高中数学 1.2第1课时 任意角的三角函数的定义课时作业
2022人教版高中数学必修四课后提升作业 三 1.2.1任意角的三角函数(一)
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课后提升作业三任意角的三角函数(一)(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.sin(-660°)的值是( )A.12B.-12C.√32D.-√32【解析】选C.sin(-660°)=sin(-2×360°+60°)=sin60°=√32.2.(2022·菏泽高一检测)sin2022°cos2022°tan2022°的值( )A.大于0B.小于0C.等于0D.不存在【解析】选A.由于2022°=5×360°+216°,所以2022°与216°终边相同,是第三象限角,所以sin2022°<0,cos2022°<0,tan2022°>0,故sin2022°·cos2022°·tan2022°>0.3.已知点P(sinα,tanα)在第三象限,则角α的终边在( )A.第一象限B.其次象限C.第三象限D.第四象限【解析】选D.由于点P(sinα,tanα)在第三象限,所以有{sinα<0,tanα<0,所以角α为第四象限角.【补偿训练】若tanα·cosα<0,则α在第几象限( )A.二、四B.二、三C.三、四D.一、四【解析】选C.由tanα·cosα<0知tanα>0且cosα<0或tanα<0且cosα>0. 若tanα>0且cosα<0,则α在第三象限,若tanα<0且cosα>0,则α在第四象限.4.(2022·南昌高一检测)若cosα=-√32,且角α的顶点为坐标原点,始边为x轴的正半轴,终边经过点P(x,2),则P点的横坐标x是( )A.2√3B.2√2C.-2√2D.-2√3【解析】选D.由三角函数的定义得cosα=√22=-√32,得x=-2√3.【补偿训练】(2022·宝鸡高一检测)已知角α终边经过点P(-8m,-6cos60°)且cosα=-45,则m的值为( )A.12B.-12C.-√32D.√32【解析】选A.点P的坐标可化为(-8m,-3),由r=√(−8m)2+(−3)2=√64m2+9,由三角函数的定义知cosα=xr=√2=-45.即100m2=64m2+9,解得m=±12,当m=-12时,点P的坐标为(4,-3),则cosα为正,不符合题意,故m=12.5.(2022·上饶高一检测)已知点P(sin α-cos α,tan α)在其次象限,则α的一个变化区间是( )A.(−π2,π2) B.(−π4,π4) C.(−3π4,−π2) D.(π2,π)【解析】选C.点P(sin α-cos α,tan α)在其次象限,则{sin α−cosα<0,tanα>0,由于tan α>0,排解A,B,D,故选C.6.在△ABC 中,若sinAcosBtanC<0,则△ABC 是( ) A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.锐角三角形或钝角三角形【解析】选C.由于A,B,C 为三角形ABC 的内角, 所以sinA>0,所以cosB ·tanC<0,即{cos B <0,tanC >0,或{cos B >0,tanC <0.因此角B 或角C 为钝角, 故△ABC 为钝角三角形.7.假如角α的终边经过点P(sin780°,cos(-330°)),则sin α=( ) A.√32B.12C.√22D.1【解题指南】先利用诱导公式一求出点P 的坐标,再求sin α的值. 【解析】选C.sin780°=sin(2×360°+60°)=sin60°=√32, cos(-330°)=cos(-360°+30°)=cos30°=√32, 所以P (√32,√32),sin α=√22. 8.(2022·浏阳高一检测)若点P 在2π3的终边上,且OP=2,则点P 的坐标为( )A.(1,√3)B.(√3,-1)C.(-1,-√3)D.(-1,√3)【解析】选D.设P(x,y),由于点P 在角2π3的终边上,2π3是其次象限角,所以x<0,y>0,又OP=2,所以依据正弦和余弦的定义得sin 2π3=y 2=√32,cos 2π3=x 2=-12,所以x=-1,y=√3,则点P 坐标为(−1,√3).二、填空题(每小题5分,共10分)9.若角α的终边与直线y=3x 重合且sin α<0,又P(m,n)是α终边上一点,且|OP|=√10,则m-n= .【解析】由于角α的终边与直线y=3x 重合且sin α<0, 所以α是第三象限角,所以m<0,n<0,又{√m 2+n 2=√10,n m=3,解得{m =−1,n =−3,或{m =1,n =3.(舍)所以m-n=2. 答案:210.sin780°·cos390°+sin(-330°)cos(-1020°)= . 【解析】原式=sin(2×360°+60°)·cos(360°+30°)+sin(-360°+30°)·cos(-3×360°+60°)=sin60°·cos30°+sin30°·cos60°=√32×√32+12×12=1.答案:1 三、解答题11.(10分)推断下列三角函数式的符号:(1)sin320°·cos385°·tan155°.(2)tan4·cos2·sin(−23π4).【解析】(1)由于320°,385°=360°+25°,155°分别为第四象限、第一象限、其次象限角.则sin320°<0,cos385°>0,tan155°<0,所以sin320°·cos385°·tan155°>0.(2)由于π2<2<π<4<3π2,-23π4=-6π+π4,所以4,2,-23π4分别为第三象限,其次象限,第一象限角,所以tan4>0,cos2<0,sin(−23π4)>0,所以tan4·cos2·sin(−23π4)<0.关闭Word文档返回原板块。
人教版数学必修四：1.2.1任意角的三角函数(2)(作业纸)
课题：§1.2任意角的三角函数（二）作业 总第____课时班级_______________姓名_______________一、填空题：1．如果角α的顶点在原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边在函数5y x =- (0)x <的 图象上，那么cos α的值为 .2．若点P 在3π的终边上，且2OP =，则点P 的坐标 ． 3．角α的终边终过点(3,5)P a a -，那么2sin 3cos αα-的值是 ． 4．已知点(cos ,tan )p θθ在第三象限 ,则在区间[0,2)π内θ的取值范围是 . 5. 已知角α的终边上一点P 与点(3,2)A -关于y 轴对称，角β的终边上一点Q 与点A 关 于原点对称，则2sin 3sin αβ+的值为 ．6．角α（0<α<2π）的正、余弦线的长度相等，且正、余弦符号相异．则α的值为 . 7．若π4 <α < π2，则 sinα、cosα、tanα的大小关系为 < <________.8．若－2π３ ≤θ≤π6 ，利用三角函数线，可得sin θ的取值范围是 ．9．在(0,2)π内使sin cos x x >成立的x 的取值范围是 ．10．若0 < α < 2π，且sinα<23，cosα> 12 .利用三角函数线，得到α的取值范围是 .二、解答题：11．试作出角（1）πα43-=，（2）314π的正弦线、余弦线、正切线．12. 若α为锐角（单位为弧度），试利用单位圆及三角函数线，比较α，sin α,tan α之间 的大小关系。
13、利用三角函数线，写出满足下列条件的角x 的集合．⑴ sin x ≥22； ⑵ cos x ≤ 12 ； ⑶ tan x ≥－1 ；三、作业错误分析及订正：1．填空题错误分析：[错误类型分四类：①审题错误；②计算错误；③规范错误；④知识_____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ 3．解答题订正：。
高中数学第一章三角函数1.2.1任意角的三角函数(1)课时提升作业1新人教A版必修4
任意角的三角函数(一）(15分钟30分）一、选择题（每小题4分，共12分)1。
求值sin750°=( ）A。
- B. — C.D。
【解析】选C.sin 750°= sin（2×360°+ 30°)=sin 30°=。
2.(2015·晋江高一检测）如果角θ的终边经过点(，-1），那么cosθ的值是( ）A.—B。
- C. D.【解析】选C。
点（，-1）到原点的距离r==2，所以cosθ=.【延伸探究】将本题中点的坐标改为(—1，），求sinθ-cosθ。
【解析】点（-1,）到原点的距离r==2，所以sinθ=，cosθ=-,所以sinθ-cosθ=—=。
3.(2015·北京高一检测）已知α∈（0,2π)，且sinα<0，cosα〉0,则角α的取值范围是( ）A。
B.C. D.【解析】选D。
因为sinα〈0，cosα〉0，所以角α是第四象限角，又α∈(0，2π），所以α∈.二、填空题（每小题4分，共8分)4。
求值：cosπ+tan=______【解析】cosπ=cos=cos=,tan=tan=tan=，所以cosπ+tan=+.答案：+5.(2015·南通高一检测)若角135°的终边上有一点(—4，a），则a的值是________.【解析】因为角135°的终边与单位圆交点的坐标为，所以tan 135°==-1，又因为点(—4，a)在角135°的终边上，所以tan 135°=,所以=-1,所以a=4.答案：4【补偿训练】如果角α的终边过点P(2sin 30°，—2cos 30°）,则cosα的值等于________。
【解析】2sin 30°=1,—2cos 30°=—，所以r=2，所以cosα=.答案：三、解答题6.（10分)判断下列各式的符号.（1)sinα·cosα（其中α是第二象限角）。
1.2.1 三角函数的定义
新知探求 课堂探究
新知探求·素养养成
知识探究
1.三角函数的定义 在平面直角坐标系中,设α的终边上任意一点P的坐标是(x,y),它与原点 的距离是r(r=x 2 y 2 >0). (1)当α为锐角时,从下表中可以得到锐角三角函数的定义、定义域及函 数值的符号.
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/122021/9/12Sunday, September 12, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/122021/9/122021/9/129/12/2021 11:37:38 AM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/122021/9/122021/9/12Sep-2112-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/122021/9/122021/9/12Sunday, September 12, 2021
原式= sin x + cos x + tan x =-1.当 x 是第三象限的角时, sin x cos x tan x
sin x<0,cos x<0,tan x>0,原式= sin x + cos x + tan x =-1. sin x cos x tan x
当 x 是第四象限的角时,sin x<0,cos x>0,tan x<0,
2.若sin θ>0,且tan θ<0,则θ是( )B (A)第一象限角 (B)第二象限角 (C)第三象限角 (D)第四象限角
高一数学《1.2.1任意角的三角函数(一)》
1.2.1任意角的三角函数（1）教学目的：知识目标：1.掌握任意角的三角函数的定义；2.已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值；3.记住三角函数的定义域、值域，诱导公式（一）。
能力目标：（1）理解并掌握任意角的三角函数的定义；（2）树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数；（3）通过对定义域，三角函数值的符号，诱导公式一的推导，提高学生分析、探究、解决问题的能力。
德育目标： （1）使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度（自变量）与比值（函数值）的一种联系方式；（2）学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神；教学重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号），以及这三种函数的第一组诱导公式。
公式一是本小节的另一个重点。
教学难点：利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用他们的集合形式表示出来.教学过程：一、复习引入：初中锐角的三角函数是如何定义的？角推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们必须对三角函数重新定义。
二、讲解新课：1．三角函数定义在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P （除了原点）的坐标为(,)x y ，它与原点的距离为(0)r r ==>，那么（1）比值y r叫做α的正弦，记作sin α，即sin y r α=； （2）比值x r叫做α的余弦，记作cos α，即cos x r α=； （3）比值y x叫做α的正切，记作tan α，即tan y x α=； （4）比值x y 叫做α的余切，记作cot α，即cot x y α=； 说明：①α的始边与x 轴的非负半轴重合，α的终边没有表明α一定是正角或负角，以及α的大小，只表明与α的终边相同的角所在的位置；②根据相似三角形的知识，对于确定的角α，四个比值不以点(,)P x y 在α的终边上的位置的改变而改变大小； ③当()2k k Z παπ=+∈时，α的终边在y 轴上，终边上任意一点的横坐标x 都等于0， 所以tan y x α=无意义；同理当()k k Z απ=∈时，yx =αcot 无意义； ④除以上两种情况外，对于确定的值α，比值y r 、x r 、y x 、x y分别是一个确定的实数， 正弦、余弦、正切、余切是以角为自变量，比值为函数值的函数，以上四种函数统称为三角函数。
1.2.1任意角的三角函数的定义(第一课时)
第一章 三角函数 1.2 任意角的三角函数1.2.1 任意角的三角函数(第一课时)学习目标1.掌握任意角的三角函数的定义;2.已知角α终边上一点,会求角α的各三角函数值;3.记住三角函数的定义域及在各象限的符号.学习过程1.复习:初中锐角的三角函数是如何定义的?Rt △ABC 中,设A 的对边为a ,B 的对边为b ,C 的对边为c ,锐角A 的正弦、余弦、正切依次为sin A=,cos A= ,tan A= .2.探究:1.坐标法求三角函数.锐角α可放在坐标系中,在角α的终边上任取一点P (a ,b ),点P 与原点的距离r=,sin α= ;cos α= ;tan α= . 思考:对确定的锐角α，sin α，cos α，tan α的值是否随P 点在终边上的位置的改变而改变？ 答案 不会．因为三角函数值是比值，其大小与点P (x ，y )在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关．.思考:怎样适当地选取P 点使比值简化?其中,以原点为圆心,以 为半径的圆为单位圆. 新知:1.任意角的三角函数.设α为一个任意角,它的终边与单位圆交于点P (x ,y ): 那么:(1)y 叫做α的正弦,记作sin α,即sin α=y ; (2)x 叫作α的余弦,记作cos α,即 ;(3)叫作α的正切,记作 ,即tan α=(x ≠0).三角函数:对于确定的角α,上面三个函数值都是唯一确定的,所以,正弦、余弦、正切都是以角为 ,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,我们将它们统称为三角函数.由于角的集合和实数集之间可以建立一一对应的关系,三角函数可以看成是自变量为实数的函数.3.正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号思考 根据三角函数的定义，你能判断正弦、余弦、正切函数的值在各象限的符号吗？ 答案 由三角函数定义可知，在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx (x ≠0)．当α为第一象限角时，y >0, x >0，故sin α>0，cos α>0，tan α>0，同理可得当α在其他象限时三角函数值的符号，如图所示．梳理 记忆口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．4.思考 当角α分别为30°，390°，－330°时，它们的终边有什么特点？它们的三角函数值呢？答案 它们的终边重合．由三角函数的定义知，它们的三角函数值相等． 梳理 诱导公式一典型例题【例1】求π的正弦、余弦和正切值.解:在直角坐标系中,作∠AOB=,∠AOB 的终边与单位圆的交点坐标为(,-),所以sin=-,cos,tan=-.【例2】已知角α的终边过点P 0(-3,-4),求角α的正弦、余弦和正切值. 解:sin α==-,cos α==-,tan α=.【例3】求证:当下列不等式组成立时,角α为第三象限角,反之也对.证明:如果sin α<0成立,那么角α的终边可能位于第三或第四象限,也可能与y 轴的非负半轴重合;如果tan α>0,则角α的终边位于第一或第三象限.所以,角α的终边只能位于第三象限.【例4】确定下列三角函数值的符号.(1)cos250°; (2)sin(-4π); (3)tan(-672°); (4)tan3π. 解:(1)因为250°是第三象限角,所以 cos250°<0; (2)因为-是第四象限角,所以sin(-)<0;(3)因为tan(-672°)=tan(48°-2×360°)=tan48°,而48°是第一象限角,所以tan(-672°)>0; (4)因为tan3π=tan(π+2π)=tan π,而π的终边在x 轴上,所以tan π=0. 【例5】求下列三角函数值. (1)sin1480°10'; (2)cos; (3)tan(-).解:(1)sin1480°10'=sin(40°10'+4×360°)=sin40°10'≈0.645; (2)cos =cos(+2π)=cos ;(3)tan(-)=tan(-2π)=tan.【例6】 已知θ终边上一点P (x,3)(x ≠0)，且cos θ＝1010x ，求sin θ，tan θ. 考点 任意角的三角函数 题点 用定义求三角函数的值 解 由题意知r ＝|OP |＝x 2＋9， 由三角函数定义得cos θ＝x r ＝xx 2＋9.又∵cos θ＝1010x ，∴x x 2＋9＝1010x . ∵x ≠0，∴x ＝±1. 当x ＝1时，P (1,3)， 此时sin θ＝312＋32＝31010，tan θ＝31＝3.当x ＝－1时，P (－1,3)， 此时sin θ＝3(－1)2＋32＝31010，tan θ＝3－1＝－3.反思与感悟 (1)已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法在α的终边上任选一点P (x ，y )，设P 到原点的距离为r (r >0)，则sin α＝y r ，cos α＝xr .当已知α的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便．(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．跟踪训练1 已知角α的终边过点P (－3a,4a )(a ≠0)，求2sin α＋cos α的值． 考点 任意角的三角函数 题点 用定义求三角函数的值 解 r ＝(－3a )2＋(4a )2＝5|a |.①若a >0，则r ＝5a ，角α在第二象限， sin α＝y r ＝4a 5a ＝45，cos α＝x r ＝－3a 5a ＝－35，∴2sin α＋cos α＝85－35＝1.②若a <0，则r ＝－5a ，角α在第四象限， sin α＝4a －5a ＝－45，cos α＝－3a －5a ＝35，∴2sin α＋cos α＝－85＋35＝－1.综上所述，2sin α＋cos α＝±1.命题角度2 已知角α终边所在直线求三角函数值 【例7】 判断下列各式的符号： (1)sin145°cos(－210°)；(2)sin3·cos4·tan5. 考点 三角函数值在各象限的符号 题点 三角函数值在各象限的符号 解 (1)∵145°是第二象限角，∴sin145°＞0. ∵－210°＝－360°＋150°，∴－210°是第二象限角， ∴cos (－210°)＜0，∴sin145°cos(－210°)＜0. (2)∵π2＜3＜π＜4＜3π2＜5＜2π，∴sin3＞0，cos4＜0，tan5＜0， ∴sin3·cos4·tan5＞0.反思与感悟 角的三角函数值的符号由角的终边所在位置确定，解题的关键是准确确定角的终边所在的象限，同时牢记各三角函数值在各象限的符号，记忆口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦．跟踪训练3 已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则α是第________象限角． 考点 三角函数值在各象限的符号 题点 三角函数值在各象限的符号 答案 二解析 由题意知tan α<0，cos α<0， ∴α是第二象限角． 类型三 诱导公式一的应用 例4 求下列各式的值：(1)sin(－1395°)cos1110°＋cos(－1020°)sin750°；(2)sin ⎝⎛⎭⎫－11π6＋cos 12π5·tan4π. 考点 诱导公式一 题点 诱导公式一解 (1)原式＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＝sin45°cos30°＋cos60°sin30°＝22×32＋12×12＝64＋14＝1＋64. (2)原式＝sin ⎝⎛⎭⎫－2π＋π6＋cos ⎝⎛⎭⎫2π＋2π5·tan(4π＋0)＝sin π6＋cos 2π5×0＝12. 反思与感悟 利用诱导公式一可把负角的三角函数化为0到2π间的三角函数，也可把大于2π的角的三角函数化为0到2π间的三角函数，即实现了“负化正，大化小”． 跟踪训练4 求下列各式的值： (1)cos 25π3＋tan ⎝⎛⎭⎫－15π4； (2)sin810°＋tan765°－cos360°. 考点 诱导公式一 题点 诱导公式一解 (1)原式＝cos ⎝⎛⎭⎫8π＋π3＋tan ⎝⎛⎭⎫－4π＋π4 ＝cos π3＋tan π4＝12＋1＝32.(2)原式＝sin(90°＋2×360°)＋tan(45°＋2×360°)－cos360°＝sin90°＋tan45°－1＝1＋1－1＝1.一、选择题1．(2017·长沙检测)sin(－315°)的值是( ) A ．－22B ．－12C.22D.12答案 C解析 sin(－315°)＝sin(－360°＋45°)＝sin45°＝22. 2．(2017·山西太原外国语学校月考)如果角α的终边过点P (2sin30°，－2cos30°)，则sin α等于( )A.12B ．－12C ．－32D ．－33 答案 C解析 由题意得P (1，－3)，它与原点的距离r ＝12＋(－3)2＝2，∴sin α＝－32. 3．已知sin θ<0，且tan θ<0，则θ为( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角答案 D4．已知α是第二象限角，P (x ，5)为其终边上一点，且cos α＝24x ，则x 的值为( ) A.3 B ．±3 C ．－ 2 D ．－ 3答案 D解析 ∵cos α＝x r ＝x x 2＋5＝24x ，∴x ＝0或2(x 2＋5)＝16，∴x ＝0或x 2＝3，∴x ＝0(∵α是第二象限角，∴舍去)或x ＝3(舍去)或x ＝－ 3.故选D. 5．(2017·嘉兴模拟)sin2·cos3·tan4的值( ) A ．小于0 B ．大于0 C ．等于0 D ．不存在 答案 A解析 ∵sin2>0，cos3<0，tan4>0， ∴sin2·cos3·tan4<0.6．(2017·湖州期末)点P 从点(1,0)出发，沿单位圆顺时针方向运动5π6弧长到达Q 点，则Q 点的坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫－12，32B.⎝⎛⎭⎫－12，－32C.⎝⎛⎭⎫－32，－12D.⎝⎛⎭⎫－32，12 答案 C解析 根据题意可得：x Q ＝cos ⎝⎛⎭⎫－5π6＝－32， y Q ＝sin ⎝⎛⎭⎫－5π6＝－12. 则Q 点的坐标是⎝⎛⎭⎫－32，－12. 7．如果点P (sin θ＋cos θ，sin θcos θ)位于第二象限，那么角θ的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案 C解析 由题意知sin θ＋cos θ＜0，且sin θcos θ＞0，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＜0，cos θ＜0，∴θ为第三象限角． 二、填空题8．tan405°－sin450°＋cos750°＝________. 答案32解析 tan405°－sin450°＋cos750°＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(720°＋30°)＝tan45°－sin90°＋cos30°＝1－1＋32＝32. 9．(2017·绍兴柯桥区期末)已知α的顶点在原点，始边在x 轴上，终边与单位圆相交于点M ⎝⎛⎭⎫－32，12，则cos α＝________. 答案 －3210．(2017·山东烟台一中期末)已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且sin α>0，cos α≤0，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－2,3]解析 ∵点(3a －9，a ＋2)在角α的终边上， sin α>0，cos α≤0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2>0，3a －9≤0，解得－2<a ≤3. 11．已知角θ的终边上有一点P (x ，－1)(x ≠0)，且tan θ＝－x ，则sin θ＋cos θ＝________. 答案 0或－ 2解析 ∵θ的终边过点P (x ，－1)(x ≠0)， ∴tan θ＝－1x .又tan θ＝－x ， ∴x 2＝1，即x ＝±1. 当x ＝1时，sin θ＝－22，cos θ＝22， 因此sin θ＋cos θ＝0； 当x ＝－1时，sin θ＝－22，cos θ＝－22， 因此sin θ＋cos θ＝－ 2. 故sin θ＋cos θ的值为0或－ 2.12．已知角α的终边在直线y ＝3x 上，则sin α，cos α，tan α的值分别为________． 答案32，12，3或－32，－12， 3 解析 因为角α的终边在直线y ＝3x 上， 所以可设P (a ，3a )(a ≠0)为角α终边上任意一点， 则r ＝a 2＋(3a )2＝2|a |(a ≠0)． 若a >0，则α为第一象限角，r ＝2a ，所以sin α＝3a 2a ＝32，cos α＝a 2a ＝12， tan α＝3aa＝ 3. 若a <0，则α为第三象限角，r ＝－2a ， 所以sin α＝3a －2a ＝－32，cos α＝－a 2a ＝－12，tan α＝3aa＝ 3. 13．sin 72π＋cos 52π＋cos(－5π)＋tan π4＝________.答案 －1解析 原式＝sin 32π＋cos π2＋cosπ＋1＝－1＋0－1＋1＝－1.14．函数y ＝|sin x |sin x ＋|cos x |cos x －2|sin x cos x |sin x cos x 的值域是________________．答案 {－4,0,2}解析 由sin x ≠0，cos x ≠0知，x 的终边不能落在坐标轴上， 当x 为第一象限角时，sin x >0，cos x >0， sin x cos x >0，y ＝0；当x 为第二象限角时，sin x >0，cos x <0， sin x cos x <0，y ＝2；当x 为第三象限角时，sin x <0，cos x <0， sin x cos x >0，y ＝－4；当x 为第四象限角时，sin x <0，cos x >0， sin x cos x <0，y ＝2.故函数y ＝|sin x |sin x ＋|cos x |cos x －2|sin x cos x |sin x cos x 的值域为{－4,0,2}．三、解答题15．已知1|sin α|＝－1sin α，且lg(cos α)有意义．(1)试判断角α所在的象限；(2)若角α的终边与单位圆相交于点M ⎝⎛⎭⎫35，m ，求m 的值及sin α的值． 解 (1)∵1|sin α|＝－1sin α， ∴sin α＜0.①∵lg(cos α)有意义， ∴cos α＞0.②由①②得角α的终边在第四象限． (2)∵点M ⎝⎛⎭⎫35，m 在单位圆上， ∴⎝⎛⎭⎫352＋m 2＝1，解得m ＝±45. 又α是第四象限角，∴m ＜0，∴m ＝－45.由三角函数定义知，sin α＝－45.达标检测1.α是第四象限角,则下列数值中一定是正值的是( ) A.sin αB.cos αC.tan αD.2.已知点P (tan α,cos α)在第三象限,则角α在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知角α的终边过点P (-1,2),则cos α的值为 .4.已知角α的终边过点(a ,2a )(a ≠0),求α的正弦、余弦和正切值.5.判断sin4·tan(-)的符号.参考答案复习:探究:1.坐标法求三角函数.锐角α可放在坐标系中,在角α的终边上任取一点P (a ,b ), 点P 与原点的距离r=,sin α=,cos α=,tan α=.由三角形相似,确定的α可对应相似的直角三角形,这三个比值对应相等,不会随P 在角的终边的位置改变而改变. 2.单位圆.不难想到,当r=1时形式上比较简单,即sin α=b ,cos α=a ,tan α=,而当r=1时,可构设一个以原点为圆心以单位长为半径的圆,角α的终边与圆的交点选为P 点.此时,点P 与原点的距离r=1.其中,以原点为圆心,以1个单位长度为半径的圆为单位圆. 新知:1.cos α=x ;tan α;自变量2.≠+k反思:在直角坐标系中,设α是一个任意角,α终边上任意一点P(除了原点)的坐标为(x,y),则sinα=,cosα=,tanα=.3.终边相同的角同一三角函数值相等.典型例题【例1】解:在直角坐标系中,作∠AOB=,∠AOB的终边与单位圆的交点坐标为(,-),所以sin=-,cos,tan=-.【例2】解:sinα==-,cosα==-,tanα=.【例3】证明:如果sinα<0成立,那么角α的终边可能位于第三或第四象限,也可能与y轴的非负半轴重合;如果tanα>0,则角α的终边位于第一或第三象限.所以,角α的终边只能位于第三象限.【例4】解:(1)因为250°是第三象限角,所以cos250°<0;(2)因为-是第四象限角,所以sin(-)<0;(3)因为tan(-672°)=tan(48°-2×360°)=tan48°,而48°是第一象限角,所以tan(-672°)>0;(4)因为tan3π=tan(π+2π)=tanπ,而π的终边在x轴上,所以tanπ=0.【例5】解:(1)sin1480°10'=sin(40°10'+4×360°)=sin40°10'≈0.645;(2)cos=cos(+2π)=cos;(3)tan(-)=tan(-2π)=tan.达标检测1.B2.B3.-4.当a>0时,sinα=,cosα=,tanα=2;当a<0时,sinα=-,cosα=-,tanα=2.5.略。
3三角函数的定义
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8．已知角 α 的终边过点 P(5，a)，且 tanα＝－
12 ，则 sinα＋cosα＝________. 5
a 12 解析：由 tanα＝ ＝－ ，所以 a＝－12，所以 r＝ 25＋a2＝13，故 sinα＝ 5 5 12 5 7 － ，cosα＝ ，sinα＋cosα＝－ . 13 13 13 答案：－ 7 13
)
B．0 D．－2
解析： 利用三角函数值在各象限的符号， 去掉绝对值号． ∵α 为第二象限角， ∴sinα>0，cosα<0. |sinα| |cosα| sinα －cosα 故 － ＝ － ＝2. sinα cosα sinα cosα 答案：C
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1.2
课时作业(03)
状元之路 高中· 新课标B版· 数学· 必修4
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θ (2)若 tan(cosθ)· cot(sinθ)>0，试指出 θ 所在象限，并用图形表示 的取值范围． 2 tancosθ>0， tancosθ<0， 解析：(2)由已知得 或 cotsinθ<0. cotsinθ>0；
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)
3．sin2· cos3· tan4 的值( A．小于 0 C．等于 0
B．大于 0 D．不存在
π 解析：由于 <2<3<π，所以 2、3 都是第二象限角，可知 sin2>0，cos3<0. 2 3π 又 π<4< ，所以 4 是第三象限角．可知 tan4>0. 2 综上可知，sin2· cos3· tan4<0. 答案：A
1.2 任意角的三角函数
b
a
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1 2．已知角 α 的终边与单位圆交于 P(x， )，则 cos α ＝ 2 ________． 1 3 3 2 解析：由 x ＋4＝1，得 x＝± 2 ，故 cos α＝x＝± 2 . 3 答案：± 2
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创新方案系列丛书 考点3 三角函数值的符号问题
角函数值．
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1．求下列三角函数值． 17π 47π 17π (1)sin－ ； (2)cos ； (3)tan－ . 6 3 4
47π π π 1 解：(1)sin－ 6 ＝sin－8π＋6＝sin ＝ ； 6 2 π 17π π 2 (2)cos ＝cos4π＋4＝cos ＝ ； 4 4 2 17π π (3)tan－ 3 ＝tan－6π＋3 ＝tan
1 解析：由三角函数定义知，sin α＝－2. 1 答案：－2
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5．cos 6²tan 6的符号为________(填“正”、“负”或“不确
定”)．
3π 解析：∵ <6<2π，∴6 是第四象限角． 2 ∴cos 6>0，tan 6<0，则 cos 6· tan 6<0. 答案：负
解析：②③④均错，①正确．
答案：A
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2．已知tan x>0，且sin x＋cos x>0，那么角x是( A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 )
D．第四象限角
解析：由tan x>0，得α为第一、三象限角．而α为第三象限角时，
苏教版高中学案数学必修第一册精品课件 第7章 三角函数 任意角的三角函数-第1课时 任意角的三角函数
D.sin 3cos 4tan 5 > 0
2 5
5
1
2
[解析]对于A，由题可得 < ，则是第二或者第四象限角，
又 < ，则是第二或者第三象限角或终边落在轴的负半轴上.综上,是第二
象限角，A正确;
对于B，设扇形的圆心角为( > )，半径为，圆心角所对的弧长为，则
轴上的角，所以 > 一定成立， 的正负不确定.又 <
∈
<
+ ，
，所以 为第一象限角或第三象限角，所以 ， 不一定为正值.故选B.
10.（多选题）以下式子中符号为正号的有( ACD
A.tan 485∘ sin(−447∘ )B.sin
⋅ (− ) > ，故A符合题意；因为 是第三象限角，所以 < .
因为 是第二象限角，所以 < .因为 是第四象限角，所以
< ，所以
< ，故B不符合题意；因为∘ 是第三象限角，故
第7章 三角函数
7.2 三角函数概念
7.2.1 任意角的三角函数
第1课时 任意角的三角函数
A层 基础达标练
1.已知角终边上一点的坐标为(−1,2)，则cos 的值为()
B
2 5
5
5 2 5
A.− B.− C. D.
5
5
5
5
[解析]因为 = −， = ，所以 =
人教版高中数学必修四第一章三角函数1.2任意角的三角函数(教师版)【个性化辅导含答案】
任意角的三角函数__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1.能根据三角函数的定义导出同角三角函数的基本关系式及它们之间的联系； 2.熟练掌握已知一个角的三角函数值求其它三角函数值的方法。
3.牢固掌握同角三角函数的两个关系式，并能灵活运用于解题. （一）任意角的三角函数： 任意点到原点的距离公式：22y x r +=1.三角函数定义：在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P （除了原点）的坐标为(,)x y ，它与原点的距离为(0)r r ==>，那么（1）比值y r 叫做α的正弦，记作sin α，即sin y r α=； （2）比值x r 叫做α的余弦，记作cos α，即cos xr α=；（3）比值y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan yxα=；（4）比值x y 叫做α的余切，记作cot α，即cot x yα=； 2.说明：（1）α的始边与x 轴的非负半轴重合，α的终边没有表明α一定是正角或负角，以及α的大小，只表明与α的终边相同的角所在的位置；（2）根据相似三角形的知识，对于确定的角α，四个比值不以点(,)P x y 在α的终边上的位置的改变而改变大小； （3）当()2k k Z παπ=+∈时，α的终边在y 轴上，终边上任意一点的横坐标x 都等于0，所以tan yxα=无意义；同理当()k k Z απ=∈时，y x =αcot 无意义；（4）除以上两种情况外，对于确定的值α，比值y r 、x r 、yx、x y 分别是一个确定的实数。
正弦、余弦、正切、余切是以角为自变量，比值为函数值的函数，以上四种函数统称为三角函数。
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【成才之路】2015-2016学年高中数学 1.2第1课时 任意角的三角
函数的定义课时作业 新人A 教版必修4
基础巩固
一、选择题
1．若角α的终边上有一点是A (0,2)，则tan α的值是( ) A ．－2 B ．2 C ．1 D ．不存在
[答案] D
2．已知sin α＝35，cos α＝－4
5，则角α所在的象限是( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 [答案] B
[解析] 由sin α＝35>0得角α的终边在第一或第二象限；由cos α＝－4
5<0得角α的
终边在第二或第三象限．综上，角α所在的象限是第二象限．
3．sin585°的值为( ) A ．－
2
2 B ．
22 C ．－32
D ．
32 [答案] A
[解析] sin585°＝sin(360°＋225°)＝sin225°. 由于225°是第三象限角，且终边与单位圆的交点为 (－
22，－22)，所以sin225°＝－22
. 4．若三角形的两内角α、β满足sin αcos β<0，则此三角形必为( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形
C ．直角三角形
D ．以上三种情况都有可能
[答案] B
[解析] ∵sin αcos β<0，∴cos β<0， ∴β是钝角，故选B.
5．若sin α<0且tan α>0，则α的终边在( ) A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
[答案] C
[解析] 由于sin α<0，则α的终边在第三或四象限，又tan α>0，则α的终边在第一或三象限，所以α的终边在第三象限．
6．若角α的终边过点(－3，－2)，则( ) A ．sin αtan α>0 B ．cos αtan α>0 C ．sin αcos α>0 D ．sin αcos α<0
[答案] C
[解析] ∵角α的终边过点(－3，－2)， ∴sin α<0，cos α<0，tan α>0， ∴sin αcos α>0，故选C. 二、填空题
7．sin90°＋2cos0°－3sin270°＋10cos180°＝________. [答案] －4
8．使得lg(cos θ·tan θ)有意义的角θ是第________象限角． [答案] 一或二
[解析] 要使原式有意义，必须cos θ·tan θ>0，即需cos θ、tan θ同号，∴θ是第一或第二象限角．
三、解答题
9．判断下列各式的符号．
(1)tan250°cos(－350°)；(2)cos115°tan250°.
[解析] (1)∵250°是第三象限角，－350°＝－360°＋10°是第一象限角，∴tan250°>0，cos(－350°)>0，
∴tan250°cos(－350°)>0.
(2)∵cos115°是第二象限角，tan250°是第三象限角， ∴cos115°>0，tan250°>0，∴cos115°tan250°<0.
10．已知角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－5
13，求tan α的值．
[解析] ∵P (－x ，－6)， ∴r ＝
－x
2
＋－6
2
＝x 2
＋36.
由cos α＝
－x
x 2＋36
＝－513，得x ＝52.
∴tan α＝－6－52
＝12
5.
能力提升
一、选择题
1．若α为第四象限角，则下列函数值一定是负值的是( ) A ．sin α2
B ．cos α
2
C ．tan α
2
D ．cos2α
[答案] C
[解析] 由α为第四象限角，得2k π＋3π2<α<2k π＋2π(k ∈Z )，故k π＋3π4<α
2<k π
＋π(k ∈Z )．
当k ＝2n (n ∈Z )时，α2∈(2n π＋3π
4
，2n π＋π)，
当此，α
2
是第二象限角；
当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，α2∈(2n π＋7π4，2n π＋2π)，此时，α
2
是第四象限角．
2．在△ABC 中，若sin A ·cos B ·tan C <0，则△ABC 是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．锐角或钝角三角形
[答案] C
[解析] ∵A 、B 、C 是△ABC 的内角，∴sin A >0. ∵sin A ·cos B ·tan C <0，∴cos B ·tan C <0. ∴cos B 和tan C 中必有一个小于0. 即B 、C 中必有一个钝角，选C.
3．α是第二象限角，P (－3，y )为其终边上一点，且cos α＝－15
5
，则sin α的值为( )
A.
10
5 B ．
64 C.24
D ．－
105
[答案] A
[解析] ∵|OP |＝y 2
＋3，∴cos α＝
－3
y 2
＋3
＝－
155
又因为α是第二象限角，∴y >0，得y ＝－2，
∴sin α＝
2
y 2＋3
＝
10
5
，故选A. 4．如果α的终边过点P (2sin30°，－2cos30°)，则sin α的值等于( ) A.12 B ．－12
C ．－
32
D ．－
33
[答案] C
[解析] ∵P (1，－3)，∴r ＝12
＋－32
＝2，
∴sin α＝－32
. 二、填空题
5．已知角α的终边经过点P (3，－4t )，且sin(2k π＋α)＝－3
5，其中k ∈Z ，则t 的
值为________．
[答案]
916
[解析] ∵sin(2k π＋α)＝－35，∴sin α＝－3
5.
又角α的终边过点P (3，－4t )， 故sin α＝
－4t
9＋16t 2
＝－35，解得t ＝9
16. 6．已知角α的终边在直线y ＝2x 上，则sin α＋cos α的值为________． [答案] ±
6＋23
[解析] 在角α终边上任取一点P (x ，y )，则y ＝2x ， 当x >0时，r ＝x 2
＋y 2
＝3x ， sin α＋cos α＝y r ＋x r
＝
23
＋
13
＝
6＋2
3
， 当x <0时，r ＝x 2
＋y 2
＝－3x ， sin α＋cos α＝y r ＋x r
＝－2
3－13
＝－6＋23.
三、解答题
7．(2015·黑龙江五校联考)已知角θ的终边上有一点P (－3，m )，且sin θ＝24
m ，求cos θ与tan θ的值．
[解析] 由题意可知
m m 2＋3
＝2m
4，
∴m ＝0或5或－ 5.
(1)当m ＝0时，cos θ＝－1，tan θ＝0； (2)当m ＝5时，cos θ＝－
64，tan θ＝－153； (3)当m ＝－5时，cos θ＝－
64，tan θ＝15
3
. 8．已知1|sin α|＝－1
sin α，且lgcos α有意义．
(1)试判断角α所在的象限；
(2)若角α的终边上一点是M (3
5，m )，且|OM |＝1(O 为坐标原点)，求m 的值及sin α的
值．
[解析] (1)由1|sin α|＝－1
sin α
可知sin α<0，
∴α是第三或第四象限角或终边在y 轴的负半轴上的角． 由lgcos α有意义可知cos α>0，
∴α是第一或第四象限角或终边在x 轴的正半轴上的角． 综上可知角α是第四象限的角． (2)∵|OM |＝1，
∴(35)2＋m 2
＝1，解得m ＝±45
. 又α是第四象限角，故m <0，从而m ＝－45.
由正弦函数的定义可知 sin α＝y r ＝m |OM |＝－451＝－4
5
.。