椭圆与双曲线的几何性质
cfd椭圆型方程 双曲线方程
椭圆型方程和双曲线方程在数学和物理学中都是重要的方程形式。
它们在描述各种自然现象和工程问题中起着非常重要的作用。
本文将分别介绍椭圆型方程和双曲线方程的相关知识和应用。
一、椭圆型方程1.1 椭圆型方程的定义椭圆型方程是指二次型方程中的常对称阵为正定的方程。
具体而言，一个椭圆型方程可以写成如下形式：a(x^2) + 2bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0其中a，b，c为实数且满足a*c - b^2>0。
当a*c - b^2=0时，方程表示一个退化的椭圆。
1.2 椭圆型方程的性质椭圆型方程描述的图形是一个椭圆，其性质包括但不限于：（1）椭圆对称性：椭圆与x轴和y轴对称。
（2）离心率：椭圆的长轴和短轴之比称为椭圆的离心率，是一个重要的椭圆参数。
（3）焦点、直径、面积等椭圆的相关性质。
1.3 椭圆型方程的应用椭圆型方程在物理学、工程学和金融学等领域有着广泛的应用。
在天体力学中，行星公转的轨道可以用椭圆型方程描述；在工程学中，椭圆型方程可以用于描述声波在二维介质中的传播等。
二、双曲线方程2.1 双曲线方程的定义双曲线方程是指二次型方程中的常对称阵为否定定的方程。
具体而言，一个双曲线方程可以写成如下形式：a(x^2) - c(y^2) = 1其中a，c为实数且满足a*c - 1<0。
当a*c - 1=0时，方程表示一个退化的双曲线。
2.2 双曲线方程的性质双曲线方程描述的图形是一个双曲线，其性质包括但不限于：（1）双曲线的渐近线：双曲线有两条渐近线，分别与曲线的两支趋向于并成的方向平行。
（2）双曲线的焦点、直径、面积等相关性质。
2.3 双曲线方程的应用双曲线方程在物理学、工程学和经济学等领域也有着广泛的应用。
在电磁学中，电磁波的传播可以用双曲线方程描述；在经济学中，需求曲线和供给曲线的交点通常可以用双曲线方程来表示。
椭圆型方程和双曲线方程是数学中重要的方程形式，它们在各个领域都有着广泛的应用。
椭圆双曲线知识点总结
椭圆知识点【知识点1】椭圆的概念:在平面内到两定点F 1、F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．当动点设为M 时，椭圆即为点集P ={}12|2M MF MF a += 注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ；若)(2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形。
【知识点2】椭圆的标准方程焦点在x 轴上椭圆的标准方程: ()222210x y a b a b += >>，焦点坐标为（c ，0)，（-c ，0)焦点在y 轴上的椭圆的标准方程为：()222210x y a b b a+= >>焦点坐标为（0，c ，）(o ，-c )【知识点3】椭圆的几何性质:规律:(1)椭圆焦点位置与x 2，y 2系数间的关系：焦点在分母大的那个轴上.(2)椭圆上任意一点M 到焦点F 的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为a ＋c ，最小距离为a －c .(3)在椭圆中，离心率22222221a b a b a a c a c e -=-===(4)椭圆的离心率e 越接近１椭圆越扁；e 越接近于０，椭圆就接近于圆； (5)离心率公式：在21PF F ∆中，α=∠21F PF ，β=∠12F PF ，()βαβαsin sin sin ++=e二、椭圆其他结论标准方程()222210x y a b a b += >> ()222210x y a b b a += >> 图形性质范围 a x a -≤≤b y b -≤≤对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点顶点A 1(－a,0)， A 2(a,0)B 1(0，－b )，B 2(0，b )A 1(0，－a )，A 2(0，a )B 1(－b,0)，B 2(b,0)轴 长轴A 1A 2的长为2a ；短轴B 1B 2的长为2b焦距 ∣F 1F 2 |=2c离心率 e=ca∈(0,1) a ，b ，c 的关系c 2＝a 2－b 21、若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b+=若已知切线斜率K ，切线方程为222b k a kx y +±=2、若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+= 3、椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点θ=∠21PF F ，则椭圆的焦点角形的面积为2tan221θb S PF F =∆4、以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5、过焦点的弦中，通径(过焦点且与焦点所在坐标轴垂直的弦)最短ab 226、过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF 。
圆锥曲线(椭圆,双曲线,抛物线)的定义方程和性质知识总结
椭圆的定义、性质及标准方程1. 椭圆的定义：⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。
⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<<e e ，则动点M 的轨迹叫做椭圆。
定点F 是椭圆的焦点，定直线l 叫做椭圆的准线，常数e 叫做椭圆的离心率。
说明：①若常数2a 等于2c ，则动点轨迹是线段12F F 。
②若常数2a 小于2c ，则动点轨迹不存在。
2.3. 椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。
焦半径公式：椭圆焦点在x 轴上时，设12F F 、分别是椭圆的左、右焦点，()00P x y ，是椭圆上任一点，则10PF a ex =+，20PF a ex =-。
推导过程：由第二定义得11PF e d =（1d 为点P 到左准线的距离）， 则211000a PF ed e x ex a a ex c ⎛⎫==+=+=+ ⎪⎝⎭；同理得20PF a ex =-。
简记为：左“＋”右“－”。
由此可见，过焦点的弦的弦长是一个仅与它的中点的横坐标有关的数。
22221x y a b +=；若焦点在y 轴上，则为22221y x a b+=。
有时为了运算方便，设),0(122n m m ny mx ≠>=+。
双曲线的定义、方程和性质1． 定义（1）第一定义：平面内到两定点F 1、F 2的距离之差的绝对值等于定长2a （小于|F 1F 2|）的点的轨迹叫双曲线。
说明：①||PF 1|-|PF 2||=2a （2a <|F 1F 2|）是双曲线；若2a=|F 1F 2|，轨迹是以F 1、F 2为端点的射线；2a >|F 1F 2|时无轨迹。
②设M 是双曲线上任意一点，若M 点在双曲线右边一支上，则|MF 1|>|MF 2|，|MF 1|-|MF 2|=2a ；若M 在双曲线的左支上，则|MF 1|<|MF 2|，|MF 1|-|MF 2|=-2a ，故|MF 1|-|MF 2|=±2a ，这是与椭圆不同的地方。
椭圆双曲线知识点的总结
椭圆知识点【知识点1】椭圆的概念:椭圆的第一定义 在平面内到两定点F 1、F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．当动点设为M 时，椭圆即为点集P ={}12|2M MF MF a += 注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ；若)(2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形。
椭圆的第二定义:在平面内，满足到定点的距离与到定直线的距离之比是等于一个常数的动点的轨迹叫做椭圆。
其中这个定点叫做椭圆的焦点，这条定直线叫做相应于该焦点的准线。
注：定义中的定点不在定直线上。
如果将椭圆的中心与坐标原点重合，焦点放在X 轴上，准线方程是： 焦点放在Y 轴上，准线方程是：【知识点2】椭圆的标准方程焦点在x 轴上椭圆的标准方程: ()222210x y a b a b += >>，焦点坐标为（c ，0)，（-c ，0)焦点在y 轴上的椭圆的标准方程为：()222210x y a b b a+= >>焦点坐标为（0，c ，）(o ，-c )【知识点3】椭圆的几何性质:规律:(1)椭圆焦点位置与x 2，y 2系数间的关系：焦点在分母大的那个轴上.(2)椭圆上任意一点M 到焦点F 的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离标准方程()222210x y a b a b += >> ()222210x y a b b a += >> 图形性质范围 a x a -≤≤b y b -≤≤对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点顶点A 1(－a,0)， A 2(a,0)B 1(0，－b )，B 2(0，b )A 1(0，－a )，A 2(0，a )B 1(－b,0)，B 2(b,0)轴 长轴A 1A 2的长为2a ；短轴B 1B 2的长为2b焦距 ∣F 1F 2 |=2c离心率 e=ca∈(0,1) a ，b ，c 的关系c 2＝a 2－b 2为a ＋c ，最小距离为a －c .(3)在椭圆中，离心率22222221a b a b a a c a c e -=-===(4)椭圆的离心率e 越接近１椭圆越扁；e 越接近于０，椭圆就接近于圆；椭圆典型例题一、已知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。
椭圆与双曲线性质
椭圆与双曲线性质椭圆和双曲线是解析几何中重要的曲线类型，它们具有各自独特的几何性质和特点。
在本文中，我们将探讨椭圆和双曲线的性质及其在数学和实际应用中的重要性。
椭圆椭圆是一个平面上的几何图形，其定义基于两个焦点和一条连接两个焦点的线段的长度之和等于常数的特定条件。
以下是椭圆的一些重要性质：1. 主轴和副轴：椭圆的两个焦点之间的距离是椭圆的主轴的长度。
主轴的中点是椭圆的中心点。
与主轴垂直且通过中心的线段称为副轴。
2. 离心率：椭圆的离心率定义为焦点与中心之间的距离与主轴长度之比。
离心率介于0和1之间，其中0表示圆形，1表示无限大的线段。
3. 焦距定理：椭圆上的任意一点到两个焦点的距离之和等于椭圆的主轴的长度。
4. 方程：椭圆的标准方程是(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1，其中(h,k)是椭圆的中心坐标，a和b是主轴和副轴的长度。
双曲线双曲线也是平面上的几何图形，其定义基于两个焦点和一条连接两个焦点的线段的长度之差等于常数的特定条件。
以下是双曲线的一些重要性质：1. 主轴和副轴：双曲线的两个焦点之间的距离是双曲线的主轴的长度。
主轴的中点是双曲线的中心点。
与主轴垂直且通过中心的线段称为副轴。
2. 离心率：双曲线的离心率定义为焦点与中心之间的距离与主轴长度之比。
离心率大于1。
3. 焦距定理：双曲线上的任意一点到两个焦点的距离之差等于双曲线的主轴的长度。
4. 方程：双曲线的标准方程是(x-h)²/a² - (y-k)²/b² = 1，其中(h,k)是双曲线的中心坐标，a和b是主轴和副轴的长度。
椭圆与双曲线的数学性质椭圆和双曲线在数学中具有广泛的应用和研究价值。
它们是椭圆函数和双曲函数的基础，这些函数在数学物理学、工程学和其他领域中起着重要作用。
椭圆和双曲线的形状和属性使它们适用于模拟、图像处理、信号处理和通信等领域。
椭圆与双曲线的通径
椭圆与双曲线的通径椭圆与双曲线的通径椭圆和双曲线是高中数学中常见的曲线，它们在几何、物理、工程等领域都有广泛的应用。
本文将介绍椭圆和双曲线的通径，包括定义、性质和应用。
一、椭圆的通径1. 定义椭圆是平面上到两个定点（焦点）距离之和等于定长（长轴）的点的轨迹。
通径是指过两个焦点且垂直于长轴的直线段。
2. 性质（1）通径长度为2b，其中b为短轴长度。
（2）任意一条过焦点且垂直于长轴的直线段都是椭圆的通径。
（3）任意一条过中心且垂直于短轴的直线段都是椭圆的主轴。
3. 应用（1）在建筑设计中，可以利用椭圆形状设计拱门或者天花板。
（2）在天文学中，行星绕太阳运动的轨道大多呈现出类似于椭圆形状。
二、双曲线的通径1. 定义双曲线是平面上到两个定点（焦点）距离之差等于定长（距离）的点的轨迹。
通径是指过两个焦点且垂直于双曲线中心轴的直线段。
2. 性质（1）通径长度为2b，其中b为双曲线中心轴到顶点的距离。
（2）任意一条过焦点且垂直于双曲线中心轴的直线段都是双曲线的通径。
（3）任意一条过中心且垂直于双曲线渐近线的直线段都是双曲线的主轴。
3. 应用（1）在物理学中，电磁波传播和光学成像等问题可以用到双曲线函数来描述。
（2）在工程学中，可以利用双曲线形状设计道路或者桥梁等结构。
三、椭圆与双曲线通径的比较1. 长度比较椭圆和双曲线的通径长度相同，均为2b，其中b分别为短轴和中心轴到顶点的距离。
但是，由于椭圆长轴较短，所以椭圆通径相对较短。
2. 形状比较椭圆和双曲线的通径形状有所不同。
椭圆的通径是一条水平线段，而双曲线的通径是一条斜线段。
这也反映了椭圆和双曲线在几何性质上的差异。
3. 应用比较椭圆和双曲线在应用方面有所不同。
椭圆常用于建筑设计、天文学等领域，而双曲线则常用于物理学、工程学等领域。
这也与它们各自的特点和性质有关。
四、总结本文介绍了椭圆和双曲线的通径，包括定义、性质和应用。
通过对比可以看出，虽然它们都是二次曲线，但在几何性质、形状以及应用方面有所不同。
椭圆、双曲线
0<e<1
e>1
e=1
标准方程(画图标出所有量）
椭圆
x2 y2 焦 点x轴 上 2 2 1(a b 0) a b y2 x2 焦 点y轴 上 2 2 1(a b 0) a b
双曲线
x2 y2 焦 点x轴 上 2 2 1(a , b 0) a b y2 x2 焦 点y轴 上 2 2 1(a , b 0) a b
正 西 、 正 北 两 个 观 测同 点时 听 到 了 一 声 巨 响 ,正 东 观 测 点 听 到
题型四：特殊的最值问题
内 部, 点P为 椭 圆 上 的 点 ,求 ：
体会第一定义与 第二定义的运用
18.椭 圆5 x 2 9 y 2 45的 左 右 两 焦 点 为 F1 , F2 , 点A(1,1)在 椭 圆 3 | PF2 | 的 最 小 值 . 2 2 y 19.已 知 点 A(3,2)、F ( 2,0), 在 双 曲 线 x2 1上 求 一 点 P, 3 1 使 | PA | | PF | 的 值 最 小 . 2 (1) | PA | | PF1 | 的 最 小 值(； 2) | PA |
(看x2，y2哪个分母大)
a b c (a b 0, a c )
2 2 2
(看x2，y2哪个系数正)
c a b
2 2
2
一个闭合图形
(c a,c b,a,b 无大小关系 ) |PF1|－|PF2|=2a， 为靠近F2的一个分支 |PF2|－|PF1|=2a， 为靠近F1的一个分支
a c PF a c (1)若 PF a c , P不 存 在 ( 2)若 PF a c , P唯 一 (3)若a c PF a c , P有2个 ( 4)若 PF a c , P唯 一 (5)若 PF a c , P不 存 在
双曲线的简单几何性质学生版
(2)x2 y2 4
2.若双曲线的渐近线方程为y 4 x,则双曲线 3
的离心率为
1.双曲线的简单几何性质： 范围、对称性、顶点、渐近线、离心率
2.数学思想方法：“类比”和“数形结合”
体验高考
1.2011安徽高考双曲线2x2 y2 8的实轴长是（ ）
A.2
y2 - x2 1 (a 0, b 0) a2 b2
y a或y a, x R
对称性
关于x轴、y轴、原点对称
顶点 离心率 渐近线
A1（- a，0），A2（a，0）
A1（0，-a），A2（0，a）
* ybx a
e c (e 1) a
* yax b
巩固练习
1.求以下双曲线的焦点坐标、顶点坐标、 实轴长、虚轴长、渐近线方程、离心率.
1、范围
y a或y a, x R
y
a
o
x
-a
【练习一】写出以下双曲线的范围
x2 y2 (1) 1
4 12 (2) x2 y2 1
20 16
3 y2 x2 1
9 16
探究双曲线
x2 y2 a2 b2 1(a 0, b 0)
的简单几何性质
2、对称性
(-x,y)
y (x,y)
4.双曲线的渐近线
▲规定：直线
ybx a
叫做双曲线
x2 a2
y2 b2
=1的渐近线。
▲思考：①双曲线
y2 a2
x2 b2
1的渐近线方程是什么？ y
a
x
②两种双曲线的渐近线方程，怎样统一记忆？b
x2 y2 a2 b2 =1
y2 a2
x2 b2
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
椭圆 几何定义 标准方程
图形
焦点在x轴上
焦点在y轴上
MF1 MF2 2a(2a F1F2 )
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
y
b
y2 a2
x2 b2
1(a
b
0)
ya
o ax
ob
x
顶点坐标 对称性
焦点坐标 离心率 准线方程
a,0,0, b 0, a,b,0
x轴，长轴长2a y轴，短轴长2b
5
6，则它的标准方程为__x_2___y_2 __1__. 9 16
这节课你学到了哪些知识？
1.利用椭圆和双曲线的定义解题。 2.了解焦点在x轴和y轴的标准方程、
几何性质及准线方程。
【当堂训练】
1.方程 x2 y 2 1 表示双曲线，则实数k的
2k 2k
取值范围是 k 2或k 2 .
2.若双曲线C的焦点和椭圆
椭圆和双曲线的几何性质
执教：陆晓芳
【学习目标】
1.了解椭圆和双曲线的定义，掌握根据标准 方程求相关的准线方程。
2.了解椭圆和双曲线之间的联系和区别。 3.会对椭圆和双曲线性质进行类比和归纳，
培养数形结合思想，提高综合解题能力。
【自学指导一】
1.回忆椭圆的定义、焦点在x轴和y轴上的 标准方程以及相关的几何性质，并完成 下列表格。
x2
+
y2
9
=1的焦点坐标是
5
(±
பைடு நூலகம்
16 9
7 ,0) ,若弦CD
过左焦点F1,则△F2CD的周长是 16 。
3.中心在坐标原点,焦点在y轴上,经过点( 3,0),
离心率为 1 的椭圆方程为 x2 y2 =1.
2
34
2.解析:由已知得，半焦距c= 16 =9 ,故7焦点坐
标为(± ,0),△F2CD的7 周长为4a=4×4=16.
（5分钟）
双曲线 标准方程
图形 顶点坐标 对称轴 渐近线 离心率
准线
焦点在x轴
x2 a2
y2 b2
1
y6
4
2
-5
5
10
0-2 -4
x
-6
(±a, 0)
x轴，实轴长2a
yb x a
e c (e 1) a
x a2 c
焦点在y轴
y2 a2
x2 b2
1
8
y6 4
2
- 10
-5
5
10
15
0-2 -4
12 8
3.椭圆
x2 a2
y2 b2
1 (a>b>0)的焦点为F1、F2，
两条直线x=± a2 (c2=a2-b2)与x轴的交点为M、 c N ， 若 ｜ MN ｜ ≤ 2|F1F2|, 则 该 椭 圆 的 离 心
率e的取值范围是 ［ 2 ,1).
2
解析：由已知|MN|=2·a2 .
c
又|MN|≤2|F1F2|,则2·
x
-6
-8
(0, ±a)
y轴，虚轴长2b
y a x b
a2 b2 c2
y a2 c
【自我检测二】
1.双焦曲点线坐标1y是62
x 2 1的实轴长是
9
(0,5),(0,5) .
8
，
2.若双曲线
x2 a2
y2 b2
1的两条渐近线互相垂直，
则双曲线的离心率 e 2 .
3.双曲线的两准线之间的距离为18 ，实轴长为
x2 25
y2 5
1 的焦
点相同,且过点(3 2,2) , 则双曲线C的方程
是 x2 y2 1 .
12 8
解析：由已知半焦距c2=25-5=20,且焦点在x
轴上，设双曲线C的方程为 x2 y2 1 ,
a2 b2
a2+b2＝20
a2=12
则 =1 (3 2)2 22
a2
b2
b2=8,
故所求双曲线的方程为 x2 y 2 1 .
3.解析
b=3
由题意得，
e=
c a
=
1 2
a=2 ,解得 b=3.
a2=b2+c2
又椭圆焦点在y轴上,故其方程为
x2 3
y2 4
=1.
【自学指导二】
1.回忆双曲线的定义、焦点在x轴和y轴上的标 准方程以及相关的几何性质，并完成下列表格。
2.了解等轴双曲线的定义，知道其渐近线有何 关系？
3.双曲线的准线方程和椭圆的准线方程有何关 系？
a≤2 4c,
c
从而 c2 ≥ 1,故 2≤ <c1,故e∈［ ,12 ).
a2 2
2a
2
y轴，长轴长2a x轴，短轴长2b
c, 0, c a2 b2 0, c, c a2 b2
e
c a
0 e 1
x a2 c
y a2 c
【自我检测一】
1.动点P到两定点F1(2,0), F的2 (2距,0离) 之和等于6，
则点P的轨迹方程是______x_2____y__2。 1
2.椭圆