高中数学双曲线的第二定义
第三讲---双曲线的第二定义
第三讲 双曲线的第二定义知识梳理（一）双曲线的第二定义：平面内一动点 的比为常数 e 到一定点 F (c, 0) 的距离与到一定直线 L : x a2 的距离 cc (e>1) a定点 F (c, 0) 是双曲线的焦点，定直线 L 是双曲线的准线，常数 e 是双曲线的离心率。
（二）焦点三角形的面积公式。
S1 r1r2 sin b 2 tan 2 23.双曲线的方程，图形，渐进线方程，准线方程和焦半径公式： 标准方程 图像 渐进线方程x2 y 2 1(a 0.b 0) a 2 b2b x a a2 x c M 在右支上 r左 =|MF1 |=ex0 a yy 2 x2 1(a 0.b 0) a 2 b2a x b a2 y c y准线方程半径公式r右 =|MF2 |=ex 0 a M 在左支上 r左 =|MF|=-ex 1 0 a r右 =|MF2 |=-ex 0 a典例分析 题型一：与双曲线准线有关的问题 例 1.(1)若双曲线x2 y 2 1 上一点 P 到右焦点的距离等于 13 ，则点 P 到右准线的距离为______ 13 12x2 y 2 1 的离心率为 2，则该双曲线的两条准线间的距离为________ A.若双曲线 m 3练习：已知双曲线的渐进线方程为 3x 2 y 0 ，两条准线间的距离为 解：双曲线渐进线方程为 y 16 13 ，求双曲线的标准方程。
133 x 21所以双曲线方程为x2 y 2 （ 0 ）在分 0 时 4 和 0 时。
。
。
4 9题型二：双曲线第二定义及其运用 例 2：设一动点到 F(1,0)和直线 x=5 的距离之比为 3 。
求动点的轨迹方程。
练习：已知双曲线x2 y 2 1(a 0, b 0) 的左右焦点分别为 F1F2 ，点 P 是左支上的一点，P 到左准线的 a 2 b2距离为 d ，若 y 3x 是已知双曲线的一条渐进线，则是否存在这样的 P 点使得 d , | PF1 |,| PF2 | 成为等比 数列？若存在，求出 P 点坐标；若不存在，说明理由。
高考数学复习全套课件 第八章 第二节 双曲线
[思考探究1]
在双曲线的第一定义中，如果常数2a＝
|F1F2|,2a>|F1F2|，2a＝0时，则动点M的轨迹是什么？ 提示：如果2a＝|F1F2|，则M的轨迹是以F1，F2为端点的 两条射线；如果2a>|F1F2|，则轨迹不存在；如果2a＝0，
则M的轨迹是线段F1F2的垂直平分线．
2．双曲线的标准方程和几何性质(如下表所示) 标准
∴x0＝a·
解得1－
≥a.∴e2－2e－1≤0，
≤e≤1＋ ，又∵e>1，∴1<e≤1＋
答案：C
3．双曲线
－y2＝1(n>1)的两焦点为F1，F2，P在双曲线
上，且满足|PF1|＋|PF2|＝2
，则△PF1F2的面积为
( )
A．1 C．2
B. D．4
解析：不妨设|PF1|>|PF2|，则|PF1|－|PF2|＝2
[思路点拨]
[课堂笔记] 法一：∵双曲线的一条渐近线方程为x－2y
＝0，当x＝4时，y＝2<yp＝3. ∴双曲线的焦点在y轴上．从而有 设双曲线方程为 ∴ ，∴b＝2a.
＝1，由于点P(4,3)在此双曲线上， ＝1.
＝1，解得a2＝5.∴双曲线方程为
法二：∵双曲线的一条渐近线方程为x－2y＝0， 即 －y＝0， －y2＝0.
∴|PF1|－|PF2|＝λ|F1F2|，
∴λ＝ 答案：B
1．(2010· 合肥摸拟)已知双曲线
＝1(a>0，b>0)的
一条渐近线的方程为4x－3y＝0，则此双曲线的离心率 为 A. B. ( )
C.
D.
解析：因为双曲线
＝1的一条渐近线的方程为
4x－3y＝0，所以
高二数学双曲线第二定义及应用
F1
O
F2 x
a2 x c
a2 x c
练习2：求焦半径公式
y M(x1,y1)
a2 a2 又 | MN 1 | x1 ( ) x1 c c c a2 | MF1 | ( x1 ) ex1 a a c
设M（x1 , y1 ),
c 2 a
小
y
结
F1
o
F2
x a2 （二）准线方程： x , (a c) c （三）焦半径公式的推导及 其应用
y2 x2 思考：（1）双曲线 2 2 1的准线方程及焦半径公式？ a b （2）如何求中心不在原点的双曲线的准线方程？
南阳城说否定也要陪葬咯.更重要の是,那么多天来の相处,壹起经历生死,东舌早已否将秦琼当作外人,反而当作咯自己の好兄弟,若是秦琼出咯什么事,东舌内心绝对会留下壹道难以磨灭の阴影.时过两响,吱の壹声,房门终于打咯开来,大夫 挥咯挥衣袍,脚步沉重地走咯出来."草民拜见钱塘王."只见出来の大夫躬下身子朝东舌行咯壹礼,面色凝重.东舌心急如焚,哪还有心情做那些客套之礼,当即亲自扶起咯大夫,急忙问道:"大夫,孤那兄弟如何？"他深深の谈咯壹口气,缓缓说 道:"那位将军の命也真够大の,草民为他诊视筋脉,发现他急火攻心,并且五脏六腑都受到咯否同程度の震荡之伤,若是再来迟半步,怕是神医华佗再世,也再难救咯.""那现在是怎么个情况？"东舌紧接着追问.大夫背上咯自己の药囊,拿出手中 の壹长方子说:"好在来の及时,草民已经为他施行咯壹系列针灸驱气,现在已经脱离咯生命危险,只要配上草民手中の方子,大概半月,就能恢复正常状态咯.""是吗,那就好."听到大夫の确认通告,东舌深呼壹口气,心中久久悬着の壹块巨石才 掉咯下来,脸上神色舒缓开来."雨召,送壹下大夫离开,去帐房去壹些银两给大夫."回来之后の东舌,语气变得十分亲切近人,直呼伍雨召本名,反倒让伍雨召壹时有点反应否过来."诺,先生跟我来吧."伍雨召点咯点头,带着大夫转身走出庭院. 秦琼の伤势,总算没什么事情咯,接下来要考虑の就是南阳之役咯.送走大夫之后,长辽开口朝东舌说道:"殿下,末将有壹些事情想和殿下讨论壹下,诸位将军正好在场,也好随我壹起去正堂商议壹下要事."东舌点咯点头,壹挥袖袍,身后分别跟 着罗士信,赵雨,长辽,蒋琬,川蒙,众人壹起朝正堂走去.钱塘王府,王府正堂.襄阳文武全都汇聚在咯正堂之中,左文右武,东舌坐在王座之上,环视壹眼,武将有长辽,罗士信,赵雨,川蒙.而文臣有只有蒋琬可怜丁丁の壹个,吐茂公要驻防江夏以 防江东杜伏威偷袭,而流逊如今却被死守在咯南阳城中.东舌那才意识到咯自己手中文臣是有多么の缺乏,下壹次召唤壹定要侧重智力来召唤咯.随后赶来の伍雨召匆匆站进咯武将の行列之中,壹时文臣和武将形成咯鲜明の人数对比.见众人已 经尽数来齐,东舌开口说道:"孤否在襄阳那段日子里,襄阳情况如何？蒋总管否妨直言."蒋琬站出身来,躬曲咯壹下身子,壹脸严肃地将情况壹壹报道"回殿下,那几月来库房总共收入叁万八千贯,收入粮食约为九千石,百姓和乐,荆州各地并没 什么任何异象,否过……咳咳."东舌心中暗暗赞赏壹番,自己出襄阳前,财库收入只有现今の叁分之二,那蒋琬果然没什么叫自己失望.蒋琬语气抑扬顿挫,说到壹半干咳几声,好似在吊胃口壹般,咳嗽几声之后,紧接着说到."臣在治理荆州之时, 却发现有两个可造之才,现二人正在门外等候,否知殿下是否愿意召见此二人.""让他们进来吧."听到蒋琬说发现咯两个人才,东舌内心萌生几分好才之心,自己手中正缺文臣.东舌话音刚落,门外走进两人,只见在左壹人,身高七尺有余,长得否 算英俊潇洒,却也是眉清目秀,壹身素袍,显然为人较为勤俭,出身寒苦."草民见过殿下,久闻殿下大名,今日壹见果真否枉流言,年轻有为,气势沉着有度."只见他当先上前参拜,细细打量壹番东舌浑身上下,语气中流转着书生意气,好似等待今 日已经久等多时."操作界面,帮本宿主检测壹下,此人是谁？"东舌闻其语气淡然而又蕴含着壹股意气风发,忍否住使用金手指开始扫描."正在检测中……此人正是吐庶吐元直,吐庶四维如下,武力:69,智力:94,统率:87,政治83.""哈哈,终于让 我收到咯吐庶咯,操作界面大爷,真够意思啊/"原来眼前此人就是赵雨爆出来の吐庶,潜水那么久,如今却投到自己王府上来咯,东舌脸上否动声色,心中却乐开咯花.东舌平息内心の激动,面色没什么丝毫流露出惊喜之意,语气平静の问道:"听 闻先生才高八斗,敢问先生尊姓大名？"受到东舌如此褒奖自己,吐庶有些否好意思,便谦虚壹笑:"草民姓吐单名庶,字元直,是荆州人士,至于才高八斗,草民实在否敢当,只是略略识得一些粗字罢咯.""您要是只会认字,难否成我只会画画？"吐 庶壹袭自谦,听の东舌倒是有些自嘲.东舌左右思酌半响,久之开口说道:"先生否必如此自谦,若是太平盛世,孤定为加官进爵,可悲现在恰逢乱世,先生倒否如在孤钱塘王府中暂当壹个幕僚,日后再提拔,您看如何？"东舌壹番话让吐庶有些受宠 若惊,本以为自己撑死也就只能当个小吏,东舌却开口让他留在自己府中,那对于壹个寞落书生是何等の待遇.吐庶立即跪倒东舌面前,感激地说道:"谢殿下大恩,元直定当倾尽生平之力辅佐殿下/""元直起来吧."东舌直呼本名,对吐庶满意の点 咯点头,侧过头又望向咯另外壹人.只见此人身高八尺,放眼望去,五官标致,鼻梁宽大,壹身着装十分随意,却无否散发着壹种文雅の气息,否过在那文雅之中,却又带着几分勇士独有の味道.吐庶退入蒋琬左边,此人便上前几步,拱手否矜否伐地 说道:"草民参见殿下,草民名长璞,字文宇,便是那襄阳人士.""长璞？我好像从来都没什么听到过那个人."听到此人自报姓名长璞,东舌心中思绪对此人生出无数疑问.无从所知の情况下,东舌便只能再次动用金手指来扫描,"操作界面,帮本宿 主查询壹下,此人是谁？""正在检测中叮咚,长璞,长璞四维如下,武力:77,智力:85,统率:80,政治:90.原为隋末农民起义荆州人士,前来投靠反王萧铣,却被萧铣否受接见,故此隐居避世.""四维如此看来倒是壹个全能型の人才,可谓罕见,萧铣 既然否能让您得志,我定否会再让您消逝在历史潮流之中."衡量着长璞の四维,东舌内心自有计较壹番,长璞当前既然侧重于政治与智力,倒否如协助蒋琬壹起打理荆州,蒋琬完全侧重政治,长璞则是各方面都有涉及,说否定会出现1+1大于2の 效果.虽然四维足够,但是壹般途径还是要走の.东舌若有所思地点咯点头,开口问道:"那孤问您,您都会些什么？"长璞嘴角抹起壹丝笑意,眼中迸射出壹道精光,回应东舌说:"草民会舞刀弄枪,会治政管理,会布列兵阵."长璞の语气是那样の自 在,没什么半分の拖泥带水,很自然の说咯出来,却是让两旁文武听得有点否爽."您还真是直接啊,就否能婉转点么？"长璞の回答让东舌有些无语,显然长璞否怎么会做人,难怪萧铣会否接见您.沉吟片刻,东舌考虑咯壹下两旁人の感受,说道:" 孤念您年纪尚小,就先留在蒋总管の身边好好学习,协助蒋总管治理荆州,日后再给您进行封官,您看如何？""草民谨遵殿下命令."长璞虽然没什么和吐庶那样壹般显眼,但也是没什么直接浪费咯壹身所学,日后还能再放光彩,便回应壹声,转身 退到左侧.解决完政事之后,就该解决武の咯,当下南阳之围才是最关键の问题.哐/东舌刚想开口询问长辽,突然门外飞进咯壹个守门の侍卫,壹个莽汉の伴着光影走咯进来,嗓音浩荡,嘴中否断の喷粗."他奶奶の,敢骂我杀猪の,信否信我戳您 壹百个透明窟窿/"Ps:（青衣在那里推荐壹下好友の壹本书,雄霸天下叁国魂,壹样是新人否容易,感兴趣の朋友可以去看看）（未完待续o(∩_∩)o）壹百零七部分援兵之计Ps:（求打赏,求推荐,求收藏哈）突然发生壹幕,众人眼光齐刷刷望 向咯大门.只见壹个莽汉在门口否断爆着粗口,还壹边挥手作着要打人の样子.此人身长八尺,豹头环眼,燕颔虎须,声若巨雷,势如奔马,东舌扫视壹眼,心中已经隐隐断定,此人便是被木靖爆出来の长飞."您那个黑厮是谁啊,您吓到人咯您知否 晓得,信否信我拧咯您の脑袋."罗士信忍否住站咯出来,气冲冲地挑衅起长飞."哎呦呦,您个长得跟死猪壹样の东西,信否信我戳您几百个透明窟窿/"长飞捋咯捋袖子,就要冲上来和罗士信打架.长辽见势否对,急忙从上前去,挽住长飞の臂
双曲线的第二定义(已修改)
P ={M|
由此可得：
= } d a
(x c)2 y 2 c 2 a a x c
令c a b
2 2
2
将上式两边平方，并化简，得 2 2 2 2 2 2 2 2 (c a ) x a y a (c a )
2Байду номын сангаас
2
x y 2 1(a 0, b 0) 2 a b
轨迹.
16 直线 l :x= 的距离的比是常数 5 求:点M的 5 4
x y =1 16 9
故点M的轨迹为实轴、虚轴长分别为8、6的双曲 线.
2
2
问题: 点M (x,y) 与定点F(c,0)的距离和它到定
2
c a 直线 l : x = 的距离的比是常数 (c>a>0), a c
求:点M的轨迹.
解：设d是点M到直线l的距离，根据题意，所求轨 迹就是集合 |MF| c
故点M的轨迹为实轴、虚轴长分别为2a、2b的双曲线.
实 例 演 示 : e=2
线 距 动 离 点 的 二到 定 倍 点 。 距 离 是 它 到 定 直
L
F
y
L
线 距 离动 的点 二到 倍定 。点 距 离 是 它 到 定 直
a2 准线x c
c e 2 a
焦点
o
F
x
2 2 x y 双曲线标准方程是： 1 a 2 b2
双曲线的第二定义
授课人：赵国生
（一）知识回顾：
一、椭圆的第二定义： 1、定义：平面内到一个
l1
d1
F1 O
M
d2
F2 F2(c,0)
l2
x
定点F和一条定直线 l 的距
2019-2020年高二数学双曲线的第二定义的应用
2019-2020年高二数学双曲线的第二定义的应用教学目的要求；1.求双曲线的标准方程.２.双曲线的准线及其方程.教学重点；双曲线性质的应用教学难点：性质的应用教学方法：学导式学法指导：1、渗透数形结合思想；2.、提高学生解题能力。
3、与学生展开讨论，从而使学生自己发现规律教具准备：投影片教学过程练习：1、过双曲线的右焦点作一条长为的弦AB（AB均在右支上），则A，B两点互右准线的距离和（）A 8BC D2、双曲线上一点P到一个焦点的距离为4，则P到较远的距离为（）A、 B、或 C、 D、或例１：已知双曲线右支上一点,F1、F2分别为左、右焦点，若，试求P坐标例2：已知双曲线的左右焦点分别为F1、F2，双曲线左支上有一点P，设点P到左准线的距离为d，且d，，恰好成等比数列。
试求点P的坐标变：例3、P为双曲线左支上一点，P到左准线的距离为分别为左右焦点，且成等比数列。
（1）当满足条件的点P存在时，求离心率的取值范围；（2）若C的一条渐近线是，问满足条件的点P是否存在，若存在，求出点P坐标，若不存在，说明理由。
投影幕例题练习2019-2020年高二数学双曲线的简单几何性质一教学目的要求；1．掌握双曲线的基本性质2．会求解有关的性质；教学重点；双曲线的基本性质教学难点：双曲线基本性质的应用教学方法：学导式学法指导：1、渗透数形结合思想；2.、提高学生解题能力。
3、与学生展开讨论，从而使学生自己发现规律教具准备：投影片教学过程一、复习旧知：１、椭圆的简单性质：范围、对称性、顶点、离心率，二、讲授新课对双曲线１、范围，|x|≥a,即x≥a,x≤-a２、对称性：双曲线关于坐标轴、原点都是对称的，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心，即双曲线的中心.（同椭圆）３、顶点：（±a,0）.线段A1A2叫做双曲线的实轴，线段B1B2叫做双曲线的虚轴，实轴的长为2a,虚轴的长为2b，a是实半轴的长，b是虚半轴的长，焦点始终在实轴上。
高中数学破题致胜微方法(双曲线进阶性质)：双曲线的第二定义
今天我们研究双曲线的第二定义：平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离之比是常数（大于1）的动点M的轨迹叫做双曲线。定点为双曲线的一个焦点，定直线为双曲线的相应准线。
先看例题：
例：点M(x,y)与定点F(c,0)距离和它到定直线 的距离之比是常数 ,求点M的轨迹方程。
解：如图
设 是点M到直线 的距离,根据题意,所求轨迹就是集合P={M| },
总结：
1.了解双曲线的第二定义中的各常量a，b，c， ， 的几何意义。认识到离
心率 在第二定义中的关键作用。
2.理解双曲线第二定义，以及第一定义与第二定义的等价性。
3.会用双曲线的第二定义求双曲线的轨迹方程。
练习：
1.如果双曲线 上一点P到双曲线右准线的距离d等于8，求点P到右焦点F的距离|PF|。
对应于左焦点 的准线称为右准线方程为
2.e的几何意义：双曲线上一点到焦点的距离与到相应准线的距离的比。
再看一个例题，加深印象
例：如果双曲线 上的一点P到左焦点的距离为9，则P到右准线的距离是＿＿
解：P到左准线的距离为m，由双曲线方程可知
a=5，b=12，c=13，
准线方程为
根据双曲线第二定义得,
。
注意：也可以结合双曲线第一定义，直接求得P到右焦点的距离进而求解。
2.双曲线 上一点P到左、右焦点F1、F2的距离之比为1：2，
（1）求P到右准线的距离d，
（2）试求P点的坐标。
3.已知双曲线3x2－y2=9,则双曲线右支上的点P到右焦点的距离与点P到右准线的距离之比等于( )
A .4
B .
C .
D .2
答案：
1.
即点P到右焦点F的距离|PF|为10。
高中数学圆锥曲线复习(二)——双曲线
圆锥曲线复习（二)---—双曲线一.双曲线的定义第一定义:平面内与两个定点21,F F 距离的差的绝对值等于|)|2(221F F a a <的点的轨迹。
第二定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离的比是常数)1(>e 的动点的轨迹。
2双曲线的标准方程及几何性质标准方程 )0,0(12222>>=-b a b y a x )0,0(12222>>=-b a b x a y图形性质 焦点F 1（-)0,c ，F 2()0,c F 1（),0c -，F 2（),c o焦距 ｜ F 1F 2|=2c222c b a =+范围R y a x ∈≥,|| R x a y ∈≥,||对称 关于x 轴，y 轴和原点对称 顶点 (-a ，0）。
（a ，0） （0，—a ）（0，a ） 轴 实轴长2a ，虚轴长2b 离心率)1(>=e ac e 准线 c a x 2±=ca y 2±= 渐近线0=±bya x 0=±ayb x 到焦点的,c a =-最近距最远距无b Rt ∆焦渐距，第二个二、常见的结论：（1）与双曲线22221x y a b -=共同的焦点的双曲线22221x y a k b k-=-+(2）与双曲线22221x y a b-=(a>0，b>0),有共同渐近线的双曲线系方程为λ=-2222by a x (a 〉0，b>0，λ≠0）, 当 λ>0 时，所求双曲线的焦点与已知的在同一坐标轴上 当 λ〈0 时,所求双曲线的焦点与已知的在同一坐标轴上 (3）等轴双曲线的性质：离心率为2，渐近线方程为y=±x 等轴双曲线可以设为x 2-y 2=λ≠0（4）双曲线形状与e 的关系：b k a ===，e 越大,即渐开阔，即双曲线的离心率越大，它的开口就越阔。
三、求双曲线标准方程常用的方法是待定系数法或定义法(强调取一支还是两支）。
双曲线的第二定义
说明：|PF1|, |PF2|称为椭圆的焦半径，此公式称为焦半径公式
x2 y2 例4：已知双曲线 1右支上一点P到右焦点的距离等于 8， 64 36 求点P到双曲线左准线的距离 。
解： a 8 ， b 6， c a 2＋b2 10
l' y
| PF2 | a ex0 其中e为双曲线的离心率。 y l' 2
a c
l
P.
| PF1 | c 由双曲线的第二定义得 ： 2 a a x0 c
F1
.
O
.
F2
x
整理得:| PF 1 | a ex0
由双曲线的第一定义得 ： | PF2 || PF 1 | 2a a ex0
b 直线 y x叫做双曲线的渐进线 a
x2 y2 x2 y2 双曲线 2 2 1的渐进线为 2 2 0 a b a b
y
b y x a
等轴双曲线 e 2
O
x
b y x a
P 2 5题 113 : 练习：
x y 2(1) 1 16 9
2 2
y2 x2 (2) 1 36 28
F’
.
O
.
F
x
化简 (c 2 a 2 ) x 2 a 2 y 2 a 2 (c 2 a 2 ) .
2 2 x y 设 c 2 a 2 b2 ，则 方程化为 2 2 1 (a 0, b 0) a b
点 M 的轨迹是实轴、虚轴长 分别为2a、 2b的双曲线.
双曲线的第二定义：
2 2
l d .M
F’
.
O
.
F
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每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一条成功之路，都是充满坎坷的，只有那些坚信自己目标，不断努力、不断奋斗
双曲线的第二定义：
到定点F 的距离与到定直线l 的距离之比为常数()0c
e c a a
=
>>的点的轨迹是双曲线，其中，定点F 叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线，常数e 是双曲线的离心率。
1、离心率：
（1）定义：双曲线的焦距与实轴长的比a
c
a c e ==22，叫做双曲线的离心率； （2）范围：1>e ；
（3）双曲线形状与e 的关系：
1122
222-=-=-==e a
c a a c a b k ； 因此e 的形状就从扁狭逐渐变得开阔。
由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔； （1）双曲线的形状张口随着渐近线的位置变化而变化； （2）渐近线的位置(倾斜)情况又受到其斜率制约； 2、准线方程：
对于12222=-b
y a x 来说，相对于左焦点)0,(1c F -对应着左准线c a x l 2
1:-=，
相对于右焦点)0,(2c F 对应着右准线c
a x l 2
2:=；
位置关系：02>>≥c a a x ，焦点到准线的距离c
b p 2
=（也叫焦参数）； 对于12222=-b
x a y 来说，相对于下焦点),0(1c F -对应着下准线c a y l 2
1:-=；相
对于上焦点),0(2c F 对应着上准线c
a y l 2
2:=。
3
每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一条成功之路，都是充满坎坷的，只有那些坚信自己目标，不断努力、不断奋斗双曲线上任意一点M 与双曲线焦点12F F 、的连线段，叫做双曲线的焦半径。
设双曲线)0,0( 122
22>>=-b a b
y a x ，21,F F 是其左右焦点，
e d MF =11
， ∴
e c
a x MF =+
2
01，∴10MF a ex =+；同理 20MF a ex =-； 即：焦点在x 轴上的双曲线的焦半径公式：1020
MF a ex MF a ex ⎧=+⎪⎨
=-⎪⎩
同理：焦点在y 轴上的双曲线的焦半径公式：1020
MF a ey MF a ey ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩（ 其中12F F 、分
别是双曲线的下、上焦点）
点评：双曲线焦半径公式与椭圆的焦半径公式的区别在于其带绝对值符号，如果
要去绝对值，需要对点的位置进行讨论。
两种形式的区别可以记为：左加右减，下加上减（带绝对值号）。
4、焦点弦：
过焦点的直线截双曲线所成的弦。
焦点弦公式：可以通过两次焦半径公式得到，设两交点()()1122,,A x y B x y 、， （1）当双曲线焦点在x 轴上时，焦点弦只和两交点的横坐标有关，
①过左焦点与左支交于两点时：()122c
AB a x x a =--
+； ②过右焦点与右支交于两点时：()122c
AB a x x a
=-++。
（2）当双曲线焦点在y 轴上时，焦点弦只和两交点的纵坐标有关，
①过下焦点与下支交于两点时：()122c
AB a y y a =--+；
②过上焦点与上支交于两点时：()122c
AB a y y a
=-++。
5、通径：过焦点且垂直于对称轴的弦。
直接应用焦点弦公式，得到a
b d 2
2=。