考研线代复习总汇
数学专业考研复习资料线性代数重点知识点整理
数学专业考研复习资料线性代数重点知识点整理数学专业考研复习资料：线性代数重点知识点整理一、向量与矩阵1. 向量的定义和性质- 向量的表示与运算- 单位向量和零向量- 向量的线性相关性2. 矩阵的定义和性质- 矩阵的基本运算- 矩阵的转置和逆矩阵- 矩阵的秩和行列式二、线性方程组1. 线性方程组的概念- 线性方程组的解和解的存在唯一性- 齐次线性方程组和非齐次线性方程组2. 线性方程组的解法- 列主元消元法- 矩阵的初等变换和阶梯形矩阵 - 高斯消元法和高斯约当法三、线性空间和子空间1. 线性空间的定义和性质- 线性空间的子空间和直和- 基和维数的概念- 线性空间的同构与等价2. 子空间的性质与判定- 线性子空间的交与和- 维数公式和秩-零化定理- 子空间的降维与升维四、线性变换和特征值1. 线性变换的定义和性质- 线性变换的表示和运算- 线性变换的核与像- 线性变换的矩阵表示和判定2. 特征值和特征向量- 特征方程和特征值的求解 - 特征空间和特征子空间- 相似矩阵和对角化矩阵五、内积空间和正交变换1. 内积的定义和性质- 内积的基本性质和判定- 正交向量和正交子空间- 构造内积空间2. 正交变换和正交矩阵- 正交变换的性质和表示- 正交矩阵的特点和运算- 正交矩阵的对角化和特征值六、二次型和正定矩阵1. 二次型的定义和性质- 二次型的标准形和规范形 - 二次型的正定性和负定性- 二次型的规约和降维2. 正定矩阵的定义和性质- 正定矩阵的判定和运算- 正定矩阵的特征值和特征向量- 正定矩阵及其应用总结：线性代数是数学专业考研中的重要内容之一。
通过对向量与矩阵、线性方程组、线性空间和子空间、线性变换和特征值、内积空间和正交变换、二次型和正定矩阵等知识点的学习和掌握，能够为考研复习提供有力的理论基础和解题方法。
在复习过程中，需要注重概念的理解、性质的掌握以及应用题的练习，同时注意归纳总结和思维方法的培养。
吉林省考研数学复习资料线性代数重点知识点总结
吉林省考研数学复习资料线性代数重点知识点总结线性代数是数学中的一个分支，广泛应用于科学和工程领域。
在吉林省考研数学考试中，线性代数是一个重要的考点。
下面将对线性代数的一些重点知识点进行总结，以帮助考生复习备考。
1. 向量和矩阵向量是线性代数中最基本的概念之一。
向量可以表示为一组有序的数，常用字母表示，如a,b,c。
向量有多种运算，包括加法、减法和数乘等。
矩阵是由数按一定规则排列成的矩形阵列。
矩阵也有加法、减法和数乘等运算，矩阵之间还有乘法运算。
常见的矩阵包括单位矩阵、对角矩阵和方阵等。
2. 线性方程组线性方程组是线性代数中的一个重要内容。
线性方程组可以表示为多个线性方程组成的方程组。
线性方程组有三种基本操作：互换两个方程的次序、用非零常数乘以一个方程、用一个方程的倍数加到另一个方程上。
解线性方程组的方法主要有高斯消元法和矩阵求逆法。
高斯消元法通过对增广矩阵进行一系列行变换，将方程组转化为简化的阶梯形方程组。
矩阵求逆法通过求解增广矩阵的逆矩阵来得到方程组的解。
3. 向量空间和子空间向量空间是数域上的一组向量的集合，满足加法和数乘的封闭性、加法和数乘的结合律、存在零向量和负向量、数乘的分配律等性质。
子空间是向量空间的一个子集，本身也是向量空间。
子空间必须满足加法和数乘的封闭性，以及包含零向量等要求。
4. 线性相关与线性无关一组向量中，如果存在一个向量可以由其他向量线性表示，则称这组向量线性相关；如果不存在这样的情况，则称这组向量线性无关。
线性相关的向量组会存在一些冗余信息，可以通过高斯消元法等方法进行简化。
线性无关的向量组具有更好的性质和应用。
5. 矩阵的特征值与特征向量特征值与特征向量是矩阵的重要性质。
矩阵A的特征值是使得A 减去特征值倍单位矩阵后的矩阵A'奇异的所有特征向量。
矩阵的特征值和特征向量可以用于分析矩阵的性质和应用于线性系统的解与稳定性等问题。
6. 线性变换和矩阵的相似性线性变换是一种保持向量空间运算的映射关系。
湖南省考研数学复习资料线性代数基础知识总结
湖南省考研数学复习资料线性代数基础知识总结线性代数是数学中的一个重要分支，对于计算机科学、物理学、经济学等众多领域都具有重要的应用价值。
在湖南省考研数学复习中，线性代数也是必不可少的一部分。
本文将对线性代数的基础知识进行总结，帮助考生们复习和巩固相关内容。
1. 向量及其运算在线性代数中，向量是最基本的概念之一。
向量可以表示在空间中的一个点或者一个方向，并且可以进行运算。
常见的向量运算包括加法、减法、数量乘法等。
向量的运算满足交换律、结合律和分配律等基本性质。
2. 矩阵及其运算矩阵是线性代数中另一个重要的概念。
矩阵是由数个数排成的矩形阵列，可以表示一组数。
矩阵的运算包括加法、减法、数量乘法、矩阵乘法等常见操作。
矩阵乘法不满足交换律，但满足结合律。
3. 线性方程组线性方程组是线性代数中的重要问题之一。
线性方程组可以用矩阵形式表示，通过矩阵求解线性方程组可以得到方程组的解集。
对于线性方程组的求解，可以利用高斯消元法、矩阵的逆等方法。
4. 行列式行列式是线性代数中的一个重要工具。
行列式可以判断矩阵是否可逆，计算矩阵的逆以及计算矩阵的特征值等。
对于二阶和三阶矩阵，行列式的计算比较简单，可以根据定义直接计算。
对于高阶矩阵，可以利用行列式的性质简化计算过程。
5. 特征值与特征向量特征值与特征向量是矩阵的重要属性。
对于一个矩阵，其特征值和特征向量可以通过求解特征方程得到。
特征向量表示矩阵在某个方向上的特殊性质，特征值表示特征向量所对应的特殊性质的大小。
6. 线性变换线性变换是线性代数中的核心概念之一。
线性变换可以将一个向量空间映射到另一个向量空间，保持向量的线性组合关系。
矩阵可以表示线性变换，线性变换对应于矩阵的乘法操作。
7. 内积空间与正交性内积空间是线性代数中的一个重要概念。
内积空间可以表示向量之间的夹角和长度关系。
正交性是内积空间中的一个重要性质，正交向量之间的夹角为90度。
8. 特征分解与奇异值分解特征分解和奇异值分解是线性代数中的两个重要分解方法。
考研数学线性代数复习要点
考研数学线性代数复习要点对于考研数学中的线性代数部分，掌握好复习要点至关重要。
线性代数在考研数学中占据着重要的地位，其特点是概念多、定理多、符号多、运算规律多，并且前后知识的联系紧密。
以下是为大家梳理的线性代数复习要点。
一、行列式行列式是线性代数中的基础概念，其计算方法和性质是必须要熟练掌握的。
1、行列式的定义要理解行列式的定义，特别是二阶和三阶行列式的计算方法。
对于高阶行列式，可以通过行列式的性质将其化为上三角行列式或下三角行列式来计算。
2、行列式的性质熟练掌握行列式的性质，如行列式转置值不变、两行（列）互换行列式变号、某行（列）乘以常数加到另一行（列）行列式不变等。
这些性质在行列式的计算中经常用到。
3、行列式按行（列）展开定理掌握行列式按行（列）展开定理，能够将高阶行列式降阶计算。
二、矩阵矩阵是线性代数的核心内容之一，需要重点掌握。
1、矩阵的运算包括矩阵的加法、数乘、乘法、转置等运算。
要特别注意矩阵乘法的规则和性质，以及矩阵乘法不满足交换律这一特点。
2、矩阵的逆理解逆矩阵的定义和存在条件，掌握求逆矩阵的方法，如伴随矩阵法和初等变换法。
3、矩阵的秩掌握矩阵秩的定义和求法，了解矩阵秩的性质。
矩阵的秩在判断线性方程组解的情况等方面有重要应用。
4、分块矩阵了解分块矩阵的概念和运算规则，能够灵活运用分块矩阵解决一些复杂的矩阵问题。
三、向量向量是线性代数中的重要概念，与线性方程组和矩阵的秩密切相关。
1、向量的线性表示理解向量线性表示的概念，掌握判断向量能否由一组向量线性表示的方法。
2、向量组的线性相关性掌握向量组线性相关和线性无关的定义和判定方法，这是线性代数中的重点和难点。
3、向量组的秩理解向量组的秩的概念，掌握求向量组秩的方法。
4、向量空间了解向量空间的基本概念，如基、维数等。
四、线性方程组线性方程组是线性代数的核心内容之一，在考研中经常出现。
1、线性方程组的解掌握线性方程组有解、无解和有唯一解、无穷多解的判定条件。
考研数学线性代数的知识点怎么复习范本三份
考研数学线性代数的知识点怎么复习范本三份知识点一：矩阵1.矩阵的定义：矩阵是一个由数域中的元素排列成的矩形阵列。
2.矩阵的运算：包括矩阵的加法、减法、数乘、乘法等。
3.矩阵的类型：包括列矩阵、行矩阵、方阵、行满秩矩阵、列满秩矩阵等。
4.矩阵的转置：行变为列，列变为行。
5.矩阵的逆：满足矩阵乘法交换律的方阵，存在逆矩阵。
6.矩阵的秩：线性无关行（列）向量的最大个数。
知识点二：行列式1.行列式的概念：一个由n*n个元素构成的方阵，与其他方阵不同的一个特殊数。
2.行列式的性质：包括行互换、列互换、其中一行（列）乘以一个非零常数、其中一行（列）加上另外一行（列）的k倍等运算。
3.行列式的计算：包括按定义计算、按行（列）展开、按行列式的性质计算等方法。
4.行列式的性质与结论：含有零行（列）的行列式为零、对调两行（列）行列式变号、行列式与其转置行列式相等等。
知识点三：向量空间1.向量空间的定义：满足一定条件的集合，其中的元素可以进行向量运算。
2.向量空间的性质：包括封闭性、线性组合、线性无关、向量子空间等性质。
3.线性相关与线性无关：一组向量之间的线性组合关系。
4.基、维数与坐标：向量空间的基、维数与坐标之间的关系。
5.线性映射：保持向量空间的线性性质的映射。
6.矩阵的秩与线性方程组的解：矩阵的秩与方程组解的个数及解的性质之间的关系。
知识点四：特征值与特征向量1.特征值与特征向量的定义：对于一个n*n矩阵A，如果存在常数λ和非零向量x，使得Ax=λx，则称λ为矩阵A的特征值，x为矩阵A的特征向量。
2.特征值与特征向量的计算：包括求解特征方程、求解特征向量的过程。
3.特征值与特征向量的性质：特征值的和等于矩阵的迹，特征向量对应不同特征值的特征向量线性无关等。
知识点五：二次型1.二次型的定义：一个含有二次项和线性项的多项式。
2.二次型的矩阵表示：用矩阵表示二次型。
3.二次型的规范化：将二次型化为标准形，即去除二次项的干涉项。
考研线代知识点总结
考研线代知识点总结摘要：一、考研线性代数知识点概述二、矩阵与线性方程组三、向量空间与线性变换四、特征值与特征向量五、二次型与矩阵的对称性六、复习与拓展建议正文：一、考研线性代数知识点概述考研线性代数作为数学一门重要学科，主要包括矩阵、线性方程组、向量空间、线性变换、特征值与特征向量、二次型与矩阵的对称性等内容。
这些知识点在考研数学中占有很大比重，因此，对于线性代数的掌握程度直接影响到考研成绩。
本文将对这些知识点进行总结，以帮助考生更好地复习和掌握线性代数。
二、矩阵与线性方程组1.矩阵的运算：加法、减法、数乘、矩阵乘法、逆矩阵、行列式等。
2.线性方程组的解法：高斯消元法、克莱姆法则、齐次线性方程组、非齐次线性方程组等。
3.矩阵的秩、行阶梯形式、简化阶梯形式等。
三、向量空间与线性变换1.向量空间的概念、基、维数、向量模等。
2.线性变换的概念、性质、矩阵表示、不变量等。
四、特征值与特征向量1.特征值、特征向量的概念及求解方法。
2.矩阵的对角化、相似矩阵等。
五、二次型与矩阵的对称性1.二次型的概念、标准型、正定二次型、负定二次型、半正定二次型、半负定二次型等。
2.矩阵的对称性：对称矩阵、反对称矩阵、正交矩阵、对称分量等。
六、复习与拓展建议1.熟练掌握考研线性代数大纲要求的知识点，做到深入理解、熟练应用。
2.针对自己的薄弱环节进行有针对性的练习，提高解题能力。
3.学习线性代数相关的拓展知识，如奇异值分解、广义逆矩阵、线性空间论等。
4.注重理论联系实际，熟练运用线性代数知识解决实际问题。
总之，考研线性代数知识点繁多，要想在考试中取得好成绩，就需要扎实掌握这些知识点，并不断提高自己的解题能力。
天津市考研数学线性代数重点知识总结
天津市考研数学线性代数重点知识总结线性代数是数学的一个重要分支，也是考研数学的一门重要课程。
对于考研数学线性代数的学习，我们需要掌握一些重点知识。
本文将对天津市考研数学线性代数的重点知识进行总结和讲解。
一、向量空间和线性变换1. 向量空间的定义及性质向量空间是线性代数中最基本的概念之一。
向量空间的定义包括十条性质，分别是封闭性、结合律、零向量、相反元、标量乘法、分配律、单位向量、范数、内积和正交。
掌握这些定义及性质，对于理解向量空间的本质和性质具有重要意义。
2. 线性变换的定义及性质线性变换是指在向量空间中进行的一种特殊的变换方式。
线性变换具有保持加法和标量乘法结构的性质，即线性变换满足线性性质。
线性变换的定义包括保持加法和标量乘法两个性质，同时还有线性变换的矩阵表示、复合和逆变换等重要性质需要掌握。
二、矩阵和行列式1. 矩阵的定义及基本运算矩阵是线性代数中另一个重要的概念，是一个矩形的数表。
矩阵的基本运算包括矩阵的加法、数乘和乘法等。
此外，矩阵的转置、乘法的结合律和分配律等性质也是需要掌握的重点。
2. 行列式的定义及性质行列式是一种用于描述矩阵的重要工具。
行列式的定义包括两种形式，一种是二阶行列式的定义，另一种是n阶行列式的定义。
行列式具有很多性质，如行列式的转置、乘法、行交换和性质不变性等。
掌握行列式的定义及性质对于矩阵的运算及线性方程组的求解非常重要。
三、线性方程组1. 线性方程组的基本概念线性方程组是线性代数中一个重要的研究对象。
线性方程组的基本概念包括齐次线性方程组和非齐次线性方程组的定义及性质。
齐次线性方程组的解空间是一个向量空间，而非齐次线性方程组的解空间则是一个平行于齐次线性方程组解空间的平面。
2. 线性方程组的求解方法线性方程组的求解包括高斯消元法、矩阵的行变换及矩阵的逆等方法。
高斯消元法是线性方程组求解的一种常用方法，它通过矩阵的行变换将线性方程组转化为简化行阶梯形矩阵，然后利用简化行阶梯形矩阵求解线性方程组。
考研数学线性代数知识点总结
考研数学线性代数知识点总结线性代数是考研数学中的重要组成部分，对于很多考生来说，它具有一定的难度。
但只要掌握了关键的知识点和方法，就能在考试中取得较好的成绩。
以下是对考研数学线性代数的知识点总结。
一、行列式行列式是线性代数中的基本概念之一。
1、二阶和三阶行列式的计算方法要熟练掌握，通过对角线法则可以轻松计算。
2、 n 阶行列式的定义和性质需要理解清楚。
例如，行列式的某一行（列）元素乘以同一数后，加到另一行（列）的对应元素上，行列式的值不变。
3、行列式按行（列）展开定理也是重点，它可以将高阶行列式转化为低阶行列式来计算。
二、矩阵矩阵是线性代数的核心内容。
1、矩阵的运算，包括加法、数乘、乘法以及矩阵的转置。
要特别注意矩阵乘法的规则和不满足交换律的特点。
2、逆矩阵的概念和求法至关重要。
判断矩阵是否可逆，以及通过伴随矩阵或初等变换来求逆矩阵。
3、矩阵的秩是一个关键概念，它反映了矩阵中线性无关的行（列）向量的个数。
4、分块矩阵的运算和应用也需要掌握，它可以简化一些复杂矩阵的计算。
三、向量向量是线性代数中的重要工具。
1、向量组的线性相关性是常见考点。
判断向量组是线性相关还是线性无关，以及理解相关和无关的性质。
2、向量组的秩与极大线性无关组要弄清楚它们的概念和求法。
3、向量空间的基、维数和坐标等概念也需要了解。
四、线性方程组线性方程组是线性代数的重点应用。
1、线性方程组有解的判定条件，通过系数矩阵的秩和增广矩阵的秩来判断。
2、齐次线性方程组基础解系的求法，要熟练掌握通过初等行变换将系数矩阵化为行最简形。
3、非齐次线性方程组的通解结构，由一个特解加上齐次线性方程组的通解组成。
五、矩阵的特征值和特征向量这部分内容在考研中经常出现。
1、特征值和特征向量的定义和计算方法，通过求解特征方程来得到特征值，再代入方程求解特征向量。
2、相似矩阵的概念和性质，相似矩阵具有相同的特征值。
3、矩阵可对角化的条件，以及如何将矩阵对角化。
考研线性代数终极总结
考研线性代数终极总结线性代数是研究向量空间及其线性变换的数学分支。
它是数学基础科学和高级工程科学的重要学科，在理论和应用上都有着广泛的应用。
准备考研的同学们需要牢固掌握线性代数的基本概念和重要定理，下面是线性代数的终极总结。
一、向量空间1.向量空间的基本定义和性质2.子空间及其判定3.维数、基、坐标和表示定理4.线性方程组的解空间二、线性变换1.线性变换的定义和性质2.矩阵的线性变换3.线性变换的矩阵表示和基变换4.线性变换的像空间与核空间5.线性变换的特征值和特征向量6.对角化和相似变换三、线性方程组1.线性方程组的表示和解的存在唯一性2.线性方程组解的结构和基础解系3.矩阵的秩与线性方程组解的个数4.线性方程组的常见解法四、矩阵1.矩阵的运算和性质2.矩阵的特征值和特征向量3.矩阵的标准形式4.矩阵的相似性质和相抵性质五、二次型1.二次型的定义和性质2.二次型的标准形式3.正定、负定和不定二次型4.合同变换与矩阵的合同性质六、特征值问题1.特征值问题的引入和相关概念2.特征值问题的求解方法3.特征值问题的应用七、奇异值分解1.奇异值分解的定义和性质2.奇异值分解的计算和应用八、线性变换的标准形式1.线性变换的标准形式的引入和相关性质2.线性变换的标准形式的计算和应用九、行列式1.行列式的定义和性质2.行列式的性质及计算方法3.克莱姆法则及其推广以上是线性代数的终极总结，考研学习线性代数需要掌握这些重要概念和定理，通过大量的练习和习题，加深对知识点的理解和记忆。
在考试中，要善于分析题目，熟练运用线性代数的知识，灵活解决问题。
希望同学们能够在考研线性代数的复习中取得好的成绩！。
考研数学线性代数重点复习指南
考研数学线性代数重点复习指南欢迎大家来到考研数学线性代数的重点复习指南！线性代数在考研数学中占据着极其重要的位置，考生们在备考过程中需要重点关注一些核心知识点。
接下来，让我们一起来系统地梳理一下线性代数的重点内容，希望能帮助到正在备考的各位同学。
一、向量与矩阵线性代数的基础，离不开向量和矩阵的概念。
在复习过程中，务必牢记向量的线性组合、线性相关性和线性无关性的定义，以及矩阵的运算法则和特殊类型矩阵的性质。
线性方程组的解法也是重中之重，要熟练运用消元法、矩阵求逆等方法。
二、向量空间对于向量空间的理解至关重要。
要熟知向量空间的定义、维数、子空间、基与坐标等概念，理解线性相关性、极大线性无关组、向量组的秩等内容。
在实际问题中，要能够准确地利用向量空间的概念进行分析和计算。
三、线性变换与矩阵的相似性线性变换是线性代数中的核心内容之一，要理解线性变换的定义、性质和矩阵表示。
矩阵的相似性也是一个重要的概念，了解相似矩阵的特征值、特征向量之间的关系，以及对角化和标准形等概念。
四、特征值与特征向量特征值与特征向量是线性代数中的重要内容，要善于计算矩阵的特征值和特征向量，理解特征值分解、对角化、相似对角化等概念。
掌握特征值与特征向量在几何意义上的解释，能够应用于实际问题的求解。
五、内积空间与正交性内积空间是线性代数的一个重要分支，要熟悉内积的定义、性质，以及正交基、正交补、最小二乘法等概念。
特别是在解析几何和实变函数方面的应用，内积空间的概念扮演着至关重要的角色。
六、综合题型与应用在复习阶段要多做综合题型和应用题，加深对知识点的理解和应用能力。
要注意分析问题、归纳规律，灵活运用线性代数的知识解决实际问题，这样才能在考试中游刃有余。
希望通过本复习指南的整理，能够帮助大家理清线性代数的知识框架，找准重点，有条不紊地进行复习。
加油，相信大家一定能够取得优异的成绩！重点复习，成功必至！。
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线 性 代 数 第14章 行 列 式先研究两个方程的二元一次方程组：⎩⎨⎧=+=+22221211212111b x a x a b x a x a 其中0221211>+a a ， 不妨设011≠a ，将方程组的第一个方程等式两端乘以（1121a a -），再分别加到第二个方程，即得 111212212112122)(b a a b x a a a a -=-情形1 021122211≠-a a a a ，此时可解出2x ，再代入第一个方程可得1x 、2x 分别为211222111222211a a a a a b a b x --=和 211222111212112a a a a b a b a x --=，情形2 021122211=-a a a a ，此时若011121211111212≠-=-a b a b a b a a b ，亦即0221211≠-b a b a 则方程组无解；否则方程组有无穷多个解。
显然表达式21122211a a a a -或221211b a b a -在二元一次方程组求解中扮演了重要的角色，我们把它称为2阶行列式。
为了便于记忆，将表达式21122211a a a a -（221211b a b a -）记为22211211a a a a ，221111b a b a 。
由此启发，若我们考虑n 个方程的n 元一次方程组时有没有类似的结论？这自然需要引进n 阶行列式的概念。
14.1 行列式的概念与性质行列式定义：由2n 个数),,2,1,(n j i a ij =组成的n 阶行列式是一个算式，其结果是一个数。
记为nnn n n n n a a a a a a a a a D212222111211=两种计算方式：（1）n nni i i i i i i i i nnn n n n n a a a a a a a a a a a a D212122121)(212222111211)1(∑-==τ),,,(21n i i i 是),,2,1(n 的一个排序，注意和式中有!n 项。
（2）递归法计算当1=n 时，11111a a D ==，当2≥n 时，n n n A a A a A a D 1112121111+++= 。
其中，ij a 称为行列式的第i 行、第j 列的元素，ij j i ij M A +-=)1(称为ij a 的代数余子式，ij M 称为ij a 的余子式。
ij M 是划去n D 中的第i 行、第j 列后剩下的元素按原来的次序排成的n-1阶行列式。
nnnj nj n n i j i j i i n i j i j i i n j j ija a a a a a a a a a a a a a a a M111111111111111111111111+-+++-++-+----+-=证明 n 阶行列式的展开式有!n 项。
用数学归纳法，当2,1=n 时，命题显然，故设1-n 时命题为真，当n 时，n D 的展开式中的每一个代数余子式为n-1阶行列式，对应的展开式有)!1(-n 项，共有n 个不同代数余子式，故n D 的展开式有!n 项。
行列式的性质(1) 行列式行列对换，行列式的值不变。
即nnn n n n n a a a a a a a a a D212222111211==Tn nnnnn n D a a a a a a a a a =212221212111(2) 行列式两行（列）对换，行列式的值反号。
即nnn n jn j j in i i n a a a a a a a a a a a a21212111211= nnn n in i i jin j j n a a a a a a a a a a a a21212111211-(3) 行列式中如果某一行（列）有公因子k ，则k 可以提到行列式外。
nnn n in i i n a a a ka ka ka a a a212111211= k nnn n in i i n a a a a a a a a a212111211 特别当行列式某一行（列）的元素全为零，则行列式的值为零。
(4) 行列式中如果某一行（列）的每个元素都是两个数之和，则此行列式等于两个行列式之和。
这两个行列式除这一行（列）外，其余的行（列）全于原来的行列式的对应行（列）一样。
nn n n n in i i n a a a b a b a b a a a a21221111211+++ =nnn n in i i n a a a a a a a a a212111211+nnn n n n a a a b b b a a a212111211 (5) 行列式中如果某一行（列）元素的k 倍加到另一行（列）对应元素上去，行列式的值不变。
nnn n jn j j in i i n a a a a a a a a a a a a21212111211=nnn n injn i j i j in i i n a a a ka a ka a ka a a a a a a a2122112111211+++特别若行列式某两行（列）的元素成比例，则行列式的值为零。
(6) 行列式的拉普拉斯展开定理：行列式中按任一行（任一列）用下式展开，行列式的值不变。
ni A a A a A a D in in i i i i n ,,2,1,2211 =+++= nj A a A a A a D nj nj j j j j n ,,2,1,2211 =+++=行列式的第二种定义方式即是拉普拉斯展开定理的特例（按第一行（列）展开）。
(7) 行列式中某一行（列）的元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于零。
即02211=+++jn in j i j i A a A a A a ， n j i j i ,2,1,,=≠，2211=+++nj ni j i j i A a A a A a ， n j i j i ,2,1,,=≠。
根据性质（6），这相当于行列式有两行或两列对应元素相同，利用性质（5）即得。
几个特殊的行列式（1）对角行列式 nn nn n a a a a a a D 22112211000000==。
（2）上三角行列式 nnn n n a a a a a a D 00022211211==nn a a a 2211。
（3）下三角行列式 nnn n n a a a a a a D21222111000==nn a a a 2211。
14．2 行列式的计算例14.2.1 最一般的办法，要掌握。
例14.2.2 直接用行列式的性质（5）做。
例14.2.3 一个行列式的计算中常用的技巧。
例14.2.4z z y xzz x x zy x+-----=+++3210320321321321=xyz yz xy xz +++32。
例14.2.5 计算五阶行列式 a a a a a a a a----00000000000054321 解： =----aaa a a a a a00000000054321aaa a a a a a a a -------00000005433054321=aaa a a a a a a a -------000005433=110110001154334-------a =110110000154634------a=110115464------a 。
=10115964------a =))9(1)6()1((4-⨯--⨯-a =415a14．3 典型例题例14.3.1 =------321332211321222222c c c b a b a b a a a a +---321321321222222c c c a a a a a a 321321321222c c c b b b a a a ------+=0M c c c b b b a a a 22)1)(1(321321321=⨯--。
例14.3.2 按定义做。
例14.3.51111011------x x x =1111)1()1(10-------+-x x x x x =11)1(1)1(------x x x x=[])1(1)1()1(-----x x x x =[]2)1()1(---x x x =)1)(2)(1(+--x x x 。
释例14.3.6 计算行列式321111111111a a a +++此题用拆项法做是正解，亦可用如下的办法321111111111a a a +++=3323111111)1)(1(0a a a a a a +-+++--=3231311a a a a a a a -----=321322131a a a a a a a a a +++例14.3.6 注意行列式展开式中每一项只能有一行（一列）中一项。
例14.3.7注意行列式的性质。
例14.3.8 注意c b a ,,并非行列式的根，故须先求行列式的值，循环阵的行列式。
baca c bc b a bac a c b cb a cb a cb a b aca cbc b a 111)(++=++++++= =[]))(())(()(001)(b a c a c b b c c b a c b ca cb a bc bc b a -----++=----++ =[]222)(c b a ca bc ab c b a ---++++多项式的韦达定理，0=++c b a 。
第15章 矩 阵矩阵的理论及其应用是线性代数的核心问题，熟练掌握矩阵的知识是学好线性代数的关键。
15.1 矩阵的概念矩阵的定义：由n m ⨯个数),,2,1,,2,1(n j m i a ij ==排成m 行n 列的矩 形数表⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mn m m n n a a a a a a a a a A212222111211 称为n m ⨯矩阵，记为n m ij a A ⨯=)(，简记为n m A ⨯。
数ij a 称为矩阵中的第i 行第j 列的元素。
n m =时，n n A ⨯称为方阵，简称为n 阶矩阵A 。
n⨯1的矩阵，称为n 维行向量，如),,,(21n a a a 。
1⨯n 的矩阵，称为n 维列向量，如⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nb b b 21。
所有元素均为0的矩阵称为零矩阵，记为n m ⨯0。
为了进一步讨论矩阵的运算，我们需要建立同形矩阵的定义：设n m ij a A ⨯=)(，n m ij b B ⨯=)(，则称n m A ⨯与n m B ⨯为同形矩 阵。
如果),,2,1,,2,1(n j m i b a ij ij ===，则称n m A ⨯与n m B ⨯相等，记为A =B 。