【高考调研】2020高中数学 课时作业2 新人教A版选修2-2
2020年高中数学人教A版选修2-2(课时训练)：章末检测 推理与证明 Word版含答案
章末检测一、选择题1．由1＝12,1＋3＝22,1＋3＋5＝32,1＋3＋5＋7＝42，…，得到1＋3＋…＋(2n －1)＝n 2用的是( ) A ．归纳推理 B ．演绎推理 C ．类比推理 D ．特殊推理答案 A2．在△ABC 中，E 、F 分别为AB 、AC 的中点，则有EF ∥BC ，这个问题的大前提为( ) A ．三角形的中位线平行于第三边 B ．三角形的中位线等于第三边的一半 C ．EF 为中位线 D ．EF ∥BC 答案 A解析 这个三段论推理的形式为：大前提：三角形的中位线平行于第三边；小前提：EF 为△ABC 的中位线；结论：EF ∥BC .3．对大于或等于2的自然数的正整数幂运算有如下分解方式： 22＝1＋3 32＝1＋3＋5 42＝1＋3＋5＋7 23＝3＋5 33＝7＋9＋11 43＝13＋15＋17＋19根据上述分解规律，若m 2＝1＋3＋5＋…＋11，n 3的分解中最小的正整数是21，则m ＋n ＝( ) A ．10 B ．11 C ．12 D ．13答案 B解析 ∵m 2＝1＋3＋5＋…＋11＝1＋112×6＝36，∴m ＝6.∵23＝3＋5,33＝7＋9＋11，43＝13＋15＋17＋19，∴53＝21＋23＋25＋27＋29， ∵n 3的分解中最小的数是21，∴n3＝53，n＝5，∴m＋n＝6＋5＝11.4．用反证法证明命题“2＋3是无理数”时，假设正确的是()A．假设2是有理数B．假设3是有理数C．假设2或3是有理数D．假设2＋3是有理数答案D解析应对结论进行否定，则2＋3不是无理数，即2＋3是有理数．5．已知f(x＋1)＝2f(x)f(x)＋2，f(1)＝1(x∈N*)，猜想f(x)的表达式为()A.42x＋2B．2x＋1C．1x＋1D．22x＋1答案B解析当x＝1时，f(2)＝2f(1)f(1)＋2＝23＝22＋1，当x＝2时，f(3)＝2f(2)f(2)＋2＝24＝23＋1；当x＝3时，f(4)＝2f(3)f(3)＋2＝25＝24＋1，故可猜想f(x)＝2x＋1，故选B.6．对“a，b，c是不全相等的正数”，给出下列判断：①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；②a＝b与b＝c及a＝c中至少有一个成立；③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立．其中判断正确的个数为()A．0个B．1个C．2个D．3个答案B解析若(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2＝0，则a＝b＝c，与“a，b，c是不全相等的正数”矛盾，故①正确．a＝b与b＝c及a＝c中最多只能有一个成立，故②不正确．由于“a，b，c是不全相等的正数”，有两种情形：至多有两个数相等或三个数都互不相等，故③不正确．7．我们把平面几何里相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体．下列几何体中，一定属于相似体的有()①两个球体；②两个长方体；③两个正四面体；④两个正三棱柱；⑤两个正四棱锥．A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个答案 C解析 类比相似形中的对应边成比例知，①③属于相似体． 8．数列{a n }满足a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n ，则a 2 013等于( )A.12 B ．－1 C ．2 D ．3答案 C解析 ∵a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n，∴a 2＝1－1a 1＝－1，a 3＝1－1a 2＝2，a 4＝1－1a 3＝12，a 5＝1－1a 4＝－1，a 6＝1－1a 5＝2，∴a n ＋3k ＝a n (n ∈N *，k ∈N *) ∴a 2 013＝a 3＋3×670＝a 3＝2.9．定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x ＋4)，且f (x )在(2，＋∞)上为增函数．已知x 1＋x 2<4且(x 1－2)·(x 2－2)<0，则f (x 1)＋f (x 2)的值( ) A ．恒小于0 B ．恒大于0 C ．可能等于0 D ．可正也可负答案 A解析 不妨设x 1－2<0，x 2－2>0， 则x 1<2，x 2>2，∴2<x 2<4－x 1， ∴f (x 2)<f (4－x 1)，即－f (x 2)>－f (4－x 1)， 从而－f (x 2)>－f (4－x 1)＝f (x 1)， f (x 1)＋f (x 2)<0.10．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案，则第n 个图案中有白色地面砖的块数是( )A ．4n ＋2B ．4n －2C ．2n ＋4D ．3n ＋3答案 A解 法一 (归纳猜想法)观察可知：除第一个以外，每增加一个黑色地板砖，相应的白地板砖就增加四个， 因此第n 个图案中有白色地面砖的块数是一个“以6为首项，公差是4的等差数列的第n 项”．故第n 个图案中有白色地面砖的块数是4n ＋2. 法二 (特殊值代入排除法)由图可知，当n ＝1时，a 1＝6，可排除B 答案 当n ＝2时，a 2＝10，可排除C 、D 答案． 二、填空题11．(2013·陕西)观察下列等式： (1＋1)＝2×1(2＋1)(2＋2)＝22×1×3(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5 按此规律，第n 个等式可为________．答案 (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)…(n ＋n )＝2n ·1·3·5…(2n －1)12．f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，经计算得f (2)＝32，f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，f (32)>72，推测当n ≥2时，有________． 答案 f (2n )>2＋n2(n ≥2)解析 观测f (n )中n 的规律为2k (k ＝1,2，…) 不等式右侧分别为2＋k2，k ＝1,2，…，∴f (2n )>2＋n2(n ≥2)．13．用数学归纳法证明：1＋11＋2＋11＋2＋3＋…＋11＋2＋3＋…＋n ＝2n n ＋1时，由n ＝k 到n ＝k ＋1左边需要添加的项是________． 答案2(k ＋1)(k ＋2)解析 由n ＝k 到n ＝k ＋1时，左边需要添加的项是11＋2＋3＋…＋(k ＋1)＝2(k ＋1)(k ＋2).14．在平面几何中，△ABC 的内角平分线CE 分AB 所成线段的比为AE EB ＝ACBC ，把这个结论类比到空间：在三棱锥A －BCD 中(如图所示)，面DEC 平分二面角A －CD －B 且与AB 相交于E ，则得到的类比的结论是________．答案AE EB ＝S △ACDS △BCD解析 CE 平分∠ACB ，而面CDE 平分二面角A －CD －B .∴AC BC 可类比成S △ACD S △BCD ，故结论为AEEB ＝S △ACDS △BCD . 三、解答题15．已知a 、b 、c 是互不相等的非零实数．求证三个方程ax 2＋2bx ＋c ＝0，bx 2＋2cx ＋a ＝0，cx 2＋2ax ＋b ＝0至少有一个方程有两个相异实根． 证明 反证法：假设三个方程中都没有两个相异实根，则Δ1＝4b 2－4ac ≤0，Δ2＝4c 2－4ab ≤0，Δ3＝4a 2－4bc ≤0.相加有a 2－2ab ＋b 2＋b 2－2bc ＋c 2＋c 2－2ac ＋a 2≤0，(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≤0.①由题意a 、b 、c 互不相等，∴①式不能成立．∴假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根． 16．设数列{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和． (1)求证：数列{S n }不是等比数列； (2)数列{S n }是等差数列吗？为什么？(1)证明 假设数列{S n }是等比数列，则S 22＝S 1S 3，即a 21(1＋q )2＝a 1·a 1·(1＋q ＋q 2)，因为a 1≠0，所以(1＋q )2＝1＋q ＋q 2， 即q ＝0，这与公比q ≠0矛盾， 所以数列{S n }不是等比数列．(2)解 当q ＝1时，S n ＝na 1，故{S n }是等差数列； 当q ≠1时，{S n }不是等差数列，否则2S 2＝S 1＋S 3， 即2a 1(1＋q )＝a 1＋a 1(1＋q ＋q 2)， 得q ＝0，这与公比q ≠0矛盾．17．请你把不等式“若a 1，a 2是正实数，则有a 21a 2＋a 22a 1≥a 1＋a 2”推广到一般情形，并证明你的结论． 解 推广的结论：若a 1，a 2，…，a n 都是正实数，则有 a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n －1a n ＋a 2na 1≥a 1＋a 2＋…＋a n . 证明：∵a 1，a 2，…a n 都是正实数， ∴a 21a 2＋a 2≥2a 1；a 22a 3＋a 3≥2a 2；… a 2n －1a n ＋a n ≥2a n －1；a 2na 1＋a 1≥2a n ， a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n a n ＋a 2n －1a 1≥a 1＋a 2＋…＋a n . 18．设f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n ，是否存在关于自然数n 的函数g (n )，使等式f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1)＝g (n )·[f (n )－1]对于n ≥2的一切自然数都成立？并证明你的结论． 解 当n ＝2时，由f (1)＝g (2)·[f (2)－1]， 得g (2)＝f (1)f (2)－1＝1⎝⎛⎭⎫1＋12－1＝2， 当n ＝3时，由f (1)＋f (2)＝g (3)·[f (3)－1]， 得g (3)＝f (1)＋f (2)f (3)－1＝1＋⎝⎛⎭⎫1＋12⎝⎛⎭⎫1＋12＋13－1＝3， 猜想g (n )＝n (n ≥2)．下面用数学归纳法证明：当n ≥2时，等式f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1)＝n [f (n )－1]恒成立． ①当n ＝2时，由上面计算可知，等式成立．②假设n ＝k (k ∈N *且k ≥2)时，等式成立，即f (1)＋f (2)＋…＋f (k －1)＝k [f (k )－1](k ≥2)成立， 那么当n ＝k ＋1时，f (1)＋f (2)＋…＋f (k －1)＋f (k )＝k [f (k )－1]＋f (k )＝(k ＋1)f (k )－k ＝(k ＋1)⎣⎡⎦⎤f (k ＋1)－1k ＋1－k ＝(k ＋1)[f (k ＋1)－1]，∴当n ＝k ＋1时，等式也成立．由①②知，对一切n ≥2的自然数n 等式都成立，故存在函数g (n )＝n ，使等式成立．.....................................使用本文档删除后面的即可致力于打造全网一站式文档服务需求，为大家节约时间文档来源网络仅供参考欢迎您下载可以编辑的word文档谢谢你的下载本文档目的为企业和个人提供下载方便节省工作时间，提高工作效率，打造全网一站式精品需求!欢迎您的下载，资料仅供参考!（本文档收集于网络改编，由于文档太多，审核难免疏忽，如有侵权或雷同，告知本店马上删除）。
高中数学高考调研高中数学-课时作业2-新人教A版选修22
课时作业(二)一、选择题1．已知函数y＝f(x)在x＝x0处的导数为11，则lim Δx→0f x0－Δx－f x0Δx＝( )A．11 B．－11C.111D．－111答案 B2．函数f(x)在x＝0可导，则limh→a f h－f ah－a＝( )A．f(a) B．f′(a) C．f′(h) D．f(h) 答案 B3．已知函数y＝x2＋1的图像上一点(1,2)及邻近点(1＋Δx,2＋Δy)，则limΔx→0Δy Δx＝( )A．2 B．2xC．2＋Δx D．2＋Δx2答案 A4．设f(x)为可导函数，且满足limx→0f1－f1－2x2x＝－1，则f′(1)的值为( )A．2 B．－1C．1 D．－2答案 B二、填空题5．一个物体的运动方程为S＝1－t＋t2，其中S的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是________．答案5米/秒6．函数y＝(3x－1)2在x＝x0处的导数为0，则x0＝________.答案1 3解析 Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝(3x 0＋3Δx －1)2－(3x 0－1)2＝18x 0Δx ＋9(Δx )2－6Δx ，∴ΔyΔx＝18x 0＋9Δx －6. ∴li m Δx →0Δy Δx ＝18x 0－6＝0，∴x 0＝13. 7．设f (x )＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a ＝________. 答案 2解析 Δy ＝f (1＋Δx )－f (1) ＝a (1＋Δx )＋4－a －4＝aΔx . ∴f ′(1)＝li m Δx →0ΔyΔx＝li m Δx →0a ＝a . 又f ′(1)＝2，∴a ＝2.8．质点M 按规律s ＝2t 2＋3做直线运动(位移单位：m ，时间单位：s)，则质点M 的瞬时速度等于8 m/s 时的时刻t 的值为________．答案 2解析 设时刻t 的值为t 0，则Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)＝2(t 0＋Δt )2＋3－2t 20－3＝4t 0·Δt ＋2·(Δt )2，Δs Δt ＝4t 0＋2Δt ，lim Δt →0ΔsΔt＝4t 0＝8，∴t 0＝2(s)． 9．已知f (x )＝1x ，则lim Δx →0f 2＋Δx －f 2Δx的值是________．答案 －1410.如图，函数f (x )的图像是折线段ABC ，其中A ，B ，C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f (f (0))＝________；lim Δx →0f 1＋Δx －f 1Δx＝______.答案 2；－2 三、解答题11．设f (x )＝x 2，求f ′(x 0)，f ′(－1)，f ′(2)． 答案 f ′(x 0)＝2x 0，f ′(－1)＝－2，f ′(2)＝412．某物体运动规律是S ＝t 2－4t ＋5，问什么时候此物体的瞬时速度为0? 答案 t ＝2解析 ΔS ＝(t ＋Δt )2－4(t ＋Δt )＋5－(t 2－4t ＋5) ＝2tΔt ＋(Δt )2－4Δt ，v ＝li m Δt →0ΔSΔt＝2t －4＝0，∴t ＝2.13．若f ′(x 0)＝2，求li m k →0f x 0－k －f x 02k的值．解析 令－k ＝Δx ，∵k →0，∴Δx →0. 则原式可变形为li m Δx →0f x 0＋Δx －f x 0－2Δx＝－12li m Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx＝－12f ′(x 0)＝－12×2＝－1.►重点班·选做题14．若一物体运动方程如下：(位移：m ，时间：s)s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t 2＋2 t ≥3， ①29＋3t －320≤t <3. ②求：(1)物体在t ∈[3,5]内的平均速度； (2)物体的初速度v 0；(3)物体在t ＝1时的瞬时速度．解析 (1)∵物体在t ∈[3,5]内的时间变化量为Δt ＝5－3＝2， 物体在t ∈[3,5]内的位移变化量为Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，∴物体在t ∈[3,5]上的平均速度为Δs Δt ＝482＝24(m/s)． (2)求物体的初速度v 0即求物体在t ＝0时的瞬时速度．∵物体在t ＝0附近的平均变化率为Δs Δt ＝f 0＋Δt －f 0Δt＝29＋3[0＋Δt －3]2－29－30－32Δt＝3Δt －18，∴物体在t ＝0处的瞬时变化率为lim Δt →0ΔsΔt＝lim Δt →0(3Δt －18)＝－18，即物体的初速度为－18 m/s.(3)物体在t ＝1时的瞬时速度即为函数在t ＝1处的瞬时变化率． ∵物体在t ＝1附近的平均变化率为Δs Δt ＝f 1＋Δt －f 1Δt＝29＋3[1＋Δt －3]2－29－31－32Δt＝3Δt －12，∴物体在t ＝1处的瞬时变化率为 lim Δt →0ΔsΔt＝lim Δt →0(3Δt －12)＝－12. 即物体在t ＝1时的速度为－12 m/s.高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。
2020-2021学年人教A版数学选修2-2课时作业：模块综合评估2
模块综合评估(二)时间：120分钟 满分：150分一、选择题(每小题5分，共60分)1.1＋3i 1－i＝( B ) A ．1＋2i B ．－1＋2i C ．1－2i D ．－1－2i解析：1＋3i 1－i ＝(1＋3i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝－2＋4i 2＝－1＋2i.故选B. 2．下列说法正确的是( B )A ．2>2iB ．2>(3i)2C ．2＋3i<3＋3iD ．2＋2i>2＋i解析：本题主要考查复数的性质．不全为实数的两个复数不能比较大小，故排除A ，C ，D ；而B 中(3i)2＝－9<2，故选B.3．若复数z 满足z (1＋i)＝1－i(i 是虚数单位)，则z 的共轭复数z ＝( C )A ．－iB ．－2iC ．i D.2i解析：本题主要考查复数的运算及共轭复数的概念．因为z (1＋i)＝1－i ，所以z ＝1－i 1＋i＝－2i 2＝－i ，所以z ＝i.故选C. 4．函数f (x )＝e x sin x 的图象在点(0，f (0))处的切线的倾斜角α＝( B )A ．0 B.π4 C ．1 D.3π2解析：本题主要考查导数的几何意义．函数f (x )＝e x sin x 的图象在点(0，f (0))处的切线的斜率k ＝f ′(0)＝e x(sin x ＋cos x )x ＝0＝1，所以倾斜角α＝π4.故选B.5．函数f (x )＝cos x 2x 的导函数f ′(x )＝( B )A.sin x －cos x 2xB ．－sin x ＋ln2·cos x 2x C.sin x －ln2·cos x 2x D ．－sin x ＋cos x 4x解析：f′(x)＝(cos x)′·2x－cos x·(2x)′(2x)2＝－sin x·2x－cos x·2x ln24x＝－sin x＋ln2·cos x2x.6．用反证法证明命题“若直线AB，CD是异面直线，则直线AC，BD 也是异面直线”的过程分为三步：①则A，B，C，D四点共面，所以AB，CD共面，这与AB，CD是异面直线矛盾；②所以假设错误，即直线AC，BD也是异面直线；③假设直线AC，BD是共面直线．则正确的顺序为(B)A．①→②→③B．③→①→②C．①→③→②D．②→③→①解析：本题主要考查反证法的步骤．反证法的步骤是：反设→归谬→结论．结合本题，知选B.7．由“边长为a的正三角形内任一点到三边的距离之和为32a”可类比猜想：棱长为a的正四面体内任一点到四个面的距离之和为(B)A.43a B.63a C.54a D.64a解析：将正三角形分割成以三条边为底的三个三角形，利用三个三角形面积的和等于正三角形的面积即可求得正三角形内任一点到三边的距离之和．类比可知，将正四面体分割成以各面为底的四个三棱锥，则四个三棱锥体积之和等于正四面体的体积，即可求得棱长为a的正四面体内任一点到四个面的距离之和为63a.故选B.8．设复数z满足|z－3＋4i|＝|z＋3－4i|，则复数z在复平面上对应的点的轨迹是(C)A．圆B．半圆C．直线D．射线解析：复数z满足|z－3＋4i|＝|z＋3－4i|，则复数z在复平面内对应的点是复平面内到点(3，－4)，(－3,4)的距离相等的点，其轨迹为(3，－4)，(－3,4)两点连线的中垂线．故选C.9．设f(x)＝x(ax2＋bx＋c)(a≠0)在x＝1和x＝－1处均有极值，则下列各点一定在y 轴上的是( A )A ．(b ，a )B ．(a ，c )C ．(c ，b )D ．(a ＋b ，c )解析：本题主要考查导数的应用．f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，由题意知1，－1是方程3ax 2＋2bx ＋c ＝0的两根，则1－1＝－2b 3a ＝0，所以b ＝0.故选A.10．欧拉公式e i x ＝cos x ＋isin x (i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，e 2i 表示的复数在复平面内对应的点位于( B )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：e 2i ＝cos2＋isin2，它在复平面内对应的点为(cos2，sin2)，由于π2<2<π，因此cos2<0，sin2>0，故点(cos2，sin2)在第二象限．11．已知函数f (x )(x ∈R )满足f (2)＝3，且f (x )在R 上的导数满足f ′(x )－1<0，则不等式f (x 2)<x 2＋1的解集为( C )A ．(－∞，－2)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－2，2)解析：本题主要考查导数的应用．令g (x )＝f (x )－x ，则g ′(x )＝f ′(x )－1<0，∴g (x )在R 上单调递减．由f (x 2)<x 2＋1，得f (x 2)－x 2<1，即g (x 2)<1.又g (2)＝f (2)－2＝1，∴g (x 2)<g (2)，∴x 2>2，解得x >2或x <－ 2.故选C.12．已知函数y ＝f (x )对任意x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2满足f ′(x )cos x ＋f (x )sin x >0(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)，则下列不等式中成立的是( A ) A.2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4 B.2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4 C ．f (0)>2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3 D ．f (0)>2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4 解析：令g (x )＝f (x )cos x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则g ′(x )＝f ′(x )cos x ＋f (x )sin x cos 2x .因为f ′(x )cos x ＋f (x )sin x >0在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上恒成立，所以g ′(x )>0在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上恒成立，所以g (x )＝f (x )cos x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上单调递增，所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3<g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π312<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π422，所以2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4.故选A. 二、填空题(每小题5分，共20分)13．曲线y ＝2cos x －π4在x ＝π4处的切线方程是x ＋y －1＝0.解析：由题意知y ′＝－2sin x ，所以切线的斜率k ＝y ′|x ＝π4＝－1.易知切点为⎝⎛⎭⎪⎫π4，1－π4，所以切线方程为x ＋y －1＝0. 14．复数z 1与z 2在复平面上所对应的点关于y 轴对称，且z 1(3－i)＝z 2(1＋3i)，|z 1|＝2，则z 1＝1－i 或－1＋i.解析：本题主要考查复数的运算与几何意义．设z 1＝a ＋b i ，则z 2＝－a ＋b i ，∵z 1(3－i)＝z 2(1＋3i)，且|z 1|＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ (a ＋b i )(3－i )＝(－a ＋b i )(1＋3i )a 2＋b 2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝1，∴z 1＝1－i 或－1＋i.15．观察下列各式：(1)(x 2)′＝2x ；(2)(x 4)′＝4x 3；(3)(cos x )′＝－sin x .根据以上事实，由归纳推理可得，若定义在R 上的偶函数f (x )的导函数为g (x )，则g (0)＝0.解析：在(x 2)′＝2x 中，原函数为偶函数，导函数为奇函数；在(x 4)′＝4x 3中，原函数为偶函数，导函数为奇函数；在(cos x )′＝－sin x 中，原函数为偶函数，导函数为奇函数．我们可以推测，偶函数的导函数为奇函数．若定义在R 上的函数f (x )为偶函数，g (x )为f (x )的导函数，则g (x )为奇函数，故g (－x )＋g (x )＝0，即g (－0)＝－g (0)，g (0)＝0.16．若函数f (x )＝3a －x 2⎝⎛⎭⎪⎫1e ≤x ≤e ，e 为自然对数的底数与g (x )＝2ln x的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的最小值是13.解析：由题意可得f (x )＝－g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有解，即3a －x 2＝－2ln x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有解，整理可得a ＝x 2－2ln x 3在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有解．令h (x )＝x 2－2ln x 3，则h ′(x )＝13⎝⎛⎭⎪⎫2x －2x ，易知h ′(x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上单调递增，又h ′⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫2e －2e <0，h ′(1)＝0，h ′(e)＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫2e －2e >0，则h (x )min ＝h (1)＝13，所以实数a 的最小值是13.三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(10分)已知复数z 1满足z 1·i ＝1＋i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2.(1)求z 1；(2)若z 1·z 2是纯虚数，求z 2.解：(1)因为z 1·i ＝1＋i ，所以z 1＝1＋i i ＝－i (1＋i )－i 2＝1－i. (2)因为z 2的虚部为2，所以设z 2＝m ＋2i(m ∈R )．因为z 1·z 2＝(1－i)(m ＋2i)＝(m ＋2)＋(2－m )i 为纯虚数，所以m ＋2＝0，且2－m ≠0，解得m ＝－2.所以z 2＝－2＋2i.18．(12分)(1)求证：当a >2时，a ＋2＋a －2<2a ；(2)证明：2，3，5不可能是同一个等差数列中的三项．证明：(1)要证a ＋2＋a －2<2a ，只需证(a ＋2＋a －2)2<(2a )2，即证2a ＋2a ＋2·a －2<4a ，即证a ＋2·a －2<a ，只需证(a ＋2·a －2)2<a 2，即证a 2－4<a 2，显然成立，所以a ＋2＋a －2<2a .(2)假设2，3，5是同一个等差数列中的三项，且该等差数列的公差为d ，显然d ≠0.令3＝2＋rd,5＝2＋sd (r ，s 为非零整数)，则3－25－2＝r s，等式左端为无理数，等式右端为有理数，矛盾，所以假设不成立，故2，3，5不可能是同一个等差数列中的三项．19．(12分)已知复数z 1＝2＋a i(其中a ∈R 且a >0，i 为虚数单位)，且z 21为纯虚数．(1)求函数实数a 的值；(2)若z ＝z 11－i，求|z |. 解：(1)z 21＝(2＋a i)2＝4－a 2＋4a i ，因为z 21为纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧4－a 2＝0，a ≠0，a >0，解得a ＝2.(2)由(1)得z 1＝2＋2i ，则z ＝2＋2i 1－i ＝(2＋2i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝4i 2＝2i ，|z |＝2. 20．(12分)已知函数f (x )＝x ln x ＋x .(1)求f (x )的图象在x ＝1处的切线方程并求函数f (x )的单调区间；(2)求证：e x >f ′(x )．解：(1)由题得f ′(x )＝ln x ＋2，∴f ′(1)＝2，又f (1)＝1，∴所求切线方程为y ＝2x －1.令f ′(x )>0，解得x >e －2，令f ′(x )<0，解得0<x <e －2，故函数f (x )的单调递增区间为(e －2，＋∞)，单调递减区间为(0，e －2)．(2)证明：设g (x )＝e x －f ′(x )＝e x －ln x －2，x >0.g ′(x )＝e x－1x ，易知g ′(x )在(0，＋∞)上单调递增，且g ′(1)＝e －1>0，g ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝e 12 －2<0，∴存在唯一的t ，且12<t <1，使得g ′(t )＝e t －1t ＝0，即e t＝1t ，∴g (x )在(0，t )上单调递减，在(t ，＋∞)上单调递增， ∴g (x )≥g (t )＝e t－ln t －2＝1t －ln 1e t －2＝t ＋1t －2≥2－2＝0，当且仅当t ＝1时等号成立，又12<t <1，∴上式等号不成立，∴g (x )>0，即e x >f ′(x )．21．(12分)已知函数f (x )＝x 2＋2cos x ，x ∈[0，＋∞)．(1)求f (x )的最小值；(2)证明：当x ≥0时，e x －1≥sin x －cos x ＋1.解：(1)f ′(x )＝2(x －sin x )．设g (x )＝x －sin x ，则g ′(x )＝1－cos x ，当x ≥0时，g ′(x )≥0，即g (x )为增函数，则f ′(x )＝2g (x )≥2g (0)＝0， 所以f (x )在[0，＋∞)上是增函数，因此f (x )min ＝f (0)＝2.(2)证明：由(1)得，当x ≥0时，f ′(x )≥0，即sin x ≤x .又f (x )≥2，即1－cos x ≤x 22，所以sin x －cos x ＋1≤x ＋x 22.证明x ＋x 22≤e x －1成立即可证明原不等式成立．令h (x )＝e x－x 22－x －1，则h ′(x )＝e x －x －1， 令m (x )＝e x －x －1，则m ′(x )＝e x －1，当x ≥0时，e x －1≥0，所以h ′(x )是增函数，即h ′(x )≥h ′(0)＝0，所以h (x )是增函数，即h (x )≥h (0)＝0，可得e x－x 22－x －1≥0，即e x －1≥x 22＋x ，所以原不等式成立．22．(12分)已知函数f (x )＝38x 2－2x ＋2＋ln x .(1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在[e m ，＋∞)(m ∈Z )上有零点，求m 的最大值． 解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝34x －2＋1x ＝(3x －2)(x －2)4x， 当f ′(x )>0时，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23∪(2，＋∞)；当f ′(x )<0时，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2， 所以函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23和(2，＋∞)，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2. (2)由(1)知y 极大＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝56＋ln 23>0，y 极小＝f (2)＝ln2－12>0.当x >0且x →0时f (x )<0，故f (x )在定义域上存在唯一零点x 0，且x 0∈⎝⎛⎭⎪⎫0，23. 若m ≥0，则e m ≥1，[e m，＋∞)⊆⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞，此区间内不存在零点，舍去，故m <0.当m ＝－1时，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，＋∞，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝1＋38e 2－2e >0， 又f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，23上单调递增，此区间不存在零点，舍去． 当m ＝－2时，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e 2，＋∞，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 2＝1e 2⎝ ⎛⎭⎪⎫38e 2－2<0， 又f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 2，23上单调递增，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23>0，故x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 2，23. 综上，m 的最大值为－2.。
2019-2020年高中数学 2.1 合情推理与演绎推理课时作业2 新人教A版选修2-2
2019-2020年高中数学 2.1 合情推理与演绎推理课时作业2 新人教A版选修2-2．如图，观察图形规律，在其右下角的空格处画上合适的图形，应为解析：观察图中每一行，每一列的规律，从形状和是否有阴影入手．每一行，每一列中三种图形都有，故填长方形．又每一行每一列中的图形的颜色应有二黑一白，故选答案：A．观察下列各等式：22－4＋66－4＝2，55－4＋33－4＝7，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为( A.n n －4＋8－n (8－n )－4＝2 n n教学目标：1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量.2.通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.3.通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力. 教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量.教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.学法：本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大.学生可根据在原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念，结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念.教具：多媒体或实物投影仪，尺规授课类型：新授课教学思路：一、情景设置：如图，老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去，设问：猫能否追到老鼠？（画图）结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了.分析：老鼠逃窜的路线AC、猫追逐的路线BD实际上都是有方向、有长短的量.引言：请同学指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向？二、新课学习：（一）向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量ABCD（二）请同学阅读课本后回答：（可制作成幻灯片） 1、数量与向量有何区别？ 2、如何表示向量？3、有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？4、长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量？5、满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？6、有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？7、如果把一组平行向量的起点全部移到一点O ，这是它们是不是平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系？ （三）探究学习1、数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小； 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小. 2.向量的表示方法： ①用有向线段表示； ②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示； ③用有向线段的起点与终点字母：；④向量的大小――长度称为向量的模，记作||.3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度. 向量与有向线段的区别：（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.4、零向量、单位向量概念：①长度为0的向量叫零向量，记作0. 0的方向是任意的. 注意0与0的含义与书写区别.②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量. 说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小. 5、平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.6、相等向量定义：A(起点)B（终点）a长度相等且方向相同的向量叫相等向量.说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段．．．．．的起点无关．．．．．.7、共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的．．．．．．起点无关）．．．．．.说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.（四）理解和巩固：例1 书本58页例1.例2判断：（1）平行向量是否一定方向相同？（不一定）（2）不相等的向量是否一定不平行？（不一定）（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？（零向量）（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？（零向量）（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（平行向量）（6）两个非零向量相等的当且仅当什么？（长度相等且方向相同）（7）共线向量一定在同一直线上吗？（不一定）例3下列命题正确的是（）A.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与c也共线B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点C.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ都是非零向量D.有相同起点的两个非零向量不平行解：由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以Ｄ不正确；对于C，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若ａ与ｂ不都是非零向量，即ａ与ｂ至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有ａ与ｂ共线，不符合已知条件，所以有ａ与ｂ都是非零向量，所以应选C.例4 如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与向量、、相等的向量.变式一：与向量长度相等的向量有多少个？（11个）变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？（存在）变式三：与向量共线的向量有哪些？（）课堂练习：1．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由①向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；②单位向量都相等；③任一向量与它的相反向量不相等；④四边形ABCD是平行四边形当且仅当＝⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0；⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.解：①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量、在同一直线上.②不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定.③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的. ④、⑤正确.⑥不正确.如图与共线，虽起点不同，但其终点却相同.2．书本59页练习三、小结：1、描述向量的两个指标：模和方向.2、平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比.3、向量的图示，要标上箭头和始点、终点.四、课后作业：书本59页习题2.1第3、5题。
人教A版选修2-2下学期调研统一测试高一数学.docx
秘密★启用前 试卷类型：A下学期调研统一测试高一数学整理录入：一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
） 1．观察数列：-1，3，-7，（ ），-31，63，…，括号中的数字应为 A ．33 B ．15 C ．-21 D ．-37 2．设b<a ，d<C ，则下列不等式中一定成立的是A ．a-c>b-dB ．ac>bdC ．a+c>b+dD ．a+d>b+C3．不等式x 2-x -5>2x 的解集是A ．{ x | x ≥5或x ≤-1}B ．{ x | x >5或x <-1}C ．{ x |-1< x <5}D ．{ x |-1≤≤5} 4．已知两个平面垂直，下列命题中正确的个数是①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线 ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线 ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面 A ．4 B ．3 C ．2 D ．15．已知锐角α、β满足sin α=55，cos β=10103，则α+β等于 4．43π B ．4π或43π C ．4π D ．2k π+43π（k ∈Z ）6．正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AA 1=2AB ，则异面直线A 1B 与AD 1所成的角的余弦值为 A ．51 B ．52 C ．53 D ．547．某品牌香水瓶的的三视图如右图所示（单位：cm ），它的表面积为 A ．（94-2π）cm 2 B ．（95-2π）cm 2 C ．（94+2π）cm 2 D ．（95+2π）cm 28．在△ABC 中，a =2bcos C ，则△ABC 一定是A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形9．△ABC 中，a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 的对边，如果a 、b 、c 成等差数列，∠B=30°，△ABC 的面积为23，那么b 等于 A ．213+ B ．1+3 C ．223+ D ．2+310．把正整数排列成如图甲的三角形数阵，然后擦去偶数行的奇数和奇数行中的偶数，得到如图乙的三角数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到数列{a n }，若a n =2013，则n =A ．1028B ．1029C ．1030D ．1031二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。
高中数学人教A版选修2-2(课时训练)：全册课堂导学全文 Word版含答案.doc
1．1变化率与导数1．1.1变化率问题1．1.2导数的概念[学习目标]1．了解导数概念的实际背景．2．会求函数在某一点附近的平均变化率．3．会利用导数的定义求函数在某点处的导数．[知识链接]很多人都吹过气球，回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢．从数学的角度，如何描述这种现象呢？答气球的半径r(单位：dm)与体积V(单位：L)之间的函数关系是r(V)＝33V4π，(1)当V从0增加到1 L时，气球半径增加了r(1)－r(0)≈0.62 (dm)，气球的平均膨胀率为r(1)－r(0)1－0≈0.62(dm/L)．(2)当V从1 L增加到2 L时，气球半径增加了r(2)－r(1)≈0.16 (dm)，气球的平均膨胀率为r(2)－r(1)2－1≈0.16(dm/L)．可以看出，随着气球体积逐渐变大，它的平均膨胀率逐渐变小了．[预习导引]1．函数的变化率定义实例平均变化率函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为f(x2)－f(x1)x2－x1，简记作：ΔyΔx①平均速度；②曲线割线的斜率瞬时变化率函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是函数f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率在Δx→0时的极限，即limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx＝limΔx→0ΔyΔx.①瞬时速度：物体在某一时刻的速度；②切线斜率函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx称为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx.要点一求平均变化率例1已知函数h(x)＝－4.9x2＋6.5x＋10.(1)计算从x＝1到x＝1＋Δx的平均变化率，其中Δx的值为①2；②1；③0.1；④0.01.(2)根据(1)中的计算，当|Δx|越来越小时，函数h(x)在区间[1,1＋Δx]上的平均变化率有怎样的变化趋势？解(1)∵Δy＝h(1＋Δx)－h (1)＝－4.9 (Δx)2－3.3Δx，∴ΔyΔx＝－4.9Δx－3.3.①当Δx＝2时，ΔyΔx＝－4.9Δx－3.3＝－13.1；②当Δx ＝1时，ΔyΔx ＝－4.9Δx －3.3＝－8.2； ③当Δx ＝0.1时，ΔyΔx ＝－4.9Δx －3.3＝－3.79； ④当Δx ＝0.01时，ΔyΔx ＝－4.9Δx －3.3＝－3.349.(2)当|Δx |越来越小时，函数f (x )在区间[1,1＋Δx ]上的平均变化率逐渐变大，并接近于－3.3. 规律方法 求平均变化率的主要步骤： (1)先计算函数值的改变量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)． (2)再计算自变量的改变量Δx ＝x 2－x 1. (3)得平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.跟踪演练1 求函数y ＝f (x )＝3x 2＋2在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率，并求当x 0＝2，Δx ＝0.1时平均变化率的值． 解 函数y ＝f (x )＝3x 2＋2在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率为 f (x 0＋Δx )－f (x 0)(x 0＋Δx )－x 0＝[3(x 0＋Δx )2＋2]－(3x 20＋2)Δx＝6x 0·Δx ＋3(Δx )2Δx＝6x 0＋3Δx .当x 0＝2，Δx ＝0.1时，函数y ＝3x 2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为6×2＋3×0.1＝12.3. 要点二 物体运动的瞬时速度例2 高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h (单位：m)与起跳后的时间t (单位：s)之间的关系式为h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10，求运动员在t ＝6598 s 时的瞬时速度，并解释此时的运动状况．解 令t 0＝6598，Δt 为增量．则h (t 0＋Δt )－h (t 0)Δt ＝－4.9×⎝ ⎛⎭⎪⎫6598＋Δt 2＋6.5×⎝ ⎛⎭⎪⎫6598＋Δt ＋10Δt ＋4.9×⎝ ⎛⎭⎪⎫65982－6.5×6598－10Δt＝－4.9Δt ⎝ ⎛⎭⎪⎫6549＋Δt ＋6.5ΔtΔt ＝－4.9⎝ ⎛⎭⎪⎫6549＋Δt ＋6.5， ∴lim Δt →0h (t 0＋Δt )－h (t 0)Δt ＝lim Δt →0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4.9⎝ ⎛⎭⎪⎫6549＋Δt ＋6.5＝0， 即运动员在t 0＝6598 s 时的瞬时速度为0 m/s.说明此时运动员处于跳水运动中离水面最高的点处．规律方法 求瞬时速度是利用平均速度“逐渐逼近”的方法得到的，其求解步骤如下： (1)由物体运动的位移s 与时间t 的函数关系式求出位移增量Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)； (2)求时间t 0到t 0＋Δt 之间的平均速度v ＝ΔsΔt ； (3)求lim Δt →0 ΔsΔt的值，即得t ＝t 0时的瞬时速度． 跟踪演练2 一质点按规律s (t )＝at 2＋1作直线运动(位移单位：m ，时间单位：s)，若该质点在t ＝2 s 时的瞬时速度为8 m/s ，求常数a 的值．解 ∵Δs ＝s (2＋Δt )－s (2) ＝a (2＋Δt )2＋1－a ·22－1 ＝4a Δt ＋a (Δt )2， ∴ΔsΔt ＝4a ＋a Δt .在t ＝2 s 时，瞬时速度为lim Δx →0 ΔsΔt ＝4a ，即4a ＝8，∴a ＝2. 要点三 函数在某点处的导数例3 求函数f (x )＝3x 2－2x 在x ＝1处的导数．解 Δy ＝3(1＋Δx )2－2(1＋Δx )－(3×12－2×1)＝3(Δx )2＋4Δx ， ∵Δy Δx ＝3(Δx )2＋4Δx Δx ＝3Δx ＋4，∴y ′|x ＝1＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0(3Δx ＋4)＝4. 规律方法 求一个函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的步骤如下： (1)求函数值的变化量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；(3)取极限，得导数f ′(x 0)＝lim Δx →0 ΔyΔx.跟踪演练3 利用导数的定义求函数f (x )＝－x 2＋3x 在x ＝2处的导数． 解 由导数的定义知，函数在x ＝2处的导数 f ′(2)＝lim Δx →0f (2＋Δx )－f (2)Δx，而f (2＋Δx )－f (2)＝－(2＋Δx )2＋3(2＋Δx )－(－22＋3×2) ＝－(Δx )2－Δx ，于是f ′(2)＝lim Δx →0 －(Δx )2－ΔxΔx＝lim Δx →0 (－Δx －1)＝－1.1．如果质点M 按规律s ＝3＋t 2运动，则在一小段时间[2,2.1]中相应的平均速度是( ) A ．4 B ．4.1 C ．0.41 D ．3答案 B解析 v ＝(3＋2.12)－(3＋22)0.1＝4.1.2．函数f (x )在x 0处可导，则lim Δx →0 f (x 0＋h )－f (x 0)h ( ) A ．与x 0、h 都有关B ．仅与x 0有关，而与h 无关C ．仅与h 有关，而与x 0无关D ．与x 0、h 均无关 答案 B3．已知函数f (x )＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy )，则ΔyΔx 等于( ) A ．4 B ．4x C ．4＋2Δx D ．4＋2(Δx )2 答案 C解析 Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(1＋Δx )2－1－1＝2(Δx )2＋4Δx ，∴ΔyΔx ＝2Δx ＋4. 4．已知函数f (x )＝1x，则f ′(1)＝________. 答案 －12解析 f ′(1)＝lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝lim Δx →0 11＋Δx－1Δx＝lim Δx →0－11＋Δx (1＋1＋Δx )＝－12.利用导数定义求导数三步曲：(1)作差求函数的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)作比求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；(3)取极限得导数f ′(x 0)＝lim Δx →0 ΔyΔx ， 简记为一差，二比，三极限.一、基础达标1．函数y ＝f (x )在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx中，Δx 不可能是( )A ．大于0B ．小于0C ．等于0D ．大于0或小于0答案 C 2．如图，函数y ＝f (x )在A ，B 两点间的平均变化率是( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2答案 B解析 Δy Δx ＝f (3)－f (1)3－1＝1－32＝－1.3．如果某物体的运动方程为s ＝2(1－t 2) (s 的单位为m ，t 的单位为s)，那么其在1.2 s 末的瞬时速度为( ) A ．－4.8 m/s B ．－0.88 m/s C ．0.88 m/s D ．4.8 m/s答案 A解析 物体运动在1.2 s 末的瞬时速度即为s 在1.2处的导数，利用导数的定义即可求得． 4．设函数f (x )可导，则lim Δx →0 f (1＋3Δx )－f (1)3Δx 等于( ) A ．f ′(1) B ．3f ′(1) C ．13f ′(1) D ．f ′(3) 答案 A 解析 lim Δx →0f (1＋3Δx )－f (1)3Δx＝f ′(1)．5．已知函数y ＝2x ＋3，当x 由2变到1.5时，函数的增量Δy ＝________. 答案 13解析 Δy ＝f (1.5)－f (2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21.5＋3－⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋3＝43－1＝13.6．一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2，则物体的初速度是________． 答案 3解析 v 初＝s ′|t ＝0＝lim Δx →0s (0＋Δt )－s (0)Δt＝lim Δx →0 (3－Δt )＝3. 7．利用定义求函数y ＝－2x 2＋5在x ＝2处的瞬时变化率．解 因为在x ＝2附近，Δy ＝－2(2＋Δx )2＋5－(－2×22＋5)＝－8Δx －2(Δx )2，所以函数在区间[2,2＋Δx ]内的平均变化率为ΔyΔx ＝－8Δx －2(Δx )2Δx ＝－8－2Δx .故函数y ＝－2x 2＋5在x ＝2处的瞬时变化率为lim Δx →0 (－8－2Δx )＝－8. 二、能力提升 8.甲、乙两厂污水的排放量W 与时间t 的关系如图所示，治污效果较好的是( ) A ．甲 B ．乙 C ．相同 D ．不确定答案 B解析 在t 0处，虽然W 1(t 0)＝W 2(t 0)， 但是，在t 0－Δt 处，W 1(t 0－Δt )<W 2(t 0－Δt )，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪W 1(t 0)－W 1(t 0－Δt )Δt <⎪⎪⎪⎪⎪⎪W 2(t 0)－W 2(t 0－Δt )Δt ，所以，在相同时间Δt 内，甲厂比乙厂的平均治污率小．所以乙厂治污效果较好．9．过曲线y ＝f (x )＝x 2＋1上两点P (1,2)和Q (1＋Δx,2＋Δy )作曲线的割线，当Δx ＝0.1时，割线的斜率k ＝________，当Δx ＝0.001时，割线的斜率k ＝________. 答案 2.1 2.001解析 ∵Δy ＝(1＋Δx )2＋1－(12＋1)＝2Δx ＋(Δx )2， ∴ΔyΔx ＝2＋Δx ，∴割线斜率为2＋Δx ，当Δx ＝0.1时，割线PQ 的斜率k ＝2＋0.1＝2.1. 当Δx ＝0.001时，割线PQ 的斜率k ＝2＋0.001＝2.001.10．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的导数为f ′(x )，f ′(0)>0，对于任意实数x ，有f (x )≥0，则f (1)f ′(0)的最小值为________． 答案 2解析 由导数的定义， 得f ′(0)＝lim Δx →0f (Δx )－f (0)Δx＝lim Δx →0 a (Δx )2＋b (Δx )＋c －cΔx＝lim Δx →0[a ·(Δx )＋b ]＝b ＞0. 又⎩⎨⎧Δ＝b 2－4ac ≤0a >0，∴ac ≥b 24，∴c >0. ∴f (1)f ′(0)＝a ＋b ＋c b ≥b ＋2ac b ≥2bb ＝2.11．求函数y ＝f (x )＝2x 2＋4x 在x ＝3处的导数． 解 Δy ＝2(3＋Δx )2＋4(3＋Δx )－(2×32＋4×3) ＝12Δx ＋2(Δx )2＋4Δx ＝2(Δx )2＋16Δx ， ∴Δy Δx ＝2(Δx )2＋16ΔxΔx ＝2Δx ＋16.∴y ′|x ＝3＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0(2Δx ＋16)＝16. 12．若函数f (x )＝ax 2＋c ，且f ′(1)＝2，求a 的值． 解 ∵f (1＋Δx )－f (1)＝a (1＋Δx )2＋c －a －c ＝a (Δx )2＋2a Δx .∴f ′(1)＝lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝lim Δx →0 a (Δx )2＋2a Δx Δx ＝lim Δx →0 (a Δx ＋2a )＝2a ，即2a ＝2，∴a ＝1. 三、探究与创新13．已知f (x )＝x 2，g (x )＝x 3，求满足f ′(x )＋2＝g ′(x )的x 的值． 解 由导数的定义知， f ′(x )＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2－x 2Δx ＝2x ， g ′(x )＝lim Δx →0 (x ＋Δx )3－x 3Δx ＝3x 2. ∵f ′(x )＋2＝g ′(x )，∴2x ＋2＝3x 2. 即3x 2－2x －2＝0，解得x ＝1－73或x ＝1＋73.1．1.3 导数的几何意义[学习目标]1．了解导函数的概念；了解导数与割线斜率之间的关系． 2．理解曲线的切线的概念；理解导数的几何意义．3．会求曲线上某点处的切线方程，初步体会以直代曲的意义． [知识链接]如果一个函数是路程关于时间的函数，那么函数在某点处的导数就是瞬时速度，这是函数的实际意义，那么从函数的图象上来考查函数在某点处的导数，它具有怎样的几何意义呢？ 答设函数y ＝f (x )的图象如图所示，AB 是过点A (x 0，f (x 0))与点B (x 0＋Δx ，f (x 0＋Δx ))的一条割线，此割线的斜率是Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx .当点B 沿曲线趋近于点A 时，割线AB 绕点A 转动，它的极限位置为直线AD ，这条直线AD 叫做此曲线在点A 处的切线．于是，当Δx →0时，割线AB 的斜率无限趋近于过点A 的切线AD 的斜率k ，即k ＝f ′(x 0)＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.[预习导引] 1．导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x ＝x 0处的导数的几何意义是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率是f ′(x 0)．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． 2．函数的导函数当x ＝x 0时，f ′(x 0)是一个确定的数，则当x 变化时，f ′(x )是x 的一个函数，称f ′(x )是f (x )的导函数(简称导数)．f ′(x )也记作y ′，即f ′(x )＝y ′＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx.要点一 过曲线上一点的切线方程例1 若曲线y ＝x 3＋3ax 在某点处的切线方程为y ＝3x ＋1，求a 的值． 解 ∵y ＝x 3＋3ax .∴y ′＝lim Δx →0 (x ＋Δx )3＋3a (x ＋Δx )－x 3－3axΔx ＝lim Δx →0 3x 2Δx ＋3x (Δx )2＋(Δx )3＋3a Δx Δx＝lim Δx →0[3x 2＋3x Δx ＋(Δx )2＋3a ]＝3x 2＋3a . 设曲线与直线相切的切点为P (x 0，y 0)， 结合已知条件，得⎩⎨⎧ 3x 20＋3a ＝3，x 30＋3ax 0＝y 0＝3x 0＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1－322，x 0＝－342.∴a ＝1－322.规律方法 一般地，设曲线C 是函数y ＝f (x )的图象，P (x 0，y 0)是曲线C 上的定点，由导数的几何意义知k ＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ，继而由点与斜率可得点斜式方程，化简得切线方程．跟踪演练1 求曲线y ＝1x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12处的切线方程．解 因为lim Δx →0 f (2＋Δx )－f (2)Δx ＝lim Δx →0 12＋Δx －12Δx＝ lim Δx →0 －12(2＋Δx )＝－14.所以这条曲线在点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12处的切线斜率为－14，由直线的点斜式方程可得切线方程为y －12＝－14(x －2)，即x ＋4y －4＝0.要点二 求过曲线外一点的切线方程 例2 已知曲线y ＝2x 2－7，求：(1)曲线上哪一点的切线平行于直线4x －y －2＝0? (2)曲线过点P (3,9)的切线方程．解 y ′＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0 [2(x ＋Δx )2－7]－(2x 2－7)Δx ＝lim Δx →0 (4x ＋2Δx )＝4x . (1)设切点为(x 0，y 0)，则4x 0＝4，x 0＝1，y 0＝－5， ∴切点坐标为(1，－5)． (2)由于点P (3,9)不在曲线上．设所求切线的切点为A (x 0，y 0)，则切线的斜率k ＝4x 0， 故所求的切线方程为y －y 0＝4x 0(x －x 0)． 将P (3,9)及y 0＝2x 20－7代入上式， 得9－(2x 20－7)＝4x 0(3－x 0)．解得x 0＝2或x 0＝4，所以切点为(2,1)或(4,25)． 从而所求切线方程为8x －y －15＝0或16x －y －39＝0.规律方法 若题中所给点(x 0，y 0)不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程．跟踪演练2 求过点A (2,0)且与曲线y ＝1x 相切的直线方程． 解 易知点(2,0)不在曲线上，故设切点为P (x 0，y 0)，由 y ′|x ＝x 0＝lim Δx →0lim Δx →0 1x 0＋Δx －1x 0Δx ＝－1x 20， 得所求直线方程为y －y 0＝－1x 20(x －x 0)．由点(2,0)在直线上，得x 20y 0＝2－x 0，再由P (x 0，y 0)在曲线上，得x 0y 0＝1，联立可解得x 0＝1，y 0＝1，所求直线方程为x ＋y －2＝0.要点三 求切点坐标例3 在曲线y ＝x 2上过哪一点的切线， (1)平行于直线y ＝4x －5；(2)垂直于直线2x －6y ＋5＝0； (3)与x 轴成135°的倾斜角．解 f ′(x )＝lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2－x 2Δx ＝2x ，设P (x 0，y 0)是满足条件的点． (1)因为切线与直线y ＝4x －5平行， 所以2x 0＝4，x 0＝2，y 0＝4， 即P (2,4)是满足条件的点．(2)因为切线与直线2x －6y ＋5＝0垂直， 所以2x 0·13＝－1，得x 0＝－32，y 0＝94， 即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，94是满足条件的点．(3)因为切线与x 轴成135°的倾斜角， 所以其斜率为－1.即2x 0＝－1， 得x 0＝－12，y 0＝14，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14是满足条件的点．规律方法 解答此类题目时，所给的直线的倾斜角或斜率是解题的关键，由这些信息得知函数在某点处的导数，进而可求此点的横坐标．解题时要注意解析几何知识的应用，如直线的倾斜角与斜率的关系，平行，垂直等． 跟踪演练3 已知抛物线y ＝2x 2＋1，求(1)抛物线上哪一点的切线平行于直线4x －y －2＝0? (2)抛物线上哪一点的切线垂直于直线x ＋8y －3＝0? 解 设点的坐标为(x 0，y 0)，则Δy ＝2(x 0＋Δx )2＋1－2x 20－1＝4x 0·Δx ＋2(Δx )2.∴ΔyΔx ＝4x 0＋2Δx .当Δx 无限趋近于零时，ΔyΔx 无限趋近于4x 0. 即f ′(x 0)＝4x 0.(1)∵抛物线的切线平行于直线4x －y －2＝0， ∴斜率为4，即f ′(x 0)＝4x 0＝4，得x 0＝1，该点为(1,3)． (2)∵抛物线的切线与直线x ＋8y －3＝0垂直， ∴斜率为8，即f ′(x 0)＝4x 0＝8，得x 0＝2，该点为(2,9)．1．已知曲线y ＝f (x )＝2x 2上一点A (2,8)，则点A 处的切线斜率为( ) A ．4 B ．16 C ．8 D ．2答案 C解析 f ′(2)＝lim Δx →0 f (2＋Δx )－f (2)Δx＝lim Δx →0 2(2＋Δx )2－8Δx＝lim Δx →0 (8＋2Δx )＝8，即k ＝8. 2．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( ) A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝1，b ＝－1 D ．a ＝－1，b ＝－1答案 A解析 由题意，知k ＝y ′|x ＝0＝lim Δx →0 (0＋Δx )2＋a (0＋Δx )＋b －b Δx ＝1，∴a ＝1. 又(0，b )在切线上，∴b ＝1，故选A.3．已知曲线y ＝12x 2－2上一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，则过点P 的切线的倾斜角为( )A ．30°B ．45°C ．135°D ．165°答案 B解析 ∵y ＝12x 2－2，∴y′＝limΔx→012(x＋Δx)2－2－⎝⎛⎭⎪⎫12x2－2Δx＝limΔx→012(Δx)2＋x·ΔxΔx＝limΔx→0⎝⎛⎭⎪⎫x＋12Δx＝x.∴y′|x＝1＝1.∴点P⎝⎛⎭⎪⎫1，－32处切线的斜率为1，则切线的倾斜角为45°.4．已知曲线y＝f(x)＝2x2＋4x在点P处的切线斜率为16.则P点坐标为________．答案(3,30)解析设点P(x0,2x20＋4x0)，则f′(x0)＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx＝limΔx→02(Δx)2＋4x0·Δx＋4ΔxΔx＝4x0＋4，令4x0＋4＝16得x0＝3，∴P(3,30)．1．导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx＝f′(x0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．2．“函数f(x)在点x0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f′(x0)是其导数y＝f′(x)在x＝x0处的一个函数值．3．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点.一、基础达标1．下列说法正确的是()A．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处就没有切线B．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在C．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在D．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线，则f′(x0)有可能存在答案 C解析k＝f′(x0)，所以f′(x0)不存在只说明曲线在该点的切线斜率不存在，而当斜率不存在时，切线方程也可能存在，其切线方程为x＝x0.2．已知y＝f(x)的图象如图所示，则f′(x A)与f′(x B)的大小关系是()A．f′(x A)>f′(x B)B．f′(x A)<f′(x B)C．f′(x A)＝f′(x B)D．不能确定答案 B解析由导数的几何意义，f′(x A)，f′(x B)分别是切线在点A、B处切线的斜率，由图象可知f′(x A)<f′(x B)．3．在曲线y＝x2上切线倾斜角为π4的点是()A．(0,0) B．(2,4)C．(14，116) D．(12，14)答案 D解析∵y′＝limΔx→0(x＋Δx)2－x2Δx＝limΔx→0(2x＋Δx)＝2x，∴令2x＝tanπ4＝1，得x＝12.∴y＝⎝⎛⎭⎪⎫122＝14，所求点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫12，14.4．设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a等于()A．1 B．12C ．－12D ．－1答案 A解析 ∵y ′|x ＝1＝lim Δx →0 a (1＋Δx )2－a ×12Δx ＝lim Δx →0(2a ＋a Δx )＝2a .∴可令2a ＝2，∴a ＝1. 5．设y ＝f (x )为可导函数，且满足条件lim Δx →0 f (1)－f (1－x )2x ＝－2，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率是________． 答案 －4解析 由lim Δx →0 f (1)－f (1－x )2x＝－2，∴12f ′(1)＝－2，f ′(1)＝－4. 6．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________. 答案 3解析 由在M 点的切线方程y ＝12x ＋2 得f (1)＝12×1＋2＝52，f ′(1)＝12.∴f (1)＋f ′(1)＝52＋12＝3.7．求过点P (－1,2)且与曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线平行的直线． 解 曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线斜率 k ＝y ′|x ＝1＝lim Δx →0 3(1＋Δx )2－4(1＋Δx )＋2－3＋4－2Δx ＝lim Δx →0(3Δx ＋2)＝2. ∴过点P (－1,2)的直线的斜率为2， 由点斜式得y －2＝2(x ＋1)， 即2x －y ＋4＝0.所以所求直线方程为2x －y ＋4＝0. 二、能力提升 8.如图，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5答案 A解析 易得切点P (5,3)，∴f (5)＝3，k ＝－1，即f ′(5)＝－1.∴f (5)＋f ′(5)＝3－1＝2. 9．若曲线y ＝2x 2－4x ＋P 与直线y ＝1相切，则P ＝________. 答案 3解析 设切点坐标为(x 0,1)，则f ′(x 0)＝4x 0－4＝0， ∴x 0＝1，即切点坐标为(1,1)．∴2－4＋P ＝1，即P ＝3.10．设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，则点P 横坐标的取值范围为________． 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12解析 ∵f ′(x )＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2＋2(x ＋Δx )＋3－(x 2＋2x ＋3)Δx ＝lim Δx →0 (2x ＋2)·Δx ＋(Δx )2Δx＝lim Δx →0 (Δx ＋2x ＋2)＝2x ＋2. ∴可设P 点横坐标为x 0，则曲线C 在P 点处的切线斜率为2x 0＋2.由已知得0≤2x 0＋2≤1，∴－1≤x 0≤－12，∴点P 横坐标的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12.11．已知抛物线y ＝x 2＋4与直线y ＝x ＋10.求： (1)它们的交点；(2)抛物线在交点处的切线方程．解 (1) 由⎩⎨⎧ y ＝x 2＋4，y ＝x ＋10，得⎩⎨⎧ x ＝－2，y ＝8，或⎩⎨⎧x ＝3，y ＝13，∴抛物线与直线的交点坐标为(－2,8)或(3,13)．(2)∵y ＝x 2＋4，∴y ′＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2＋4－(x 2＋4)Δx ＝lim Δx →0 (Δx )2＋2x ·Δx Δx ＝lim Δx →0(Δx ＋2x )＝2x . ∴y ′|x ＝－2＝－4，y ′|x ＝3＝6，即在点(－2,8)处的切线斜率为－4，在点(3,13)处的切线斜率为6. ∴在点(－2,8)处的切线方程为4x ＋y ＝0； 在点(3,13)处的切线方程为6x －y －5＝0.12．设函数f (x )＝x 3＋ax 2－9x －1(a <0)，若曲线y ＝f (x )的斜率最小的切线与直线12x ＋y ＝6平行，求a 的值． 解 ∵Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝(x 0＋Δx )3＋a (x 0＋Δx )2－9(x 0＋Δx )－1－(x 30＋ax 20－9x 0－1) ＝(3x 20＋2ax 0－9)Δx ＋(3x 0＋a )(Δx )2＋(Δx )3，∴Δy Δx＝3x 20＋2ax 0－9＋(3x 0＋a )Δx ＋(Δx )2. 当Δx 无限趋近于零时，ΔyΔx 无限趋近于3x 20＋2ax 0－9.即f ′(x 0)＝3x 20＋2ax 0－9∴f ′(x 0)＝3(x 0＋a 3)2－9－a 23.当x 0＝－a 3时，f ′(x 0)取最小值－9－a 23. ∵斜率最小的切线与12x ＋y ＝6平行， ∴该切线斜率为－12.∴－9－a 23＝－12. 解得a ＝±3.又a <0，∴a ＝－3. 三、探究与创新 13．已知曲线C ：y ＝x 3.(1)求曲线C 上横坐标为1的点处的切线方程；(2)第(1)小题中的切线与曲线C 是否还有其他的公共点？ 解 (1)将x ＝1代入曲线C 的方程得y ＝1，∴切点为P (1,1)．∵f ′(x 0)＝lim Δx →0 Δy Δx ＝m (x 0＋Δ x )3－x 30Δ x＝lim Δx →0 3x 20Δx ＋3x 0(Δx )2＋(Δx )3Δx ＝lim Δx →0[3x 20＋3x 0Δx ＋(Δx )2]＝3x 20， ∴当x 0＝1时，k ＝f ′(1)＝3.∴过P 点的切线方程为y －1＝3(x －1)， 即3x －y －2＝0.(2)由⎩⎨⎧y ＝3(x －1)＋1y ＝x 3，可得(x －1)(x 2＋x －2)＝0， 解得x 1＝1，x 2＝－2.从而求得公共点为(1,1)或(－2，－8)．说明切线与曲线C 的公共点除了切点外，还有其他的公共点.1．2 导数的计算 1．2.1 几个常用函数的导数1．2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)[学习目标]1．能根据定义求函数y ＝c (c 为常数)，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝1x ，y ＝x 的导数．2．能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．[知识链接]在前面，我们利用导数的定义能求出函数在某一点处的导数，那么能不能利用导数的定义求出比较简单的函数及基本函数的导数呢？类比用导数定义求函数在某点处导数的方法，如何用定义求函数y＝f(x)的导数？答(1)计算ΔyΔx，并化简；(2)观察当Δx趋近于0时，ΔyΔx趋近于哪个定值；(3)ΔyΔx趋近于的定值就是函数y＝f(x)的导数．[预习导引]1．几个常用函数的导数原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝x f′(x)＝1f(x)＝x2f′(x)＝2xf(x)＝1x f′(x)＝－1x2f(x)＝x f′(x)＝1 2x2．基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sin x f′(x)＝cos_xf(x)＝cos x f′(x)＝－sin_xf(x)＝a x f′(x)＝a x ln_a(a>0，且a≠1)f(x)＝e x f′(x)＝e xf(x)＝log a x f′(x)＝1x ln a(a>0，且a≠1)f(x)＝ln x f′(x)＝1 x要点一利用导数定义求函数的导数例1用导数的定义求函数f(x)＝2 013x2的导数．解f′(x)＝limΔx→02 013(x＋Δx)2－2 013x2x＋Δx－x＝limΔx→02 013[x2＋2x·Δx＋(Δx)2]－2 013x2Δx＝limΔx→04 026x·Δx＋2 013(Δx)2Δx＝limΔx→0(4 026x＋2 013Δx)＝4 026x.规律方法解答此类问题，应注意以下几条：(1)严格遵循“一差、二比、三取极限”的步骤．(2)当Δx趋于0时，k·Δx(k∈R)、(Δx)n(n∈N*)等也趋于0.(3)注意通分、分母(或分子)有理化、因式分解、配方等技巧的应用．跟踪演练1用导数的定义求函数y＝x2＋ax＋b(a，b为常数)的导数．解y′＝limΔx→0(x＋Δx)2＋a(x＋Δx)＋b－(x2＋ax＋b)Δx＝limΔx→0x2＋2x·Δx＋(Δx)2＋ax＋a·Δx＋b－x2－ax－bΔx＝limΔx→02x·Δx＋a·Δx＋(Δx)2Δx＝limΔx→0(2x＋a＋Δx)＝2x＋a.要点二利用导数公式求函数的导数例2求下列函数的导数(1)y＝sin π3；(2)y＝5x；(3)y＝1x3；(4)y＝4x3；(5)y＝log3x.解(1)y′＝0；(2)y′＝(5x)′＝5x ln 5；(3)y′＝(x－3)′＝－3x－4；(4)y′＝⎝⎛⎭⎫4x3′＝⎝⎛⎭⎪⎫x34′＝34x－14＝344x；(5)y′＝(log3x)′＝1x ln 3.规律方法求简单函数的导函数的基本方法：(1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂；(2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式．跟踪演练2求下列函数的导数：(1)y＝x8；(2)y＝⎝⎛⎭⎪⎫12x；(3)y＝x x；(4)y＝log13x.解(1)y′＝8x7；(2)y′＝⎝⎛⎭⎪⎫12x ln12＝－⎝⎛⎭⎪⎫12x ln 2；(3)∵y＝x x＝x32，∴y′＝32x12；(4) y′＝1x ln13＝－1x ln 3.要点三利用导数公式求曲线的切线方程例3求过曲线y＝sin x上点P⎝⎛⎭⎪⎫π6，12且与过这点的切线垂直的直线方程．解∵y＝sin x，∴y′＝cos x，曲线在点P⎝⎛⎭⎪⎫π6，12处的切线斜率是：y′|x＝π6＝cosπ6＝32.∴过点P且与切线垂直的直线的斜率为－23，故所求的直线方程为y－12＝－23⎝⎛⎭⎪⎫x－π6，即2x＋3y－32－π3＝0.规律方法导数的几何意义是曲线在某点处的切线的斜率；相互垂直的直线斜率乘积等于－1是解题的关键．跟踪演练3已知点P(－1,1)，点Q(2,4)是曲线y＝x2上的两点，求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．解∵y′＝(x2)′＝2x，设切点为M(x0，y0)，则y′|x＝x0＝2x0，又∵PQ的斜率为k＝4－12＋1＝1，而切线平行于PQ，∴k＝2x0＝1，即x0＝12，所以切点为M⎝⎛⎭⎪⎫12，14.∴所求的切线方程为y－14＝x－12，即4x－4y－1＝0.1．已知f(x)＝x2，则f′(3)＝()A．0 B．2xC．6 D．9答案 C解析∵f(x)＝x2，∴f′(x)＝2x，∴f′(3)＝6.2．函数f(x)＝x，则f′(3)等于()A.36B．0C．12xD．32答案 A解析 ∵f ′(x )＝(x )′＝12x，∴f ′(3)＝123＝36. 3．设正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π B ．[0，π)C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π4答案 A解析 ∵(sin x )′＝cos x ，∵k l ＝cos x ，∴－1≤k l ≤1， ∴αl ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.4．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________． 答案 12e 2解析 ∵y ′＝(e x )′＝e x ，∴k ＝e 2，∴曲线在点(2，e 2)处的切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)， 即y ＝e 2x －e 2.当x ＝0时，y ＝－e 2，当y ＝0时，x ＝1. ∴S △＝12×1×||－e 2＝12e 2.1．利用常见函数的导数公式可以比较简捷的求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归． 2．有些函数可先化简再应用公式求导．如求y ＝1－2sin 2x 2的导数．因为y ＝1－2sin 2x2＝cos x ， 所以y ′＝(cos x )′＝－sin x .3．对于正、余弦函数的导数，一是注意函数的变化，二是注意符号的变化.一、基础达标1．下列结论中正确的个数为( )①y ＝ln 2，则y ′＝12；②y ＝1x 2，则y ′|x ＝3＝－227；③y ＝2x ，则y ′＝2x ln 2；④y ＝log 2x ，则y ′＝1x ln 2. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案 D解析 ①y ＝ln 2为常数，所以y ′＝0.①错．②③④正确．2．过曲线y ＝1x 上一点P 的切线的斜率为－4，则点P 的坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2或⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2答案 B解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝－1x 2＝－4，x ＝±12，故选B. 3．已知f (x )＝x a ，若f ′(－1)＝－4，则a 的值等于( ) A ．4 B ．－4 C ．5 D ．－5答案 A解析 f ′(x )＝ax a －1，f ′(－1)＝a (－1)a －1＝－4，a ＝4. 4．函数f (x )＝x 3的斜率等于1的切线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．不确定答案 B解析 ∵f ′(x )＝3x 2，设切点为(x 0，y 0)，则3x 20＝1，得x 0＝±33，即在点⎝ ⎛⎭⎪⎫33，39和点⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，－39处有斜率为1的切线． 5．曲线y ＝9x 在点M (3,3)处的切线方程是________． 答案 x ＋y －6＝0解析 ∵y ′＝－9x 2，∴y ′|x ＝3＝－1，∴过点(3,3)的斜率为－1的切线方程为： y －3＝－(x －3)即x ＋y －6＝0.6．若曲线y ＝x －12在点⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a －12处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a ＝________. 答案 64解析 ∵y ＝x －12，∴y ′＝－12x －32，∴曲线在点⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a －12处的切线斜率k ＝－12a －32，∴切线方程为y －a －12＝－12a －32(x －a )． 令x ＝0得y ＝32a －12；令y ＝0得x ＝3a . ∵该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 S ＝12·3a ·32a －12＝94a 12＝18，∴a ＝64. 7．求下列函数的导数：(1) y ＝5x 3；(2)y ＝1x 4；(3)y ＝－2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x 4； (4)y ＝log 2x 2－log 2x .解 (1)y ′＝⎝⎛⎭⎫5x 3′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 35′＝35x 35－1＝35x －25＝355x 2. (2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 4′＝(x －4)′＝－4x －4－1＝－4x －5＝－4x 5.(3)∵y ＝－2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x 4 ＝2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2x 4－1＝2sin x 2cos x 2＝sin x ，∴y ′＝(sin x )′＝cos x . (4)∵y ＝log 2x 2－log 2x ＝log 2x ， ∴y ′＝(log 2x )′＝1x ·ln 2. 二、能力提升8．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝e x 的切线，则实数k 的值为( ) A.1e B ．－1e C ．－e D ．e答案 D解析y ′＝e x ，设切点为(x 0，y 0)，则⎩⎨⎧y 0＝kx 0y 0＝e x 0k ＝e x 0.∴e x 0＝e x 0·x 0，∴x 0＝1，∴k ＝e.9．曲线y ＝ln x 在x ＝a 处的切线倾斜角为π4，则a ＝________. 答案 1解析 y ′＝1x ，∴y ′|x ＝a ＝1a ＝1，∴a ＝1.10．点P 是曲线y ＝e x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x 的最小距离为________． 答案 22 解析根据题意设平行于直线y ＝x 的直线与曲线y ＝e x 相切于点(x 0，y 0)，该切点即为与y ＝x 距离最近的点，如图．则在点(x 0，y 0)处的切线斜率为1，即y ′|x ＝x 0＝1. ∵y ′＝(e x )′＝e x ，∴e x 0＝1，得x 0＝0，代入y ＝e x，得y 0＝1，即P (0,1)．利用点到直线的距离公式得距离为22.11．已知f (x )＝cos x ，g (x )＝x ，求适合f ′(x )＋g ′(x )≤0的x 的值． 解 ∵f (x )＝cos x ，g (x )＝x ，∴f ′(x )＝(cos x )′＝－sin x ，g ′(x )＝x ′＝1， 由f ′(x )＋g ′(x )≤0，得－sin x ＋1≤0， 即sin x ≥1，但sin x ∈[－1,1]， ∴sin x ＝1，∴x ＝2k π＋π2，k ∈Z .12．已知抛物线y ＝x 2，直线x －y －2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离．解 根据题意可知与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线，对应的切点到直线x －y －2＝0的距离最短，设切点坐标为(x 0，x 20)，则y ′|x ＝x 0＝2x 0＝1，所以x 0＝12，所以切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14，切点到直线x －y －2＝0的距离 d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－14－22＝728，所以抛物线上的点到直线x －y －2＝0的最短距离为728. 三、探究与创新13．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f ′0(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，…，f n ＋1(x )＝f ′n (x )，n ∈N ，试求f 2 014(x )． 解 f 1(x )＝(sin x )′＝cos x ， f 2(x )＝(cos x )′＝－sin x ， f 3(x )＝(－sin x )′＝－cos x ， f 4(x )＝(－cos x )′＝sin x ， f 5(x )＝(sin x )′＝f 1(x )， f 6(x )＝f 2(x )，…，f n ＋4(x )＝f n (x )，可知周期为4， ∴f 2 014(x )＝f 2(x )＝－sin x ．1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)[学习目标]1．理解函数的和、差、积、商的求导法则．2．理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数． 3．能运用复合函数的求导法则进行复合函数的求导． [知识链接]前面我们已经学习了几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式，这样做起题来比用导数的定义显得格外轻松．我们已经会求f (x )＝5和g (x )＝1.05x 等基本初等函数的导数，那么怎样求f (x )与g (x )的和、差、积、商的导数呢？ 答 利用导数的运算法则． [预习导引] 1．导数运算法则法则语言叙述[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )·g (x )＋f (x )·g ′(x ) 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )·g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)两个函数的商的导数，等于分子的导数乘上分母减去分子乘上分母的导数，再除以分母的平方2．复合函数的求导法则复合函数 的概念 一般地，对于两个函数y ＝f (u )和u ＝g (x )，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为y ＝f (u )和u ＝g (x )的复合函数，记作y ＝f (g (x ))复合函数的求导法则复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积要点一 利用导数的运算法则求函数的导数 例1 求下列函数的导数： (1) y ＝x 3－2x ＋3； (2)y ＝(x 2＋1)(x －1)； (3)y ＝3x －lg x .解 (1)y ′＝(x 3)′－(2x )′＋3′＝3x 2－2. (2)∵y ＝(x 2＋1)(x －1)＝x 3－x 2＋x －1， ∴y ′＝(x 3)′－(x 2)′＋x ′－1′＝3x 2－2x ＋1.(3)函数y ＝3x －lg x 是函数f (x )＝3x 与函数g (x )＝lg x 的差．由导数公式表分别得出f ′(x )＝3x ln 3，g ′(x )＝1x ln 10，利用函数差的求导法则可得(3x －lg x )′＝f ′(x )－g ′(x )＝3x ln 3－1x ln 10.规律方法 本题是基本函数和(差)的求导问题，求导过程要紧扣求导法则，联系基本函数求导法则，对于不具备求导法则结构形式的可先进行适当的恒等变形转化为较易求导的结构形式再求导数． 跟踪演练1 求下列函数的导数： (1)y ＝5－4x 3；(2)y ＝3x 2＋x cos x ； (3)y ＝e x ·ln x ；(4)y ＝lg x －1x 2. 解 (1)y ′＝－12x 2；(2)y ′＝(3x 2＋x cos x )′＝6x ＋cos x －x sin x ； (3)y ′＝e x x ＋e x ·ln x ； (4)y ′＝1x ln 10＋2x 3. 要点二 求复合函数的导数 例2 求下列函数的导数： (1)y ＝ln(x ＋2)； (2)y ＝(1＋sin x )2； 解 (1)y ＝ln u ，u ＝x ＋2∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(ln u )′·(x ＋2)′＝1u ·1＝1x ＋2.(2)y ＝u 2，u ＝1＋sin x ，∴y x ′＝y u ′·u x ′＝(u 2)′·(1＋sin x )′ ＝2u ·cos x ＝2cos x (1＋sin x )．规律方法 应用复合函数的求导法则求导，应注意以下几个方面： (1)中间变量的选取应是基本函数结构．(2)正确分析函数的复合层次，并要弄清每一步是哪个变量对哪个变量的求导． (3)一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导． (4)善于把一部分表达式作为一个整体．(5)最后要把中间变量换成自变量的函数．熟练后，就不必再写中间步骤． 跟踪演练2 (1)y ＝e 2x ＋1； (2)y ＝(x －2)2.解 (1)y ＝e u ，u ＝2x ＋1，∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(e u )′·(2x ＋1)′＝2e u ＝2e 2x ＋1. (2)法一 ∵y ＝(x －2)2＝x －4x ＋4， ∴y ′＝x ′－(4x )′＋4′ ＝1－4×12x －12＝1－2x .法二 令u ＝x －2，则y x ′＝y u ′·u x ′＝2(x －2)·(x －2)′＝ 2(x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫12·1x －0＝1－2x . 要点三 导数的应用例3 求过点(1，－1)与曲线f (x )＝x 3－2x 相切的直线方程． 解 设P (x 0，y 0)为切点，则切线斜率为k ＝f ′(x 0)＝3x 20－2故切线方程为y －y 0＝(3x 20－2)(x －x 0) ① ∵(x 0，y 0)在曲线上，∴y 0＝x 30－2x 0 ②又∵(1，－1)在切线上， ∴将②式和(1，－1)代入①式得－1－(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)(1－x 0)．解得x 0＝1或x 0＝－12.故所求的切线方程为y ＋1＝x －1或y ＋1＝－54(x －1)． 即x －y －2＝0或5x ＋4y －1＝0.规律方法 (1，－1)虽然在曲线上，但是经过该点的切线不一定只有一条，即该点有可能是切点，也可能是切线与曲线的交点，解题时注意不要失解．跟踪演练3 已知某运动着的物体的运动方程为s (t )＝t －1t 2＋2t 2(位移单位：m ，时间单位：s)，求t ＝3 s 时物体的瞬时速度． 解 ∵s (t )＝t －1t 2＋2t 2＝t t 2－1t 2＋2t 2＝1t －1t 2＋2t 2， ∴s ′(t )＝－1t 2＋2·1t 3＋4t ， ∴s ′(3)＝－19＋227＋12＝32327，即物体在t ＝3 s 时的瞬时速度为32327 m/s.1．下列结论不正确的是( )A ．若y ＝3，则y ′＝0B ．若f (x )＝3x ＋1，则f ′(1)＝3C ．若y ＝－x ＋x ，则y ′＝－12x＋1D ．若y ＝sin x ＋cos x ，则y ′＝cos x ＋sin x 答案 D解析 利用求导公式和导数的加、减运算法则求解．D 项，∵y ＝sin x ＋cos x ， ∴y ′＝(sin x )′＋(cos x )′＝cos x －sin x . 2．函数y ＝cos x1－x 的导数是( )A.－sin x ＋x sin x(1－x )2B ．x sin x －sin x －cos x(1－x )2C ．cos x －sin x ＋x sin x(1－x )2D ．cos x －sin x ＋x sin x1－x答案 C解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 1－x ′＝(－sin x )(1－x )－cos x ·(－1)(1－x )2＝cos x －sin x ＋x sin x(1－x )2.3．曲线y ＝xx ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x ＋2答案 A解析 ∵y ′＝x ′(x ＋2)－x (x ＋2)′(x ＋2)2＝2(x ＋2)2，∴k ＝y ′|x ＝－1＝2(－1＋2)2＝2，∴切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1.4．直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x (x >0)的一条切线，则实数b ＝________. 答案 ln 2－1解析 设切点为(x 0，y 0)， ∵ y ′＝1x ，∴12＝1x 0，∴x 0＝2，∴y 0＝ln 2，ln 2＝12×2＋b ，∴b ＝ln 2－1.求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式．对于不具备导数运算法则结构形式的要进行适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题.一、基础达标1．设y ＝－2e x sin x ，则y ′等于( ) A ．－2e x cos x B ．－2e x sin x C ．2e x sin x D ．－2e x (sin x ＋cos x )答案 D解析 y ′＝－2(e x sin x ＋e x cos x )＝－2e x (sin x ＋cos x )．2．当函数y ＝x 2＋a 2x (a >0)在x ＝x 0处的导数为0时，那么x 0＝( ) A ．a B ．±a C ．－a D ．a 2答案 B解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋a 2x ′＝2x ·x －(x 2＋a 2)x 2＝x 2－a 2x 2，由x 20－a 2＝0得x 0＝±a .3．设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a 等于( )A ．2B ．12 C ．－12D ．－2答案 D解析 ∵y ＝x ＋1x －1＝1＋2x －1，∴y ′＝－2(x －1)2.∴y ′|x ＝3＝－12. ∴－a ＝2，即a ＝－2.4．已知曲线y ＝x 3在点P 处的切线斜率为k ，则当k ＝3时的P 点坐标为( ) A ．(－2，－8) B ．(－1，－1)或(1,1) C ．(2,8) D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－18答案 B解析 y ′＝3x 2，∵k ＝3，∴3x 2＝3，∴x ＝±1， 则P 点坐标为(－1，－1)或(1,1)．5．设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为________． 答案 4解析 依题意得f ′(x )＝g ′(x )＋2x ， f ′(1)＝g ′(1)＋2＝4.6．已知f (x )＝13x 3＋3xf ′(0)，则f ′(1)＝________. 答案 1解析 由于f ′(0)是一常数，所以f ′(x )＝x 2＋3f ′(0)， 令x ＝0，则f ′(0)＝0， ∴f ′(1)＝12＋3f ′(0)＝1. 7．求下列函数的导数： (1)y ＝(2x 2＋3)(3x －1)； (2)y ＝x －sin x 2cos x2.解 (1)法一 y ′＝(2x 2＋3)′(3x －1)＋(2x 2＋3)(3x －1)′＝4x (3x －1)＋3(2x 2＋3)＝18x 2－4x ＋9. 法二 ∵y ＝(2x 2＋3)(3x －1)＝6x 3－2x 2＋9x －3， ∴y ′＝(6x 3－2x 2＋9x －3)′＝18x 2－4x ＋9.(2)∵y ＝x －sin x 2cos x 2＝x －12sin x ， ∴y ′＝x ′－⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ′＝1－12cos x .二、能力提升8．曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为( )A ．－12 B ．12 C ．－22 D ．22答案 B解析 y ′＝cos x (sin x ＋cos x )－sin x (cos x －sin x )(sin x ＋cos x )2＝1(sin x ＋cos x )2，故y ′|x ＝π4＝12， ∴曲线在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为12.9．已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( ) A ．[0，π4) B ．[π4，π2) C ．(π2，3π4] D ．[3π4，π)答案 D解析 y ′＝－4e x (e x ＋1)2＝－4e x e 2x ＋2e x ＋1，设t ＝e x∈(0，＋∞)，则y ′＝－4t t 2＋2t ＋1＝－4t ＋1t ＋2，∵t ＋1t ≥2，∴y ′∈[－1,0)，α∈[3π4，π)．10．(2013·江西)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(1)＝________. 答案 2解析 令t ＝e x ，则x ＝ln t ，所以函数为f (t )＝ln t ＋t ，即f (x )＝ln x ＋x ，所以f ′(x )＝1x ＋1，即f ′(1)＝11＋1＝2. 11．求过点(2,0)且与曲线y ＝x 3相切的直线方程．解 点(2,0)不在曲线y ＝x 3上，可令切点坐标为(x 0，x 30)．由题意，所求直线方程的斜率k ＝x 30－0x 0－2＝y ′|x ＝x 0＝3x 2，即x 30x 0－2＝3x 20，解得x 0＝0或x 0＝3.当x 0＝0时，得切点坐标是(0,0)，斜率k ＝0，则所求直线方程是y ＝0； 当x 0＝3时，得切点坐标是(3,27)，斜率k ＝27， 则所求直线方程是y －27＝27(x －3)， 即27x －y －54＝0.综上，所求的直线方程为y ＝0或27x －y －54＝0.12．已知曲线f (x )＝x 3－3x ，过点A (0,16)作曲线f (x )的切线，求曲线的切线方程． 解 设切点为(x 0，y 0)，则由导数定义得切线的斜率k ＝f ′(x 0)＝3x 20－3， ∴切线方程为y ＝(3x 20－3)x ＋16， 又切点(x 0，y 0)在切线上，∴y 0＝3(x 20－1)x 0＋16， 即x 30－3x 0＝3(x 20－1)x 0＋16，解得x 0＝－2，∴切线方程为9x －y ＋16＝0. 三、探究与创新13．设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0. (1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值． (1)解 由7x －4y －12＝0得y ＝74x －3. 当x ＝2时，y ＝12，∴f (2)＝12， ①又f ′(x )＝a ＋bx 2， ∴f ′(2)＝74，②。
最新人教版高中数学选修2-2课时同步作业(全册 共21课时 共87页)
最新人教版高中数学选修2-2课时同步作业
（全册共21课时共87页）
目录
课时作业1变化率问题导数的概念
课时作业2导数的几何意义
课时作业3几个常用函数的导数
课时作业4基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)
课时作业5函数的单调性与导数
课时作业6函数的极值与导数
课时作业7函数的最大(小)值与导数
课时作业8生活中的优化问题举例
课时作业9曲边梯形的面积汽车行驶的路程
课时作业10定积分的概念
课时作业11微积分基本定理
课时作业12定积分在几何中的应用
课时作业13合情推理
课时作业14演绎推理
课时作业15综合法和分析法
课时作业16反证法
课时作业17数学归纳法
课时作业18数系的扩充和复数的概念
课时作业19复数的几何意义
课时作业20复数代数形式的加、减运算及其几何意义
课时作业21复数代数形式的乘除运算。
2020学年高中数学学期综合测评(二)新人教A版选修2-2(2021-2022学年)
学期综合测评（二)本试卷分第Ⅰ卷(选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分１50分,考试时间12０分钟．第Ⅰ卷（选择题,共60分)一、选择题（本大题共1２小题,每小题5分，共６0分）1．下列说法正确的是（）A.2＞2ｉﻩB．2>(3ｉ)2Ｃ.２+3i＜3+３i Ｄ．２＋2i＞2＋ｉ答案B解析本题主要考查复数的性质．不全为实数的两个复数不能比较大小,故排除A，C,D；而B中（3ｉ）2=－9＜2，故选B。
2.用反证法证明命题“若直线AＢ,ＣD是异面直线，则直线AC，BD也是异面直线”的过程分为三步:①则Ａ，B，C,D四点共面,所以AB，ＣD共面，这与ＡB,CD是异面直线矛盾；②所以假设错误，即直线AＣ,BD也是异面直线;③假设直线AC，BD是共面直线．则正确的顺序为（)A．①→②→③ ﻩＢ.③→①→②C.①→③→②D.②→③→①答案B解析本题主要考查反证法的步骤.反证法的步骤是：反设→归谬→结论．结合本题，知选B.３.a,b是两个实数,给出下列条件:①a＋b〉1;②a+b＝2;③a+ｂ>2;④ａ2+b２＞2；⑤ab〉1.其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是（）Ａ．②③ B.①②③C.③ D．③④⑤答案C解析若a=错误!，b=错误!,则a+b>1,但a〈１,b<1,故①推不出；若ａ=b＝1，则a+b=2，故②推不出；若a＝-2，ｂ=-3,则a2+b2〉2,故④推不出；若ａ=-2，b=-３,则ab〉1，故⑤推不出；若a＋b>2，则ａ,b中至少有一个大于１.我们可以用反证法进行证明:假设ａ≤1且ｂ≤１，则a+b≤2,与a+ｂ〉2矛盾,因此假设不成立，故a，b中至少有一个大于１.因此③能推出.故选Ｃ.4．用数学归纳法证明12＋22+…+(n-1)2+ｎ２＋（n－1)２+…＋22+1２＝错误!未定义书签。
时,从ｎ＝ｋ到n=k+１时，等式左边应添加的式子是( )A．(k-1)2+2k2B．(k+1）2＋k２C．(k＋1）2ﻩ D.错误!（k+１）［２(k＋1)２+1］答案B解析n=k时，左边=１2+22+…＋(k－１）2＋ｋ２＋（k－1)2＋…＋２２+１２，n＝k＋1时,左边＝12＋2２+…+(ｋ-1)2＋k2+（k+1)２＋ｋ2+(k-1)2+…＋２2+12,∴从n＝k到n＝k＋１,左边应添加的式子为（k+1）2+k2。
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课时作业(二)
一、选择题
1．已知函数y＝f(x)在x＝x0处的导数为11，则
lim Δx→0f x0－Δx－f x0
Δx
＝( )
A．11 B．－11
C.1
11
D．－
1
11
答案 B
2．函数f(x)在x＝0可导，则lim
h→a f h－f a
h－a
＝( )
A．f(a) B．f′(a) C．f′(h) D．f(h) 答案 B
3．已知函数y＝x2＋1的图像上一点(1,2)及邻近点(1＋Δx,2＋Δy)，则lim
Δx→0Δy Δx
＝
( )
A．2 B．2x
C．2＋Δx D．2＋Δx2答案 A
4．设f(x)为可导函数，且满足lim
x→0f1－f1－2x
2x
＝－1，则f′(1)的值为( )
A．2 B．－1
C．1 D．－2
答案 B
二、填空题
5．一个物体的运动方程为S＝1－t＋t2，其中S的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是________．
答案5米/秒
6．函数y＝(3x－1)2在x＝x0处的导数为0，则x0＝________.
答案1 3
解析Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝(3x0＋3Δx－1)2－(3x0－1)2＝18x0Δx＋9(Δx)2－6Δx，
∴Δy
Δx
＝18x0＋
9Δx－6.
∴li m
Δx→0
Δy
Δx
＝18x0－6＝0，∴x0＝
1
3
.
7．设f(x)＝ax＋4，若f′(1)＝2，则a＝________.
答案 2
解析Δy＝f(1＋Δx)－f(1)
＝a(1＋Δx)＋4－a－4＝aΔx.
∴f′(1)＝li m
Δx→0
Δy
Δx
＝li m
Δx→0
a＝a.
又f′(1)＝2，∴a＝2.
8．质点M按规律s＝2t2＋3做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，则质点M的瞬时速度等于8 m/s时的时刻t的值为________．
答案 2
解析设时刻t的值为t0，则
Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)＝2(t0＋Δt)2＋3－2t20－3
＝4t0·Δt＋2·(Δt)2，
Δs
Δt
＝4t0＋2Δt，lim
Δt→0
Δs
Δt
＝4t0＝8，∴t0＝2(s)．
9．已知f(x)＝
1
x
，则lim
Δx→0
f2＋Δx－f2
Δx
的值是________．
答案－
1
4
10.
如图，函数f(x)的图像是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，
则
f (f (0))＝________；
lim Δx →0
f 1＋Δx －f 1
Δx
＝______.
答案 2；－2 三、解答题
11．设f (x )＝x 2
，求f ′(x 0)，f ′(－1)，f ′(2)． 答案 f ′(x 0)＝2x 0，f ′(－1)＝－2，f ′(2)＝4
12．某物体运动规律是S ＝t 2
－4t ＋5，问什么时候此物体的瞬时速度为0? 答案 t ＝2
解析 ΔS ＝(t ＋Δt )2
－4(t ＋Δt )＋5－(t 2
－4t ＋5) ＝2tΔt ＋(Δt )2
－4Δt ，
v ＝li m Δt →0
ΔS
Δt
＝2t －4＝0，∴t ＝2.
13．若f ′(x 0)＝2，求li m k →0
f x 0－k －f x 0
2k
的值．
解析 令－k ＝Δx ，∵k →0，∴Δx →0. 则原式可变形为li m Δx →0
f x 0＋Δx －f x 0
－2Δx
＝－12
li m Δx →0
f x 0＋Δx －f x 0
Δx
＝－12f ′(x 0)＝－1
2×2＝－1.
►重点班·选做题
14．若一物体运动方程如下：(位移：m ，时间：s)
s ＝⎩⎪⎨⎪⎧
3t 2
＋2 t ≥3， ①
29＋3t －32
0≤t <3
. ②
求：(1)物体在t ∈[3,5]内的平均速度； (2)物体的初速度v 0；
(3)物体在t ＝1时的瞬时速度．
解析 (1)∵物体在t ∈[3,5]内的时间变化量为Δt ＝5－3＝2， 物体在t ∈[3,5]内的位移变化量为
Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，
∴物体在t ∈[3,5]上的平均速度为
Δs Δt ＝48
2
＝24(m/s)． (2)求物体的初速度v 0即求物体在t ＝0时的瞬时速度．∵物体在t ＝0附近的平均变化率为
Δs Δt ＝f 0＋Δt －f 0Δt
＝
29＋3[0＋Δt －3]2
－29－30－3
2
Δt
＝3Δt －18，
∴物体在t ＝0处的瞬时变化率为lim Δt →0
Δs
Δt
＝lim Δt →0
(3Δt －18)＝－18，即物体的初速度为－18 m/s.
(3)物体在t ＝1时的瞬时速度即为函数在t ＝1处的瞬时变化率． ∵物体在t ＝1附近的平均变化率为
Δs Δt ＝f 1＋Δt －f 1Δt
＝
29＋3[1＋Δt －3]2
－29－31－3
2
Δt
＝3Δt －12，
∴物体在t ＝1处的瞬时变化率为 lim Δt →0
Δs
Δt
＝lim Δt →0
(3Δt －12)＝－12. 即物体在t ＝1时的速度为－12 m/s.。