双曲线的几何性质
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双曲线的简单几何性质课件
1(λ≠0，－b2<λ<a2).
x2 y2
x2 y2
(4) 与 双 曲 线 a2 － b2 ＝ 1 具 有 相 同 渐 近 线 的 双 曲 线 方 程 可 设 为 a2 － b2 ＝
λ(λ≠0).
(5)渐近线为 ax±by＝0 的双曲线方程可设为 a2x2－b2y2＝λ(λ≠0).
求满足下列条件的双曲线的标准方程． (1)以直线 2x±3y＝0 为渐近线，过点(1，2)；
b
b
b2
程求解，另一种方法是消去 c 转化成含a 的方程，求出a 后利用 e＝ 1＋a2 求
离心率．
2．求离心率的范围技巧 (1)根据条件建立 a，b，c 的不等式． (2)通过解不等式得ca 或ba 的范围，求得离心率的范围．
(2)双曲线离心率对曲线形状有何影响？ x2 y2
提示：以双曲线a2 －b2 ＝1(a＞0，b＞0)为例．
c
a2＋b2
b2
b
b
e＝a ＝ a ＝ 1＋a2 ，故当a 的值越大，渐近线 y＝a x 的斜率越大，双
曲线的开口越大，e 也越大，所以 e 反映了双曲线开口的大小，即双曲线的离心
率越大，它的开口就越大．
巧设双曲线方程的方法与技巧
x2 y2 (1)焦点在 x 轴上的双曲线的标准方程可设为a2 －b2 ＝1(a>0，b>0).
y2 x2 (2)焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程可设为a2 －b2 ＝1(a>0，b>0).
x2
y2
x2
y2
(3) 与 双 曲 线 a2 － b2 ＝ 1 共 焦 点 的 双 曲 线 方 程 可 设 为 a2－λ － b2＋λ ＝
B．y＝±34 x
双曲线的简单几何性质(经典)
双曲线的简单几何性质【知识点1】双曲线22a x -22b y ＝1的简单几何性质(1)范围：｜x ｜≥a,y∈R.(2)对称性：双曲线的对称性与椭圆完全相同，关于x 轴、y 轴及原点中心对称.(3)顶点：两个顶点：A 1(-a,0),A 2(a,0)，两顶点间的线段为实轴长为2a ，虚轴长为2b ，且(4)＝1中的1(5)(6)e ＝2(7)注意：且λ（2）与椭圆2a +2b ＝1(a ＞b ＞0)共焦点的曲线系方程可表示为λ-2a -λ-2b ＝1(λ＜a 2,其中b 2-λ＞0时为椭圆，b 2＜λ＜a 2时为双曲线)（3）双曲线的第二定义：平面内到定点F(c,0)的距离和到定直线l :x ＝c a 2的距离之比等于常数e ＝a c(c ＞a ＞0)的点的轨迹是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，焦准距(焦参数)p ＝c b 2，与椭圆相同.1、写出双曲线方程1254922-=-y x 的实轴长、虚轴的长，顶点坐标，离心率和渐近线方程2、已知双曲线的渐近线方程为x y 43±=，求双曲线的离心率3、求以032=±y x 为渐近线，且过点p （1,2）的双曲线标准方程4、已知双曲线的中心在原点，焦点在y 轴上，焦距为16，离心率为43，求双曲线的标准方程。
5、求与双曲线221169x y -=共渐近线，且经过()23,3A -点的双曲线的标准方及离心率．【知识点2】弦长与中点弦问题（1）．直线和圆锥曲线相交时的一般弦长问题：一般地，若斜率为k 的直线被圆锥曲线所截得的弦为AB ，A 、B 两点分别为A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)，则弦长]4))[(1(1212212122x x x x k x x k AB -++=-⋅+=]4)[()11(11212212122y y y y ky y k -+⋅+=-⋅+=,这里体现了解析几何“设而不求”的（2）设A(x 1；对于y 2【变1变4】7、过双曲线2212y x -=的右焦点F 作直线l 交双曲线于A,B 两点,若|AB|=4,这样的直线有几条？【题型2】双曲线离心率的求法一、根据离心率的范围，估算e ：即利用圆锥的离心率的范围来解题，有时可用椭圆的离心率e ∈()01，，双曲线的离心率e >1，抛物线的离心率e =1来解决。
双曲线的几何性质
双曲线的几何性质
双曲线是几何学中非常有趣的一类曲线，它形状十分壮观，常被广泛应用到许多不同的领域，例如机械设计、工业设计和计算机图形学等。
双曲线之所以能受到人们的独特关注，是因为它具有着独特的几何性质，这些性质具体如下：
1、双曲线无论在何处取一点，边缘上总是相同的准则来决定它的方向，因此称之为曲线的确定性性质。
这种性质决定了双曲线的方向跟某一点的距离是固定的，任何时候对曲线做相同的位移等价于对某一点做相同的位移，因而看起来双曲线的每一段都是一模一样的。
2、双曲线的另一种性质是它的宽度性质。
在双曲线上确定一点，然后在此点向两方平行平移某一个距离，不可能让它离原点越来越远，如果再加上长度性质，可以发现双曲线不会变宽。
3、另外，双曲线是没有重复部分的，也就是说双曲线是一种不局限的曲线，具有无限性质，永远不会重复。
4、双曲线具有反射性，这就是说可以以一个定点作为基准点，以这个点左右对称地折叠，双曲线的两端点可以映射到另一条线上。
5、最后，双曲线的斜率具有渐变性质，斜率逐渐增加，直到极限是无穷大。
双曲线拥有非常独特的几何性质，而这些性质也使得双曲线在很多不同的领域有着重要的应用价值。
根据上述描述可以知道，双曲线不仅独特，而且还有多种优越的特性，有很大的实用价值。
《双曲线几何性质》课件
生活中的双曲线应用
总结词
双曲线在日常生活中也有很多应用，如建筑设计、工程制造和艺术创作等。
详细描述
在建筑设计中，双曲线用于构建优美的曲线形状，如桥梁、建筑物的外观和内部结构。在工程制造中 ，双曲线用于制造各种零部件和工具，如机械零件、光学仪器等。在艺术创作中，双曲线用于创作优 美的图案和造型，如绘画、雕塑和音乐作品等。
双曲线的轴对称性
总结词
双曲线的轴对称性是指以通过双曲线中心的直线为对称轴，双曲线上的任意一 点关于该对称轴的对称点也在双曲线上。
详细描述
对于双曲线上的任意一点P，关于通过双曲线中心的直线（称为对称轴）的对称 点P'也在双曲线上。这种对称性使得双曲线在对称轴两侧保持一致的形状和方 向。
04
双曲线的面积与周长
这两个定点称为双曲线的焦点，焦点之间的距离称为焦距。
双曲线的标准方程
焦点在x轴上
$frac{x^2}{a^2} - frac{y^2}{b^2} = 1$ ，其中$a > 0$，$b > 0$，$c = sqrt{a^2 + b^2}$。
VS
焦点在y轴上
$frac{y^2}{a^2} - frac{x^2}{b^2} = 1$ ，其中$a > 0$，$b > 0$，$c = sqrt{a^2 + b^2}$。
双曲线的面积
总结词
详细描述
总结词
详细描述
双曲线的面积可以通过特定 的公式进行计算，该公式基 于双曲线的参数方程和定义 域。
双曲线的面积计算公式为 (A = piab)，其中 (a) 和 (b) 分 别是双曲线的实半轴和虚半 轴长度。这个公式基于双曲 线的参数方程和定义域，通 过积分运算得出。
双曲线的简单几何性质课件
A1（- a，0），A2（a，0）
e c (e 1) a
y b x a
例3：
x2 y2 1 16 9
1、双曲线 9x2-16y2=144的实半轴长
等于 4 虚半轴长等于 3 顶点坐
标是 4,0 渐近线方是y
3 4
x (或 x
4
y
.3
0)
5
离心率e= 4 。
2、离充心要率e=条件2 是。双（曲用线“为充等分轴条双件曲”线“的必要 条件”“充要条件”填空。）
双曲线定义的简单几何性质
定义
图象
方程 范围 对称性 顶点 离心率 渐近线
| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
y
y
M
M
F2
F1
o
F2
x
x
F1
x2 a2
y2 b2
1
x≤－a或x≥a
y2 a2
x2 b2
1
y≤－a或y≥a
关于坐标轴、原点对称（实轴、虚轴、中心）
(－a, 0) (a, 0)
法二 由双曲线的渐近线方程为 y＝±12x， 可设双曲线方程为x222－y2＝λ(λ≠0)， ∵A(2，－3)在双曲线上， ∴2222－(－3)2＝λ，即 λ＝－8. ∴所求双曲线的标准方程为y82－3x22 ＝1.
5 离心率
与椭圆类似,双曲线的焦距与实轴长的比 c , a
叫做双曲线的离心率.因为c a 0,所以双
2 2
y2 b2
1
渐进线方程
k
b a
B2
b
k
y
(a,b)
b a
yb x a
可由双曲线
e c (e 1) a
y b x a
例3：
x2 y2 1 16 9
1、双曲线 9x2-16y2=144的实半轴长
等于 4 虚半轴长等于 3 顶点坐
标是 4,0 渐近线方是y
3 4
x (或 x
4
y
.3
0)
5
离心率e= 4 。
2、离充心要率e=条件2 是。双（曲用线“为充等分轴条双件曲”线“的必要 条件”“充要条件”填空。）
双曲线定义的简单几何性质
定义
图象
方程 范围 对称性 顶点 离心率 渐近线
| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
y
y
M
M
F2
F1
o
F2
x
x
F1
x2 a2
y2 b2
1
x≤－a或x≥a
y2 a2
x2 b2
1
y≤－a或y≥a
关于坐标轴、原点对称（实轴、虚轴、中心）
(－a, 0) (a, 0)
法二 由双曲线的渐近线方程为 y＝±12x， 可设双曲线方程为x222－y2＝λ(λ≠0)， ∵A(2，－3)在双曲线上， ∴2222－(－3)2＝λ，即 λ＝－8. ∴所求双曲线的标准方程为y82－3x22 ＝1.
5 离心率
与椭圆类似,双曲线的焦距与实轴长的比 c , a
叫做双曲线的离心率.因为c a 0,所以双
2 2
y2 b2
1
渐进线方程
k
b a
B2
b
k
y
(a,b)
b a
yb x a
可由双曲线
双曲线的标准方程及其几何性质
A.x—y=1B.x—y=2C
2 2
x y
解析：由题意，设双曲线方程为2—2=
a a
例2、根据以下条件，分别求出双曲线的标准方程.
(1)过点P(3,-.2)，离心率e5
2
⑵F1、F2是双曲线的左、右焦点，P是双曲线上一点，双曲线离心率为2且
F1PF260，SpRF212 3.
解：(1)依题意，双曲线的实轴可能在x轴上，也可能在y轴上，分别讨论如下.
A.4
2
x
m212
1表示双曲线，则
k的取值范围是
B.
C.
D.
2
y
2
4 mB.2双Fra bibliotek线学a1的焦距是
C.
D.
m有关
2
_
k b2k
1与双曲线笃
a
判定焦点在哪条坐标轴上，不像椭圆似的比较x2、y2的分母的大小，而是x2、y2的系数
的符号，焦点在系数正的那条轴上•
3.双曲线的简单几何性质:
标准方程
2 2
xy‘
——1(a0,b0)ab
yx2
—2-21(a 0, b 0)
ab
图象
9
I
a, b,c关系
2 . 2 2a b c
范围
|x| a,y R
| y | a, x R
个数来确定。
(1)通常消去方程组中变量y(或x)得到关于变量x(或y)的一元二次方程，考虑该一
元二次方程的判别式，则有：0直线与双曲线相交于两个点；0直线与
双曲线相交于一个点；0直线与双曲线无交点.
(2)若得到关于x(或y)的一元二次方程，则直线与双曲线相交于一个点，此时直线平 行于双曲线的一条渐近线.
2 2
x y
解析：由题意，设双曲线方程为2—2=
a a
例2、根据以下条件，分别求出双曲线的标准方程.
(1)过点P(3,-.2)，离心率e5
2
⑵F1、F2是双曲线的左、右焦点，P是双曲线上一点，双曲线离心率为2且
F1PF260，SpRF212 3.
解：(1)依题意，双曲线的实轴可能在x轴上，也可能在y轴上，分别讨论如下.
A.4
2
x
m212
1表示双曲线，则
k的取值范围是
B.
C.
D.
2
y
2
4 mB.2双Fra bibliotek线学a1的焦距是
C.
D.
m有关
2
_
k b2k
1与双曲线笃
a
判定焦点在哪条坐标轴上，不像椭圆似的比较x2、y2的分母的大小，而是x2、y2的系数
的符号，焦点在系数正的那条轴上•
3.双曲线的简单几何性质:
标准方程
2 2
xy‘
——1(a0,b0)ab
yx2
—2-21(a 0, b 0)
ab
图象
9
I
a, b,c关系
2 . 2 2a b c
范围
|x| a,y R
| y | a, x R
个数来确定。
(1)通常消去方程组中变量y(或x)得到关于变量x(或y)的一元二次方程，考虑该一
元二次方程的判别式，则有：0直线与双曲线相交于两个点；0直线与
双曲线相交于一个点；0直线与双曲线无交点.
(2)若得到关于x(或y)的一元二次方程，则直线与双曲线相交于一个点，此时直线平 行于双曲线的一条渐近线.
双曲线的几何性质
x±
解：
的双曲线方程。 3 y = 0 的双曲线方程。 椭圆的焦点在x轴上， 椭圆的焦点在 轴上，且坐标为 轴上
∴ 双曲线的焦点在x轴上，且c = 2 2
3 ∵ 双曲线的渐近线方程为 y = ± x 3 b 3 ∴ = ， 解出 a 2 = 6， b 2 = 2 2 2
F1 ( − 2 2，)， F 2 2 2，） 0 （ 0
双曲线与渐近线无限接近，但永不相交。 双曲线与渐近线无限接近，但永不相交。
5、离心率 、 c 双曲线的焦距与实轴长 的比 e = ,叫做 （1）定义： ）定义： a 双曲线的 离心率。
（2）e的范围 ） 的范围：
∵ c>a>0 ∴
2
e >1
思考：离心率可以刻画椭圆的扁平程度，双曲线 思考：离心率可以刻画椭圆的扁平程度， 的离心率刻画双曲线的什么几何特征呢？ 的离心率刻画双曲线的什么几何特征呢？ e是用来刻画双曲线开口大小的一个量, e越大开口越大。
等轴双曲线的离心率为
2
，反之成立. 反之成立
焦点在y 焦点在y轴上的双曲线的几何性质口答
双曲线标准方程： 双曲线标准方程： 双曲线性质： 双曲线性质： 1.范围： 范围： 范围
y2 x2 − 2 =1 2 a b
y A2 B1 o A1 B2 x
y≥a或y≤-a 或
2.对称性： 关于坐标轴和原点对称 对称性： 对称性 3.顶点： 顶点： 顶点 A1(0，-a),A2(0,a) ， A1A2为实轴，B1B2为虚轴 为实轴，
M F2 x
F
O
1
F
2
x
O
F1
x y − 2 =1 2 a b
2
2
高二数学双曲线的几何性质1
5、渐近线方程：y
a
2 2
x2 b2
0
a ob
A1 F2
6、离心率： e=c/a
B2 X
练习:
1.双曲线 9y2－16x2 = 144 的半实 轴长是 4 , 半虚轴长 3 ,
焦点坐标是 (0, －5) 、(0, 5)
,
离心率为
5 4
,渐近线方程
是
y4x .
3
2.双曲线的一条渐近线方程为 y 1 x ,
且过点 P (3, 1 ),
2
则它的标准方程
是
x2
y2
2
1
82
.
3.求与双曲线x2 y2 1共渐近线且 16 9
过点A(2 3,3)的双曲线方程。
4、若双曲线的渐近线方程是
y 3 x ，求离心率。
5.
4
设双曲线
x2 a2
y2 b2
1(0
a
b)
的
半焦距为c，直线L过(a,0),(0,b)
叫做双曲线的离心率.
双曲线的离心率的取值范围是 (1, +∞).
焦点在y轴上的双曲线的几何性质
双曲线标准方程： 双曲线性质：
y2 a2
x2 b2
1
y
1、范围： y≥a或y≤-a
F2
A2
2、对称性：关于x轴，y轴，原点对称。
3、顶点 A1（0，-a）,A2（0，B1a）
4、轴：实轴 A1A2 ; 虚轴 B1B2
a2 b2
1. 范围 双曲线在不等式 x≤－a与 x≥a所表示 的区域内.
X=－a X=a
双曲线 x 2 y 2 1(a>0,b>o)的几何性质
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2
2
→
由∠PF2Q＝90° → 求出离心率 建立a，b，c的关系
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[精解详析]
设 F1(c,0)，
由|PF2|＝|QF2|，∠PF2Q＝90° ， 知|PF1|＝|F1F2|＝2c，|PF2|＝2 2c. 由双曲线的定义得 2 2c－2c＝2a. c 2 ∴e＝a＝ ＝1＋ 2. 2 2－2 所以所求双曲线的离心率为 1＋ 2.
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Δ<0⇒直线与双曲线没有公共点，此时称直线与双曲线相 离． 注意：直线和双曲线只有一个公共点时，直线不一定与双
曲线相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲
线相交，只有一个交点． (2)弦长公式： 斜率为 k 的直线 l 与双曲线相交于 A(x1，1)， y
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x y [例 3] 已知 F1，F2 是双曲线 2－ 2＝1(a>0，b>0)的两个焦点， a b PQ 是经过 F1 且垂直于 x 轴的双曲线的弦.如果∠PF2Q＝90° ，求双曲 线的离心率．
[ 思 路 点 拨 ] 设F1c，0，将焦点F1 求出P的纵 → 的横坐标代入方程 坐标及|PF1|
x2 y2 解 (1)法一 设双曲线方程为 － ＝1(mn>0)． m n 2 ∵双曲线过点 P( 6，2)，且点 P 在直线 y＝ x 的上方， 3 ∴m<0，n<0，即焦点在 y 轴上， 2 又渐近线斜率 k＝± ， 3
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6 4 － ＝1， m＝－3， m n ∴ －n 解得 4 2 n＝－3. ＝ ， －m 3 y2 x2 故所求双曲线方程为 － ＝1. 4 3 3 2 法二 由于双曲线的渐近线方程是 y＝± x， 所以可设双曲线方程 3 x2 y2 为 － ＝λ(λ≠0)． 9 4 6 4 1 ∵双曲线过点 P( 6，2)．∴ － ＝λ，λ＝－ . 9 4 3 y2 x2 ∴故所求双曲线方程为 － ＝1. 4 3 3
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名师点睛
1．双曲线几何性质的理解 x2 y2 x2 y2 (1)范围：以 2－ 2＝1(a>0，b>0)为例，由于 2＝1＋ 2≥1，即 a b a b x2≥a2，∴|x|≥a，即双曲线位于 x≤－a 和 x≥a 所表示的区 域内．
(2)顶点：双曲线与它的对称轴的交点叫双曲线的顶点，
y2 x2 解 把方程 16x2－9y2＝－144 化为标准方程 2－ 2＝1， 4 3 由此可知，半实轴长 a＝4， 半虚轴长 b＝3，c＝ a2＋b2＝5.
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c 5 焦点坐标为(0，－5)，(0，5)；离心率 e＝ ＝ ； a 4 顶点坐标为(0，－4)，(0，4)； 4 渐近线方程为 y＝± x. 3
焦距
范围 对称性 性 质 顶点 轴长 离心率 渐近线 |x|≥a，y∈R
|F1F2|＝2c _________ |y|≥a，x∈R
关于x轴、y轴、原点对称
A1(－a，0)、A2(a，0) ___________________ A1(0，－a)、A2(0，a) ___________________
2a 2b 实轴长＝___，虚轴长＝___ c a e＝___(e＞1)
x y ± ＝0 a b ________
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x y ± ＝0 b a ________
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试一试：尝试用a，b表示双曲线的离心率．
提示 c e＝ ＝ a a2＋b2 ＝ a2 b2 1＋ 2. a
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4 9 ∵A(2，－3)在双曲线上，∴ 2－ 2＝1. a b 由①②联立，无解． 若焦点在 y 轴上，设所求双曲线的标准方程为 y2 x2 a 1 － ＝1(a>0，b>0)，则b＝ . a2 b2 2 9 4 ∵A(2，－3)在双曲线上，∴ 2－ 2＝1. a b 由③④联立，解得 a2＝8，b2＝32. y 2 x2 ∴所求双曲线的标准方程为 － ＝1. 8 32
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自学导引
双曲线的几何性质
x2 y2
标准方程
a
2
－ 2＝1
b
(a＞0，b＞0)
y2 x2 － ＝1 a2 b2 (a＞0，b＞0)
图形
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续表 焦点 F1(－c，0)、F2(c，0) ___________________ F1(0，－c)、F2(0，c) ___________________
把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0. ①当b2－a2k2＝0时，直线l与双曲线的渐近线平行，直线 与双曲线C相交于一点． ②当b2－a2k2≠0时，Δ>0⇒直线与双曲线有两个公共点，此 时称直线与双曲线相交； Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点，此时称直线与双曲线 相切；
规律方法
已知双曲线的标准方程确定其性质时，一定要
弄清方程中的a，b所对应的值，再利用c2＝a2＋b2得到c， 从而确定e.若方程不是标准形式的先化成标准方程，再确
定a、b、c的值．
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【变式1】 求双曲线x2－3y2＋12＝0的实轴长、虚轴长、焦点 坐标、顶点坐标、渐近线方程、离心率．
B(x2 ， y2) ， 则 |AB| ＝ （x1＋x2）2－4x1x2. 1＋k2 |x1 － x2| ＝ 1＋k2
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题型一
已知双曲线的标准方程求其几何性质
【例1】 求双曲线16x2－9y2＝－144的半实轴长、半虚轴长、 焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程． [思路探索] 可先把方程化成标准方程，确定a，b，c，再 求其几何性质．
2 2
课前探究学习
①
② ③
课堂讲练互动
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17 可得 b ＝－ (舍去)． 2 所以双曲线的焦点只能在 x 轴上，其方程为 x2－4y2＝1. y2 即 x2－ ＝1. 1 4 规律方法 根据双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，
2
一般用待定系数法．首先，由已知判断焦点的位置，设出双 曲线的标准方程，再用已知建立关于参数的方程求得．当双 曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分 类讨论，为了避免讨论，也可设双曲线方程为mx2得．如本题中已知渐近线方程ax＋by
＝0，可设所求双曲线方程为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)非常简捷．
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【变式2】 求适合下列条件的双曲线的标准方程：
13 (1)一个焦点为(0，13)，且离心率为 ； 5 1 (2)渐近线方程为 y＝± x，且经过点 A(2，－3)． 2
2.3.2 双曲线的简单几何性质
【课标要求】
1．掌握双曲线的简单的几何性质． 2．了解双曲线的渐近性及渐近线的概念．
3．掌握直线与双曲线的位置关系．
【核心扫描】
1．双曲线的几何性质的理解和应用．(重点) 2．与双曲线离心率，渐近线相关的问题．(难点) 3．经常与方程、三角、平面向量、不等式等内容结合考查学 生分析问题的能力．
审题指导 本题主要考查直线与双曲线的位置关系、向量 知识及方程思想的应用．
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x2 2 [规范解答] (1)将 y＝－x＋1 代入双曲线方程 2－y ＝1(a>0)中 a 得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0. 2分
1－a2≠0， 依题意 4 2 2 Δ＝4a ＋8a （1－a ）>0，
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题型二
根据双曲线的几何性质求标准方程
【例2】 根据下列条件，求双曲线的标准方程．
(1)双曲线的渐近线的方程为 2x± 3y＝0 且经过 P( 6，2)； 5 (2)经过点 P(3，－ 2)，离心率 e＝ . 2
[思路探索] 可设出双曲线的标准方程，依题意建立待定 参数的方程或方程组求解．
y2 x2 解 将方程 x －3y ＋12＝0 化为标准方程 － ＝1， 4 12 ∴a2＝4，b2＝12，
2 2
∴a＝2，b＝2 3，∴c＝ a2＋b2＝ 16＝4. ∴双曲线的实轴长 2a＝4，虚轴长 2b＝4 3. 焦点坐标为 F1(0，－4)，F2(0，4)，顶点坐标为 A1(0，－2)， 3 A2(0，2)，渐近线方程为 y＝± x，离心率 e＝2. 3
②
③ ④
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1 法二 由双曲线的渐近线方程为 y＝± x， 2 x2 2 可设双曲线方程为 2－y ＝λ(λ≠0)， 2 ∵A(2，－3)在双曲线上， 22 ∴ 2－(－3)2＝λ，即 λ＝－8. 2 y2 x2 ∴所求双曲线的标准方程为 － ＝1. 8 32
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(2)若双曲线的焦点在 x 轴上， x2 y2 设其方程为 2－ 2＝1(a>0，b>0)， a b 5 c2 5 由 e＝ 得， 2＝ 2 a 4 又点 P(3，－ 2)在双曲线上， 9 2 ∴ 2－ 2＝1 a b 又 a2＋b2＝c2， 1 由①②③可得 a ＝1，b ＝ ， 4 若双曲线的焦点在 y 轴上， y2 x2 设其方程为 2－ 2＝1(a>0，b>0)． a b c2 5 2 9 由 2＝ 和 2－ 2＝1 及 a2＋b2＝c2， a 4 a b