第五讲 双曲线的几何性质

[方法总结] 要求双曲线xa22－by22＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程，只需得 出 a，b 的关系，再代入渐近线方程 bx±ay＝0 即可得解．
命题角度 3 求双曲线的离心率(或范围)(核心素养)
(1)(2018·全国Ⅲ卷)设 F1，F2 是双曲线 C： xa22－by22＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，O 是坐标原点．过 F2 作 C 的一条渐近线的垂线，垂足为 P.若|PF1|＝ 6|OP|，则 C 的离心率为 (C )
∠MAN＝60°，∴|AP|＝ 23b，
∴ a|a2＋b| b2＝ 23b，即ac＝ 23，
∴e＝ac＝
2 ＝2 3
3 3.
4. (命题角度 3)(2018·郑州质量预测)已知双曲线 C2 与椭圆 C1：x42＋y32＝ 1 具有相同的焦点，则两条曲线相交的四个交点形成的四边形面积最大时双 曲线 C2 的离心率为 2 ．
则双曲线的渐近线方程为( A )
A. y＝± 3x
B.
y＝±
3 3x
C. y＝± 2x
D.
y＝±
2 2x
解析 如图所示，连接 OA，OB. 设双曲线xa22－by22＝1(a＞0，b＞0)的焦距为 2c(c＞0)， 则 C(－a，0)，F(－c，0)． 由双曲线和圆的对称性知，点 A 与点 B 关于 x 轴对称， 则∠ACO＝∠BCO＝12∠ACB＝12×120°＝60°.
3. (命题角度 3)(2017·全国Ⅰ卷)已知双曲线 C：xa22－by22＝1(a＞0，b＞0)
的右顶点为 A，以 A 为圆心，b 为半径作圆 A，圆 A 与双曲线 C 的一条渐 23
近线交于 M，N 两点，若∠MAN＝60°，则 C 的离心率为 3 .
解析 如图，取一条渐近线 y＝bax，即 bx－ay＝0. ∵|OA|＝a，|AN|＝|AM|＝b，
(2)已知双曲线xa22－by22＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为 F1(－c，0)，F2(c， 0)，若双曲线上存在一点 P 使ssiinn∠∠PPFF12FF21＝ac，则该双曲线的离心率的取值 范围是 (1(，1，1＋1＋ 2)) ．
解析 第一步 利用正弦定理将已知式转化，并确定点 P 在双曲线的 右支上．
[方法技巧] 双曲线几何性质的三个关注点 (1)“六点”：两焦点、两顶点、两虚轴端点； (2)“四线”：两对称轴(实、虚轴)、两渐近线； (3)“两形”：中心、顶点、虚轴端点构成的三角形；双曲线上的一点(不 包括顶点)与两焦点构成的三角形．
命题角度 2 求双曲线的渐近线方程 (2018·全国Ⅱ卷)双曲线xa22－by22＝1(a＞0，b＞0)的离心率为
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
A1(－a，0)，A2(a，0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
b y＝ ±±ax x
a y＝ ±±bx x
标准方程
xa22－by22＝1(a＞0，b＞0)
ay22－xb22＝1(a＞0，b＞0)
离心率
e＝ac，e∈ (1(，1，＋＋∞∞) ) ，其中 c＝ a2＋b2
解析 设双曲线的方程为ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)，由题意知 a2＋b2＝4－3 ＝1，由xax4222－＋byy3222＝＝11，，解得交点的坐标满足xy22＝＝34（a2，1－a2），由椭圆和双曲线关 于坐标轴对称知，以它们的交点为顶点的四边形是长方形，其面积 S＝4|xy|＝ 4 4a2· 3（1－a2）＝8 3· a2· 1－a2≤8 3·a2＋21－a2＝4 3，当且仅当 a2＝1 －a2，即 a2＝12时，取等号，此时双曲线的方程为x12－y12＝1，离心率 e＝ 2.
性质
线段 A1A2 叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝ 2a 2a ；线
实、虚轴 段 B1B2 叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝ 2b 2b ；a 叫
做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长
a，b，c 间 的关系
c2＝ aa2＋2＋bb2 2 (c＞a＞0，c＞b＞0)
2. 点与双曲线的关系 (1)点 P(x0，y0)在双曲线xa22－by22＝1(a＞0，b＞0)上 xa202－by202＝1. (2)点 P(x0，y0)在双曲线xa22－by22＝1(a＞0，b＞0)外 xa202－by202＜1 或ax202－by202＞1.
(3)P 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2 分别为双曲线 的左、右焦点，则 S△ PF1F2＝12|PF1||PF2|sin θ＝b2· 1 θ，其中 θ 为∠F1PF2.
tan2
|题型三| 双曲线的几何性质
(多维探究)
[高考分析] 双曲线的几何性质是高考的常考考点，其中又以双曲线的
第五讲
双曲线的几何性质
夯实基础 自主梳理
1. 双曲线的标准方程及其简单几何性质
标准方程
xa22－by22＝1(a＞0，b＞0)
ay22－xb22＝1(a＞0，b＞0)
图象
标准方程
范围 对称性 性质 顶点 渐近线
xa22－by22＝1(a＞0，b＞0) x≤－a 或 x≥a，y∈R
ay22－xb22＝1(a＞0，b＞0) y≤－a 或 y≥a，x∈R
3，则其渐近线方程为( A )
A. y＝± 2x
B. y＝± 3x
C.
y＝±
2 2x
D.
y＝±
3 2x
解析
双
曲
线
x2 a2
－
y2 b2
＝
1
的渐近线方程为
bx±ay
＝
0.
又
离
心
率
c a
＝
a2a＋b2＝ 3，∴a2＋b2＝3a2.∴b＝ 2a(a＞0，b＞0)．∴渐近线方程为
2ax±ay＝0，即 y＝± 2x.故选 A.
【必记结论】 1. 双曲线的焦点到渐近线的距离是 b；双曲线的顶点到渐近线的距离 是acb.
2. (1)若 P 是双曲线右支上一点，F1，F2 分别为双曲线的左、右焦点， 则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.
(2)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为 2ab2，异支的弦中最短的为实轴，其长为 2a.
22
A. 5
B. 2
C. 3
D. 2
解析 第一步 利用双曲线的对称性构造平行四边形 PF1P′F2. 如图，过点 F1 向 OP 的反向延长线作垂线，垂足为 P′，连接 P′F2，由 题意可知，四边形 PF1P′F2 为平行四边形，且△ PP′F2 是直角三角形．
第二步 由△ POF2 为直角三角形求|OP|. ∵|F2P|＝b，|F2O|＝c，∴|OP|＝a. 第三步 由△ PP′F2 为直角三角形求|F2P|，从而得到 a 与 c 的关系． 又|PF1|＝ 6|OP|＝ 6a＝|F2P′|， |PP′|＝2a，∴|F2P|＝ 2a＝b，∴c＝ a2＋b2＝ 3a， 第四步 利用离心率的定义求得 e. ∴e＝ac＝ 3.故选 C.
离心率、渐近线考查得最为频繁，试题为客观题，涉及各种难度．解决这
一类题合理利用性质是关键．
命题角度 1 双曲线的焦点(距)及实、虚轴长
已知离心率为 25的双曲线 C：xa22－by22＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点
分别为 F1，F2，M 是双曲线 C 的一条渐近线上的点，且 OM⊥MF2，O 为坐
[易错警示] 双曲线的离心率 e∈(1，＋∞)，而椭圆的离心率 e∈(0，1)．
[变式训练] 1. (命题角度 1)(2016·全国Ⅰ卷)已知方程m2x＋2 n－3my2－2 n
＝1 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为 4，则 n 的取值范围是( A )
A. (－1，3)
B. (－1， 3)
C. (0，3)
∵|OA|＝|OC|＝a，∴△ACO 为等边三角形， ∴∠AOC＝60°. ∵FA 与圆 O 切于点 A，∴OA⊥FA， 在 Rt△ AOF 中，∠AFO＝90°－∠AOF＝90°－60°＝30°， ∴|OF|＝2|OA|，即 c＝2a， ∴b＝ c2－a2＝ （2a）2－a2＝ 3a， 故双曲线xa22－by22＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为 y＝±bax，即 y＝± 3x.
D. (0， 3)
解析 若已知方程表ห้องสมุดไป่ตู้双曲线，则(m2＋n)(3m2－n)＞0，解得－m2＜n
＜3m2.又 4＝4m2，∴m2＝1，∴－1＜n＜3.故选 A.
2. (命题角度 2)过双曲线xa22－by22＝1(a＞0，b＞0)的左焦点 F 作圆 O：x2 ＋y2＝a2 的两条切线，切点为 A，B，双曲线左顶点为 C，若∠ACB＝120°，
第三步 利用双曲线的几何性质构造关于 e 的不等式． 由双曲线几何性质知|PF2|＞c－a，则c2－a2a＞c－a，即 e2－2e－1＜0， 第四步 解不等式即得 e 的取值范围． 解得 1－ 2＜e＜1＋ 2，又 e＞1， ∴1＜e＜1＋ 2.
[技巧点拨] 双曲线几何性质中的重点是渐近线方程和离心率，利用双 曲线的几何性质，找到 a，b，c，e 的关系，从而求离心率的值．在双曲线xa22 －by22＝1(a＞0，b＞0)中，离心率 e 与双曲线的渐近线的斜率 k＝±ba满足关系 式 e2＝1＋k2.
在△ PF1F2 中，由正弦定理知sin∠|PFPF2|1F2＝sin∠|PFPF1|2F1，又ssiinn∠∠PPFF12FF21＝ ac，∴||PPFF21||＝ac，∴P 在双曲线右支上．
第二步 利用双曲线的定义求|PF2|. 设 P(x0，y0)，如图，又|PF1|－|PF2|＝2a，∴|PF2|＝c2－a2a.
标原点，若 S△OMF2＝16，则双曲线的实轴长是( )
B
A. 32
B. 16