分别为注、b ,斜边长为6再做 三牛边长分别为已、氐C 的正方形，把它们®上图那样拼成两个正方形*从图上可以看到，这两个正方形的边长都是& + b-所以面枳相筹•即整理得/+护二口f 证法21 （邹元治证明）以包、b 为直角边，以亡为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积 等于2 •把这四个宜角三角形拼成如图所示形状，使乩E. B 三点在一条直线上，B. F 、 C 三点在一条直线上，C 、S D 三点在一条直线上.二ZAHE 二 ZBEF. T ZAEH - ZAHE 二 90° , 二 ZAEH 」 -ZBEF 二 90\ :• ZHEF = 180=90〃二 9' 0\ 二四边形EFGH 是一个边长为亡的 正方形. 它的面积等于 T Rt i GDH 空 Rt 2 HAE, 二 ZHGD ZEHA. T ZHGD ZGHD - 9(r 二 ZEHA ZGHD 二 90\ 又丁 ZGHE二 ZDHA QO° 亠％『二T RtMJAE 空抵扣澱,-ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于W-(fl +i) ' = 4x—di■ a ♦2【证法3】（赵爽证明〉以弘b为直角边Cb>a），以C为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角图所示形状-T RMDAH■wr*AMjn*4UU.二ZHDA 二■ / ZHAD +/. ZEAB +二ABCD是一个边长为C的正方形，它的面积等于c\ ■ / EF = FG =GH =HE 二b—a ,ZHEF = 90° —A EFGH是一个边长为b—自的正方形，它的面积等于0•由）1 ” 4x jait证法4] （1876年美国JS统Carfield证明）以窝、b为直角边，以C为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的使g. B三点在一条直线上.积尊于2 ,把这两个直角三角形拼成如图亦示形状,T RtAEAD 丝Rt A CBE.:、ZADE 二ZBEL■ : ZAED + ZADE 二90° ,:.ZAED + ZBEC 二90\/. ZDEC 二180° 一90〃二90〃・ /・卫§£提一个等©直角三角形，三角形的面积等于2 •把这H个直角三角形拼成如丝Rt A ABE,ZEAB.ZRAD =90〃，DB它的而积等于2.又丁ZDAE 二90% ZEBC 二:・ AD/ZBC・L &1+护二2 X —abA ABCD是一个直角梯形，它的面积等于朮口 +疔-:2 2 2,d十b'八t 证法5】(梅文鼎证明)做四个全等的直角三角形，段它们的两条直角边长分别为罕b ，斜边长为s 把它们拼 成如图那样的一个多边形，使D 、E. F 在一条亘线上•过C 作AC 的延长銭交DF 于点P.■ / D. E 、F 在一条直线上，且 RtAGEF 全 Rt A EBD, ■ HV—VWWVWMW-V.:・ ZEGF = ZBED,*/ ZEGF 亠 ZGEF 二 ，：* ZBED + ZGEF 二 9tr ,:.ZBEG 二 1SO 〃—90〃二 9(r ・又 T ・ 4B 二 BE 二 EG 二 GA 二c, g -ABEG 是一个边长为c 的正方形「 ;> ZABC + ZCBE 二 90\* 二 BxAXBOz :・ ZABC = ZEBD.:.ZEBD 十 ZCBE 二 90\即 ZCBD 二 9(r ・又 T ZBDE 二 90〃，ZBCP 二 9(7 , BC 二BD 二比 二 a *BDPC 是一亍边长为a 的正方形.同理，HPFG 是 一伞边长为b 的正方形〃设多边形GHCBE 的面积为&则L ■! ■时二5 斗 2 X i 血* r*设它们的两条直角边长分别为旦、b (b>a),斜边长为 把它们拼成如图所示的多边形，使臥A. C 三点在一条过点Q 作QP//BC,兗代匚于点F. 过点B 作册丄PQ,垂足为地再过点F 作FX 丄P0垂足为工T ZBCA - 9(r, QpyzBC,二 Z«PC 二 9 化T 创丄F0二 ZBMP 二 90\-BCP 订是一个矩形，即ZMBC 二■ / ZQBM + ZMBA = ZQBA 二 9『, ZMBA 二 ZN1BC 二 9(r,化 ZQBM 二 ZABC,又丁 Z5MP 二 90\ ZBCA 二迅 BQ 二 BA 二 c>二 Rt A B 订Q 旦 Et A BCA.同理可证S1295E -肚虫睡：从而箱问题转化为f 応落疔7梅文灿证明).，/+止_【证法6】(项明达证明〉做两个全等的直角三角形，再做硏个边长为C 的正方形.直线上. ZABC +FC BE在一条直线上，连结 °的?F 肯形护立们拼咸如團斫示形状，使乐C. BF. CD •过 C 作 CL±DE,交;m 于点此交DE 于点L,T AF 二 AC,・AB 二 AD,虫ZFAB 二 ZCAD,代・A 復&望T iFAB 的面积等于空“・乂吐的面积等于矩形ADLM 的面积的一半, 二矩形ADUI 的面积同理可证，矩形MLEB 的面积二戸.T 正方形ADEB 的面积二葩形ADUI 的面积+矩形MLEB 的面积/,护，即护+占V/*E 证法町（利用相似三竟形性质证明）如图，在肚丄A 匹中，设直角边AS 反的长度分别为点C a. b ・斜边AB 的长为Ga 作CD1AB,垂足是D*在i ADC 和iACE 中, V ZADC - ZACB 二 90〃， ZC.AD 二 ZB AC,二 AASC s A A®*AD : AC H AC : AB,艮卩HC ： =4D •一毎- 同理可证FASflS s二 HC*=（川 D + D£）・川占二討$1,即 o'+i ） i 二匚I 【证法9】（畅作玫证明）做两个全等的直角三角形•设它们的两条直角边长分别为吐、b Cb>a\斜边长为亡.再做 一个边长为U 的正方形•把它们拼成如图所示的多边形-过丄作AF 丄AG AF 交GT 于F ・・・IF 交 DT 于R.过B 作肝丄左F, 垂足为巴过D 作DE 与CB 的延长线垂直，垂足为 E, DE 交AF 于乩T ZBAD 二 90〃，ZPAC 二 W,二 ZDAH 二 ZEAC.又■/ ZDHA 二 90〃，ZBCA 二 9「，AD 二 AB 二 C ；二 Rt 业 DHA ◎ Rt 也 BCA.二 DH 二 BC 二 a, AH 二 AC 二 b・由作法可知，PECA 是一个矩形， 所以 R T A AFB 丝 RtAgCA.即 PB 二 CA二 b, AP 二 a,从而卩 H 二 b 一au*； Rt i DGT 瓷 Rt i BCA , g 卫與•奉廳2瞬二 Dtr^T?G 二 a™2S5?二 ZHDA ・ 又 T ZDGT 二 90° , ZDHF 二 W fB 三点C二愍空•匹I竺雛屯哪，二DGFH是一亍边故为a的止万形.二GF 二FH 二 a ・TF±AF. TF = GT-GF = b—a ・二TFPB是一个直角梯形，上底TF二b-E下底SP= b,高FP P +(b-G・用数字表示面积的编号(如图九则以C为边长的正方形的面积为G 二S] + Sj + Sj + S 耳 + S 了①** 场+ 昂 + Sq 二挣 + 0-口)」讥+0-13 ) ^--ab―* S, + S, = b*―ab—S,护-S] f 把②代入①，得=5 + 5] + F - S] F S J +S J +Sp-时+男+男-酹+/,-盼+沪二八【证法10] t李钱ffi明)设直角三角形两直角边的长分别为a・b (b>a)，斜边的长为二做三个边长分别为包、b. C 的正方形，把它忙I拼成如S所示形状，使爪E・G三点在一条直线上•用数字表示面积的编号（如图）.T ZTBE 二ZABH 二9tr :・ZTBH 二r 乙ABE.又T ZBTH 二BZBEABE - 人RtAHBT ^ORt, AHBBj 人HT二AE二比:、GH 二GT-HT 二b-a.又T ZGHF + ZBEI 二90\ZDBC + ZBHT 二ZTBH + 二ZGHF 二ZDBC J DB 二ER —ED二b-a>ZHGF 二ZBX 二9 呼，・•、gt A HGF 丝RtA. jBgC 即工二$2.过Q作Q蛆丄AL垂足是乩由ZBAQ二ZBEA二二ZQAM T而AB 二AQ 二0 9Cn 可知ZABER貯避•所以陆Ajj甲.公'Rt •斷以驰玉賤旦陆29迪••又5x2JSSI —細SE百屁卫滋又得QM二A£二a, ZAQM二ZBAE.ZHGF 二 ZBDC 二 90%二Rt A HGF 竺Rt A BDC.即思产h ・过Q 作QNLLAG,垂足是底由ZBAQ 二ZBEA 二9化可知ZABE =ZQAM,而壷B 二AQ 二C.所以Rt AABE 竺 肚綁M -又RMHET 空Rt A ABE.所以Rt A HBT 竺班 色QM .即况二匹.由 Rt A ABE 竺 Rt A Q. W,又得 QM = AE = a, ZAQM 二 ZEAE.T ZAQM + ZFQM 二 90% ZBAE + ZCAR 二 90% ZAQM = NBAE,二 ZFQM 二ZCAR.又丁 ZQitF 二 ZARC 二 90% QM = AR = a ,二 Rt A q"fF 竺 Rt A ARC.即 $严耳-丁 亡 2=$1 +昂 + 爲+ S 斗+ 5； , /二S] + Ssj 二S ・ +S- + S,V ' *二A 易二壬乌二斗二宀 7/ =S\ +S5 + Sm + 斗 + 禺二 S] + rS 斗 + $2 + S j—r在d 磁中「设直珀边BC 二a, AC 二b,斜边AB 二c,如图 C, 径作圆，交AB 及AB 的延长线分别于Ik E,则ED 二BE 二BC 二 C 在©B 上，所以扛是©B 的切线，由切割线是理，得t 证法12】（利用雾列米定理证明｝在R2ABC 中，设直角边BC 二a. AC 二b,斜边AB 二c （如图）*过点〃&作AD//CB,过 点B 作BD>ZCA,则ACBD 为矩形，矩形ACBD 内接于一个圆，根据多列米定理，圆内接 四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有=JD*5C5£Z?,T AB 二 DC 二 c, AD - BC =乩AC 二 BD 二 b,二且0’二占c'+」c',即/吕口： +盼,「以0为圆心a 为半 孔比因为ZE 仙二90\点 屁;二毘£〉3二｛AS+SE’AS -SD ）-(c + d) (c 一d)二£?+, =/【证法13】（作直角三角形的内切圆证明）在吐黒照中，设直角边EC = a, AC二b,斜边託二切点C. 分W?D7E> F （如圏人设©0的半径为r.T AE 二AF, BF 二BD, CD = CE,二MC+ BC-AB二{AE+CE}+[SD +CD)—(討戸+EF)二CE + CD 二工 + 工=2丫,即a +二2r,r* a + b 二2F + f ・A ~ (2r + c) \gp ■”2aif = 4 (r* +rc) +c*又T Sg 厂匚沪Sae+Sse 二2 2 -（4 + 0 + 亡）严—{2r + C + c丿r/, 4 (宀n： )=4£sr,*・》4卜’+临）=2胡'「■ /+ 即+2 口& 二2e 占+（；'』【证法14】（利用反证法证明）如图，在§1卫匸中「设直角边AG阮的长度分别为已、点C作CD丄AE.垂足是D.假设/十护乂蔦即假设也'+證2厂护「则由二AJ*.』5 二M （a + AD）二A B• A D + AB• BDb・斜边啊的长为G过可知-心5扭-M,或者在AAK和1ACB中,肋・ED•即AD： AC^AC： AB•或者BD： BC?^BC：AB.丁ZA 二ZA,二若AD： AC^AC： AB,则ZADCH ZACE.在・AC咀和・A他中，T ZB 二ZE>二若BD： BC T^BC：AB X贝JZCDB^ZACB.C又T ZACB 二9Cr ,二Z： ADCH9 （r, ZCDEHgcr这与作法CD丄AB矛盾•所以「e +恥' *曲谢假设不能成立作吐丄Age的内切圆00,设直角三角形两直角边的长分别为已*，斜边的长为⑺作边长是a 吒的正方形ABCD*把 正方形ABB 划分咸上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD 的积为（》疔二/+护+滋•把正 方形.〈BCD 划分成上方右图所示的几个部分「则正方形ABCD 的 (a + 4 X —ab + T 面积为， 2 二2如i ・小十护十2aij = 2ab 十F, ［证法祐】（陈杰证明） 设直甬三角形两直角边的长分别为a. b b 的正方形<b>a ）.把它们拼成如图所示形状， 图）. 在EH - b 上截取ED - a,连结加、DC,. 则 AD 二 B T EH = EH + HM = b 十 a , ED = 二 DM 二 EM-ED 二（b + 切一 a 二 ZAED 三 9 少，CM 二 a. :・R t A A 鲍\ AE 二 b, A ZEAD V ZADE ZADE :.ZAX 二作AB/7DC, CB?/DA,则期5是一个边长为c 的正方激 '：ZBAF + ZFAD 二 ZDAE + ZFAD 二 9（r, ZMDC T D T= AD = c. ZAX+ ZMDC 二1SO\ ZMDC 二 ZADE - ZEAD A ZBAF 二ZD. \E, 连结FB,在厶ABF 和i ADE 中,（b>aX 斜边的长为B 做两亍边长分别为包、 砌积的縄用傲点在一条宜线上•用数字表 E 、 B b b E —b a, J MD G 1 二 90J 90\gs)+T 十 £十占 ■ os+ls 十 34 ■ • 8 •心 + •JS+GSHFSH—SHTSf EK 扌s+r s *+=・£:•叶・• ・ 「r i> ・law :抵八・u II % + qb aa ab a b方2 ab bb aA C Bb E。
初中勾股定理16种证明方法
初中勾股定理16种证明方法姓名： __________指导: ___________日期： __________【证法1】（课本的证明）勾股定理的证明a b做8个全等的贞角三角形, 设它们的两条百角边长分别为冬b,斜边I 三个边长分别为a 、b. c 的正方形,把它们像上图那样拼成两个正方形. 从图匕可以看到.这两个正方形的边长都是a + b.所以而积相等.即 / "2 + 4x —= /+4X —" , 、 、 2 2 ,整理得“""I 【证法2】（邹元治证明）以3、b 为直角边,以c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三 等于2 •把这四个宜角三角形拼成如图所示形状，使八E 、B 三点在-条£ C 三点在一条直线上.C 、G 、D 三点在一条直线上. V RtAHAE 竺 RtAEBI ； ••• ZAHE = ZBEF. ••• ZADI 十 ZAIIE = 90°, ••• ZAEH 4 ZBEF = 9『・ ••• ZHEF = 180°-9(T= 90°. •••四边形EFG1I 是个边心为c 正方形. V RIAGDH ••• ZHGD = ••• ZHGD + ••• ZEIIA 十 乂 I ZGHE 二 ••• ZDHA = 它的而积等于c ・ M RIAI1AE, ZEI1A. ZGHD 二 90°, ZGIID = 90°. 9(T, 9(T + 90° 二 180\ ••• ABCD 是•个边长为a + .=4x 丄"力十 F • • 2 • 【证法3】（赵爽证明） 以。
、b 为直角边（b>a ）,边作四个全等的直角三角形,则每个貢角L ab三角形的而积等于2 •把这四个自角:.角形拼成如图所示形状•・• Rt ADAH 仝Rt AABE,••• ZHDA = ZEAB.••• ZUAD + ZHAD = 90°,••• ZE AB + ZHAD = 90°,••• ABCD是f边长为c的正方形,它的而积等丁• JI EF = FG =GH =HE = b-a ,ZIIEH = 90°.・•・EFGH是•个边长为b—“的正方形，它的血枳等门力-“匚4x丄“5+（力一“尸二疋• • 2 ••••【证法4】（1876年美国总统Garfield证明）以a、b为直角边,以c为斜边作两个全等的直角三角形,则每个直角三角形的而积等于2 .把这两个/iff] •:角形拼成如图所示形状.使A、卜Rt AEAD 也Rt ACBE,ZADE = ZBEC.ZAED + ZADE = 90°,ZAEI) + ZBEC = 90°.ZDEC = 180°-9Cf = 90°•A DEC是一个等腰直角三角形.丄,它的面积等于产•乂••• /DAE = 9(T, ZEBC - 90°,B [点在一条直线上.ABCD 是•个直角梯形，它的面积爭Jd"勿【证法5】（梅文鼎证明）做四个全等的rt角上角设它们的两条直角边长分别为a. b ,斜边长为c.把它们拼成如图那样的•个多边形. 点P.••• D、E.【；在-•条直线匕使D、E、F在条直线上.过C作AC的延长线交DF于ILRt AGEF 丝RtAEBD,••• ZEGF 二 NRED,I ZEGF + ZGEF = 90° , ••• ZBED + NCEF = 90° , ••• ZBEG =180°-90°= 90°.又••• AB ■ BE ••• ABEG 是 ••• ZABC 十 T RtAABC /. ZABC = ••• ZEBD + 即 ZCBD= 90°.XV ZBDE = 9(T, ZBCP = 90% BC = BD = a.••• BDPC 是•个边长为a 的正方形・ 同理，HPFG 是•个边长为b 的正方形. 设多边形GHCBE 的面积为S,则/ +力’ =S+2x 丄 “A 2c 2 =5"+ 2x 丄“力2 , 宀宀【证法6】（项明达证明）做两个金筹的直角三角形. c.再做•个边长为c 的正方形. 直线上过点Q 作QP/ZBC,交AC 于点P.过点B 作BM 丄PQ,垂足为再过点 F作FN 丄PQ,垂足为N.•/ ZBCA = 90% QP//BC,・•・ Z\1PC - 90%V BJI 丄 PQ,••• ZBMP = 90°,••• BCPM 是一个矩形，即ZHBC =I ZQBM 十 ZMBA 二 ZQBA 二 9『，ZABC + ZMBA = ZM13C = 90°, ••• ZQBM = ZABC,XV ZBMP = 9(f, ZBCA = 90°, BQ = BA = c, ••• RtABMQ 9 RtABCA.同理可证RtAQNF 丝RtAAEF.=EG = GA = c,•个边长为c 的疋方形.ZCBE = 90°. 9 RtAEBD,ZEBD. ZCBE 二 90°. 设它们的两条fi 角边长分别为“ b （b>a ） •斜边K 为把它们拼成如图所示的多边形,使E. A. C 三点在•条D 90°(从而将问题转化为【证法4】（梅文勵证明）•【证法7】（欧几里得证明）做三个边长分别为肚b. c 的正方形.把它们拼成如图所示形状,使H 、C 、B 三点 在一条直线匕连结 BE. CD.过 C作 CLIDE, 交 AB J ：点 \〔，••• AF 二ZFAB ••• A EAB 9 A GAD, I A FAB 的面积等于2 ,△ GAD 的面积等于矩形ADLH的而积的一半.•••矩形ADLM 的面积同理可证,矩形MLEB 的而积二几•••止方形ADEB 的闻枳二矩形ADUI 的面积+矩形MLEB 的面积.・• C ：=店",即仗七什二c\ 【证法8】（利用相似三角形性质证明）如图,/ERtAABC 中，设直角边AC 、BC 的长度分别为a 、b,斜边AB 的长为c,过 点C 作CD 丄AB,垂足是D.在AADC 和厶ACB 中,••• ZADC = ZACB = 90°,ZCAD = ZBAC,••• A ADC s A ACB.AD ： AC = AC : AB,[!|J AC ^AD ・AB.同理可证,ACDB s AACB,从而有BC ・BD •人B.g * BC^1 -（AD ♦ ・4B ・4圧.即/十夕二丁.【证法9】（杨作玫证明） '做两个全等的宜角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b （b>a ）,斜边长为c. 再做•个边长为c 的正方形・把它们拼成如图所示的多边形.过A 作AF 丄AC, AF 交GT FF, AF 交DT 于R.过B 作BP 丄AH 垂足为P.过I ）作DE 与CB 的延长线垂直,韭足为 氏 DE 交 AF fll.AC, AB 二 AIX =ZGAD, M BED••• ZBAl) = 9(T , ZPAC = 90°, ••• ZDAll ZBAG9(T.又I ZDHAAD = AB••• RtADHA 9 RtABCA.••• DH = BC = a, AH = AC = b.由作法可知• PBCA是•个矩形，所以Rt AAPB 竺RtABCA 即PB =CA = b, AP= a,从而PH = b—a.••• Rt ADGT < RtABCA ,RtADHA 竺RtABCA.：• Rt ADGT 竺RtADHA •••• DH = DG = a, ZGDT = ZHDA •又丁ZDGT = 9（T, ZDHF = 90°.ZGDH = ZGDT + ZTDH = ZHDA+ ZTDII = 9（T,••• DGEII是一个边长为a的止方形.•I（；F = HI = a• TF±AF・ Tl； = GT-GF = h-a .••• TPPB 是•个直角梯形,上底TF=b-a, F底BP= b, ?^5FP=a + （b-a）• 用数字农示而积的编号（如图）.则以c为边长的正方形的面积为• • d" _扣十（力-“）卜二护_*=力 2 ■丄“力■ £ A? C C ~/. 1 2 J b -S\-S、.②把②代入①.得=力• + £ + 5；=沪 + /.【证法10】(李鋭证明)设苴角三角形两直角边的长分别为a、b (b>a),斜边的长为c•做・：个边长分别为a.b、c的正方形,把它们拼成如图所示形状,使A、E、G三点在一条直线上•用数字表示面积的编号（如图）.V ZTBE = ZABII = 90° >••• ZTBH = ZABEe乂I ZBTH = ZBEA = 90\ BT - BE =b,/. RtAHBT 9 RtAABE.A 1IT = AE = a.••• GH = GT-HT = b-a.XV ZGHF + ZBirr = 90°, ZDBC +ZBirr = zrBH +••• ZGIIF = ZDBC ・I DB = EB-ED = b-a,NHGF = ZBDC = 90°,••• RtAHGE 竺RtABDC.即禺讥过Q 作QM1AG,垂足是M.由ZBAQ - ZBEA - 90°,可知ZABE =ZQAM,而八B = AQ = c,所以Rt AABE 竺RtAQAM • 乂RtAHBT 竺RtAABE.所以RtAHBT 3 RtAQAM.即III Rt A ABE 丝RtAQAM,又得QM = AE = a. ZAQM 二ZBALT ZAQM + ZEQM = 90°, ZBAE + ZCAR = 90\ ZAQM = ZBAE, ••• ZEQM = ZCAR.又••• ZQME = ZARC = 9(T , QM = AR = a,A RtAQMF 竺RtAARC.即•• w = 5^ + £ + 4人 + 6 + 送"'=$+£ 斤=s、* s. * s*又・.•刀•+ 力’=£ + £ + £ + ・久+ £二£ + £ + 5 + 二 4V,即夕+力'* •【证法11］（利用切割线定理证明）d:RlAABC«|^设血和边BC = a, AC = b,斜边AB = c.如图，以B为阴I心s为半径作圆,交AB及AB的延长线分别FD、E,则BD = BE二BC = a.因为ZBCA = 90°, 点C在OB h,所以AC是OB的切线.由切割线定理.得AC = AE・AD/ERtAABC中.设直角边BC = a, AC = b,斜边AB二c （如图）.过点A作AD〃CB 过点B作BD〃CA・贝ij ACBD为矩形,矩形ACBD内接于-个隊根期多列米定理,鬪内按四边形对处线的乘积等于两对边乘积Z和，有DC = BO AC^ BD ,••• AB = DC = c, AD = BC 二a.AC = BD = b-/.击=ffc 1 +必,即K =宀几 ••• W".【证法13】（作直角三角形的内切圆证明）在 RtAABC 中,设直角边 BC = a, AC = b,斜边 AB = c.作 RtAABC 的内 VJMOO. 切点分别为D 、E 、F （如图人设G«0的半径为r.T AE = AF, BF = BD, CD = CE,••• AC^ RC - AB =（ //£+ 8 + （加 + 8 - （B 叭二 CE* CD 二 r + r = 2r,-（2r+r+r ）r 、 =2 =/・・+“，:.4（X +“） = 45；%彳尸+胡=2“力/ + 力'+ 2“力=2a/> + c 2 9 /. / + 力‘ =c :.【证法14】（利用反证法证明） ^如图，在Rt AABC 中.设直角边AC 、BC 的长度分别为a. b,斜边AB 的肉为c,过 点C 作CD 丄AB,垂足是D.假设“ 即假设，心+必则由ABr = AB 二個BD\二 A/i .川）-AB ・ 8D可知 Ae^AB^AD.或者 BC ，丰 AB ・BD.即 AD ： ACHAC ： AB,或者 BD ： BCHBC ： AB.AAI)C 和 AACR 中.V ZA = ZA,・••若 AD ： ACMAC ： AB,则 ZADCHZACB.ACDB 和厶 ACB 中，I ZB = ZB,•••若 BD ： BCHBC ： AB,则ZCDB^ZACB. =S WB + \£(H + SEl|j “十力一°=2/・,/. c 、化 s +力)：=(2/・w)[即 </：4•力'* 2"力一 4|r'4 /r| +/ Mb = AS 、叫乂 ••• ZACB = 90P,••• ZADC^90°, ZCDB^90°.这9作法CI ）丄冊孑盾•所以，（广+力工力的假设不能成'匕:.MM".【证法⑸（辛卜松证明）设直角三角形两直角边的长分别为a.b,斜边的长为c •作边长是a+b 的正方形ABCD. 把正方形ABCD 划分成L ：方左图所示的儿个部分,则止方形ABCD 的面枳为 （“+砺=/+，+ 2巾：把|F 方形ABCD 划分成I ••方右图所示的儿个部分，则iF •方形ABCD 的 而积为 ■ • •(“ +丹=4x ・“力+ " 〉2 =2“ +几a' + fy + 2" = 2〃力+ e, b 的正方形(b>a),把它们拼成如图所示形状， 示而积的编号(如图〉•在EH = b 上截取ED = a,连结DA 、DC, 则 AD = c. EM = EH + HM = b + a ,ED = a EM-ED - “+")-a - b. A 9CT, CM = a, 9Cf , AE - b, 幻 RtADMC. ZNDC, DC - AD - c ・ E ZADC+ ZMI)C =18(T , ZNDC = ZADE + ZEAD = 9(T , 9(T. •••作AB 〃DC, CB 〃DA,则ABCD 是一个边长为c 的正方形. ab*ab【证法16】（陈杰证明）设颠三角形两奁角边的长分别为a. b （b>a ）,斜边的长为c.做两个边长分别为a. H> M 0点在•条直线上•用数字农 ••• DMXV ZCMD = ZAED = ••• RtAAED ••• ZE AD - ••• ZADE + ZADE + ••• ZAI)C = 使E. b b••• ZBAF + ZFAD 二ZDAE + ZFAD 二90°, ・•• ZBAF二ZDAE.连结FB,在A ABF和△ ADE中,••• AB =AD = c, AE = AF = b, ZBAF二ZDAE, ••• A ABF 9 A ADE.・•• ZAFB 二ZAED 二90°, BE = DE = a.•・・点B、F、G、H在一条直线上•在Rt AABF 和RtABCG 中,••• AB = BC = c, BF 二CG 二a,Rt AABF 竺Rt A BCG.•・R = &十£十G十送夕=①十$十送CT § = $5 = Si = $6 + $7 ,•4~+〃~=送+$7+，|+&+/二另+尻+ £ +（/ +另）_ Sc + Sy + £ + £。
北师大版九年级数学下册《三角函数的应用》精品课件PPT
都来当个小专家！
A
B 咋 办
2 如图,水库大坝的截面是梯形
ABCD,坝顶AD=6m,坡长CD=8m.坡底
D
BC=30m,∠ADC=1350. (1)求坡角∠ABC的大小;
(2)如果坝长100m,那么修建这个 C 大坝共需多少土石方(结果精确到
0.01m3 ).
先构造直 角三角形!
2020年北师大版九年级数学下册1.5《 三角函 数的应 用》课 件（共 16张pp t）
1 如图，有一斜坡AB长40m，坡顶离地面的
高度为20m,求此斜坡的倾斜角. 2.有一建筑物,在地面上A点测得其顶点 A
C的仰角为300,向建筑物前进50m至B处,又 A
测得C的仰角为450,求该建筑物的高度(结
果精确到0.1m).
B
3. 如图,燕尾槽的横断面是一个等腰梯 形,其中燕尾角∠B=550,外口宽AD=180mm, 燕尾槽的尝试是70mm,求它的里口宽BC(结 果精确到1mm).
北师大版九年级数学下册 2020年北师大版九年级数学下册1.5《三角函数的应用》课件（共16张ppt）
2020年北师大版九年级数学下册1.5《 三角函 数的应 用》课 件（共 16张pp t）
2020年北师大版九年级数学下册1.5《 三角函 数的应 用》课 件（共 16张pp t）
直角三角形的边角关系
看我露一手
解:要知道货轮继续向东航行途中有无触礁的危险,只
要过点A作AD⊥BC的延长线于点D,如果AD>10海里,则无
触礁的危险.根据题意可知,∠BAD=550,∠CAD=250,BC=
20海里.设AD=x,则
北
A
tan 550 BD , tan 250 CD ,
北师大版九年级数学下册：第一章 1.4《解直角三角形》精品教案
北师大版九年级数学下册：第一章 1.4《解直角三角形》精品教案一. 教材分析北师大版九年级数学下册第一章《解直角三角形》是整个初中数学的重要内容，它不仅巩固了初中阶段的知识，同时也为高中阶段的数学学习打下了基础。
本节课的主要内容是让学生掌握直角三角形的性质，学会使用勾股定理和锐角三角函数，并能解决一些实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何知识，对直角三角形有一定的了解。
但是，对于如何运用勾股定理和锐角三角函数解决实际问题，他们可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，我们需要关注学生的学习需求，引导学生主动探索，培养他们的解决问题的能力。
三. 教学目标1.理解直角三角形的性质，掌握勾股定理和锐角三角函数的定义及应用。
2.能够运用勾股定理和锐角三角函数解决实际问题。
3.培养学生的观察能力、思考能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.教学重点：直角三角形的性质，勾股定理和锐角三角函数的定义及应用。
2.教学难点：如何引导学生运用勾股定理和锐角三角函数解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例，引导学生主动探索直角三角形的性质，激发学生的学习兴趣。
2.问题驱动法：设置一系列问题，引导学生思考和解决问题，培养学生的思维能力。
3.合作学习法：学生进行小组讨论和实践，提高学生的合作能力和动手能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作精美的课件，辅助教学。
2.教学素材：准备一些实际的直角三角形问题，用于巩固和拓展学生的知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例，如测量楼房的高度等，引出直角三角形的问题，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）通过课件展示直角三角形的性质，引导学生观察和思考，总结出直角三角形的性质。
3.操练（10分钟）让学生通过实际问题，运用勾股定理和锐角三角函数解决问题，巩固所学知识。
4.巩固（10分钟）设置一些练习题，让学生独立完成，检查他们对直角三角形性质的掌握程度。
北师大版九年级数学下册：第一章 1《回顾与思考》精品教案
北师大版九年级数学下册：第一章 1《回顾与思考》精品教案一. 教材分析北师大版九年级数学下册第一章《回顾与思考》是对整个初中数学知识的总结与回顾。
本章通过对之前学习的知识进行梳理，帮助学生建立知识体系，提高解决问题的能力。
本节课的内容包括数的开方与乘方、勾股定理、相似三角形的性质等，旨在让学生通过回顾与思考，对所学知识有更深入的理解和掌握。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了初中阶段的大部分数学知识，对于数的开方与乘方、勾股定理、相似三角形的性质等概念和性质有一定的了解。
但部分学生在应用这些知识解决问题时，可能会出现混淆和错误。
因此，在教学过程中，需要关注学生的知识掌握情况，针对性地进行引导和讲解。
三. 教学目标1.帮助学生回顾和总结初中阶段的数学知识，建立知识体系。
2.提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3.培养学生的逻辑思维能力和创新能力。
四. 教学重难点1.数的开方与乘方、勾股定理、相似三角形的性质等知识的运用。
2.学生对于实际问题进行分析，运用所学知识解决问题的能力。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动回顾和总结所学知识。
2.通过实例分析，让学生运用所学知识解决实际问题。
3.采用小组合作学习的方式，培养学生的团队合作能力和沟通能力。
六. 教学准备1.准备相关知识点的PPT，用于呈现和讲解。
2.准备一些实际问题，用于引导学生运用所学知识解决。
3.准备黑板和粉笔，用于板书和标注。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示一些生活中的实际问题，引导学生运用所学知识解决。
例如，计算一个房间的面积，或者计算一个三角形的周长等。
通过这些问题，激发学生的学习兴趣，并引出本节课的内容。
2.呈现（10分钟）利用PPT呈现本的回顾与思考的内容，包括数的开方与乘方、勾股定理、相似三角形的性质等。
在呈现过程中，引导学生主动回顾和总结所学知识，并与同学进行交流。
3.操练（10分钟）针对每个知识点，设计一些练习题，让学生独立完成。
北师大版 九年级数学下册 第三章 圆 专题课讲义 圆心角与圆周角的关系(解析版)
圆心角与圆周角的关系课前测试【题目】课前测试如图，已知圆内接四边形ABCD的对角线AC、BD交于点N，点M在对角线BD上，且满足∠BAM=∠DAN，∠BCM=∠DCN．求证：（1）M为BD的中点；（2）．【答案】（1）M为BD的中点；（2）．【解析】证明：（1）根据同弧所对的圆周角相等，得∠DAN=∠DBC，∠DCN=∠DBA．又∵∠DAN=∠BAM，∠BCM=∠DCN，∴∠BAM=∠MBC，∠ABM=∠BCM．∴△BAM∽△CBM，∴，即BM2=AM•CM．①又∠DCM=∠DCN+∠NCM=∠BCM+∠NCM=∠ACB=∠ADB，∠DAM=∠MAC+∠DAN=∠MAC+∠BAM=∠BAC=∠CDM，∴△DAM∽△CDM，则，即DM2=AM•CM．②由式①、②得BM=DM，即M为BD的中点．（2）如图，延长AM交圆于点P，连接CP．∴∠BCP=∠PAB=∠DAC=∠DBC．∵PC∥BD，∴．③又∵∠MCB=∠DCA=∠ABD，∠DBC=∠PCB，∴∠ABC=∠MCP．而∠ABC=∠APC，则∠APC=∠MCP，有MP=CM．④由式③、④得．总结：本题考查了相似三角形的性质，圆周角的性质，是一道较难的题目．【难度】4【题目】课前测试如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC=∠CPB=60°．（1）判断△ABC的形状：；（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；（3）当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积．【答案】等边三角形；CP=BP+AP；当点P为的中点时，四边形APBC的面积最大，S四边形APBC=．【解析】证明：（1）△ABC是等边三角形．证明如下：在⊙O中∵∠BAC与∠CPB是所对的圆周角，∠ABC与∠APC是所对的圆周角，∴∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，又∵∠APC=∠CPB=60°，∴∠ABC=∠BAC=60°，∴△ABC为等边三角形；（2）在PC上截取PD=AP，如图1，又∵∠APC=60°，∴△APD是等边三角形，∴AD=AP=PD，∠ADP=60°，即∠ADC=120°．又∵∠APB=∠APC+∠BPC=120°，∴∠ADC=∠APB，在△APB和△ADC中，，∴△APB≌△ADC（AAS），∴BP=CD，又∵PD=AP，∴CP=BP+AP；（3）当点P为的中点时，四边形APBC的面积最大．理由如下，如图2，过点P作PE⊥AB，垂足为E．过点C作CF⊥AB，垂足为F．∵S△APB=AB•PE，S△ABC=AB•CF，∴S四边形APBC=AB•（PE+CF），当点P为的中点时，PE+CF=PC，PC为⊙O的直径，∴此时四边形APBC的面积最大．又∵⊙O的半径为1，∴其内接正三角形的边长AB=，∴S四边形APBC=×2×=．总结：本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定、三角形的面积公式以及三角形的全等的判定与性质，正确作出辅助线，证明△APB ≌△ADC 是关键．【难度】4知识定位适用范围：北师大版 ，初三年级，成绩中等以及中等以下知识点概述：圆心角与圆周角的关系是九年级下册第三章的内容，主要讲解了圆周角定理及其三条推论，它是引入圆心角之后又学习的另一个与圆有关的重要的角，该部分内容学习的重点是掌握同弧所对的圆周角与圆心角的关系，难点是应用圆周角定理解决简单问题。
勾股定理全章教案北师大版
（三）新课呈现（预计用时：25分钟）
知识讲解：
清晰、准确地讲解勾股定理知识点，结合实例帮助学生理解。
突出勾股定理重点，强调勾股定理难点，通过对比、归纳等方法帮助学生加深记忆。
互动探究：
设计小组讨论环节，让学生围绕勾股定理问题展开讨论，培养学生的合作精神和沟通能力。
教学内容与学生已有知识的联系：
1. 学生已掌握相似三角形的性质，能理解勾股定理中三角形相似的概念。
2. 学生已学习过一元二次方程，能理解并运用勾股定理解决实际问题。
3. 学生通过日常生活和前面的学习，已接触到一些勾股定理的应用，如测量身高、计算距离等，为深入学习勾股定理奠定了基础。
核心素养目标
本章节旨在培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模等核心素养。通过学习勾股定理，学生能够：
1. 教学方法
（1）情境教学法：通过引入生活中的实际问题，创设情境，引导学生发现问题、提出问题，激发学生的学习兴趣和主动性。
（2）探究教学法：引导学生通过小组合作、讨论交流的方式，自主探究勾股定理的证明方法，培养学生的逻辑推理能力和合作精神。
（3）案例教学法：选取具有代表性的例题，分析解答过程，让学生体会勾股定理在实际问题中的应用，提高学生的数学建模能力。
2. 过程与方法：
学生能够在小组讨论中，培养合作精神和沟通能力，学会倾听和尊重他人的意见。
学生能够通过自主学习、合作学习和探究学习，提高学习勾股定理的积极性和主动性。
学生能够在解决实际问题的过程中，运用数学建模思想，将勾股定理知识应用于实际情境。
3. 情感态度与价值观：
学生能够体验到数学与实际生活的密切联系，增强对数学学科的兴趣和好奇心。
北师大版数学九年级下册1.4《解直角三角形》说课稿
北师大版数学九年级下册1.4《解直角三角形》说课稿一. 教材分析北师大版数学九年级下册1.4《解直角三角形》是本册教材中的重要内容。
本节课主要介绍了解直角三角形的方法和应用。
在学习本节课之前，学生已经掌握了勾股定理和直角三角形的性质，这为学习本节课奠定了基础。
教材通过引入直角三角形的边长关系，引导学生探索解直角三角形的方法，进而运用到实际问题中。
本节课的内容在高考和日常生活中都有广泛的应用，对于培养学生的数学素养和解题能力具有重要意义。
二. 学情分析九年级的学生在数学方面已经有了一定的基础，对于勾股定理和直角三角形的性质已经有了初步的认识。
但是，学生在解直角三角形方面可能还存在一些困难，如对解题方法的掌握不熟练，应用能力较弱等。
因此，在教学过程中，需要关注学生的这些实际情况，有针对性地进行教学。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握解直角三角形的方法，能够熟练运用勾股定理和直角三角形的性质解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过自主探究、合作交流，培养学生的动手操作能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的耐心和自信心，使学生感受到数学在生活中的应用。
四. 说教学重难点1.教学重点：解直角三角形的方法和应用。
2.教学难点：如何引导学生掌握解直角三角形的思路，以及如何将所学知识应用于实际问题中。
五. 说教学方法与手段在本节课的教学过程中，我将采用自主探究、合作交流、讲授法等多种教学方法。
同时，利用多媒体课件和实物模型等教学手段，帮助学生更好地理解和掌握解直角三角形的方法。
六. 说教学过程1.导入：通过复习勾股定理和直角三角形的性质，引出本节课的主题——解直角三角形。
2.自主探究：让学生独立思考，探索解直角三角形的方法，引导学生发现解题规律。
3.合作交流：学生分组讨论，分享解题方法和心得，互相学习，提高解题能力。
4.讲解与演示：教师对解直角三角形的方法进行讲解，并通过多媒体课件和实物模型进行演示，帮助学生更好地理解和掌握。