无穷大量与无穷小量极限的运算法则
无穷小与无穷大,极限运算法则
例如, n 时, 1 是无穷小， n
但n个 1 之和为1不是无穷小. n
2019/10/13
13
定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘 积是无穷小.
推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.
推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.
例如,当x 0时, x sin 1 , x2 arctan 1 都是无穷小
lim x 1 1 . x1 x 3 2
(消去零因子法)
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22
例4
求
lim
x
3x2 2x 1 x3 3x 5
(
型
)
无穷小因子分出法
解 x 时,分子,分母的极限均为无穷大.
方 法 先用 x 3去除分子分母, 分出无穷小,
再求极限.
lim
如果对于任意给定的正数m不论它多么大总存在正数使得对于满足不等式的一切x对应的函数值注意1无穷大是变量不能与很大的数混淆
第四节 无穷小与无穷大
一、无穷小 二、无穷大 三、无穷小与无穷大的关系
2019/10/13
1
一、无穷小
1. 定义 (无穷小): 如果函数 f (x)当 xx0 (或x ) 时的极限为零, 则称函数 f (x) 当 xx0 (或 x)时 为无穷小.
是由函数 y f (u) 与函数 u g( x) 复合而成, f [g( x)]
在点 x0 的某去心邻域内有定义,
若
lim
x x0
g(
x)
u0，
o
lim
uu0
f (u) A，且存在0 0,
当 x U ( x0 , 0 ) 时,
高数1-3无穷小无穷大与极限运算法则
lim f ( x) A , lim g ( x) B,
且 f ( x) g ( x),
则
A B .
( P45 定理 5 ) 提示: 令 ( x) f ( x) g ( x)
1.lim(2 x 1)
x 1
x 1 2.lim 2 x 2 x 5 x 3
3
*. 设有分式函数
n n
(1) lim ( xn yn ) A B
n
(2) lim xn yn AB
n
xn A (3) 当 yn 0 且 B 0时, lim n y n B
提示: 因为数列是一种特殊的函数 , 故此定理 可由 定理3 直接得出结论 .
定理 5 :若
3. 求 解法 1 原式 = lim
x x2 1 x
x
lim
x
1 1 1 1 2 1 2 x
1 则 t 0 令t , x 2 1 1 1 1 t 1 原式 = lim 2 1 lim t0 t t0 t t2 t 1 1 lim 2 2 t 0 1 t 1
定理1. 有限个无穷小的和还是无穷小 . 证: 考虑两个无穷小的和 . 设
0 ,
当 当
时,有 时,有
取 min 1 , 2 , 则当 0 x x0 时, 有
2 2
因此
这说明当
时,
为无穷小量 .
定理2.有界函数与无穷小的乘积是无穷小。 推论1.常数与无穷小的乘积是无穷小。
备选题 设
求 解:
是多项式 , 且
利用前一极限式可令
f ( x) 2 x 3 2 x 2 a x b
四、五节 无穷小与无穷大极限运算法则
特殊情形：正无穷大，负无穷大． 特殊情形：正无穷大，负无穷大．
x → x0 ( x→∞ )
lim f ( x ) = +∞ (或 lim f ( x ) = −∞ )
x → x0 ( x→∞ )
注意 （1）无穷大是变量 不是一个很大的数，它能大于任 不是一个很大的数， ）无穷大是变量,不是一个很大的数 意大的数; 意大的数
0
x−3 例3 求 lim 2 x →3 x − 9
B、x -->∞ 时求函数极限 、
例4
2x − 3 求 lim 2 x →1 x − 5 x + 4
3x3 + 4 x2 + 2 例5 求 lim 3 x→∞ 7 x + 5 x2 − 3
3 x2 − 2 x − 1 例6 求 lim 3 2 x→∞ 2x − x + 5
极限的四则运算法则
定理
设 lim f ( x) = A, lim g( x) = B, 则 (1) lim f ( x) ± g( x)] = A± B; [ (2) lim f ( x) ⋅ g( x)] = A⋅ B; [ f ( x) A (3) lim B = , 其中 ≠ 0. g( x) B
第五节 极限的运算法则
本节讲述极限的四则运算法则。为此先介绍两个定理。 定理1：有限个无穷小的和还是无穷小。 有限个无穷小的和还是无穷小 定理 有限个无穷小的和还是无穷小 定理2：有界函数与无穷小的乘积是无穷小。 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 定理 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 推论1：常数与无穷小的乘积是无穷小。 常数与无穷小的乘积是无穷小 推论 常数与无穷小的乘积是无穷小 （常数是有界的） 推论2：有限个无穷小的乘积是无穷小。 有限个无穷小的乘积是无穷小 推论 有限个无穷小的乘积是无穷小 （无穷小是有界的）
第四、五节 无穷大与无穷小 极限运算法则
M
当xx0时, f(1x)为无穷 . 大 意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小 的讨论.
16
容易证明
∗ 两个正(负)无穷大之和仍为正(负)无穷大; ∗ 有界变量与无穷大的和、差仍为无穷大; ∗ 有非零极限的变量(或无穷大)与无穷大之
积仍为无穷大;
过程；
5
2.无穷小与函数极限的关系:
定理 1 lim f ( x) A f ( x) A ( x), x x0
其中( x)是当 x x0时的无穷小.
证: lim f(x)A
xx0
0,0,当 0xx0 时,有
f(x)A
f(x)A
lim
0
xx0
注： 对自变量的其它变化过程类似可证 . 6
f(2n)0.
所以 x时,f (x)不是无穷大!
13
y
例 证明lim 1
x1 x1
解出 | x1|
y 1 x1
证
M0,
要使 1 x1
M,
O •1
x
只要 x1 1, M
取
1, M
1
铅直渐近线
当 0x1时 ,有 1 M. lim 1 .
x1
x1 x1
结 如x l 果 ix0m f(x) ,则直 xx0是 线函 yf(数 x) 论 的图形的铅直渐近线(vertical asymptote).
14
三、无穷小与无穷大的关系
定理4 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小; 恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.
证 设lim f(x). x x0 0,0,使得 0x 当 x0时 恒f有 (x)1, 当xx0时, f(1x)为无穷 . 小 15
4-5 无穷大与无穷小 极限运算法则
π
2
时,
当
f ( 2 nπ + ) = 2 nπ + 2 2 而取 x = xn = 2nπ时,
π
π
f ( 2 n π ) = 0.
不是无穷大 所以 x → ∞时 f (x)不是无穷大! 不是无穷大! ,
y
1 例 证明 lim =∞ x →1 x − 1 解出 | x − 1 |
y=
1 x −1
1 证 ∀ M > 0, 要使 • > M, 1 O x x −1 −1 1 1 只要 x − 1 < , 取δ = , M M 铅直渐近线 1 1 0 当 < x − 1 < δ时, 有 > M. ∴ lim = ∞. x →1 x − 1 x −1
x → x0
lim f ( x ) = 0 (或lim f ( x) = 0).
x→∞
“无穷小量”并不是表达量的大小 而是表 无穷小量” 无穷小量 并不是表达量的大小,而是表 注 达它的变化状态的. 无限制变小的量 达它的变化状态的 “无限制变小的量” 无限制变小的量” 1) 无穷小是变量 不能与很小很小的数混淆 无穷小是变量,不能与很小很小的数混淆 不能与很小很小的数混淆; 2) 零是可以作为无穷小的唯一的数 零是可以作为无穷小的唯一的数 唯一的数. 3) 称函数为无穷小，必须指明自变量的变化过程； 称函数为无穷小，必须指明自变量的变化过程；
定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和 定理 在同一过程中 有限个无穷小的代数和 仍是无穷小. 仍是无穷小 证 设α及β 是当x → ∞时的两个无穷小 ,
∀ ε > 0, ∃N 1 > 0, N 2 > 0, 使得
ε ε 当 x > N 1时恒有 α < ; 当 x > N 2时恒有 β < ; 2 2
2.无穷小量、无穷大量、极限的四则运算
lim x
2
1
1
2 x2
1
例1-21
求
lim
x
2x3 7x3
3x2 4x2
5 1
.
解 x 时, 分子,分母的极限都是无穷大. ( 型 )
先用x 3去除分子分母 , 分出无穷小, 再求极限.
lim
x
2x3 7x3
3x2 4x2
5 1
lim
x
[ f (x) g(x)] (A B) (A )(B ) AB (A B) 0. (2)成立.
推论1 若lim f (x)存在,而c为常数,则
lim cf (x) c lim f (x)
即:常数因子可以提到极限记号外面. 推论2 若lim f (x)存在,而n为正整数,则
1．无穷大量 2．无穷小量 ３．极限的四则运算
作业 P14-P15
➢ 1、 3(2，3，8，12，14) ➢ 2、 6
0
222
由夹逼法则
limsin x 0, limcos x 1
x0
x0
3．无穷小量的比较与阶
在自变量 x 的同一变化过程中，两个无穷小趋于零的
快慢可能会有所不同．
如：函数x和x2，当x 0时x2变化比x快.
两个无穷小趋于零的快慢，可根据两个无穷小的商是否 会有极限来判断．
例如 lim x 2 0 x0 x
即:若函数 f ( x)以为A极限,则函数 f ( x) A是无穷小; 反之,若 f ( x) A 是无穷小,则 f ( x)以A为极限. 因此,通常将
lim f ( x) A 表达为 f ( x) A (lim 0).
§1.4和1.5极限运算法则
多项式与分式函数代入法
1. 设 f ( x ) = a 0 x n + a1 x n −1 + L + a n , 则有 结论: 结论:
x → x0
lim f ( x ) = a 0 ( lim x ) n + a1 ( lim x ) n −1 + L + a n
+ a1 x 0 + L + a n = f ( x 0 ). P( x) 2. 设 f ( x ) = , 且Q( x 0 ) ≠ 0, 则有 Q( x ) lim P ( x ) P ( x ) x → x0 0 = f ( x 0 ). lim f ( x ) = = x → x0 lim Q( x ) Q( x 0 )
sin x lim x→ ∞ x
1 limxcos x→ 0 x
1 limx ar ctan x→ 0 x
2
§1.5 极限运算法则
一、无穷小的运算性质: 无穷小的运算性质 定理1: 在自变量的同一变化过程中, 定理1: 在自变量的同一变化过程中, 有限个无穷 小的代数和仍是无穷小. 小的代数和仍是无穷小. 注意:无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. 注意:无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小 1 1 但 是无穷小， 例如, n → ∞ 时, 是无穷小， n 个 之和的极限为 1 . n n 定理2: 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 定理2: 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 推论1 有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小. 推论1 有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小
无穷小量与无穷大量极限运算法则
性质3：有限个无穷小的乘积也是无穷小.
1 1 例如： lim 0. 2 x x (1 x ) 三、无穷大量
1.定义: 如果在自变量的同一变化过程中,变量(函 数)f(x)的绝对值无限增大,则称该变量是这个变化过 程中的无穷大量。记作limf(x)=。
1 1 例如： lim ， 是x 0时的无穷大. x 0 x x x lim e ， ∵ e x是x 时的正无穷大量.
把求一般的极限问题转化为求特殊极限(无穷小)的问题;
n2 2 2 n2 如： 1 , lim 0, lim 1. n n n n n n
3、无穷小的运算性质: 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 性质1： 注意：无穷多个无穷小的代数和不一定是无穷小.
1 1 1 例如： lim ... 1 0 n lim f ( x) A.
x x
2
2.
x x0 时， f ( x ) 的极限.
注： x x0包含了x x0 和 x x0 两个极限过程.
定理： lim f ( x ) A f ( x0 0) f ( x0 0) A.
x
10
注意:
(1)记号limf(x)没有指明自变量的变化过程，指的
是任意一种变化过程。
(2)无穷大是函数(变量),不能与很大的常数混淆; (3)切勿将 lim f ( x ) 认为极限存在.
x x0
(4)无穷大的概念是反映变量的变化趋势，因此 谈及无穷大,一定指明 自变量的变化趋势. 1 1 1 不是无穷大. . 而x 2 呢？ 例 lim x 1 x 1 x 1
4
注意 (1)无穷小是函数(变量),不是一个很小的常数;
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第五讲Ⅰ 授课题目：§2.4无穷大量与无穷小量；§2.5极限的运算法则。
Ⅱ 教学目的与要求：1、理解无穷大与无穷小的概念，弄清无穷大与无穷小的关系；2、掌握极限的运算法则。
Ⅲ 教学重点与难点：1、无穷大与无穷小的概念、相互关系；2、用极限的运算法则求极限。
Ⅳ 讲授内容：§2.4无穷大量与无穷小量 一、无穷大的概念： 引例：讨论函数 11)(-==x x f y ，当 1→x 时的变化趋势。
当 1→x 时，11-x 越来越大(任意大)，即：+∈∀R E ，要 E x >-11⇒Ex 11<-， 也即：+∈∀R E ，01>∃E ，当 Ex 11<-时，有：E x >-11。
定义2.9：+∈∀R E ，变量y 在其变化过程中，总有一时刻，在那个时刻以后，E y >成立，则称变量y 是无穷大量，或称变量y 趋于无穷大，记：∞=y lim 。
如：∞=-→11lim1x x ，-∞=+→x x lg lim 0，+∞=-→tgx x 2lim π。
注 1. 若：∞=y lim ，则习惯地称此时)(x f y =的极限为无穷(大)；2.无穷大不能与很大的数混淆；3.无穷大与无界变量的区别；例如：xx f y sin 1)(== 当)2,1,0(,ΛΛ±±==k k x π时，∞→)(x f ，无界，但非无穷大，πk x ≠Θ时，)(x f 为有限数。
例1 函数 ?),(cos 内是否有界在+∞-∞=x x y 又当 +∞→x 时，此函数是否为无穷大？为什么？ 解 用反证法若：当+∞→x 时，x x y cos =非无穷大，)1(,cos ,,0,0M x x X x X M >>>∃>∀有时当则，取22ππ+=n x n ，当n 充分大时必有X x n >，而 0cos =n n x x 与(1)式矛盾。
∴ +∞→x 时，x x y cos =，非无穷大。
4.无穷大运算的结论：(1)有界变量与无穷大量之和是无穷大量； (2)两个无穷大量之积是无穷大量； (3)有限个无穷大量之积是无穷大量。
二、无穷小量： 1.概念：定义2.10 以零为极限的变量称为无穷小量。
例如：021lim=∞→n n ，则称 ∞→n 时，变量 nny 21=是无穷小量。
注 无穷小量非很小的数，但零是可作为无穷小量的唯一的数。
2.两个重要结论： 结论1定理2.9 A y =lim ，⇔α+=A y ，0lim =α。
例如： ?56lim=+∞→x x x ，Θx x x 5656+=+，而：05lim =∞→x x ，∴656lim =+∞→xx x 。
结论2定理2.10 若：0lim =α，且：0,>≤M M y ，⇒0lim =y α 推论 若：C 为常数，0lim =α⇒0lim =αC 。
例如：?1sinlim 0=→xx x0lim 0=→x x Θ，11sin ≤x ，∴01sin lim 0=→xx x 。
三、无穷大量与无穷小量的关系： 定理2.11 若：∞=y lim ，⇒ 01lim =y ；若：)0(,0lim ≠=αα⇒∞=α1lim 。
例如：∞=+∞→x x e lim ，⇒ 01lim=+∞→xx e 。
注 无穷大、无穷小与极限过程有关。
四、无穷小的阶(无穷小的比较)： 1.概念：定义2.11 设βα,是关于同一过程的无穷小，αβlim 也是关于同一过程的极限， 若：0lim=αβ，则称β是比α较高阶的无穷小，记：)(αβο=；若：∞=αβlim ，则称β是比α低阶的无穷小； 若：)0(lim ≠=c c αβ，则称β是与α同阶的无穷小；特别地：1=c 时，称α与β是等价的无穷小，记：α~β。
例如：212lim0=→x x x Θ，∴ 0→x 时，x 与x 2是同阶无穷小。
注 1.同一过程的无穷小方能比较；2.αβlim存在，方能比较。
2.重要结论：定理2.12 若：α~'α，β~'β，且：∃''lim αβ ，则 αβlim =''lim αβ。
常用的等价无穷小：0→x 时，x x sin ~~tgx ~1~)1ln(~~arcsin -+x e x arctgx x ，……。
例2 设：0→x 时，)1ln()cos 1(2x x +-是比n x x sin 高阶的无穷小，而n x x sin 是比12-x e高阶的无穷小，则 ?=n解 Θ 021lim 2lim sin )1ln()cos 1(lim 3022020===+--→→→n x n x n x x xxxx x x x x ，∴ 03>-n ⇒ ⇒3<n ；又：0lim lim 1sin lim 102002===--→→→n x nx x n x x xxx e x x ，∴01>-n ⇒ 1>n ， 即：31<<n ，故：2=n 。
§2.5 极限的运算法则定理2.13 若：A x =lim ，B y =lim ⇒=±)lim(y x B A y x ±=±lim lim 。
推论1 i i A x =lim ，n i ,,2,1Λ=，⇒ ∑∑∑=====n i ni iin i Ax x 111lim lim。
推论2 0lim lim ==βα，⇒ 0)lim(=±βα 注 可推广到有限个。
定理2.14 若：A x =lim ，B y =lim ⇒ AB y x xy ==lim lim )lim( 推论1 i i A x =lim ，n i ,,2,1Λ=，⇒ ∏∏∏=====n i ni iin i iA x x 111lim lim推论2 0lim lim ==βα，⇒ 0lim =αβ 注 可推广到有限个。
推论3 0)(lim ≠=A x f ，0lim =α，⇒ 0)(lim=x f α推论4 A x =lim ，c 为常数 ⇒ cA x c cx ==lim lim推论5 A x =lim ⇒nnnA x x ==)(lim lim ，nnnA x x 111)(lim lim == (0>A )，+∈Z n 。
定理2.15 若：A x =lim ，0lim ≠=B y ⇒BA y x y x ==lim lim lim 。
例1 求：)123(lim 21+-→x x x 。
解 2112131lim 2lim 3)123(lim 212121=+⨯-⨯=+-=+-→→→x x x x x x x注 若：)(x f 是一多项式，则：)()(lim 00x f x f x x =→。
例2 求：若：)(x f 是1352lim 22+-+→x x x x 。
解 75)13(lim )52(lim 1352lim 22222=+-+=+-+→→→x x x x x x x x x注 若：0)(,)()()(0≠=x p x p x q x f )(),(x q x p 是多项式，则：==→→)()(lim )(lim 00x p x q x f x x x x=)()()(lim )(lim 0000x p x q x p x q x x x x =→→。
例3 研究：45lim22-→x xx解 Θ 054lim 22=-→x x x ，∴ ∞=-→45lim 22x xx 。
例4 求：93lim 23--→x x x 。
解 )3)(3(3lim 93lim 323+--=--→→x x x x x x x 31lim 3+=→x x 61=例5 求：42lim 4--→x x x 。
(41)解 42lim4--→x x x )2)(2(2lim 4+--=→x x x x 4121lim 4=+=→x x 例6 求：xx x 11lim 0-+→。
解x x x 11lim-+→)11()11)(11(lim0++++-+=→x x x x x )11(lim 0++=→x x x x 21111lim 0=++=→x x例7 求：22321lim 4---+→x x x 。
解 22321lim4---+→x x x )321)(4()22)(82(lim 4++-+--=→x x x x x 322)321()22(2lim 4=+++-=→x x x 例8 求：13124lim 423+-+∞→x x x x 。
解 13124lim423+-+∞→x x x x 03013124lim 442==+-+=∞→xx x x x 例9 求：xx x x 7812lim 22++∞→。
解 x x x x 7812lim 22++∞→417812lim 2=++=∞→xx x 注⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>∞<==++++++++----∞→mn m n m n b a b x b x b x b a x a x a x a m m m m n n n n x ,,0,lim 011101110ΛΛ(j i b a b a ,,0,000≠≠是常数，且： n i ,,2,1,0Λ=，m j ,,2,1,0Λ=)。
例10 已知：⎪⎩⎪⎨⎧≥+-+<-==0,1130,1)(32x x x x x x x f y ，研究：)(lim 0x f x →，)(lim x f x +∞→，)(lim x f x -∞→。
解 Θ 1)1(lim )(lim 00-=-=→→-x x f x x ，1113lim )(lim 3200-=+-+=→→+x x x x f x x ，∴1)(lim 0-=→x f x ；又：=+∞→)(lim x f x 0113lim32=+-+∞→x x x x ；=-∞→)(lim x f x -∞=--∞→)1(lim x x 。
例11 求：)1(lim 2x x x x -++∞→解 211lim)1(lim 22=++=-++∞→+∞→xx x x x x x x 。
例12 求：)11(lim 22--+∞→x x x解 )11(lim 22--+∞→x x x =11)1(1lim2222-++--+∞→x x x x x =112lim22-++=∞→x x x ==011112lim22=-++∞→x x x x 。
Ⅴ 小结与提问:1. 无穷小与无穷大是相对于过程而言的主要内容：两个定义，三个定理，一个推论； 几点注意：五点注意。
2.无穷小的阶意义：同一过程的无穷小的比较，比较趋于零的快慢； 应用：等价无穷小在求极限中有非常巧妙的应用。